河北省石家庄市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题

石家庄市2021〜2022学年度第一学期期末教学质量检测

高一数学

（时长120分钟，满分150分）

一，选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出地四个选项中，只有一项是

符合题目要求地.

1.已知集合/=1|/一16<0},8={—5,0,1},则（）

A.AQB=0B.8口/C./口8={01}D.

【结果】C

【思路】

【思路】利用一圆二次不等式地解法化简集合A,再依据集合地基本运算进行求解即可.

【详解】因为4={X|X2—16<0}={X|—4<X<4},5={-5,0,1）,

所以〃口8={0,1},

故选C.

【点睛】研究集合问题，一定要抓住圆素,看圆素应满足地属性.研究两集合地关系时,关键是将两集合地关

系转化为圆素间地关系.

2.若募函数y=〃x）地图象经过点（2,、回），则/（3）=

1L

A-B.百C.3D.9

.3

【结果】B

【思路】

【思路】利用待定系数法求出基函数y=/（x）地思路式,再计算/（3）地值.

【详解】设基函数y=/（x）=",

其图象经过点（2,、万），

解得a=1,

2

.V（x）=/=4,

=3

故选民

【点睛】本题考查了幕函数地定义与应用问题,是基础题.

3.祖晒原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积地著名命题.内容为：“累势既同，则积不容异”."累”是截面

积，“势”是几何体地高.意思是两个等高地几何体,如在等高处地截面积相等，体积相等.设48为两个等

高地几何体,p：A,5地体积相等,/A,8在同一高处地截面积相等.依据祖眶原理可知,p是q地

()

A.充分必要款件B.充分不必要款件

C.必要不充分款件D.既不充分也不必要款件

【结果】C

【思路】

【思路】依据P与夕地推出关系判断

【详解】已知4B为两个等高地几何体，由祖眶原理知q二?，而。不能推出巩可举反例,两个相同地圆

锥，一个正置,一个倒置,此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处地截面积不相等,则P是9地必要

不充分款件

故选：C

【结果】A

【思路】

【思路】由题意首先确定函数地奇偶性，然后考查函数在特殊点地函数值排除错误选项即可确定函数地图

象.

【详解】由函数地思路式可得：/（-工户百力二一八》「则函数/^^^奇函数淇图象有关坐标原点对

称，选项CD错误。

4

当x=l时,歹=——=2>0,选项8错误.

1+1

故选：A.

【点睛】函数图象地识辨可从以下方面入手：（1）从函数地定义域，判断图象地左右位置。从函数地值域，判

断图象地上下位置.（2）从函数地单调性,判断图象地变化趋势.（3）从函数地奇偶性，判断图象地对称性.（4）

从函数地特征点，排除不合要求地图象.利用上述方式排除，筛选选项.

5.设a=log3（）.4,6=log23,贝ij（）

A.ab>0S.a+b>0B.ab<0S.a+b>0

C.ah>0S.a+b<0D.ab<0且a+b<0

【结果】B

【思路】

【思路】容易得出一l<log3（）.4<0,log23>l,即得出—1<。<0,6>1,从而得出ab<0,a+b〉O.

【详解】•••!<0.4<1,.-.-1<10830.4<0.

又log23〉1,即一1<。<0,b〉l,

:.ah<0,a+b>0.

故选B.

【点睛】本题考查对数函数单调性地应用，求解时注意总结规律，即对数地底数和真数同时大于1或同时大

于0小于1,函数值大于0。若一个大于1,另一个大于0小于1,函数值小于0.

6.某食品地保鲜时长y（单位：小时）与储存温度X（单位：°C）满足函数关系丁=心田（e为自然对

数地底数，k,b为、常数）若该食品在HC地保鲜时长是384小时，在22℃地保鲜时长是24小时,则该食品

在33。。地保险时长是（）小时

A.6B.12C.18D.24

【结果】A

【思路】

【思路】先阅读题意，再结合指数地运算即可得解.

2411

【详解】解：由题意有e"=384,e22"=24,则e?2"=——=」_,即斓*=一,

384164

}3k+b22k+b

则e=ex/"=24x1=6,

4

即该食品在33°C地保险时长是6小时，

故选A.

【点睛】本题考查了指数基地运算，重点考查了解决实际问题地能力，属基础题.

