考研数学重要公式

1.矩阵与其转置矩阵关系：A^=\A\E

0,r(A)<n—1

2.矩阵行列式：4一1=二4’-1

⑷=|A|"(kA)*=HZ*r(A*)=<1,r(A)=n—l

n,r(A)=n

r(AB)<min{r(A),r(B)}

r(A+B)<r(A)+r(B)

3.矩阵与其秩：r(A,B)<r(A)+r(B)

r(A,B)>max(r(A)+r(B))

4.齐次方程组Ax=0：非0解O线性相关O7?(A)=n

5.非齐次方程组Ax=6有解o尺(4)=尺(彳)0线性表出

6.相似与合同：相似一n阶可逆矩阵A,B如果存在可逆矩阵P使得尸一14。=3则A与B相

似，记作：A~B；合同一A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C使得3=C「AC则称A

与B合同。(等价，A与B等价一A与B能相互线性表出。)

7,特征值与特征向量：Aa=Aa,求解过程：求行列式正归-旬=0中参数%即为特征

值，再求解(4石-A)x=0即可求出对应的特征向量。矩阵A的特征值与A的主对角元及

nn、

=\a.«

行列式之间有以下关系：111"L上式中tra(A)=£4.称为矩阵的迹。

4办.口=闻汩

8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A的互异特征值对应的特征向

量线性无关；若n阶矩阵的特征值都是单特征根，则A能与对角矩阵相似；n阶矩阵A与

对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个左重特征根,齐次方程组(2,.E-A)x=0的

基础解析由匕个解向量组成即对应每一个左重特征根4R{\E-A)=n-ki.

9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A为一个实对称矩阵，那么对应于A的不同特征值

的特征向量彼此正交。任意n阶实对称矩阵A都存在一个n阶正交矩阵C,使得

C?AC=C-iAC为对称矩阵。

10.施密特正交矩阵化方法：一般地，把线性无关向量组/,用..名化为与之等价的标准正

交向量组的施密特正交过程如下：

A=%

（。2'B\）

A=a、

（A，A）

Q,£2）

83=%

（4，八（四，四）

R_a_（%'）o_（a.,£2）o__（%'Bs-1）R

氏一'—（四,A）4一（四二），一…一（即,4T/T

再令:F"

则%,%…八是一组与%4等价的标准正交向量组。

11.正交矩阵的定义：如果实矩阵A满足：A'A=AAT=E则称A为正交矩阵。

12.设A,B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵C,使得3=CTAC,则称A与B合同。

13用正交变换化二次型为标准型步骤：

a）写出二次型对应的对称矩阵A；

b）求A的特征值4.和特征向量，（—A|=0）%；

c）将特征向量/正交化（实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，多重

特征根在取特征向量时尽量取正交向量，方便计算）、单位化得月

X]]「1

%

尤2

d）令一]…>,C=\J3\,%..G，Y=%则X=cy,是正交变换，且

Xn,

[%」

/（匹,々,=4y；+%£+…+4城=

14.如果任一非零向量X都使得二次型X'AX>0,则称之为正定二次型，对应的矩阵

A为正定矩阵。二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵A的特征值全部为正实数、正惯性指

数是n、矩阵A与E合同、矩阵A的顺序主子式全大于零，且以上条件等价。

概率论与数理统计重要知识点及公式:

1.条件概率：P（A|B）=：凿）如果P（A\B）=P（A）P（B），则A与B独立。

P(ADB)=P(A)+P(B)—P(AcB)

2.常用概率公式：P(A-B)=P(AB)=P(A)-P(AB)(对于给定如：AuB这样的条

p(AB)=P(A|B)P(B)

件，常常通过画图（如下图）来解决，直观明了）

p(AB)=p(B)-p(AB)

p(AB)=p(A)-p(AB)

3.全概率公式：P（A）=Jp（4）P（A|B）

i=l

4.贝叶斯公式：p（4|A）=P（ABi）=〃p（q）p（耳A）（结合条件概率公式和全概率公

P（Si）n

j=i

式推导而出）

5.几个重要分布：

nmn

a）二项分布（n次重复，伯努利类型）：p（A）=C'ln'p（l-p）-

b）泊松分布：二项分布当m,很大，p很小且叩=4时，

储

X〜p[x=k]=—e~A,k=0,1,2...

