2022-2023学年北京市首都师大附属云岗中学九年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市首都师大附属云岗中学九年级（上）期中

数学试卷

一、选择题

1.一元二次方程3』-6x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.3,6,1B.3,6,-1C.3,~6,1D.3>-6,-1

2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.XI=X2=2B.xi=x2=-2C.xi=0,X2=2D.XI=0，X2=-2

4.用配方法解方程7-4R+I=0时，原方程可以变形为()

A.(x+2)2=3B.(X-2)2=4C.(x-2)2=3D.(%-2)2=15

5.抛物线y=3(x+4)2+2的顶点坐标是()

A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,2)D.(-4,2)

6.如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到aA'B'C.若NA=40°,NB'

=110°,则NBCA'的度数是（）

C.50°D.30°

7.若x=-1是一元二次方程办2+法+0=0的根，则下列式子成立的是（）

A.a+b+c=0B.a-b+c=0C.a+b-c=0D.-a+b+c=0

8.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售

价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总

销售额为y元，则y与x的关系式为()

A.y=60(300+20%)B.y=(60-x)(300+20x)

C.y=300(60-20x)D.产(60-x)(300-20x)

9.如表是二次函数y=〃/+"+c•的几组对应值:

X6.176.186.196.20

-0.03-0.010.020.04

根据表中数据判断，方程苏+加+c=0的一个解工的范围是()

A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18

C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.20

10.如图，二次函数y=o?+bx+c(aWO)的图象经过4(0,1),B(2,-1),C(4,5)

三点，下面四个结论中正确的是()

6-

5-•C

4-

3-

2-

1-4

1।।______________।।1।।.

-3-2-1O12345x

-1'•B

A.抛物线开口向下

B.当x=2时，)，取最小值-1

C.当机>-1时，一元二次方程苏+法+°=历必有两个不相等实根

D.直线)ufcr+c(&¥0)经过点A,C,当心•+c<ax2+/zr+c时，x的取值范围是0<x<4

二、填空题

11.在平面直角坐标系中，点(2,3)关于原点对称的点的坐标为.

12.已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是(0,3),则这个二次函数的表达式可以

是

2

13.二次函数、=--LX-4X+5的图象的对称轴是直线》=.

14.已知尸(xi,1),Q(x2,1)两点都在抛物线y=--4x+l上，那么xi+%2=.

15.已知点(-2,yi),(1,*)都在函数y=-2?的图象上，则yiy2(填

“〉”或"=”).

16.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了表格：那么该二次函数有最

18.如图是二次函数)「苏+灰+。图象的一部分，图象过点A(-3,0),对称轴为》=-1.给

出四个结论：①户>4W；②2a+b=0；③a+b+c=0；®5a<b.其中，正确的是.

19.按要求解下列方程

(1)/-4=0(直接开平方法);

(2)/-4x-2=0(公式法).

20.用恰当的方法解方程：

(1)2(x-1)2-16=0；

(2)/-6x-7=0；

(3)2?+x-1=0.

21.已知二次函数y=7-6x+8.

(1)将y=/-6/+8化成y=aCx-h)?+/；的形式，并写出二次函数的对称轴与顶点坐

标；

(2)画出这个二次函数的图象;

(3)当0VxV4时，y的取值范围是

y八

10-

9-

8-

7-

6-

5-

4-

3-

2-

1-

一4一3-2mo12345678910x

-2

-3

-4

22.如图，/)是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,

连接CQ,BE.

(1)求证：ZEAB^ZDAC；

(2)求证：ZAEB=ZADC；

(2)连接OE,若N4DC=105°,求N8EZ)的度数.

23.已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.

24.如图，在平面直角坐标系中，厶厶。/?的三个顶点坐标分别为A(1,0),O(0,0),B

(2,2).以点O为旋转中心，将AAOB逆时针旋转90°,得到△AiOBi.

(1)画出△4OB；

(2)直接写出点4和点劭的坐标;

(3)求线段A31的长度.

