2023-2024学年山东省济宁市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省济宁市高二上册期末数学

模拟试题

一、单选题

1.若直线/：2x+砂+1=0与直线/2：x-2y+2=0平行，则。=（）

A.1B.-1C.4D.-4

【正确答案】D

根据两直线平行可得出关于实数。的等式，由此可解得实数”的值.

［详解】由于直线/：2x+@+1=0与直线，2：x_2y+2=0平行，则解得。=一4.

故选：D.

2.已知圆G：x2+y2-4y=0,圆C?：x2+y2-2x-2y+l=0,则两圆的位置关系为（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

【正确答案】B

【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.

2—

【详解】由题设，G：x'+（y—2）=4,C2：（x—1）'+（JF1）"—1＞

C,（0,2）,半径，j=2；C2（l,l）,半径々=1；

＜|CC1=&＜八+弓，即两圆相交.

故选：B

3.假设/（1）=。3,/（8）=0.4,且A与B相互独立，则P（/U8）=（）

A.0.12B.0.58C.0.7D.0.88

【正确答案】B

【分析】根据独立事件的并事件的概率公式计算.

【详解】由A与B相互独立，则

P（/U8）=P（Z）+P⑻-尸（N）P（8）=0.3+0.4-0.3x04=0.58.

故选：B.

4.已知双曲线。:鸟-《=1（。＞0口＞0）,抛物线E:/=4x的焦点为尸，抛物线E的准线与

Q-b-

双曲线C的两条渐近线分别交于点48,若/为正三角形，则双曲线C的渐近线方程

为（）

A.y=±^-xB.y=±^-x

32

C.y=±2fxD.y=+\fix

【正确答案】C

【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出48两点坐标，利用尸为正三角

形，列方程解系数既可.

【详解】双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x,

a

抛物线E的焦点为F（LO）,准线方程为x=-l,不妨取

b

△4BF为正三角形,由对称性可知，直线/尸的倾斜角为30。，则％=包=正，解得

AF~2~3

b25/3

——----,

a3

所以双曲线C的两条渐近线方程为y=±逑X.

3

故选：C

5.已知数列｛%｝为等比数列，且%是%与4-4的等差中项，若q=2,则该数列的前5项

和为（）

A.2B.10C.31D.62

【正确答案】D

【分析】根据等比数列的基本量求出公比4,然后求s$.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

因为由是外与。4-4的等差中项

所以%+。4-4=勿3

即q•g+q•夕3―4=,

又。I=2,所以2q+2q3—4=4/

即2（q-2乂d+l）=0,所以q=2

2（l-25）

所以$5==26—2=62

i-q1-2

故选：D

6.已知平面a的一个法向量为“=(1,2,1),直线/的一个方向向量为三=(1,0,1),则直线/与

平面a所成角的正弦值为()

A.3B.也C.—D.显

3232

【正确答案】A

【分析】根据线面角的向量法求解即可.

【详解】因为平面a的一个法向量为3=(1,2,1),直线/的一个方向向量为而=(1,0/),

所以直线/与平面a所成角的正弦值为片肯=詈*=£

|m|.|«|V6XV23

故选：A.

7.已知抛物线C:/=2px(p>0),过C的焦点且斜率为2的直线/交抛物线。于48两点,

以48为直径的圆与抛物线C的准线相切于点”，若点M的纵坐标为4,则抛物线C的标

准方程为()

A.y2=4xB./=8x

C.y2=l2xD.y2=16x

【正确答案】D

【分析】由抛物线C:『=2px(p>0),可知焦点为尸准线为x=-^,设直线/的方

程为y=/(七,弘)，8(马,外),联立直线与抛物线方程组，根据韦达定理可得

xl+x2=^-,x/4,结合题意可得点E的纵坐标为4,进而得到乂+%=8,进而求解.