c)均匀分布：X=<b-a>

Q.otherelse

d)指数分布：/(x)=\'>

0,x<0

1(%*2

e)正态分布：X〜N(U,B2)厅——e

而/3

6.随机变量的数字特征:

A）数学期望：存在前提］：|力（%）办;要绝对可积，那么石（x）=t%Pj,

i=lrz=l

E(x)=[xf(x)dx；

J-00

D(X)=E{(x-E(x))2)

B）方差:

D(X)=E(X2)-E2(%)

E(C)=C

C)期望性质：＜E(cX)=cE(X),X,Y独立则E(xy)=E(X)E(y)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D（C）=0

D）方差性质：\D（cX）=C2D（X），若X,Y相互独立则

D（X±y）=o（x）+D（y）±2cov（x,y）

D(x±y)=D(x)+D(y).o

7.常用分布数字特征：

a)(0,1)分布£(2)=夕;。(2)=夕(1一”)

b)b(n,p)二项分布E(z)="p;Z)(z)=秋(1一夕)

c)泊松分布——”匕石(2)=%。(2)=无

k\

d)均匀分布：U[aME(z)=_,D(z)=(\j;

e)指数分布：＜,,E(z)=；£＞(z)=!；

0,otherelse\2

f)正态分布：N(〃»2),E(Z)=〃,Z)(2)=32;

8.协方差：定义式cov(X,y)=E{[九-E(x)][y-E(y)]}

计算式cov(X,K)=E(xy)-E(x)E(y)

COV

cov(X,Yl+Y2)=(X,X)+cov(X,Y2)

性质：＜cov(aX,6y)=a6cov(X,y)

cov(Z,Z)=D(Z)

9.相关系数：p广：一.广)j区1

孙1D(X)D(Y)11

10.几种特殊函数的分布问题：

a)极值分布Z]=max(X,y),Z2=min(X,F)

FZi(z)=P(max(X,y)<z)=P(X<z,Y<z)

=P(X<z)P(Y<z)=Fx(z)Fy(z)

FZi(z)=P(min(X,y)<z)=1-P(min(X,Y)>z)

=1-P(X>z)P(Y>z)

=p[x<z}][l-p{y<z}]=l-[l-Fy(z)]

b)和的分布：Z=X+Y分分布函数是

Fz(z)=P{X+Y<z}=jj/(x,y)dxdy;

x+y<z

p+oo

X(z)=Jf(x,z-x)dx

J—CD

一般的X与Y相互独立，且X~N(M，5：),y~N(〃2，<g)，则

z=x+y~N（〃i+〃2，%+s；）,其概率密度公式为:

1（%-3+4））2

/（2；〃1+〃2。；+苏）=1七一2（淄+年）

52»。；+量）

c）商的分布Z=%分布函数是:

£(z)=P(ZVz)=||f(x,y)dxdy

x/y<z

<(Z)=J：yf(zy,y)dy—J：yf(zy,y)dy=f(zy,y)dy

11.参数估计：

a）矩估计方法：构造关于参数组成的k阶原地矩与样本k阶原点矩之间的等式关系：

1n

九©0,…e〃）=—解此方程组解为&=a（%,%2,…天）就作为a的矩估

几日

计。

b）极大似然估计方法：基本思想是按照最大可能性的准则进行推断，把己经发生的事

件，看成最可能出现的事件，即认为它具有最大的可能性。

求法，写出最大似然函数，并求最大似然函数的最大值点，一般取最大似然函数的

O1T

对数方便运算，即求解如下的似然方程组旦2—=0次=1,2,3…，加，似然方程组

的解可能不唯一，这时需要微积分知识进一步的判定哪一个是最大值点，若似然函

数关于参数的导数不存在时，就无法得到似然方程组，因此必须回到极大似然股及

的定义式直接求解。

13.矩估计的优良性：若£（0=6则称。是e的无偏估计量，若%%是。的无偏估计量，

且D©）＜。（。2）则称4为。的最小无偏估计量。

14.数理统计概念:灰=空X.（样本均值）

1n―

s2=——y（x,.-x）2（样本方差）

1〃

Ak=-Yx^（样本k阶原点矩）

〃Z=1

1n一

Mk=—£（X「X）k（样本k阶中心矩）

〃/=1

15.三个重要分布：

a）设n个相互独立并且都服从正态分布N（O,1）的随机变量X,,X2,...,X“记

i=\

则称随机变量服从自由度为n的力2分布。对于给定的正数a（O＜a＜l）,称满足关

系式尸（/＞（n））=[7,（x）公=。的数％；（〃）为％2（〃）的上侧临界值或上

侧分位数。

性质：E（/）=〃,£＞（/）=2〃

设Y心相互独立，且乂~/（勺）,乂~%2（%）则有/（%+%）

b）设随机变量X与Y相互独立，X~N（0,l）,y~%2（〃），记

X

T=--则随机变量T服从自由度为n的t分布。

师

C）设随机变量X,Y相互独立，X~%2（勺）,y〜/（小）记/^=犁L则随机变量F服

从第一自由度为々第二自由度为〃2的F分布。

16设X1,X2，...,X〃是正太总体N(〃,筋)的样本，灭,S2分别是样本均值和样本方差，则有

X与S?相互独立，则有

-,川、

X~N(〃,——)

n

~gTS2~/("T)

s/G

一1n1n

E(X)=E(-YXi)=—ZE(XJ=〃

〃9n1

上式中，

一1n1X2

D(X)=。(—XX,)=—D(X,.)=一

ni=inn

17.设X1,X2，...,X“和几A，…，4分别是来自正态总体N(M4),NC4奇)的样本，并

且它们相互独立，无S；,7,S；分别是这两组样本的均值和样本方差，则有：

A)尸=今审~/(勺—1'"2—1)；

B)当3=兹=*时，T=(X—7(2)其中,

鼠尸

S=g—1阔+(%百［。

①y%+%—2

18.已知随机变量X的分布函数F(x),分布函数在x=a处不连续，则

P{X-a}-F(x-d)-limF(x)o(P{x=a}=F(a)-F(a-O))

x-^>(r

19.概率密度函数满足：「"/(x)“c=l,通常用此条件求概率密度函数中的参数值。

J-00

20.多重概率密度函数同样满足：jjf(x,y^dS=1G为积分空间.

G

微积分部分:

1,无穷小与无穷大：当x->0时，有下列等价无穷小

sin%~tan%〜x,arcsin%〜％,arctan无〜％,

y/1+x—1—,1—cosx—%?tanx—sinx—x3,

n22

ln(x+l)〜x,log(l+x),——x,ex-1〜羽优-1〜xlntz;

—flIna

arcsinx-x-----,x-arctanx-----,tanx-x-----,

633

,13

tan%-sin%^-x

2

limf(x)g(x)

2,若limf(x)=0,limg(x)=0则lim[l+/(%)产=2.

x—%—>而％—>与

3.导数概念：/(x0)=lim/(x°+Ax)-KU

微分概念：Ay=/(/+Ax)-/(玉))=AAx+o(Ax)称f(x)在％可微，力=AAx为Ay的

线性主部。切线方程：y—%=/'（%0）（%_、）法线方程：y_%=-、（%_/）

/J（不）

4,极限存在的两个准则：单调有界准则，夹逼准则，两个重要极限。

1，，

（U±V）（X）=W（X）±V（X）

(uv)(X)=u(x)v(x)+u(x)v(x)

U'u(x)v(x)-w(x)v(x)

5.导数的四则运算法则：■

v2(x)

(V"-学V(x)

10:23:04

少说话。多做事

过劳死

6,常用导数和不定积分:

©=0(x")'=〃x"T(ax)=ax\na(a>0,O'=e'

awl)

八、，1

(1呜x)=(-)'=-(sinx)=cosx(cosx)=-sinx

x\naInxx

(tanx)=sec2x(cotx)=-esc2X(secx)=secx»tanx(escx)=

-escx*tanx

/.、,1(arccosx)-(arccotx)=

(arcsmx)=./<1

I(arctanx)=------7__1_

1+X

7i-%2l+x2

对数求导法：y=%sin%(x>0),求y。解：l”=sin%,ln%

(shx)=chx

1.11.

