2023-2024学年福建省莆田市荔城区砺成中学九年级（上）返校考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省莆田市荔城区砺成中学九年级（上）返校

考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x+y=2B.x=2x3—3C.x2—5=0D.2x+：=3

2.将一元二次方程/+4x+2=0配方后可得到方程（）

A.（x-2产=2B.（x+2尸=2C.（x-2）2=6D.（x+2）2=6

3.一元二次方程,一mx-2=0的一个根为2,则m的值是（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知△4BOADEF,且AB=3,DE=6,若△ABC的面积为20,则△DEF的面积为（）

A.5B.40C.80D.无法计算

2

5.已知方程产+2X-8=0的解是XI=2,X2=-4,那么方程（x+I）+2（x+1）-8=0的

解是（）

A.%1=1,%2=5B.X]=1,%2=—5

不=

C.%=—1,5D.=­1,x2——5

如图，已知乙则的长是（）

6.4=AC=4fCD=2,BCC

:A

B.2yT2/Av\

C.2AT3AZ___

D.4

7.在平面直角坐标系中，已知点力（-6,9）、5（-9,-3）,以原点0为位似中心，相似比为最

把△ABO缩小，则点4的对应点A'的坐标是（）

A.（-2,3）B.（-18,27）

C.（一18,27）或（18,-27）口.（—2,3）或（2,-3）

8.2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计

票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长

率为X,则根据题意，下列方程正确的是（）

A.2(1+x)=6.62B.2(1+x)2=6.22

C.2(1+x)+2(1+%)2=6.62D.2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62

9.如图所示，在AABC中，点。是4B的中点，/.ADE=ZC,

点E在边4C上，下列判断错误的是（）

A.△AED^LABC

生=生

ACBC

C.Z.AED=LB

n=I

S“8C4

10.如图，在边长为6的正方形/BCD中，DE=CF=2,

G,H分别是AE,OF的中点，连接GH,则GH的长为（）

A.2

B.2yf2

C.y/~2

D.4

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.已知鸿，则白=

12.已知a为方程%2—3x-6=0的一个根，则代数式6a—2a2+5的值为.

13.已知分别为矩形4BCD两条对角线的长，且是关于%的方程%2一4%+々+2=0的根,

则k的值为.

14.若（巾2+九2）（机2+九2-1）=12,求（62+n2）的值为

15.如图，a//b//cf若4B：BC=2：3,DE=4,则BD=

E

16.如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在HB、AC上，四边形EFGH是矩形,

EH=2EF,4D是△4BC的高，BC=8,AD=6,那么的长为

三、计算题(本大题共2小题，共16.0分)

17.解方程

(l)x2—2x-3=0

(2)x(x-2)+x-2=0

18.列方程(组)解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将

增加120千克.

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客

得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

四、解答题(本大题共7小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题8.0分)

已知关于久的一元二次方程/+2mx+m2+m=0有实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若该方程的两个实数根分别为尤1、必，且战+慰=12,求m的值.

20.(本小题8.0分)

如图，利用标杆DE测量楼高，点A,D,B在同一直线上，DEJ.4C,BC14C,垂足分别为E,

C,若测得2E=lm,DE=1.5m,CE=5m,楼高BC是多少？

21.（本小题8.0分）

如图，在矩形4BCD中，E是CD边的中点，且BEJ.AC于点F,连接DF.

求证：（1）4。=DF；

(2)0尸2=BE-BF.

22.（本小题10.0分）

如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m,15nl.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加

相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.

（1）若扩充后的矩形绿地面积为800巾，求新的矩形绿地的长与宽;

（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3.求新的矩形绿地面积.

15m

35m

23.（本小题10.0分）

已知：如图，在△ABC中，NC=90。，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图（注:

不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）.

（1）在斜边4B边上找一点。，连接C。，使得

(2)过4作一射线分别交线段CD,线段CB于点P,点Q,且使得CP=CQ；

(3)在⑴、(2)条件下，若C4=4,CB=3,求CQ的长.