【详解】由抛物线C:r=2px(p>0),可知焦点为尸(5,0),准线为x=-5,

设直线/的方程为V=2(x-5j,A(x„y,),B(x2,y2),

联立方程组’I2),可得4x2-6px+p2=0,

/=2Px

所以占+X2=3,X,X2=,

以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M,

设48的中点为E,则有==

因为点〃的纵坐标为4,所以点E的纵坐标为4,

即丐21=4,则凶+%=8,

又必+为=2卜1-9+2区苦卜2(网+x)-1p=i，

所以p=8,即抛物线C的标准方程为必=16*.

8.已知数列｛““｝为等差数列且6>0,数列的前〃项和为不，则4=()

A.〃+1B.〃+2C.2»-1D.2〃+1

【正确答案】C

1

3

【分析】由题意可得求出q与公差，根据等差数列的通项公式即可求解.

12

5

【详解】由数列」一的前〃项和为白

〔44+J2«+1

+d)=3

设公差为d,则，(:+,/)(：+24=15,解方程得％=1(负值舍去)，d=2.

an=2n-\.

故选:C.

二、多选题

9.下列说法中正确的是()

A.直线x+y+2=o在y轴上的截距是-2

B.直线x+岛+1=0的倾斜角是60°

C.直线mx-y+w+2=0(MeR)恒过定点(-1,2)

D.过点(1,2)且在X.轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=o

【正确答案】AC

【分析】对于A,令x=0,求出y,即可判断；对于B,求出直线的斜率，进而可得倾斜

角，即可判断；对于C,直线方程可化为(x+1)机-》+2=0,再令x+l=0即可判断；对于

D,分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断.

【详解】对于A,令x=0,则y=-2,

所以直线x+y+2=0在V轴上的截距是-2,故A正确；

对于B,直线x+⑨+1=0的斜率为所以其倾斜角为150。，故B错误；

对于C,直线加工一歹+〃7+2=0(mw1<)化为(工+1)加一卜+2=0,

[x+1=0[x=-\

令「记得广

[-y+2=0['=2

所以直线加"歹+加+2=0(加wR)恒过定点(-1,2)，故C正确；

对于D,当直线过原点时，直线方程为y=2x,

当直线不过原点时，设直线方程为二+上=1,

aa

将(1,2)代入解得a=3,

此时直线方程为x+y-3=0,

所以过点(1,2)且在x.轴、夕轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x,故D错误.

故选：AC.

10.抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，每个骰子四个面的点数分别为1,2,3,4,分别观察

底面上的数字，记事件］="第一-枚骰子底面数字为奇数“，事件8="第二枚骰子底面数字为

奇数”，事件C=”两枚骰子底面数字之和为偶数”,事件。两枚骰子底面数字之和为奇数”,

下列判断中正确的是()

A.事件A与事件C互斥

B.事件C与事件。互为对立事件

C.事件A与事件8相互独立

D.尸(⑷=尸(。)

【正确答案】BCD

【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率判断各选项即可.

【详解】两枚骰子底面数字之和为偶数包含了两枚骰子底面数字均为奇数的可能，所以事件

A与事件C可能同时发生，故A错误；

“两枚骰子底面数字之和为偶数”和“两枚骰子底面数字之和为奇数”一定会发生一个事件，另

一个不发生(它们概率之和为1),所以事件C与事件。互为对立事件，故B正确：

由尸(力)=尸(8)=!且P(/5)=!，即尸(48)=P(/)•尸(8),所以事件A与事件B相互独立,

24

故C正确；

.\2x41,s2+2+2+21t-rb,

P(D)=———=T>故D止确.

'>4x42\'4x42

故选：BCD.

11.已知等比数列｛《,｝的前”项和为S,,,且S,,+2%M=18,数列｛叫的前〃项积为7；,则下

列结论中正确的是()

A.数列｛《,｝是递增数列B.q=9

C.的最大值为看D.Z,的最大值为4

【正确答案】BC

【分析】由己知递推等式，利用等比数列的性质，解出首项与公比，得到数列通项，即可研

究数列特征，验证选项是否正确.

