2023-2024学年江苏省扬州市高三年级上册期初模拟数学试题（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市高三上学期期初模拟数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列岀的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合2={x|（x+1）（%-2）<0},B=[x\y=V2—x）,则4UB=（）

A.[-1,2）B.[-1,2]C.（-oo,2）D.（-oo,2]

2.在△ABC中，asinA>sinB"是"cosA<cosB”的（）

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.充要条件

3.重庆八中五四颁奖典礼上有力，B,C,D,E,F共6个节日，在排演出顺序时，要求4,B相

邻，C,。不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为（）

A.288种B.144种C.72种D.36种

4.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人

的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽

略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R,酒杯的容积与兀/?3,则其内壁表面积为（）

图1图2

A.12TCR2B.IOTT/?2C.8nR2D.6rcR2

5.己知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是%,空气的温度是然，贝股min后物

体的温度。满足公式。=%+（%-拆）eft（其中卜是一个随着物体与空气的接触状况而定的

正常数）.某天小明同学将温度是80的牛奶放在20空气中，冷却2min后牛奶的温度是50,则下

列说法正确的是（）

A.k=ln2B.k=21n2

C.牛奶的温度降至35还需4minD.牛奶的温度降至35还需2min

6.已知F2分别是椭圆C:^|+，=l（a>b>0）的左，右焦点，M,N是椭圆C上两点，

且丽=2巒，MK-MN=0>则椭圆C的离心率为（）

7.已知sin6+cos(。一弓)=1,则sin(8+铝=.()

8.设函数/(%)=log/9>0,Q。1),若/曇i%2…%2018)=%则f(*)+fQ>+…+

“腐018)的值等于()

A.4B.8C.16D.2log48

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知Q>0,b>0,a+b=1,则下列结论正确的是()

A.a2b+a%?的最大值为"B.+C的最大值为1

C.丝警的最小值为7+473D.』+3的最小值为3

ab2a+ba+2b

10.如图，直四棱柱4BC081cl中，底面4BCO为平行四边形，4B=441=駅。=1,

点P是经过点&的半圆弧&么上的动点(不包括端点)，点Q是经过点。的半圆弧BC上的动点(

不包括端点)，则下列说法正确的是()

A.四面体PBCQ的体积是定值

B.而•中的取值范围是(0,4)

C.若GQ与平面ABCD所成的角为0,则tan。>

D.若三棱锥P-BCQ的外接球表面积为S,贝USe[4TT,137r)

11.若八久)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，且对任意与,皿e[o$],都

有f(Xl+X2)=f(Xl)/(X2)，则下列说法正确的是()

A.f(1)一定为正数

B.2是f(x)的一个周期

C.若f(l)=1,则f(竿)=1

D.若八x)在[0,；]上单调递增，则/(1)中盛

12.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且「(4)=±P⑻=,，P(4+瓦)司，则()

A.P（砲qB.P（B|4）=*

C.P（耳）=P（B\A）D.P（AB+AB）=^

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.方程3sinx=1+cos2x的解集为.

14.若及为等差数列｛%｝的前n项和，且的+as=22,Sn=爪即一2n+2）,则数列｛斯｝的通

项公式是.

15.若函数（0）=5也（3%+骸3>0）在&兀）单调，且在（0（）存在极值点，则3的取值范围

为.

16.在锐角/L4BC中，内角4SC所对的边分别是a,b,c,若C=2B,则］的取值范围是

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

如图，在回ABC中，AB=6,cosb=：,点。在BC边上，AD=4,"DB为锐角.

4

（1）若4C=6/2，求线段DC的长度；

（2）若NB40=2NZMC,求sinC的值.

18.（本小题12.0分）

设数列｛七｝的前几项和为国，且3Sn=4an-2.

（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）设数列％=log2an,对任意mGN.m>1,将数列｛b｝中落入

区间（&n+l-l，%n+2+1］内的项的个数记为｛7｝，记数列｛4｝的前m项和为分，求使得%>

2022的最小整数m.

19.（本小题12。分）

在①4E=2.②4c1BD,③厶E4B=Z.EBA,这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，

并给出解答.如图，在五面体4BCOE中，己知,AC1BC,EO〃4C,且4c=BC=

2ED=2,DC=DB=C.

(1)求证：平面4BE丄与平面力BC；

(2)线段BC上是否存在一点F,使得平面4E尸与平面力BE夹角的余弦值等于风手，若存在，求

43

蓼的值；若不存在，说明理由.