24.(本小题12.0分)

如图，已知△4BC中，AB=AC=6,BC=8,点。是BC边上的一个动点(点。与点B,C不重

合)，点E在AC边上，NADE=NB.若△ACE为等腰三角形，求BD的长.

B

备用图

25.(本小题14.0分)

已知四边形ABCD中，E,F分别是AB,4D边上的点，DE与CF交于点、G.

(1)如图1,若四边形力BCD是矩形，且DE1CF.求证：器=等；

(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形.试探究：当NB与NEGC满足什么关系时，使得券=g

成立？并证明你的结论；

nr

(3)如图3,若BA=BC=6,DA=DC=8,/.BAD=90°,DEJ.CF.请直接写出党的值.

图(3)

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意；

B、未知数的最高次数为3,不是一元二次方程，该选项不符合题意；

C、是一元二次方程，该选项符合题意；

。、工不是整式，不是一元二次方程，该选项不符合题意.

X

故选：C.

根据一元二次方程的定义逐项判断即可.

本题主要考查一元二次方程的识别，牢记一元二次方程的定义（等号两边都是整式，只含有一个未

知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程）是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=^1的形式，再利用直接开平

方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

先移项得到/+4x=-2,再把方程两边加上4,然后把方程左边写成完全平方的形式即可.

【解答】

解：x2+4x+2=0,

x2+4x=-2,

x2+4x+4=2>

Q+2）2=2.

故选：B.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程/一一2=0可得到关于m的一次方程，然后

解此一次方程即可.

【解答】

解：把x=2代入方程，得4一2巾-2=0,

解得m=1,

故选：A.

4.【答案】C

【解析】解：•:AABCSADEF,AB=3,DE=6,

AB：DE=3：6=1：2,

.,•面积的比为1：4,

•••△48C的面积为20,

•••△DEF的面积为80,

故选：C.

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案.

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：把方程(x+I)2+2(%+1)-8=0看作关于(％+1)的一元二次方程，

,•,方程/+的解是

2x—8=0X]—2,x2=—4,

x+1=2或x+1=—4,

解得x=1或x=-5,

二方程(x+I)2+2(x+1)-8=0的解为％=1.冷=—5.

故选:B.

把方程(x+I)2+2(%+1)-8=0看作关于(x+1)的一元二次方程，则利用方程*2+2x-8=0

的解是叼=2,&=-4得到x+1=2或x+1=-4,然后解一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

6.【答案】B

【解析】解：•••44=乙CBD,^BCA=乙DCB,

ABC^hBDC,

・・.里=丝,

ACBC

vAC=4,CD=2,

：.BC2=AC-CD=4x2=8,

BC=2。(负值己舍去).

故选：B.

通过证明△ABCs^BDC,利用相似三角形的性质得出BC?=力。-CD,进而得出答案.

此题主要考查了相似三角形的判定和性质，正确得出对应边成比例的关系是解题关键.

7.【答案】D

【解析】解：■.•点4的坐标为(一6,9),以原点为位似中心将△48。缩小，位似比为全

•••点B的对应点的坐标为：(-6x《,9x^E(-6x(-9,9x(-》)，即(一2,3)或(2,—3),

故选：D.

根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为匕那么位似图形对应点

的坐标的比等于k或-k解答.

本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，

相似比为匕那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-日

8.【答案】D

【解析】解：•.•某电影上映的第一天票房为2亿元，且平均每天票房的增长率为工,

该电影上映的第二天票房为2(1+x)亿元，第三天票房为2(1+x)2亿元.

根据题意得：2+2(l+x)+2(l+x)2=6.62.

故选：D.

根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出该电影上映的第二天票房为2(1+x)亿元，

第三天票房为2(1+刀尸亿元，结合三天累计票房为6.62亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此

题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

9.【答案】D

【解析】解：•••^ADE=ZC,/.DAE=/.CAB,

AED^^ABCt

.••普=整，乙AED=4B,故4,B,C选项正确；

ACBC

•・•点。是48的中点，

1

・•,AD

AD-1

VAC^2)

•••舞/故。选项错误，

故选：D.