25.关于x的一元二次方程(川-1)，-3x+2=0有两个实数根.

(1)求相的取值范围；

(2)若用为正整数，求此时方程的根.

26.如图，在长30皿，宽20根的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带,

已知绿化带的面积为551,”2,求所修建道路的宽度.

27.已知关于x的一元二次方程/-2℃+J-1=0.

(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；

(2)若该方程的两个根均为负数，求。的取值范围.

28.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管0A喷出，OA长为1.5米.水流在

各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示,

落点8到。的距离为3米.建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离

x(米)之间近似满足函数关系yuo^+x+c(aWO).

(1)求y与x之间的函数关系式：

(2)求水流喷出的最大高度.

29.在平面直角坐标系X。)，中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=a^+bx

-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

30.在正方形ABC。中，M是8C边上一点，且点"不与8、C重合，点P在射线AM上,

将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接BP,DQ.

(1)如图1,当点P在线段AM上时，依题意补全图1；

(2)在图1的条件下，延长BP,QD交于点H,求证：NH=90：

(3)在图2中，当点P在线段4W的延长线上时，连接。P,若点P,Q,0恰好在同一

条直线时，猜想。P,DQ,AB之间的数量关系，并证明.

图1图2

2022-2023学年北京市首都师大附属云岗中学九年级（上）期中

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1.一元二次方程3/-6x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.3,6,1B.3,6,-1C.3,-6,1D.3,-6,-1

【分析】找出所求的系数及常数项即可.

【解答】解：一元二次方程3/-6x-1=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3,

-6,-I.

故选：D.

【点评】考查了一元二次方程的一般形式：o?+辰+c=0（a,b,c是常数且。#0）特别

要注意的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中加叫二次项,

法叫一次项，c是常数项.其中“，b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点

旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图

形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形.

【解答】解：A.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

。.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行

四边形、圆形、正方形、长方形等等.常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形,

等腰梯形，圆等等.

3.一元二次方程W-2x=0的解是()

A.XI=%2=2B.x\=X2=-2C.xi=O,X2=2D.xi=O,X2=-2

【分析】用因式分解法解方程即可.

【解答】解：X2-2x=0,

x(x-2)=0,

,尸。或x-2=0,

・・xi=0,X2=2.

故选：C.

【点评】本题考查一元二次方程-因式分解法，熟练掌握直因式分解法解一元二次方程

是解本题的关键.

4.用配方法解方程/-4x+l=0时，原方程可以变形为()

A.(x+2)2=3B.(x-2)2=4C.(x-2)2=3D.(x-2)2=15

【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果即可.

【解答】解：方程/+4x+l=0,

移项得：X2+4X=-1,

配方得：/-4x+4=3,即(x-2)2=3,

故选：C.

【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

5.抛物线y=3(x+4)2+2的顶点坐标是()

A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,2)D.(-4,2)

【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标.

【解答】解：••1=3G+4)2+2是抛物线解析式的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(-4,2).

故选：D.

【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法.利用解析式化为y=a(x-7z)2+%,

顶点坐标是（h,k）,对称轴是直线得出是解题关键.

6.如图，将△A2C绕着点C顺时针旋转50°后得到AA'B'C.若NA=40°,ZB'

=110°,则/8CA'的度数是（）

A.90°B.80°C.50°D.30°

【分析】首先根据旋转的性质可得：N4'=NA,/A'CB'=NACB,即可得到/A'

=40°,再有NB'=110°,利用三角形内角和可得N4'CB'的度数，进而得到NACB

的度数，再由条件将△4BC绕着点C顺时针旋转50°后得到△?!'B1C可得NACA'

=50°,即可得到NBCA'的度数.

【解答】解：根据旋转的性质可得：ZA'=/A,ZA'CB'=NACB,

VZA=40°,

.'.NA'=40°,

ZB'=110°,

CB'=180°-110°-40°=30°,

；.NACB=30°,

•.•将AABC绕着点C顺时针旋转50°后得到AA'B'C,

：.AACA'=50°,

：.ZBCA'=30°+50°=80°.