—y=cosxlnx+—smx

y犬

y'=}?/(cosxI1nx+—1si.nx)、

X

1.两边同时取对数2.两边同时求导

(x=x(t)1dv

参数求导法：确定的y=y(x)求竺

[y~y(OJdx

dy=y⑺dy=dydt=dy1=(⑺)二阶号数d2yd办dt

dx九⑺'dxdtdxdxdx%⑺dx2dtdxdx

dt

反函数求导：(")心)=下二，(广，6)|­。=:

/(y)八矶/

高阶导数：

(n)

sin(/1)x=sin(x+cosx=cos(%+吗)[ln(l+x)](n)=(/)(")=(Inn)%”

(_1尸(-I)!

')(i+xr

(%。严=

(xn)(M)=n\

a[a-1)(«-2)...(a-n+l)xa-M1(„)=(-ir«!

xxn+{

基本积分公式:

r1

jOdx=C\xadx=-^—xa+'+C

—dx=lnx+Cx

J1+aJX\adx^—+C

Jln〃

Jexdx=ex+CJcosxdx=sinx+CJsinxdx=—cosx+CJsec2xdx=tanx+C

jsecxtanxdx=

jCSC2Azzx=-cot%jcscxcotxJx=f/1dx=arcsin

secx+C

+C-cscx+C

+c

pl,jtanxdx=jcotxdx=

----dx=arctanxs^cxdx=

J1+x2I

-ln|cosx|+Cln|sinx|+Clnsecx+tanx|

+C+c

Jescxdx=rdxdx

r^^dx

JJ22一f;12

ln|cscx-cotx|+C7a-xJa-xlx±a

.x1ix-a-22

arcsin—+C—In----+CInX+A/X±a+c

alax+a

1.将复杂部分求导

2.主要处理根式部分

3.将复杂部分用新变量t替换

4.分部积分主要处理两类函数乘积的积分

5.有理公式处理真分式积分。

6.万能代换。

7.罗尔定理：/(%)eC[a,/cZXa/)且/(a)=f(b)则3^e(a,b)使得f'©=0

8.看到函数值差，联想单拉格朗日定理/3)-/(a)=f/)(b—a),b>a用于求极限证明不

等式。

9.柯西定理：若f(x),g(x)eC[a,句cZ>(a,ZO且,Vxe(a,b),g(x)90则三1e(a,b)使得

f3)-f(a)/记)

g(b)-g(a)g'C)

10.驻点%,/'(%)=0的点；极值点/(%)，根据实际情况判断，通常看在了。两侧的一

阶导数的正负性有次判断是极大值或极小值；拐点(/,/(%)),拐点二阶导数/(%)=0,

且在与两侧二阶导数异号。

11.累指数函数极限的一般处理方法：山^/二^皿/^二/皿^对于「未定式，一般

j_

limif=lim[(l+ay]m，=elimm，,(tz=M-1)

12.可分离变量微分方程：朱=/(x)g(y)解法J磊=Jf(x)dx

13./依,0)=〃/Qx,/y)令"!有/(%,y)=f(tx,ty)=/(I,马=夕(2)称之为其次方程，

XXX

引入变量1/=上则包="+工生带入方程包=9(2)^u+x—=9(a)两边同时积分求

xdxdxdxxdx

解。

14.一阶线性非齐次方程：包+P(x)y=Q(x)通解为：y=Q(x)e"""+c]

dx

15.伯努利方程：@+P(x)y=Q(x)y",令2=产则半半,即

dxdxdx

y-n@=-^――带入原式得—+(1-n)P(x)z=(1-九)Q(x)。

dx\-ndxdx

16.y"=/(x,y)型高阶微分方程求解：令p=y则原式化为半=/(%,功用上述方法求解

dx

可得y'=(p(x,CJ,于是再积分可得y=，9(x，G)dX+C2

I7.y"=)型高阶微分方程求解：可令y=p(y),则y=与=半=半半=口半

dxdxaydxdx

于是y,=f(y,y)变为=f(y,P)求得通解为P=9(%£)即包=9(y,G)，分离变

aydx

量积分得["y=%+。2。

J

(p(y,C1)

