2023-2024学年湘西州泸溪一中高二数学8月开学考试卷附答案解析

2023-2024学年湘西州泸溪一中高二数学8月开学考试卷

（考试时间120分钟；试卷满分150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合〃={-3,-2,-1,0,1,2,3},A={xeZlU+2)(x-l)<0},则，,A=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-3,2,3}D.{-1,0,1)

2.复平面内复数z所对应的点为(-2,-1),则|z+i|=()

A.75B.2C.y/2D.1

3.将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为()

A.—B.遍C.-D.邈

3866

4.已知向量”=(1,1),b=(2,-1),若(“+如J_(£-5),则实数4=()

A.8B.-8C.2D.-28

5.如图，四棱锥尸-AfiC。的底面ABCO为矩形，PAL平面A8CD,且EC=2PE,若AE=

xAB+yAD+zAP,则x+y+z=（）

124

A.-B.-C.1D.-

333

6.设点P（x,y）满足ar+Ay+c=0,则“。=2a”是“|x+2y+2|+|x+2y-1为定值”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.过点（0,-2）与圆/+>2-2工-1=0相切的两条直线的夹角为a,贝ljcosa=（）

1

A.-B.-cD

54-4-4

&已知〃若函数行）有最小值，则实数，的取值范围是，）

A.（1，+°°）B.1，+=»）C.D.<，+00]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知x,V是正数，且x+y=2,下列叙述正确的是（）

A.孙最大值为1B.2、+2',有最大值4

C.4+6的最大值为2D.-+：的最小值为9

10.2022年10月22日，党的二十大胜利闭幕.为了更好的学习二十大精神，某市市委宣传部面向全市

各部门开展了二十大宣讲活动.某部门为了巩固活动成果，面向其下属甲、乙、丙三个单位开展“领悟二

十大精神”知识竞赛，竞赛成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,

[80,90）,[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，则下列结论中正确的

是（）

A.«=O.O3B.众数为80

C.第71百分位数是82D.平均分是75.5

11.（多选）已知直线/：x-〃?y+〃Ll=0,则下列说法正确的是（）.

A.直线/的斜率可以等于0

B.若直线/与V轴的夹角为30。，则或加=-正

33

C.直线/恒过点（2,1）

D.若直线/在两坐标轴上的截距相等，则机=1或机=-1

12.如图，在棱长为1的正方体A88-AAGP中，。是棱。。上的动点，则下列说法正确的是（）

A.存在点Q,使得GQ//AC

B.存在点Q,使得GQ^AC

C.对于任意点Q,。到AC的距离的取值范围为[乎，乎]

D.对于任意点Q,△ACQ都是钝角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知直线/：x+）」l=0：与圆C:（x-3）2+（y+4）2=5交于A,B两点，则|阴=.

2

14.为了得到函数〉=31卜+2)的图象，只需把函数y=cosx的图象向(填“左、右”)平移个

单位长度.

15.在正四棱锥P-ABCD中，PB=AB=l,点M是PC的中点，则直线R4和刚所成角的余弦值

为.

16.已知圆G：/+y2-履一),=0和圆什-1=0的公共弦所在的直线恒过定点”，且点用在

直线/nx+〃y=2上，则机2+1的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空

气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，次日

(1)求此人到达当日该市空气重度污染的概率；

(2)求此人在该市停留期间恰有1天空气重度污染的概率.

18.直线/过点P(3,2)且与x轴、丫轴正半轴分别交于A、B两点.

⑴若直线与直线2x+3y-2=0的法向量平行，求直线/的方程；

⑵如图，若AP=2P8,过点户作平行于x轴的直线交V轴于点M，动点E、尸分别在线段"尸和04上,

若直线EF平分直角梯形OAPW的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标.

19.已知锐角二W的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.且2asin(c+t)=b+c.

⑴求角A；

(2)若c=l,求ABC面积的取值范围.

20.如图，在四棱台ABCD-A冉GR中，平面ABCD,四边形A88为菱形，

ZABC=60,AB=2A4,=24百.

3

⑵点M是棱8c上靠近点C的三等分点，求二面角M-AD.-D的余弦值.

21.已知圆。:/+丁=4,过点P(-2夜,0)的直线/与圆。相交于不重合的A,5两点，。是坐标原点,

(2)A3。的面积为S,求S的最大值，并求取得最大值时Z的值.

22.已知函数/(》)=,-1-%2+奴(”eR,a为常数).