故选：B.

【点评】此题主要考查了旋转的性质，关键是熟练掌握旋转前、后的图形全等，进而可

得到一些对应角相等.

7.若x=-1是一元二次方程苏+6x+c=0的根，则下列式子成立的是（）

A.a+b+c=0B.a-b+c=QC.a+b-c=0D.-a+b+c=0

【分析】将X=-1代人方程后即可得到正确的选项.

【解答】解：-1是一元二次方程ax2+bx+c^0的根，

：.a-Z?+c=0,

故选:B.

【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解方程的解能使得方程左右

两边相等，难度不大.

8.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售

价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总

销售额为y元，则y与x的关系式为()

A.>=60(300+20%)B.y=(60-x)(300+20x)

C.y=300(60-20x)D.>■=(60-x)(300-20x)

【分析】根据降价x元，则售价为(60-x)元，销售量为(3OO+2OX)件，由题意可得

等量关系：总销售额为了=销量X售价，根据等量关系列出函数解析式即可.

【解答】解：降价x元，则售价为(60-x)元，销售量为(300+20%)件，

根据题意得，>>=(60-x)(300+20%),

故选：B.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出

题目中的等量关系，再列函数解析式.

9.如表是二次函数y=a/+法+c的几组对应值:

X6.176.186.196.20

y=ax1+bx+c-0.03-0.010.020.04

根据表中数据判断，方程处2+云+C=0的一个解X的范围是()

A.6cx<6.17B.6.17<x<6.18

C.6.18<x<6,19D.6.19cx<6.20

【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可.

【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时,y=0,即这个数是oAbx+c

=0的一个根.

aj?+bx+c=Q的一个解x的取值范围为6.18<x<6.19.

故选：C.

【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的

范围是本题的关键.

10.如图，二次函数y=a/+fex+c(aWO)的图象经过A(0,1),B(2,-1),C(4,5)

三点，下面四个结论中正确的是（)

6-

5-•C

4-

3-

2-

]।।_______1।।।।.

-3-2-1O12345x

-1-°B

A.抛物线开口向下

B.当x=2时，），取最小值-1

C.当相>-1时，一元二次方程a^+hx+c=m必有两个不相等实根

D.直线y=fcv+c（k#0）经过点A,C,当时，x的取值范围是0<x<4

【分析】将点4、B、C的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为y=7-3x+l,

画出函数图象，进而求解.

，c=l（a=l

【解答】解：人将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得（4a+2b+l=-l，解得（b=-3,

16a+4b+l=5c=l

故抛物线的表达式为y=--3x+l,

函数图象如下：

故抛物线开口向上，故4错误，不符合题意;

B.抛物线开口向上，则》=一旦=3时，取得最小值，

2a2

当x=—H'j'，y=x2-3x+l=-—,

24

故B错误，不符合题意；

C.由B知，函数的最小值为-$<-1,

4

故m>-1时，直线y=m和y=ax2+bx+c有两个交点，

故一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等实根，

故C正确，符合题意；

D.观察函数图象，直线y=fcr+c（kWO）经过点A,C,

当kx+c<ayr+bx+c时，x的取值范围是JC<0或x>4,

故。错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题

的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解.

二、填空题

11.在平面直角坐标系中，点（2,3）关于原点对称的点的坐标为（-2,-3）.

【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得

答案.

【解答】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

故点（2,3）关于原点对称的点的坐标是（-2,-3）,

故答案为：（-2,-3）.

【点评】本题考查了关于原点对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关

键.

12.已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是（0,3）,则这个二次函数的表达式可以是y

=-/+3（答案不唯一）.

【分析】由抛物线顶点为（0,3）可得y=/+3,由抛物线开口向下可得“<0.