DC

20.(本小题12.0分)

政府举办“全民健身乒乓球比赛”，比赛规则为:每队4人，2男(男1号，男2号)，2女(女1号，

女2号)，比赛时第一局两队男1号进行单打比赛，第二局两队女1号进行单打比赛，第三局两

队各派一名男女运动员参加混双比赛，第四局两队男2号进行单打比赛，第五局两队女2号进

行单打比赛，五局三胜，先胜3局的队获胜，比赛结束.某队中的男甲和男乙两名男队员，在

比赛时，甲单打获胜的概率为|,乙单打获胜的概率为|,若甲排1号，男女混双获胜的概率为

|;若乙排1号，男女混双获胜的概率为白每局比赛相互之间不受影响)

(1)记X表示男甲排1号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，求X的分布列；

(2)若要该队第一局和男女混双这两局比赛获胜局数的数学期望大，甲、乙两人谁排1号？加

以说明.

21.(本小题12.0分)

己知椭圆C:，+，=l(a>b>0)的上顶点为M、右顶点为N.△OMN(点0为坐标原点)的面

积为1,直线y=x被椭圆C所截得的线段长度为罕.

(1)椭圆C的标准方程；

(2)试判断椭圆C内是否存在圆0：/+y2=*①>(J),使得圆。的任意一条切线与椭圆。交于

A,B两点时，满足方.而为定值？若存在，求出圆。的方程；若不存在，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=ln(2x—1)—m(2x—1)4-1,mER.

(1)若曲线y=/(x)在(2/(2))处的切线与直线3x-y+2=0垂直，求函数/(%)的极值;

(2)若函数y=/(x)的图象恒在直线y=1的下方.

①求m的取值范围；

②求证：对任意正整数n>l,都有ln[(2rO!]<丝等.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查函数的定义域及集合的并集，属基础题.

求出集合4B,求并集即可.

【解答】

解：依题意，得A={x|-1<x<2},B={x\x<2）,

二4UB=（-co,2].

故选D.

2.【答案】D

【解析】解：在三角形4BC中，

由正弦定理可得sinA>sinBA>B,

又因为4B6（0,兀），而余弦函数在区间（0,兀）单调递减，

故ANBocosA<cosB,

所以sinA>sinB<=>cosA<cosB,

即“sinA>sinB”是ucosA<cosBn的充要条件,

故选：D.

在三角形ABC中根据正弦定理可得sinA>sinB然后再根据余弦函数的单调性即可求解.

本题考查了四个条件的简单应用，涉及到三角形中正弦定理的应用以及余弦函数的单调性，属于

基础题.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了排列与排列数公式，属于基础题.可将4B看作一个整体，与E,F,一起排列，

有房用种排法，将C,。插入到4个空位当中有幽种排法，从而得出结果.

【解答】

解：4B相邻，可将力，B看作一个整体，与E,F,一起排列，有心彫种排法，

C,C不相邻，可将C,。插入到4个空位当中有&种排法，

故该典礼节目演出顺序的不同排法种数为/花照=144种.

故选：B

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了球的体积公式及表面积公式，也考查了圆柱的体积公式及表面积公式，属于基础题.

由球的体积公式及表面积公式，结合圆柱的体积公式及表面积公式求解即可.

【解答】解：设圆柱的高为九，

则H?TR3+7RR2九=号％3,即九=3R,

则其内壁表面积为:x4兀/?2+2TIRX(3R)=8nR2.

故选C.

5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查指数函数模型、对数的运算性质的应用，解指数方程，属于中档题.

由题意可得50=20+(80-20)e-2k,由此求得k的值，再对各选项逐项计算，即可求出结果.

【解答】解：80久的牛奶，放在20冤的空气中冷却，2分钟以后物体的温度是50。(2,

则50=20+(80-20)e-2fc,

...e'=1,

两边取以e为底的对数，得

—2k=/nl—ln2,解得k=竽，

所以。二塢+⑸一塢比一啜，

当牛奶的温度从50久降至35。(：时，35=20+(50-20).

即g=e-争,解得t=2,

所以牛奶的温度降至35久还需2min.

故选£).

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义，是中档题.

设|Na|=n,则|MFj=2n,IMF2I=2a-2n,\NF2\=2a-n,在Rt△MNF2中,求得n=小

在RtAM&F2中，由勾股定理求出e2=?,由此能求出椭圆的离心率.