18.二阶常系数齐次线性微分方程解法：y'+py+qy^O(p,q为常数)即

{D-+pD+q)y^Q(D为微分算子)，可得特征方程/++q=0,特征方程的两个根

为u三，分三种情况：

1,22

a)当o?一4q〉0解为y=C^r'x+C^v

b)当°?—4q=0解为y=(G+C^x)en

c)当p?—4q<0,特征方程有一队共轨复根6=«+/,々=£一场,则通解为

ax

y=e(Qcos/3x+C2sinJ3x)

19.二阶线性非齐次线性方程的解法:一般形式y'+0/+qy=/(x)(p、q为常数)

Ax1.几不是对应的齐次方程的特征方程的根，

f(x)=pm(x)e,p(x)是m次多项式

则y*=2(》)/

2.2是单根，则对应的特解为

y=xQm(x)e^

3.2是重根，则对应的特解为

2

/=x2m(%)^

kXx

/(x)=[片(％)coscox+Pnsincox]y*=xe[R?coscox+R：)sincox\,其中

寿)(%),/4)是系数待定的m次多项式，

m=max{/,〃}而k按X+z3不是或是特征

方程的根分别取0或1.

20.多元函数微分：z=/(x,y)在点(%,光)处的全微分dz=A(x0,yQ)dx+B(x0,y0)dy,

,,,,.z、8z.八/、8z.

其中A®,为)=茄1(和强)，3(X0，为)=耳Q,%)。

21.bay)=0,可由包=—”求得导函数，对于尸(x,y,z)=0偏导数可由三=一&,

卜'yX'K'z

bzF

—=——求得。

3yF:

22.空间曲线L的参数方程

L\x=xQ),y=yQ),z=zQ),a<t<b\

曲线上一点z°),则向量s=(九就是曲线L在点M处切线的方

向向量，也称为切向量，于是在M点的切线方程为七血=匕也=三亘，法平面方程

%(幻y(%)z(%)