7.黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在三角形中，底与腰之比为黄金分割比地三角形被称作黄金

三角形，被认为是最美地三角形,它是两底角为72。地等腰三角形.达•芬奇地名作《蒙娜丽莎》中,在整个

画面里形成了一个黄金三角形.如图,在黄金三角形Z8C中，生=1二1,依据这些信息，可得sin54。=

AC2

()

A275-1RV5+1

44

C-+4D亚+3

'8,8

【结果】B

【思路】

【思路】由题意cos72。=避二1,结合二倍角余弦公式，平方关系求得COS36*正聚，再依据诱导公式

44

即可求sin54°.

【详解1由题设，可得cos720=1-2sin236°=叵。,cos236°+sin236°=1,

4

所以COS236O=5+3,又cos36°£

82

所以cos36°=cos(90°-54°)=sin54°=^+1

4

故选：B

[X+]Y<0

8.己知函数="，若存在不相等地实数。，4c,d满足|/(a)|=|/(b)|=|/(c)|=|/(*,

lgx,x>0

则a+b+c+d地取值范围为（）

-喘

A.(0,+oo)B.

C-瑞81

D.0,——

I10

【结果】C

【思路】

【思路】将问题转化为》=m与I/（x）I图象地四个交点横坐标之和地范围,应用数形结合思想,结合对数函

数地性质求目标式地范围.

【详解】由题设,将问题转化为V=〃，与|/（x）|的图象有四个交点,

2

X

|/«|=5+I,-2<xW0,则在（一%-2］上递减且值域为［0,+8）。在（-2,0］上递增且值域为（0』〉在

-lgx,0<x<1

lgx,x>1

（0,1］上递减且值域为［0,+8），在（1,+00）上递增且值域为（0,+8）。

|/（x）|地图象如下:

所以0〈机W1时，y=加与|/(x)|地图象有四个交点,不妨假设"C<c<d,

由图及函数性质知：—444<一2<6《0<焉4。<1<1410,易知：a+b=—4,c+dw(2,牛],

所以a+b+c+de(-2,—]

10

故选：C

二，多项选择题：本大题共4小题,每小题5分，共20分，在每个小题给出地选项中，有多项

符合题目要求,全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分.

9.下面结论中，正确地是()

A.函数歹=21是指数函数

B.函数^="2+1(。〉1)地值域是口,+8)

C.若a"'>a"(a>0,”工1)，则m>n

D.函数/(x)=ax-2-3(a>0,a^1)地图像必过定点(2,-2)

【结果】BD

【思路】

【思路】

对每一个选项进行逐一判断其真假，得出结果.

【详解】选项A.依据指数函数地定义，可得》=2*T不是指数函数，故A错误.

选项B.当。>1时,^=4r+1»1,故B正确.

选项C.当0<”1时，函数^=优单调递减，由优"〉优,则俄〈〃，故C错误.

选项D.由/(2)=a2-2-3=—2,可得/(x)地图象恒过点(2,-2)，故D正确.

故选：BD

【点睛】本题考查命题真假地判断，考查指数函数地定义，单调性以及图象过定点地应用,属于基础题.

10.若〉(；)，则下面关系式中一定成立地是()

h

A.如〉蛎B.<e("2.718)

C.(sin。+cos。)“<(sin6+cos。)"(6是第一象限角)D.ln(/+l)<ln©+l)

【结果】BC

【思路】

【思路】

由已知得4<仇依据各选项对应函数地单调性判断大小即可.

【详解】由［g)>W知：a<b,

•••也〈扬，e"</,即A错误,B正确。

sin6+cos。=>/2sin(^+—)Ji—<^+—<——，即1<sin6+cos。VV2，则有

4444

(sin6+cos。)“<(sine+cos。)”,故C正确。

in(«2+l),ln(62+1)地大小不确定，故D错误.

故选：BC

【点睛】思路点睛：注意各选项函数地形式,依据对应函数地单调性比较大小.

1

I,如：小，产单调增函数。

2,对于sinO+cos。,依据6所在象限确定其范围即可应用优地单调性判断大小。

3,由于a<6无法确定a2+\,b2+l地大小,In(/+1),M(〃+1)地大小也无法确定.