⑴若函数y=/(x)有3个零点，求实数。的取值范围；

(2)记g(x)="^,若y=g(x)与y=2在(0,+oo)有两个互异的交点片,三，且%，求证：4々-3%<4-2.

x

1.C

【分析】先求出集合A,再根据补集的定义即可得解.

【详解】由(x+2)(x—1)40,得—2«xG,则/1={-2,—1,0,1},

又因为17={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以电4={-3,2,3}.

故选：C.

2.B

【分析】根据复数的几何含义以及复数模长的定义计算即可.

【详解】因为复数z所对应的点为(-2,-1),所以z=—2-i,

所以z+i=-2，

所以.

故选：B.

3.C

【分析】根据给定条件，求出该正方体的内切球的体积即可作答.

4

【详解】棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，当磨成的球是这个正方体的内切球时，球体零件

体积最大，

此时球体的半径为「=1，球体的体积为孚，3="xd)3=J.

23326

故选：C

4.A

【分析】根据题意，由平面向量垂直的坐标表示即可求得九

、1..

【详解】由4=(1,1),6=(2,-1),可得而+»=(2+4,--2),a-b=(-l,2),

因为("+2〃)“”一人)，所以(/l+4)x(-l)+U-2)x2=0,解得；1=8.

故选：A.

5.D

【分析】根据空间向量线性运算及空间向量基本定理求出了、>、z,即可得解.

【详解】因为EC=2P£,所以PE=；PC,

所以AE=AP+PE=AP+-PC=AP+-(AC-AP)=—AP+-AC

33、'33

=-AP+-(AB+AD\=-AB+-AD+-AP,

33、>333

又A£=xAB+yAD+zAP,

1

x=-

3

14

所以<>=§,则x+y+z=§.

2

z=­

[3

故选：D.

6.B

【分析1根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解.

【详解】若|x+2y+2|+|x+2yT卜同1+々+，+卜+2刃］为定值,

即点尸(x»)到直线x+2y+2=0,x+2y-l=0两条直线距离之和为定值，

显然，这两条直线平行，如图，

5

所以当点P（x,y）在与这两条直线平行的直线上时，此时直线以+外+c=0满足必*0且b=2a,

即b=2a,且aHO,〃wO,|x+2y+2]+|x+2y-为定值，

所以"b=2a”是"|x+2y+2|+|x+2y-l|为定值”的必要不充分条件.

故选：B

7.A

【分析】将圆的方程化为标准式，记点尸（0,-2）,求出|「。，在RlP8C中，计算出sin”的值，再利用

二倍角的余弦公式可求得cosa的值.

【详解】圆x2+y、2x-l=0可化为（x-iy+y2=2,则圆心C（l,0）,半径为

设尸（0,—2）,切线为R4、PB,则|PC|="71=。，

在Rt..PBC中，sin£=H=得，所以cosa=l-2sin23=l-2x(W)=：

故选：A.

8.B

【解析】分0<awg、g<a<l、。=1、”>1四种情况讨论，分析函数“力在区间（9[]和仕内）上的

单调性，结合题可得出关于实数“的不等式组，进而可求得实数”的取值范围.

【详解】①当0<a《g时，二次函数/（力=加一》的对称轴为直线x=521,

此时函数/（x）在区间（9,1]上单调递减，此时“X）2”1）=a-1,

函数/"）=优-'—I在区间（1,.）上单调递减，此时，-l</（x）<0,

6

若使得函数=有最小值，则”1V-1,解得440,不合乎题意;

②当;<a<1时，二次函数f（x）=ax2-x的对称轴为直线x=2<1，

函数〃x）=a，T_i在区间0,+8）上单调递减，此时，_1</（%）<0,

若使得函数"X）=最小值，则-;4-1,解得0<。4，不合乎题意;

a-l,x>l4a4

③当a=l时，函数/（力=12_九=（尤_3）

则函数“X）在区间（3』上的最小值为/&）=-；,

当X€（l,+oo）时，/（X）=O.

此时，函数/（力=卜:一:，:1有最小值，合乎题意；

[a-l,x>1

④当a>1时，二次函数/（x）=cvc-x的对称轴为直线x=；<1,

函数〃x）=a*T_i在区间0,y）上单调递增,此时兴力>0,

若使得函数〃X）=有最小值，则-；40,解得a>0,此时a>l.

[a-l,x>l4a

综上所述，实数。的取值范围是[I,—）.

故选：B.