【解答】解：设抛物线解析式为y=a?+3,

•••抛物线开口向下，

，〃vo,

，y=-X2+3符合题意，

故答案为：y=-7+3（答案不唯一）.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

13.二次函数y=-/乂2-4X+5的图象的对称轴是直线x=-4.

【分析】将抛物线解析式转化为顶点式，可求顶点坐标及对称轴.

22

【解答］解：-Ax-4x+5=-y（x+4）+131

.,.对称轴为x=-4,

故答案为：-4.

【点评】本题考查了抛物线的顶点式的确定方法，顶点式与对称轴及顶点坐标的关系，

需要熟练掌握这些性质.

14.己知尸（xi,1）,Q（X2,1）两点都在抛物线y=x2-4x+l上，那么xi+m=4.

【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到三匚？2=-二^,解得X1+X2

22X1

=4.

【解答】解：VP（XI,1）,Q（4，1）两点都在抛物线y=--4x+l上，

.♦•抛物线的对称轴为直线-二^,

22X1

/.Xl+A2=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键.

15.已知点（-2,户），（1,”）都在函数y=-2?的图象上，则vi<V2（填

或"=”）.

【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据两点与对称轴的距离大小

关系求解.

【解答】解：•••>=-2?,

.•.抛物线开口向下，对称轴为y轴，

V|-2-0|>|1-0|,

二点（1,"）到y轴距离小于点（-2,yi）到），轴距离，

故答案为：＜.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握

二次函数与不等式的关系.

16.用“描点法''画二次函数y=n/+bx+c的图象时，列出了表格：那么该二次函数有最

（填“大”或“小”）值为-1.

x•••1234•••

y=0-103

cvP'+bx+c

【分析】根据二次函数的最值为抛物线顶点坐标的纵坐标可得答案.

【解答】解：.."=1、x=3时，y的值相同，都为0,

•••抛物线的对称轴为直线》=工3=2,

2

顶点为（2,-1）,

二次函数有最小值，是-1,

故答案为：小；_1.

【点评】此题主要考查了二次函数的最值，关键是掌握二次函数的图象具有对称性.

17.如图，在0。中，弦AB的长为8”?,圆心。到A3的距离为3cm则的半径是_5

cm.

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解.

【解答】解：在直角△40E中，AE=4cm,OE=3cm,根据勾股定理得到。4=5,则。0

的半径是5cm.

【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问

题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三

角形予以求解.

18.如图是二次函数）'=/+灰+。图象的一部分，图象过点A（-3,0）,对称轴为犬=-1.给

出四个结论：①房＞4农；②2。+0=0；③a+b+c=0：®5a＜b.其中，正确的是①③④.

【分析】①由图象与X轴有交点，对称轴为》=丄=-1,与），轴的交点在y轴的正半

2a

轴上，可以推出/-4ac>0,可对①进行判断；

②由抛物线的开口向下知与），轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0,由对称轴为

》=丄=-1,可以②进行分析判断；

2a

③由x=l时，由图象可知y=0,可对③进行分析判断；

④把x=1,x=-3代入解析式得a+b+c=O,9a-3b+c=0,两边相加整理得5a-b=-c

<0,即5a<6,即可对④进行判断.

【解答】解：①：图象与x轴有交点，对称轴为》=丄=-1,与），轴的交点在y轴的

2a

正半轴上，

又•.•二次函数的图象是抛物线，

...与x轴有两个交点，

'.h2-4«c>0,HPh~>4ac,故①正确;

②•••抛物线的开口向下，

;与y轴的交点在y轴的正半轴上，

，c>0,

:对称轴为x=丄=-1,

2a

••2a=Z?,

：.2a+b=4a,aWO,故②错误；

③；尤=1时，

由图象可知y=0,故③正确；

④把x=1,x=-3代入解析式得a+〃+c=0,9a-3匕+c=0,

两边相加整理得5。"=-c<0,即故④正确;

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函

数y=a?+6x+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x

轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用.