3

11.已知函数/(x)=2'+x,g(x)=log2x+x,/?(x)=x+x地零点分别为°,6,c,以下表达正确地是

()

A.B.l<b<2

C.h<c<aD.a+b+c=0

【结果】AD

【思路】

【思路】将问题转化为歹=一％与丁=21^=log2x,y=V地交点横坐标范围及数量关系，应用数形结

合思想，及指对基函数地性质判断a,h,c地范围.

a3

【详解】由题设,2=-a,\og2b=-b,c=-c,

所以，问题可转化为歹=一彳与y=2、，y=log2X,y=/地交点问题，函数图象如下:

由图及y=2",y=log2X对称性知：a+b=O,c=O,且一1<。<。=0<6<1,

所以A,D正确,B,C错误.

故选：AD

12.已知定义在R上地函数/(x)地图象连续不断,若存在常数彳UeR)，使得〃x+/)+"(x)=0对于任

意地实数x恒成立，则称/(x)是回旋函数.给出下面四个命题中，正确地命题是()

A.函数y(x)=x是回旋函数

B.函数/(x)=a(其中a为常数，4/0)为回旋函数地充要款件是几=-1

C.若函数/(X)=优(0<a<1)为回旋函数,则4<0

D.函数/(X)是4=2地回旋函数,则/(X)在［0,2022］上至少有D11个零点

【结果】BCD

【思路】

【思路1A选项,得到/(X+2)+2/(x)=(l+2)x+2,不存在】(%eR),符合题意。B选项，得到

/'(x+2)+4/(x)=a+/la=(1+%"，从而得到充要款件是A=-loC选项，化简得到/+X=0有解，

则A=—a2<0«D选项，赋值法结合零点存在性定理得到/(x)在区间

(0,2),(2,4),(4,6),(6,8)…(2018,2020)上均至少有一个零点，得到〃x)在［0,2022］上至少有io”个

零点.

【详解】/(x)=x是定义在R上地连续函数,且/(x+/l)+/l/(x)=x+/l+/lx=(l+/l)x+/l,不存在

eR),使得“X+⑷+=0,故A错误。

函数/(x)=a(其中。为常数，a/0)是定义在R上地连续函数,且

/(x+4)+/l/(x)=“+/la=(l+/l)。，当2=-1时，/5+4+/1/卜)=0对于任意地实数“恒成立,若

f(x+2)+V(x)=0对任意实数X恒成立,则(1+2”=0,解得：4=-1,故函数/(x)=a(其中〃为常

数，awO)为回旋函数地充要款件是4=-l,B正确。

/(x)=ax(0<a<1)在R上为连续函数，且/(x+2)+2/(x)=av+,i+Aax=a'+A),要想函数

/(x)="(0<a<1)为回旋函数,则/+2=0有解,则A=-/<0,C正确。

由题意得：/(x+2)+2/(x)=0,令x=0得：/(2)+2/⑼=0,所以/(2)与/(0)异号，即

/(2)・/(0)<0,由零点存在性定理得：/(x)在(0,2)上至少存在一个零点，同理可得：/(x)在区间

(2,4),(4,6),(6,8)…(2018,2020)上均至少有一个零点，所以/(x)在［0,2022］上至少有1011个零点,D

正确.

故选：BCD

三，填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.

71

【结果】-##2-

33

【思路】

【思路】依据分数指数塞，对数运算性质及诱导公式化简即可.

【详解】原式=［(|)3F+(2-，产⑶-COS(万+y)

311

=一+一+一

232

_7

-3

7

故结果为：一

3

37r

14.已知某扇形地半径为3,面积为一，那么该扇形地弧长为

2

【结果】兀

【思路】

【思路】依据扇形面积公式可求得结果.

12［

［详解】设该扇形地弧长为/,由扇形地面积S=—>,可得上=—/X3,解得/=兀.

222

故结果为兀.

【点睛】本题考查了扇形面积公式地应用，考查了学生地计算能力,属于基础题.

15.已知sin(50。-a)=,且—270。<a<-90°,则sin(40。+a)=

【结果】—逑相―2行

33

【思路】

【思路】由40。+a=90°-(50°-a),应用诱导公式,结合已知角地范围及正弦值求cos(50°-a),即可得

解.

【详解】由题设,sin(40°+a)=sin[90°-(50°-a)]=cos(50°-a),

又-270°<a<-90°,BP140°<50°—a<320°，且sin(50°—a)=；,

所以140。<50。一a<180°,故cos(50°-«)=-71-sin2(500-a)=—孚.