【点睛】本题考查利用分段函数存在最小值求参数的取值范围，分析每支函数的单调性是解题的关键，

考查计算能力，属于中等题.

9.AC

【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】X,>'是正数，2=x+yN2而，当且仅当x=y时取等号，此时孙VI,故A正确；

2'+2y>2\l2x-2y=2>/2^=4>当且仅当x=〉=l时取等号，.•.2,+2,有最小值4,故B错误；

因为（6+4）2=x+y+2而42（x+y）=4,则4+4«2,当且仅当x=y=1时取等号，故C正确;

7

14(x+y)=J5+上+竺9

对于D,1+1当且仅当y=2x时取等号，故

xyy)Xy.

D错误.

故选：AC.

10.ACD

【分析】根据频率分布直方图，小矩形面积之和为1可判断A；利用众数的定义可判断B；根据百分位

数计算公式可判断C；利用平均数的计算公式可判断D.

【详解】对于A,根据频率分布直方图可知，(0.010+0.015+0.040+4+0.005)x10=1,解得〃=0.030,

故A正确；

对于B,众数的估计值为75,故B错误；

对于C,前三组数据的频率之和为(0.010+0.015+0.040)x10=0.65,

前四组数据的频率之和为(0.010+0.015+0.040+0.030)x!0=0.95,

则设第71百分位数是(80,90),

所以0.65+(x-80)x0.030=0.71,解得x=82,所以第71百分位数是82,故C正确；

对于D,由频率分布直方图估计平均数为

0.010x10x55+0.015x10x65+0.040x10x75+0.030x10x85+0.005x10x95=75.5,故D正确.

故选：ACD.

11.BD

【分析】讨论机=0和〃z/0时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断

B的正误；将方程化为(》-1)-他()」1)=0判断直线过定点，判断C的正误.

【详解】当〃?=0时，直线/:x=l,斜率不存在，

当加工0时，直线/的斜率为工，不可能等于0,故A选项错误；

m

•..直线/与>轴的夹角角为30。，

直线/的倾斜角为60。或120°,而直线/的斜率为上，

m

**•—=tan60°=或一=tan120°=—\[3,m=,故B选项正确；

mm33

直线/的方程可化为(％-1)-机(y-1)=0,所以直线/过定点(1,1),故c选项错误；

当〃2=0时，直线/：x=i,在y轴上的截距不存在，

m—1

当加wO时，令x=0,得丁=----,令y=o,得元=1一m，

m

ni—1

令——=1-777,得加=±1,故D选项正确.

m

8

故选：BD.

12.BC

【分析】根据题意，以A为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，

即可得到结果.

【详解】由题知，在正方体ABCQ-ABCR中，。是棱OR上的动点，

建立以A为原点，分别以A8,AO，44,的方向为》轴、V轴、z轴的正方向的空间直角坐标系A-xyz.

所以A(O,O,1),C(1,1,O),C,(1,1,1),设Q(O,l,a),其中04a41,

所以GQ=(—l,0,a-l),AC=(U,—1)，

-1=2

当即(T,o,a-i)=2(i,i,-i),所以，0=4,显然方程组无解,

a—\——A.

所以不存在2使得GQ=%AC，即不存在点。，使得GQ〃AC,故A项错误;

当GQ-AC=—1+0+1-〃=0时，解得。=0,故B项正确；

因为4Q=(0,l,a-D，其中0Va<l，

所以点。到AC的距离为JAQ(-爷芾

2("W)+[J变必]，故C项正确：

e|_V,3-

因为〃)，04=(0，-1，1一4)，其中04a41，

所以cos(QC,%=当当=_十=」“丁”40,

|QC||QA|JI+二•JI+(J)2Vi+a2•J[+(]-a)2

所以三角形ACQ为直角三角形或钝角三角形，故D项错误.

故选：BC.

13.25/3

9

【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.

【详解】由圆C:（x—3y+（y+4）2=5,可得圆心坐标为C（3,-4）,半径为逐,

又由圆心C到直线/x+y-1=0的距离为d=B[O,

VI2+12

根据圆的弦长公式，可得|明=277彳=2月历=2出.

故答案为：26

14.右（或左）—（或巴+2E,ZeZ中的任何一个值）（或一-（或一-+2kit,ZeZ中

6666

的任何一个值））

【分析】首先变形＞=8$]=$山1+5）,sgy=cosx=sinfx-y\再根据平移规律，即可求解.