【详解】等比数列｛《,｝的前〃项和为s„,且S.+2a向=18,

当差=1时,S［+2a2=4+24=18；当〃=2时，S2+2%=4+出+2a3=18,

设等比数列｛《,｝公比为9,则有｛：;窑；［：2=18'解得'；=!，

2

所以a“=9x［；j'>0,a^=^a„<a„,数列｛%｝是递减数列，故A选项错误，B选项正

确；

数列｛《｝的前〃项积为。，则争■=。,用，当〃43,向>1；当“24,0<«„+1<1,

即〃43,T,^>T„,w>4,T„+t<Tn,所以7；的最大值为刀，C选项正确，D选项错误.

故选：BC.

12.已知产为双曲线/一片=1的右焦点，直线、=依/>0）与该双曲线相交于48两点（其

4

中A在第一象限），连接4尸,8尸，下列说法中正确的是（）

A.k的取值范围是（0,2）

B.若|/尸|=2,则忸日=4

C.若“尸_L8尸，则点A的纵坐标为亚

5

D.若双曲线的右支上存在点C,满足三点共线，则|4日的取值范围是（2,+8）

【正确答案】ABD

【分析】对于A,根据渐近线分析即可求解；

对于B,结合对称性，双曲线定义即可求解；

对于C,结合对称性可知△耳/斤为直角三角形，/耳/尸=90",结合双曲线定义及勾股定理,

可得尸1=8,进而求解：

对于D,根据临界情况,直线AF的方程为：y=-2（x-石），联立方程组，可得力（若>半］,

k>

进而求解.

【详解】对于A,双曲线的渐近线方程为y=±2'，因为直线y=H（左>0）与双曲线相交于

4B,所以上的取值范围是（0,2）,故A正确；

对于B,设m为双曲线的左焦点，连接8片,“可，

由对称性知，\BF\=\AF.\,又川剧-|ZF|=2,中尸|=2,

所以忸日=|4娼=4,故B正确;

对于C,结合选项B,知△/=；/尸为直角三角形，且/片4尸=90°,

所以]MT/=2

化简得M贝•|力日=8,

“[|^|2+|T4F|2=4-2=20

则犷壶等

设点4的纵坐标为%,故C不正确;

对于D,当直线"的斜率为-2时，直线”尸的方程为：j=-2（x-V5）,

夕=-26"）但/3有4后

联立方程组,yi

x~--=-1k55

4

又尸（近0）,所以以日=2,

所以双曲线的右支上存在点C,满足4£C三点共线，

则|/目的取值范围是（2,+8）,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.已知等差数列｛4,｝的前〃项和为S“，且牝=4,S7=-7,贝IJ4=.

【正确答案】-6

【分析】根据等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，求出

13

4+〃=4%二万

【详解】设公差为d,则7%+21d=-7'解得：’

d=--

2

.一1325,

故4=4+5d=----=-6

故-6

14.如图所示，在空间四边形0/8C中，方=£,痂=石,衣=",点M在上，且

两=3而,N为8c中点，若砺=x3+黄+z".则x+y+z

【正确答案】%#。25

【分析】根据题意可得。M——=:。/3,-。-汽---=-51[OB+OCy又丽=丽-丽，从而可求解.

【详解】因为两=3拓f,N为BC中点，所以丽=1方，丽=；（丽+玩）.

所以砺=砺_而=；（历+困——3-1-1-

0A=—aHb4-c.

422

3111

因为朋V=xa+y5+zc,所以x+y+z=—+—+—=-.

4224

故答案为！.

22

15.如图所示、点4综与为椭圆C：++4=l（a>“0）的顶点，尸为C的右焦点，若

ABX1B2F,则椭圆C的离心率为.

【正确答案】正匚

2

【分析】利用椭圆得到顶点和右焦点的坐标，然后利用垂直可得从=℃,利用/=/+c2可

得l=e+/,求解即可

22

【详解】由椭圆C：9+4=l（a>b>0）可得工（。,0）,4（0。）,B2（0,-6）/（C,0）,

所以如,=2,心/="，

'-a2c

bb.,c

因为工4_1与尸，所以心眉•原/-------=T,即nrb=〃c,

-ac

所以=/+/=QC+C?，所以l=e+/，

因为0<e<l,所以e=Xl二1

2

故空

16.已知圆心在x轴上移动的圆经过点4（2,0）,且与x轴，V轴分别相交于8（x,0）,C（0,y）两

个动点，则点w（x,y）的轨迹方程为.