故结果为：—迪

3

16.设函数=}+(e为自然对数地底数，〃为常数)，若/(x)为偶函数，则实数”一。若

对VxeR,/(x)2-1恒成立,则实数a地取值范围是.

【结果】①.1②.[；,«»)

【思路】

【思路】第一空依据偶函数地定义求参数，第二空为恒成立问题,参变分离后转化成求函数最值

【详解】由/(-X)=/'(X)，即+a4=二+ae',(a—l)(e'-二)=0有关x恒成立,故a=1

eee

--+aex>-1恒成立,等价于。>—!一二恒成立

eee

令々Ui,y=~t2=一«-!/+!/£(0,+8),用叫，故〃地取值范围是[g,+8)

e2444

故结果为：

四，解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在非空集合①{x|a-l<x<a}，②{x|aWa+2},③卜出<x<4^+^这三个款件中任选一个,

补充在下面问题中，已知集合力=,S={X|X2-4X+3<0}

使“xe4”是“xe8”地充分不必要款件,若问题中。存在,求a地值。若“不存在,请说明理由.(假如选择

多个款件分别解答,按第一个解答计分）.

【结果】结果见思路

【思路】

【思路】由题设可得4不为空集，3=卜|14x43},依据所选地款件，结合充分不必要关系判断48地包

含关系,进而列不等式组求参数范围.

【详解】由题意知,/不为空集，5={X|X2-4X+3<0}={X|1<X<3}.

i.假如选①A={x|a-14x<a},因为“xeN”是“xeB”地充分不必要款件，

所以才是8地真子集，则〈、，解得2<a<3,

a<5

所以实数a地取值范围是[2,3]。

ii.假如选②A={x[a<x<a+2],因为“xe是“xe6”地充分不必要款件,

a>1

所以Z是3地真子集，则〈日」此时4=6,

a4-2<3

所以不存在a使“x£4”是“x£8”的充分不必要款件。

iii.假如选③4=卜出"《后+3},因为“X"”是“xe8”地充分不必要款件

’了，解得]a>1

所以才是8地真子集,则〈心0,此时无解.

Ja+3<3

不存在a使“x£4”是“xw"'地充分不必要款件.

一」71冗.1

18.已知---<x<—,sinx+cosx——.

225

⑴求s•mx3sx+s】♦n2r地值

1+tanx

⑵求sinx—cosx地值.

127

【结果】（1）一一（2）一一

255

【思路】

[qinr・CCWY-I-qin2Y

【思路】（1）由sinx+cosx==两边平方可得sinxcosx,利用同角关系s十母。大=sinxcosx。

51+tanx

（2）由（1）可知cosx>0,sinx<0,从而sinx-cosx=-J1-2sinxcosx.

【详解】(I)；sinx+cosx=；.

，寸1.12

.1.1+2sinxcosx=一，即Hnsinxcosx=---

2525

sinx-cosx+sin2x_sinx(cosx+sinx)

1+tanx।+sinx,

cosx

sinxcosx(cosx+sinx)12

=-------------------=sinxcosx=----

sinx+cosx25

,,1271Tl

(2)由(1)知sinxcosx=---VO,又---<x<一

2522

•••cosx>0,sinx<0,

sinx-cosx=-^(sinx-cosx)2=-V1-2sinxcosx=

【点睛】本题考查三角函数化简求值,涉及同角三角函数基本关系和整体代入地思想,属于中档题.

19.已知函数/(x)=x?+2ox-b.

(1)若|=3/，求不等式地解集。

(2)若。>0力>0,且/(b)=b2+b+a+l,求6地最小值.

7

【结果】(1)结果不唯一，具体见思路(2)-

2

【思路】

【思路】(1)由/(x)=(x+3a)(x-a)<0,对。分类讨论,判断一3。与«地大小,确定不等式地解集.

(2)利用/(b)=〃+b+a+1把b用。表示，代入a+b表示为。地函数,利用基本不等式可求.

【详解】解：⑴因为6=3/,所以/'为)=人+26-3a2,

由/(x)W0,得J+Zax—3/<0,即(x+3a)(x—a)<0,

当a=0时,不等式/(x)<0地解集为｛x|x=0｝。

当a>0时,不等式/(x)<0地解集为卜|—3a<x<a｝。

当a<0时,不等式/(x)<0地解集为卜\a<x<—3a｝。

(2)因为/(b)=〃+2ab—b,由已知/(b)=/+b+a+l,

可得2"—a—2b—1=0,

a>0,b>0：.a>l,b>~,

2

,11,,L+，2+37

:.b——=----,a+b=。-1+-

2a-\(a-\222

3

当且仅当a=2,b=一时取等号,

2

7

所以a+b的最小值为一.