三、解答题

19.按要求解下列方程

(1)?-4=0(直接开平方法)；

(2)x*12-34x-2=0(公式法).

【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；

(2)计算根的判别式的值，然后利用公式法解方程即可.

【解答】解：(1)%2-4=0,

X2=4,

xu~—2.

(2)/-4x-2=0,

Va=l,b=-4,c=-2,

A=(-4)2-4XlX(-2)=24>0,

.'.xi=2+^6>X2=2-V6.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

20.用恰当的方法解方程：

(1)2(x-1)2-16=0；

(2)/-6x-7=0；

(3)2?+x-1=0.

【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可;

(2)利用因式分解法解方程即可；

(3)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)2(x-1)2-16=0,

(x-1)2=8,

AJC-1=2&或x-\=-2&,

.'.x\—l+2-\[2^X2—1-2-/2>

(2)xz-6x-7=0,

(x-7)(x+1)=0,

*.x-7=0或x+l=0,

***X1=7,X2=~1;

(3)2^+x-1=0,

(2x-1)(x+1)=0,

，2x-1=0或x+l=0,

Axi=A,X2=-1.

2

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

21.已知二次函数)，=/-6X+8.

(1)将y=/-6x+8化成(x-h)?+/：的形式，并写出二次函数的对称轴与顶点坐

标；

(2)画出这个二次函数的图象；

(3)当0cx<4时，y的取值范围是-0V8.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

—4—3—2一I】。2345678910x

-2

-3

-4

【分析】(1)将二次函数解析式为顶点式求解.

(2)通过二次函数解析式作图.

(3)将x=0,x=4分别代入函数解析式求出对应函数值，结合图象求解.

【解答】解：(1)y=7-6x+8=(x-3)2-1,

抛物线的对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,-1).

.,.0<x<4时，-lWy<8,

将x=4代入y=/-6x+8得y=0,

故答案为：-lWy<8,

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握

二次函数与方程及不等式的关系.

22.如图，。是等边三角形ABC内一点，将线段AO绕点4顺时针旋转60°,得到线段AE,

连接CD,BE.

(1)求证：ZEAB=ZDAC；

(2)求证：ZAEB^ZADC；

(2)连接。E,若NAOC=105°,求/BEC的度数.

A

【分析】(1)由等边三角形的性质知NB4C=60°,AB=AC,由旋转的性质知/D4E=

60°,AE^AD,从而得/E4B=ND4C,再证△E48名△D4C可得答案，

(2)根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)由ND4E=60°,AE=A。知△E4O为等边三角形，即NAEQ=60°,继而由/AE8

=NAZ)C=105°可得.

【解答】(1)证明：:△ABC是等边三角形，

AZBAC=60°,AB=AC.

•.•线段AO绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,

AZDAE=60Q,AE=AD.

：.NBAD+NEAB=ZBAD+ZDAC.

：.NEAB=ZDAC.

在△E48和△D4C中，

，AB=AC

-ZEAB=ZDAC>

AE=AD

：./\EAB^ADAC(SAS),

：.ZEAB=ZDAC；

(2)证明：由(1)知，△E4B丝△D4C,

NAEB=ZADC；

(3)解:如图,

...△E4。为等边三角形.

AZAED=6QQ,

■:△EAB/XDAC

：.ZAEB=ZADC=\05°.

：.ZBED=45°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识

点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键.

23.已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.

【分析】根据函数图象知，该函数经过点(3,0)(-1,0)(0,-1).所以利用待定系

数法可求得该二次函数的解析式.

【解答】解：由对称性，函数图象与无轴另一个交点为(-1,0),

设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3)(a¥0),

将(0,-1)代入，解得：丄，

3

二次函数解析式为y=1(x+1)(x-3),

3

2

即二次函数解析式为y=lx-2^-1.

3x3

【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养,

要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来.

24.如图，在平面直角坐标系中，△408的三个顶点坐标分别为4(1,0),0(0,0),B

（2,2）.以点0为旋转中心，将厶厶。"逆时针旋转90°,得到△A1O81.