【正确答案】y2=-2x

【分析】由题意可知，48为该动圆的直径，Z5G4=90°.可列等式得方程.

【详解】因为动圆圆心在x轴上移动，且该动圆始终经过点42,0）和8（x,0）,所以，AB为

该动圆的直径，

又因为点C（O,y）在该动圆上，所以，CA.CB=0,HP2x+y2=0,

所以，点M（xj）的轨迹方程为/=-2x.

故/=-2x

四、解答题

17.在空间直角坐标系中，已知向量々=(苞-1,2)石=(24,1),其中*/€氐£】分别是平面1

与平面耳的法向量.

(1)若。〃夕,求匕儿的值；

(2)若a"且同=3,求xj的值.

【正确答案】(1)》=4/=一；

(2)x=-2,y=-2或x=2,y=6

【分析】(1)根据平面平行，得到空间向量平行，列出方程组，求出答案；

(2)根据平面垂直，得到空间向量垂直，结合同=3,列出方程组，求出答案.

【详解】(1)分别是平面a与平面耳的法向量且。〃夕，

：.a//b

令£=4，即(x,-l,2)=〃2,%l)

x=2A

所以，一l=4y,解得.2=2,x=4,y=-g

2=2

(2)£3分别是平面。与平面£的法向量且。，夕，

：.aA_h>

即a.B=0,

2x—歹+2=0,

又同=3,;.&+1+4=3,

所以x=-2,y=-2或x=2,y=6.

18.已知圆C的圆心在直线x-2y=0上，且与直线》-2夕+5=0相切于点(3,4).

(1)求圆C的标准方程；

(2)求直线/：3x-41-6=0被圆C截得的弦的长.

【正确答案】⑴(x-4)2+(y-2)2=5

【分析】(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(J，T)2=/,列出“,b/的方程组解决.

(2)求出圆心到直线的距离，半径圆心到直线的距离，弦的一半构成直角三角形解决.

【详解】(1)设圆C的标准方程为。-斤+。-6)2="

•••圆C的圆心在直线x-2y=0上，且与直线x-2y+5=0相切于点

a-2b=0

(3,4)二，(3-4)2+(4-6)2_,2

…+5|_,

解方程组得4=4,6=2"=\[~5

所以，圆C的标准方程为(工-4>+3-2)2=5

(2)圆心C(4,2)到直线/:3x-4y-6=0的距离]=心$4=]

所以，直线/：3x-4y-6=0被圆C截得的弦AB的长为y.

19.某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛.

(1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；

(2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为女生

乙答对每道题的概率均为:，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的

结果也互不影响.求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率.

【正确答案】(1耳

⑵1

-9

【分析】(1)列举法求出古典概率；

(2)分别求出甲答对2道题，乙只答对1道题的概率，再根据独立事件概率乘法公式求出

答案.

【详解】(1)记3名男生分别为4,4,4,2名女生分别为片,鸟，

则随机抽取2名同学的样本空间为

2={(4,4)，(4,4)，(4田),(4，鸟)，(4,4)，(4田),(4，员),(&4),(&员),(综员)},

记事件/="恰好抽到1名男生和1名女生”

则事件4={(4,用),(4,々),(4,8J,(4,约),(4,BJ,(H，J)}

(2)设事件G="甲答对2道题“，事件的=乙只答对1道题”，根据独立性假定，得

尸⑹=24*)=器

...尸(GG)=尸(G)P(G)=；X[=[,

所以甲答对2道且乙只答对1道题的概率是!.

20.已知数列{4“}满足：《=1,且"氏+i=("+l)4,+l,〃€N\

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛。/2"｝的前〃项和S”

【正确答案】(1)。“=2"—1

(2)5“=(2"-3).2%6

【分析】(1)由数列递推式〃％=(〃+1)%+1,〃€川可得("-1)%=叫_1+1,心2,作差可

得°向+4,1=2%,〃22,确定数列｛叫为等差数列，即可求得其通项公式；

(2)由(1)可得aj2"=(2〃-l)2,利用错位相减法即可求得数列｛见2'｝的前”项和S”.