【详解】函数y=cosx=sin[x+]J,而丫=$山(、+]]=$布(光+5-已

IT1T

所以y=cosx的图象向右平移个单位长度，或是向右平移w+2E,keZ中的任何一个值，即可得到

66

函数y=sin(x+^J的图象.

或是y=cosx=sin1-g),y=sinLr+^j=sin3兀117T

X------+------

26

所以y=cosx的图象向左平移詈个单位长度，或是向左平移子+2E,%eZ中的任何一个值，即可得

66

到函数丫=5泊[+1]的图象.

故答案为：右；y（或J+2E,keZ中的任何一个值）；或左；坐（或坐+2E,ZeZ中的任何

6666

一个值）

15.3

33

【分析】作出辅助线，得到乙BMO为异面直线R4和则所成的角或其补角，根据边长求出4欣阳=90。，

求出cosNBMO=Q2=立，得到答案.

BM3

【详解】如图，连接AC,8。相交于。，连接。河，则。为AC的中点，

10

又M为PC的中点，所以OM〃AP,

所以N8MO为异面直线期和所成的角或其补角.

又；PCB为等边三角形，且边长为1,故8知=且，

2

又OM=《PA=:，OB=-BD=—,所以8河2=0〃2+082,

2222

1

所以ZMOB=90。，所以8$/8河。=器=}=坐.

BMV33

T

异面直线PA和BM所成的角的余弦值为且.

3

故答案为：也.

3

4

16.-##0.8

5

【分析】利用圆与圆之间的关系求出公共直线所过的定点，将其代入"犹+胡=2中，用机表示〃，代入

m2+n2中转化为二次函数求最值.

【详解】由圆&：炉+y2一履一y=。和圆C2+y2—2心，-1=0,

可得圆C1和。2的公共弦所在的直线方程为Mx-2y)+(y-1)=0,

[x-2y=0(x=2/、

联立《7=0,解得|),=1，即点"(2,1),

又因为点M在直线/必+〃y=2上，即2m+〃=2,

所以〃=2-2加，

所以＞+n2=nr+(2-2nt)2=5m2-8w+4=5(7n-^)2,

44

当加=]取等号，所以加2+"的最小值为；

4

故答案为：—

11

【分析】（1）根据空气质量指数趋势图，明确空气质量重度污染的天数，根据古典概型的概率公式，即

可求得答案.

（2）明确此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的事件等价于此人在4日或5日或7日或8日到达,

由此可求得答案.

【详解】（1）由图看出，1日至13日这13天的时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共2天，

2

故此人到达当日该市空气重度污染的概率为5.

（2）此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况为（86,25）,（25,57）,（57,143）,（143,220）,

（220,160）,（160,40）,（40,217）,（217,160）,（160,121）,（121,158）,（158,86）,（86,79）,（79,37）,共

13种情况，

其中只有1天空气重度污染的是（143,220）,（220,160）,（40,217）,（217,160）,共4种情况，

4

故此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为

18.（l）3x-2y—5=0（2）证明见解析，（3,1）.

【分析】（1）由题设直线/：3x—2y+C=0,代入点尸（3,2）求出C,即可得解；

（2）设A（“,0）,8（0,b）,根据AP=2P8求出。、b,从而求出直角梯形Q4P”的面积，设E（〃?,2）,

F（n,0）,依题意可得〃?+〃=6,当，"K〃时，求出直线EF的方程，即可求出直线EF过定点坐标，当

加=〃=3时，也可得到直线EF过定点.

【详解】（1）由题设直线/：3x-2y+C=0,将点（3,2）代入得9一4+。=0,

解得C=-5,故直线/：3x-2y-5=0.

（2）因为A因=2尸8,设4（”,0）,8（0,6）,由尸（3,2）,AP=（3-a,2）,PB=（-3,b-2）,

即有（3—a,2）=2（-3,b—2）,

可得a=9,b=3,M（0,2）,\OM\=2,\PM\=3,

梯形AQW尸的面积为gx2x（3+9）=12,由题意可得梯形尸的面积为6,

设后（见2）,F（A?,0）,可得gx2（加+〃）=6,即m+九=6,

2

当加片〃时，直线EF的方程为＞=----（x-〃），

m-n

将〃=6—机代入上式可得2m（＞—1）一（2x+6y-12）=0.

—]=0（x—3

由1:s八，解得一丁则直线政经过定点（3,»

[6y+2x-12=0Iy=1

12

当机="=3时，石厂的方程为％=3,口过点（3,1）,综上所述直线收过定点（3,1）.