根据N2DE=4C,^DAE=^CAB,可得△AEDSAABC,进而根据相似三角形的性质即可求解.

本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：连接DG并延长交4B于M,连接MF,如图所示，

•.•正方形4BCD的边长为6,DE=CF=2,

AB//CD,BF=4,

*'.△DEGsXMAGf

G是4E的中点，

DEDGGE1

"AMMGAG1

•••DG=MG,AM=DE=2,

MB=AB-AM=6-2=4,

MF=V42+42=4V~2,

•:DG=MG,H是OF的中点，

•••GH是△DMF的中位线，

•••GH=^MF=2c.

故选：B.

连接OG并延长交4B于M,连接MF,先证△DEGs^MAG,得出DG=MG,得GH是ADMF的中位

线，则GH=^MF,然后用勾股定理求出MF即可得解.

此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握

相关性质与定理、添加适当的辅助线构造相似三角形是解答此题的关键.

11.【答案】3

【解析】解：•.4=3

b3

2,

Aa=-Z?,

则甘，=—=3=3

人」b-ab-jb

故答案为：3.

直接利用已知得出a=|b,代入原式化简得出答案.

此题主要考查了比例的性质，正确把己知代入是解题关键.

12.【答案】-7

【解析】解：:a是方程产一3久一6=0的一个根，

o?—3a-6=0,

•••a2—3a=6,

:.6a—2a2+5

——2((1?-3a)+5

=-2x6+5

=-7.

故答案为：-7.

先根据一元二次方程解的定义得到。2-3a=6,再把6a-2a2+5变形为-2(a2—3a)+5,然后

利用整体代入的方法计算.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

13.【答案】2

【解析】解：:a,匕分别为矩形4BCD两条对角线的长，

•­a=b,

A=(-4)2-4(fc+2)=0,

解得k=2.

故答案为：2.

利用矩形的性质得到a=b,然后根据根的判别式的意义得到4=(-4)2-4*+2)=0,然后解

一次方程即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+汝+c=0(ak0)的根与/=b2-4ac有如下关系：

当4>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方

程无实数根.也考查了矩形的性质.

14.【答案】4

【解析】解：令症+M=t(t之0),

2222

••1(m+n)(ni+n-1)=12,

"-♦12=0,

(t+3)(t-4)=0,

•1•t+3=0或t-4=0,

•1•t=-3或t=4,

t>0,

t=4,

2

•1•(m+必)的值为4,

故答案为4.

令+〃=t(t20),即可得到产一t-12=0,因式分解法求出方程的解，进而选择合适的答

案.

本题主要考查了换元法解一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程，此题

难度不大.

15.【答案】|

【解析】现牟：Va//b//c,

tBD_AB

''DE=AC9

,•段=二

42+3

BD=|.

故答案为：

由a〃b〃c,利用平行线分线段成比例，可得出黑=喋，结合4B：BC=2：3,OE=4,即可求

出BD的长.

本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解

题的关键.

16.【答案】y

【解析】解：设交EH于点R,

•.•矩形EFGH的边FG在BC上，

・・.EH//BC,(EFC=90°,

AEH^^ABCj

vAD18c于点。，

・・・/,ARE=Z.ADB=90°,

••,AR1.EH,

tAR_EH_

'AD=~BCf

vEF1BC,RDIBC,EH=2EF,

RD=EF=3EH,

BC=8,AD=6,AR=6-^EH,

.6-知=EH,

"-6—--8-,

解得EH=y,

EH的长为日，

故答案为：—■

设ZD交EH于点R,由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH〃BC,NEFC=90。，则△4EH”△力BC,

得黑=瞿，其中BC=8,AD=6,AR=6-』可以列出方程匕型=弛，解方程求出的

ADDCLEH,68

值即可.

此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识,

根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键.

17.【答案】解：(1)：/一2%-3=0,

•••(x-3)(x+1)=0,

则x—3=。或x+1=0,

解得巧=3,小=一1；

(2)x(x-2)+x—2=0,

(x+l)(x—2)=0,

x+1=0或x—2=0,

解得Xi=-1,x2=2.