为x(幻(x-Xo)+y(roXy-yfJ+zGoXz-Zo)：=。。

23.空间曲线由两平面方程确定=°h则可确定曲线L：于是在点

G（x,y,z）=OJ[z=z（x）

Mo处的切向量为S=O''O'Z（》））Mo

24.方向导数:设函数z=/（x,y）在点0（%,%）处可微，则函数在此点处存在沿任一方向的/

的方向导数，则方向导数它=（迓cose+它cos/）晨加，其中cos。,cos尸为/方向上

dldxdy

的方向余弦。

25.梯度：gradf=吗+*,它是一个向量，可将二元函数/（x,y）沿任一方向/的方向

oxdy

导数写成向量内积的形式：^=gradf4=|ga，|cos。，6是/与grad/之间的夹角。

方向导数的最大值为忸“川|=,当。=0,即/的方向就是gm力■的方向

名最大，也就是沿着梯度方向，函数的变化率最大，函数值增长最快。。="时，/取

时,

dl

负梯度方向-grad/时，方向导数达到最小值-旭心力>!=-'（詈V+（为）2也就是沿负梯度

方向函数值减少最快。

26.极值的充分条件：设函数/（x,y）在点（%,为）额某一邻域内具有二阶连续偏导数且有

刀（不，%）=0，{（%，稣）=0,

令令（%为）=令匕（/，%）=%（的%）=B,九5,%）=c，函数在点（%,%）的黑塞

（fa匕、（AB}

矩阵为：Hf（x0,y0）=丫丫=，则有一下结论：

JyyJ（%0，%）'1（%，%）

1）若AC—5?>0,A>0,则为正定矩阵，故/（%,%）为极小值。

2）若AC—8?>0,A<0,则为负定矩阵，故/（%,%）为极大值。

3）若AC-Ivo,则%为不定矩阵，故/（%,%）为不是极值。

27.有界区域上的最大值与最小值：求出/（x,y）在D内所有的驻点和驻点处的函数值，求

出/Xx,y）在边界上的最大（小）值，对比上面求出的函数值，其中最大的就是/（x,y）在

D上的最大值，最小的就是最小值。

28.条件极值和拉格朗日数乘法：u=f(Xl,x2,...,x„)在m个条件

0(X],9,…,X”)=0(，=1,2,…下的极值。求解步骤如下:

a)构造拉格朗日函数：E(x,y,z，4,4)=/(x,y,z)+49i(x,_y,z)+4°2(x，y，z)

b)对F求x,y,z，4,4的偏导数并令其为零，即

工=0

工=0

£=0

.=9i(x,y,z)=0

.=°2(Xy,z)=o

c)求解(xO,%,z°),4,4°

d)根据问题性质判断(%,%,z0)是否为极值点。

29.二重积分的计算，熟悉x型y型积分区域的计算，以及改变积分顺序。

30.极坐标'c°s"＞则ds=也也。，那么=[[/(rcos。,，

y=rsinO««

I'1LtL)

使用时注意积分上下限的变换。

x=rcosO

31.柱坐标下的极坐标变换：＜y=rsin0,dV=rdrdOdz那么

2=2

JJJ/(x,y,z)dV=/(rcos仇rsin6)rdrd6dz

vV

32.球坐标下计算三重积分：0＜夕＜+oo,0＜0〈肛0＜。42万

x二Psin0cos。

<y=2sin/sin。，dV=p1sin(pdpd(pdO

2=pcos(p

则球坐标下三种积分的计算公式为：

JJJ/(x,y,z)dV=jjj/(psincosa「sin。sin6,0cos夕)夕？sincpdpdcpdO

VV

33.曲线的弧长：曲线L：y=y(x),(〃KxKb)弧微分ds="+y'(%)为:,则曲线弧段的长

为s=fJ+y'2(x)dx；曲线参数方程x=xQ),y=y⑺用)，弧微元为

ds=,]x\t)+y\t)dt,s=/Jx2⑺+Y2(M同理，三元函数有

%=r(e)cos。

s=fJx'2⑺+y2⑺+z'2⑺力o平面曲线由[y=r(6)sin。确定，则

ds=⑴⑼+/⑼油=，产(。)+厂2(。)切长度为s=[J/(e)+1⑻de。

34.第一类曲线积分的计算：设函数〃x,y)平面弧线L上连续，L的参数方程为

/X*{a<t</3),贝i|[f(x,y)ds=1y(t)]y[x^)+y\t)dt(a<尸)。

b=xoiJa

35.曲面S的方程为z=z(x,y)在xoy上的投影为与，函数z=z(x,y)在D孙上具有连续的

22

偏导数,则S为光滑曲面，则s=ff1+(—)+(—)dxdy，同理在yoz面上的投影为Dvz,

则有1+(—)~+(—)-dzdy,在zox上的投影为D.则有

dzdy

DK

36.第一类曲面积分的计算:设函数/(x,y,z)在曲面S上连续，S的方程为z=z(x,y),S在

光0y面上的投影区域为。函数z=z(x,y)在£)▽上具有一阶连续偏导数，贝心

U/(x,y,z)dS=jjf[x,y,z(x,y)]+2；(x,y)+zj(x,y)dxdy»

37.第二类曲线积分：

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=jF(x,y)ds={P[x(t),y(t)]x\t)+Qx«),y(t)]y(t)}dt

LL

38.对于y=y(x)计算公式可为

jP(x,y)dx+Q(x,y)dy=/{P[x,y(x)]+Q[x,y(x)]y(x)}dt»应用质点沿着曲线L运动,

在场力E(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q{x,y,z)j+R{x,y,z)k的作用下所做的功为