2

【点睛】本题考查一圆二次不等式地解法,基本不等式地应用，考查分类讨论地思想,运算求解能力,属于中

档题.

20.已知函数/(x)=2sinxcosx+2Gcos2x-

(1)求函数/(x)地最小正周期和单调递减区间。

(2)将函数/(x)地图像向左平移抵单位长度,再将所得图像上各点地横坐标缩短为原来地;，纵坐标不

O2

jrjr、

上地值域.

(12o)

jr77r

【结果】(1)最小正周期为〃，单调递减区间为^+―+，左eZ。

(2)(-1,2].

【思路】

【思路】(1)利用二倍角正余弦公式及辅助角公式可得/(x)=2sin12x+?J,再依据正弦型函数地性质

求最小正周期和递减区间.

(2)由⑴及图象平移有g(x)=2sin14x+笄

,应用整体法及正弦函数地性质求区间值域.

【小问1详解】

由题设，/(x)=sin2x+V3cos2x=2sinf2x+yj,

所以/(x)地最小正周期为4，

令2k兀+—<2x+—<—+2k兀，左eZ,解得k7r+—<x<—+k/r,k&Z,

2321212

因此，函数/(x)地单调递减区间为k兀+夫夺k兀,keZ.

【小问2详解】

由⑴知，/(x)=2sin[2x+^J,

将函数＞=/(x)地图象向左平移聿个单位长度,可得歹=2sin(2x+夸)地图象，

再将所得图象上各点地横坐标缩短为原来地g,纵坐标不变,得到y=g(x)=2sin14x+斗[地图象,

(7tJt\.2兀(兀1兀、

,/XG---则4x+—€—,—,

1128J3U6J

sin(4x+夸)e(-g,l，贝i」2sin4x+夸e(-l,2].

Q=g(x)在，强总上地值域为(T，2].

21.已知函数/(x)=£，是定义在上地奇函数，且=

(1)求函数/(x)地思路式。

(2)判断函数/(x)在(-1/)上地单调性,并用定义证明。

(3)解有关/地不等式：/卜+5)+/[/一]]＜°.

【结果】(1)/(%)=--，，

X+1

(2)函数/(x)在上是增函数,证明见思路。

⑶eq

【思路】

【思路】(1)依据奇函数地定义可求得6地值,再结合已知款件可求得实数4，地值，由此可得出函数/(X)

地思路式。

(2)判断出函数/(X)在(-1,1)上是增函数，任取不，%€(—1,1)且玉＜X2，作差/(七)一/(乙)，因式分

解后判断地符号，即可证得结论成立。

（3）由/（/+；<°得/1+~

+，依据函数/(X)地单调性与定义域可得出有关

实数，地不等式组，由此可解得实数，地取值范围.

【小问1详解】

ax+b

解：因为函数/(x)=是定义在上地奇函数,则/(-X)=-y(x),

X2+1

-ax+bax+hax

即，可得6=0,则/（x）=

X2+1X2+1x2+1

1

一Q

222X

所以，=1a=W，则a=l,因此，〃x）=

IPX2+1

【小问2详解】

证明：函数/(x)在上是增函数，证明如下:

任取…月川)且…，则上嵩-母^帝扃

x[x2（x2一%）+（玉-X2）（X]—x2）（l-x,x2）

（x,2+l）（x；+l）（x,+1）（X2+1）,

因为-1<X1<%<1,则X—看<0,-1<1,故/（石）一/（工2）<0,即/（凡）</（》2）.

因此，函数/(x)在(-1,1)上是增函数.

【小问3详解】

解：因为函数/(x)是(-1,1)上地奇函数且为增函数,

由/7+；

+<0得/

11

t+-<——t

22

由已知可得,—1</+不<1,解得—<t<0.

22

,1,

-l<r——<1

2

<0地解集为1—；,0.

因此，不等式/+

22.某自然资源探险组织试图穿越某峡谷,但峡谷内被某致命昆虫所侵扰，为了穿越这个峡谷，该探险组织进

行了详细地调研，若每平方米地昆虫数量记为昆虫密度。，调研发现，在这个峡谷中，昆虫密度C