【解析】(1)利用因式分解法求解可得：

(2)利用因式分解法求解可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

18.【答案】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，

(38-x-22)(160+|x120)=3640,

整理得/-12x+27=0,

•••x=3或x=9.

•.•要尽可能让顾客得到实惠，

%=9,

.・・售价为38-9=29元.

答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元.

【解析】设降低工元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得

出答案.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

19.【答案】解：(1)根据题意得：Zl=(2m)2-4(m2+m)xl>0,

解得：m<0.

故m的取值范围是：m<0.

2

(2)根据题意得：/=—2m,xrx2=m+m,

V+%2=(X1+%2)2—2与•=12，

A(—2m)2—2(m24-m)=12,即?n?—m—6=0,

解得：=-2,租2=3(由(1)得m40,故=3>0舍去).

故血的值为一2.

【解析】本题考查了根与系数的关系：当.，不是一元二次方程。/+法+©=0(。中0)的两根

=bc

时，%1+%2'%2=

(1)根据判别式的意义得到/=(2m)2-4(m2+m)xl>0,然后解关于m的不等式即可；

2

(2)根据根与系数的关系得到/+x2=-2m,xrx2=m+m,利用整体代入的方法得到zn?一瓶一

6=0,然后解关于m的方程即可.

注意：由(1)得m40,故巾2=3>0舍去.

20.【答案】解："DE1AC,BCLAC,

DE]IBC,

・•・△ADE^h.ABC9

tAE_DE

ACBC

已知AE=lm,DE=1.5m,CE=5m,

1_1.5

—~=—,

1+5BC

・•・BC=9m,

答：楼高BC是9m.

【解析】根据平行线的判定得到DE〃BC,然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

本题考查了相似三角形的应用，证得△力DE-△力BC是解题的关键.

21.【答案】证明：(1)过点。作OG〃BE交4B于点G,交AC于点H,

如图所示：

•.•四边形ABCD为矩形，

•••AB//CD,AB=CD,

.•・四边形BEDG为平行四边形，

・•・DE-BG,

•・•点E为CC的中点，

1

:.DE=^CD,

:.BG=AG=^AB,

vDG//BE,

AHAG1

:.—=—=1,

HFGB

.•・点，为”的中点,

•・,BE1AC,

・•・^AFB=90°,

•・・DG//BE,

・・・乙DHF=Z.AFB=90°,

・•.。”垂直平分/F,

^AD=DF.

⑵•・,四边形48CD为矩形，

・・・AD=BC,乙BCE=90°,

vAD-DF,

・•.DF=BC,

,:BE1AC,

(BFC=90°,

••・Z-BFC=乙BCE,

v乙CBF=乙CBE,

••・△BC尸〜△BEC,

;.吃=及,

BEBC

BC2=BE-BF,

•••DF2=BE-BF.

【解析】(1)过点。作DG//BE交ZB于点G,交4c于点“，证明四边形BEDG为平行四边形，得出。E=

BG,根据点E为CC的中点，得出。E=：CD，根据DG〃BE,得出黑=需=1,得出点4为AF的

中点，求出NDHF=41FB=90。，证明DH垂直平分ZF,得出AD=DF；

(2)证明△BCF—BEC,得出绘=装，求出BC2=BE-BF,即可得出。产=BE•BF.

DCDC

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性

质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定，得出△BCF-ABEC.

221答案［解：(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为(35+x)m,宽为(15+x)m,

根据题意得：(35+x)(15+x)=800,

整理得：X2+50X-275=0

解得：%1=5,%2=-55(不符合题意，舍去)，

，35+%=35+5=40,15+%=15+5=20.

答：新的矩形绿地的长为40m,宽为20m.

(2)设将绿地的长、宽增加y加，则新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15+y)m,

根据题意得：(35+y)：(154-y)=5：3,

即3(35+y)=5(15+y),

解得：y=15,

•••(35+y)(15+y)=(35+15)x(15+15)=1500.