（1）画出△4081；

（2）直接写出点4和点Bi的坐标；

（3）求线段A81的长度.

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、8的对应点Ai、Bi即可;

（2）利用（1）所画图形确定点4和点Bi的坐标；

（3）根据勾股定理即可得到结论.

（3）线段AB1的长度=海丁=小石.

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转

角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，

找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

25.关于x的一元二次方程（川-1）/-3X+2=0有两个实数根.

（1）求〃?的取值范围；

(2)若〃?为正整数，求此时方程的根.

【分析】(1)由方程有两个实数根得△=廿-4农，20,可得关于〃？的不等式，解之可得

，〃的范围，结合一元二次方程的定义可得答案；

(2)由(1)知m=2,得出方程，再用因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)：△=(-3)2-4(〃?-1)X2=-8/n+17,

依题意，得卜TW3

△=-8m+17>0,

解得鹏今且加中1；

(2)•・•比为正整数，

・・m―-2,

.•.原方程为7-3x+2=0.

解得Xl=l,X2=2.

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△》()时，方程有两

个实数根”是解题的关键.

26.如图，在长30处宽20机的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带,

已知绿化带的面积为551m2,求所修建道路的宽度.

【分析】假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，

即可列出方程，进一步求出x的值即可.

【解答】解：假设修建的路宽应x米，

利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程：

(20-%)(30-%)=551,

整理得：?-50x+49=0,

解得：xi=l,X2=49(不合题意舍去)，

答：所修建道路的宽度为1%

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于修路问题最简单的方法是平移道路

进而列出等式方程从而解决问题.

27.已知关于x的一元二次方程x2-2ax+a2-1=0.

（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的两个根均为负数，求。的取值范围.

【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△扌0,根据判别式的意义即可

证明；

（2）根据题意得不等式组，解不等式组求得。的取值范围即可.

【解答】（1）证明：依题意，得△=（-2。）2-4-1）=4（/2-4,/+4=4,

△>0,

,该方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：解方程x2-lax+a1-1=0,得xi=a-l,X2=a+i,

:方程的两个根均为负数，

…a+l<0.

解得-1.

：.a的取值范围为-1.

【点评】本题考查了一元二次方程a^+bx+c=。根的判别式，用到的知识点：（1）A>

0Q方程有两个不相等的实数根；（2）A=0=方程有两个相等的实数根；（3）A<0=方

程没有实数根.

28.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在

各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示,

落点8到。的距离为3米.建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离

x（米）之间近似满足函数关系y=n/+x+c（aWO）.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）求水流喷出的最大高度.

【分析】（1）由题意可得，抛物线经过点（0,1.5）和（3,0）,把上述两个点坐标代入

二次函数表达式，即可求解；

22

(2)y=-i-x+X4-|-=-^-(X-1)+2>故当X=1时，y取得最大值.

【解答】解：(1)由题意可得，抛物线经过点(0,1.5)和(3,0),

把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：(C=1-5,

I9a+3+c=0

'.1

解得：§，

c=7

则函数表达式为：)，=-丄/+犬+3；

22

/9>_123I,<、2c

⑵y~~2x+'巧+2

“=-丄<0,故函数有最大值，

2

•,.当x=l时，y取得最大值，此时y=2,

答：水流喷出的最大高度为2米.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建

立函数模型，然后结合实际选择最优方案.

29.在平面直角坐标系xO.y中，直线y=4x+4与无轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=a^+bx

-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线与线段8c恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

—，

B印

r

【分析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求点8的坐标，根据平移的性质可求点C的

坐标；

(2)根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；

(3)结合图形，分三种情况：①a>0；②a<0,③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨

论即可求解.

【解答】解：(1)与y轴交点：令x=0代入直线y=4x+4得y=4,

：.B(0,4),

•.•点B向右平移5个单位长度，得到点C,

：.C(5,4)；

(2)与x轴交点：令y=