39.第二类曲面积分：曲面S,曲面面积微兀向量dS=nods

F{x,y,z)=尸(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k则：

jjF(x,y,z)dS=jjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy。

ss

40.第二类曲面积分的计算一一分面投影法：将

JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy的三项分别化在坐标平面

上的二重积分，其中函数尸(羽y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在S上连续，求解步

骤：

1)将被积函数R(x,y,z)中的变量z换为表示曲面的函数z=z(x,y)

确定正负号，曲面S取上侧，即单位法向量々与z轴的正向夹角为锐角，则

取正号，若曲面S取下侧，即单位法向量的与z轴的正向夹角为钝角，则取

负号。

2)对函数R[x,y,z(x,y)]在曲面S的投影区域。灯上计算二重积分。

jjR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy

3)同理：

jjP(x,y,z)dydz=±jjP[x(y,z),y,z]dydz

jjQ(x,y,z)dzdx=±jjQ[x,y(x,z),z]dzdx。

SDa

41.第二类曲面积分的计算一一合一投影法：将第二类曲面积分

jjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy中的三项都化为某一坐标平面上的

s

二重积分。

计算步骤：

1.计算法向量n并确定正负号，若曲面S取上侧，即法向量n与z轴的正向夹角为锐

角时，则取正号；若曲面S取下侧，即单位法向量n与z轴的正向夹角为钝角时，则

取负号。

2.将被积函数B(x,y,z)中的变量在z换为表示曲面的函数z(x,y),并与向量九或一八

做点积。

3.对点积厂•”或/•(-〃)在曲面S的投影区域。皿上计算二重积分。

n=(.-zx,-zy,l)

jjF(x,y,z)dS=jjF[x,y,z(x,y)].[±n(x,y)]dxdy

SDxy

同理，投影到其他平面上有：

jjF(x,y,z)dS=jjF[x,y(z,x),zH±n(z,x)]dxdz,〃=(一%』,一%)

s%

UF(x,y,z)dS=jjF[x(y,z),y,z].[±n(y,z)]dydz,n=(l,-xy,-xz)

D

Szx

42.微积分基本定理的推广：

格林公式：设D是由分段光滑的曲线L围成

1.jj(-^-^-)dxdy=(Pdx+Qdy

的平面单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在

D上具有一阶连续偏导。则有1式。其中Ljj(-^-^)dxdy=(Pdx+Qdy+

是D的取正向的边界曲线。

设D是由分段光滑的曲线4与乙围成的平fPdx+Qdy

JJ'

面复联通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D上

具有一阶连续偏导数，则有2式。其中乙是

D的取正方向的外边界曲线，4是D的取正

向的内边界的曲线。

高斯公式：设空间区域V是由分片光滑的闭

用产dQSR_rrPdydz+Qdxdz

曲面S所围成，函数dxdydz"+Rdxdy

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上具有

一阶连续偏导数则有右式成立，其中S是V

的边界曲面的外侧。

斯托克斯公式：设L为分段光滑的空间有向tr,ORdQ.,,.dPdR、i[.dQdP.,

11(----------)dydz+(----------)dzdx+(-----------)dxdzy

闭曲线，S为以L为边界额分片光滑的有向J?dydzdzdxdxdy

=jPdx+Qdy+Rdz

曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

L

在包含曲面S在内的一个空间区域内有一阶

连续偏导数，则有右式成立，其中，L的方

向与S的侧符合右手规则，即用右手四指表

示L的方向，大拇指的防线与曲面S的侧同

向。

Pdx+Qdy+Rdz=

L

dydzdxdzdxdy

d88

通常写为：JJ

sdxdydz

PQR

cosacos°cos;

ddd

dS

udxdydz

s

PQR

43.曲线积分与路径的无关性：

a)设D为平面上的单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,

则以下四个命题等价：

i.对于D内任一分段光滑的简单闭曲线L有：

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

L

ii.曲线积分，。(无丁)办：+。(元,丁)力的值在口内与路径无关。

L

iii.被积表达式尸(%»)公+Q(x,y)办在D内是某个二元函数"(x,y)的全微分，即

du-P(x,y)dx