答：新的矩形绿地面积为1500^2.

【解析】(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为(35+x)m,宽为(15+©小，根

据扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出工的值，将其

正值分别代入(35+尤)及(15+x)中，即可得出结论；

(2)设将绿地的长、宽增加yni,则新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15+y)m,根据实地测

量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3,即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再

利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积.

本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正

确列出一元二次方程：(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程.

23.【答案】解：(1)如图，点。即为所求作.

(2)如图，射线AQ即为所求作.

(3)过点Q作QH14B于

由作图可知，4Q平分NC4B,

•••QC1AC,QH1AB,

QC=QH,

■•■AC=4,BC=3,^ACB=90°,

AB=VAC2+BC2=742+32=5.

SA4CQ+S4AQB=S3ACB>

Ill

・•・泰AC•CQ+>AB.Q4=擀•AC.BC,

re3X44

【解析】(1)作出斜边AB边上的高交4B于点£>.

(2)作4a48的角平分线交C。于点P,交BC于点Q即可.

(3)过点Q作QH1AB于H.证明QC=QH,利用面积法求解即可

本题考查作图-复杂作图，三角形的高，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练

掌握五种基本作图，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型.

24.【答案】解：(1)当40=0E时，

•••AB=AC,

:.Z-B—Z.C,

vZ.ADC=+乙BAD,

即+乙BAD=^ADE+乙EDC,

v乙B=Z.ADE,

••乙BAD=乙EDC,

在△力80和4DCE中，

ZB=ZC

Z-BAD=乙EDC,

AD=DE

•••△4BD^DCE(44S),

:.AB=DC=6,

・・,BD=BC-CD=10-6=4；

(2)当4E=DE时，

设80=%,则DC=8-%,

vAE=DE,

・•・Z-ADE=Z-DAE,

vZ-B=Z-C=Z-ADE,

:.zC=Z.ADE=Z-DAE,

・•.AD=DC=8—%,△EDA^LACB,

.AD_AE日口8-％_AE

BCAB86

24-3x

・•・AE

24-3%3

・•・EC=AC-AE=6-=7%,

44

vZ.ADC=Z.ADE+乙EDC=+乙BAD,

又•・・LR—Z.ADE,

••乙EDC=乙BAD,

EDC~XDAB,

:.—EC=—DC,

BDAB

即乏=组

x6

解得x=3经检验符合题意：

BD的长为4或提

【解析】分两种情况讨论：当月D=CE时，证明△ABDNADCE,可得BD=4；当4E=CE时，

设BO=x,则DC=8-x,证明△E£M"A4CB,可得4E=告巫，EC=AC-AE=^-x,再证明

44

△EDCfDAB,可得益=%，可得答案.

DUZiD

本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，清晰的

分类讨论是解本题的关键.

25.【答案】（1）证明：•.•四边形ABCD是矩形，彳*D

・・・Z.A=Z.FDC=90°,

vCF1DE,

・•・乙DGF=90°,

ffi(l)

・•・Z.ADE+Z-CFD=90°,Z.ADE+^.AED=90°,

・•・Z-CFD=Z-AED,

vZ.4=乙CDF,

*'.△AED^LDFC,

DEAD

而一而

(2)当NB+/EGC=180°时，笠=笠成立.

证明：•・•四边形ABC。是平行四边形,

/.Z.B=Z.ADC,AD//BC,

・•・+4/=180°,

•・•乙B+乙EGC=180°,

Z-A=乙EGC=乙FGD,

vZ-FDG=Z.EDA,

*，.△DFG^LDEAf

图⑵

.DE__DF

‘AD='DG9

VZ.B=Z.ADC,Z-B+Z.EGC=180°,ZEGC+ZDGC=180°,

・•・Z-CGD=乙CDF,

vZ-GCD=乙DCF,

・•・△CGD〜ACDF,

tDF_CF

'DG=CDf

_CF

'AD='CDf

.,・——DE=——AD,

CFCD

即当上B+zEG