【详解】(1)由〃a.+i=("+l)a.+l,〃wN*,

作差得，叫+|-(〃-1”“=+

即««„+|+/?«„.,=(n+l)a„+(/?-i)«„=2«a„,

又“22且〃eN*,，a“+i+q,T=2a”,”22,

二数列｛4｝为等差数列，

又％=1,%=24+1=3,所以数列的公差为1=2,

故数列｛a„｝的通项公式为%=1+2（〃-1）=2〃-1.

（2）=（21）.2",

.•.S„=l-21+3-22+5-23+7-24+--+（2n-l）-2,',

2S„=l-22+3-23+5-24+7-25+---+（2>7-l）-2n+l,

345+,,,+1

作差得，-Sn=2+2+2+2+•••+2"-（2/1-1）-2,

：=2+2'（51）

-（2«-1）-2"+1>

1-2

所以，S„=（2n-3）-2"+1+6.

21.如图，在直三棱柱Z8C-4AG中，/8=8C=84=2,/Z8C=12（T,点E满足

A

(I)当a=；时，求4c与AE所成角的余弦值：

(2)是否存在实数2使得平面4GE与平面BBC。的夹角为30。.

【正确答案】(I)4

(2)^=1

【分析】以点B为坐标原点，分别以丽的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐

标系.

(1)代入数据，表示出4c与用E的方向向量，利用异面直线方向向量与夹角的关系

/一八\m-n\

cos。4”)=占口斗计算即可；

H-M

(2)用义表示出平面的法向量，再表示出平面的法向量，根据平面法向量和

两平面二面角的关系列出等式解出2即可.

【详解】(1)以点8为坐标原点，分别以耳，画的方向为x轴，z轴的正方向，

建立如图所示空间直角坐标系

则/(2,0,0),8(0,0,0),。卜1,石,0),4(2,0,2)出(0,0,2),q(-1,73,2)

就=13,省,0),而="，百,-2),朝=(-1,0,0),第=(2,0,-2)

UUUUUU

点E满足/E=/MC，当彳=5时，点E为/C的中点，

故点E的坐标为；,与0,

1

.及6?

..LJ,LL——,------.-2

122

cos(诟丘”否留,+；+(-2)［若

=

''H-IM4x5/55

4c与与£所成角的余弦值为咚.

(2)设面SS]C|C的一个法向量为〃=(X”M，ZJ

•.•函=（0,0,2）,就=（一1,百,0）

万丽=02Z[=0

则,所以<令凹=i则7=（6LO）

心前=0一演=0

又瓦月=虫+荏=即+；1就=（2,0,-2）+4卜3,"0）=（2-3/1,包,一2）

设平面的一个法向量为而二（x,y,z）

丽・南=0J-x+V3y=0jfx=&

inBxE=0[（2-34）/+6Zy-2z=0|z二6"2}

令J=l,则加=（"1,百（1一4））

若平面4GE与平面B8CC所成角为30”,则kos（"；,"）卜COS30=等

|3+1|y/315

••­/'J解得/=;或彳（舍去）

274+3（1-2）2233

所以，存在实数彳=；使得平面与GE与平面88CC所成角为30。.

/

22.已知椭圆C:=l（a”>0）,点/（0,1）为椭圆C的上顶点，设直线/过点£（-1,0）

且与椭圆C交于P,。两点，点P,。不与C的顶点重合，当尸Q，x轴时，|尸。|=行.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线力尸与直线x=3的交点分别为M、N,求|四|的取值范围.

【正确答案】（1）1+/=1

4

1a、

（2）-^-,3<J（3,+8）

【分析】（1）利用椭圆上的点求椭圆方程；

（2）分类讨论，设直线/的方程，与椭圆联立方程组，设P,。两点坐标，得直线/PM。的

方程，得〃、N两点的坐标，借助韦达定理和二次函数的