19.⑴AJ(2)

8，

【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后结合三角恒等变换运算求解;

（2）根据题意利用正弦定理和面积公式，并结合三角恒等变换可得SvA3C=,求角。的范

围，结合tan。的范围运算求解.

【详解】(1)因为2asin(C+t)="c,

可得a(cosC+GsinC)=Z?+c,

由正弦定理得sinA^cosC+\/3sinCj=sinB+sinC,

又因为sinB=sin(A+C)=sin4cosc+cosAsinC,

可得VisirtAsinC=sinCcosA+sinC,

且Cc%，则sinC>0,可得及inA二cosA+1，则sin（A-已1=；,

71兀兀

又因为贝,可得A-F=F，所以A=9

66?3663

（2）由正弦定理名=—彳，可得6=驾

sinnsinCsmC

jit-C

则."C面积」㈤田旦型二3二

VAK24sinC4sinC

1•.G

—sinCr+——cosCr

622

=----X

4sinC

0<C<-

27TIT

因为ABC为锐角三角形，故解得

八r127r/«,Tt

0<B=------C<—o2

32

所以tanC>立，则0<6

3<f2，

所以S八叱的取值范围为

20.（1）证明见解析（2）噤

13

【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，结合菱形对角线互相垂直，得到线面垂直，证明出结论;

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小.

【详解】（1）四棱台ABCO-A4CQ中，4A，CG延长后交于一点，故A,C,C「A共面，

因为_L平面A8Cr）,8Du平面故

连接AC,AG，因为底面四边形A8CO为菱形，故AC180,

因为A41cAC=A,A%,ACu平面ACC,A,,

故Ml平面ACCH，

因为CGu平面ACGA,

所以BOLCG；

（2）过点A作8C的垂线交BC与N点，以AN作为x轴，以A。,A4,分别为>轴，z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，

不妨设AA=1,贝IjA8=2AA,=2ABi=2,

由于ZA8C=60,故BN=1,AN=6,

4I

由于点M是棱8c上靠近点C的三等分点，故

33

则A（0,0,0）,Q（0,1,1）,0（0,2,0）,M

则AR=（O,l』）,AM=,AZ）=（O,2,O）,

AD、­/?=（0,l,l）（6Z,Z?,c）=Z?+c=0

记平面AM。的法向量为”=（S,c）,则，玛=总+60,

令b=l,则。=一^^，-1,即n=

平面A。乌的法向量可取为〃2=（1,0,0）,

14

则|cos(”,a)卜

故二面角〃»i的余弦值为第

由图知二面角M-AD.-D为锐二面角,

取得最大值时k=±3

21.(l)(-l,0)U(0,l)(2)S的最大值为2,

3

【分析】（1）根据题意，设直线/的方程：y=k（x+2夜），可以考虑求得圆心到直线的距离，然后由

直线与圆相交列出不等式，或者联立直线与圆的方程，结合韦达定理列出不等式，即可得到结果；

（2）根据题意，分别结合弦长公式与点到直线的距离公式，表示出A3。的面积，结合函数的最值即可

得到结果.

【详解】（1）解法一；设直线/的斜率为左，则直线/的方程：y=%1+2血卜

由题意知：圆心到直线的距离1=驶出，

“2+1

因为直线/与圆。相交于不重合的A8两点，且A6,。三点构成三角形，

所以得〈I解得一1<%<1且ZNO,

所以左的取值范围为（T0）U（0,l）.

解法二：设直线/的斜率为上,则直线/的方程：y=k（x+141）,

联立,=小+2闾

化简得:伊+1b2+4限「+8左2-4=0.

x2+y2=4

A=32k4-4(Jl2+l)(8)t2-4)=16-16A:2>0,得一1〈左<1,

因为A8,。三点构成三角形，所以女二0,

所以左的取值范围为（T,0）U（0,l）.

（2）直线/:尸％1+2夜），即依-y+2扬:=0,

点。到直线/距离：4=留&,

^/F7T

所以|AB|=2j22-7=2",4

15

所以S=3ABM=，X4\^^>=4忘#k<1且左二。).

2112Yi+二7F7Ii+公

设％2+l=f(l</<2),则公=-1，

所以S=4夜.卫孚巨=40.产字巨=4夜•何3m.

所以当L即即人士且时，5nm=2.

t433

所以S的最大值为2,取得最大值时k=±且.

3

22.(1)—1<"