【解答】

解：连接NF2,设|NQ|=M,则|MF1|=2n,\MF2\=2a-2n,\NF2\=2a-n

•••瓦冃.MN=0.MF21MN,

・••在Rt△MNF2中,

(3n)2+(2a—2n)2=(2a—n)2

:.9九2+4a2—Qan+47T2=4a2—4azi_|_九2

:.12n2=4cm,即n=1

2a4a

^|=^,|MF2|=y

在Rt△MaF2中

4c2=噂+等，...36c2=20a2

e2==又eG(0.1)

:.e=故选C.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查三角函数化简求值，属于基础题.

利用三角恒等变换求得sin(8+*=?，由诱导公式即可求解.

【解答】

解：sin6+cos(0-1)=1

所以sin®+cos0cos7o+sin0sin7o=1,

即5sin。+?cos。=1,

BPV-3(-^sin0+^cos0)=1，

所以sin(6+3)=

则sin(J+?)=—sin(0+*)=

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查函数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

【解答】

解：函数/'(%)=loga%(a>0,aH1),/…工2018)=4，

"f(.xlx2•“#2018)=l°ga(xlx2•1•x2018)=%

—+f(一)+-+7(^2018)

=^09a(.xlX据X...X%2018)

2

=10ga(XiX2...%2018)

x

=2/05a(X1X22018)

=2x4=8.

故选8.

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查基本不等式求最值，属于基础题目.

【解答】

解：a>0,b>0,a+b=1.

对于4,a2b+ab2--ab{a+b)=ab<(^^)2—当且仅当a=b=:时取等号，故A正确；

对于B,当。=6=；时，y/~a+V~b->J~2>1>故B错误；

什丁ra+2b+2a+2b+2(a+b)3a+4b34,.34,,,,„,3a4b.y-x%

对于C，=~=H=g+Z=G+Z)(a+b)=7+(石+豆)N7+4C'当

且仅当当=竺时取等号，故C正确；

ba

对于。，用+』=(用+$)][(2&+8)+(。+26)]=95+(岩+笔答)]23,但

2a+bQ+2bK2a+ba+2b丿3Lk丿'/J3L、2a+ba+2b丿」

是当您=越警时，a=0不符合题意，故等号不成立，故。错误.

2a+ba+2b

故选AC.

10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查直四棱柱的特征以及棱锥体积和线面角以及外接球表面积公式，属于难题.

利用三棱锥体积公式判断4利用数量积判断B：利用线面角判定C：建立空间坐标系，利用外接

球表面积公式判断D.

【解答】

解：直四棱柱4BCD-厶道心厶中，点P到面2BCD的距离d=1.

设点Q到BC的距离为八，

所以匕颯体PBCQ=家•SBCQ=/顎5人見h,h为不定值，

所以四面体PBCQ的体积不是定值，故A错误；

对于B,因为4024劣，在直角三角形4PDi中，coszDi&P=證，

则而•A^P=|而||石同cos/LDMiP=4cos24。送小，

因为cos4Di&Pe(0,1),

所以而•中的取值范围是(0,4),故B正确；

对于C,易知CiQ与平面4BCD所成的角为4GQC,

所以tan。=tan/GQC=/=看，

因为CQ6(0,2),所以tan。*,故C正确；

对于D,因为DB=VAB2+AD2-2AB-ADCOSABAD=C，

BP/ID2=AB2+BD2,得BD丄AB,又4B||0C,即有B。丄。C,

又DD］丄平面力BCD且DB、DCu平面4BCD,

则。£>i丄DB,D2丄DC,

则以。为原点，DB,DC,OZ?i分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，如图所示：

取BC中点为M,4Di中点为N,则B(G0,0),C(0,l,0)4式口-1,1),Di(0,0,1),

所以“(殍，,0),N(?,-

设P（x（）,丫0,1），则卜。—+（、。+3）=1'

设三棱锥P—BCQ的球心为F,则F（?』,Zo）,因为FB=FP,

X2-Cx+y2-y+l-2z=O

O。0oo可得齐

可得y+zo-

&2-V^X0+q+y02+y0+；=10

因为y（）€（一1点，所以z06[0,|）,

所以BFC[1,竽），所以se[4兀,13兀），故。正确.

故答案选：BCD.

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题主要考查函数的单调性，奇偶性，周期性和对称性，属于较难题.

由/（久）=0,结合已知可判断4由函数对称性，奇偶性得出函数的周期，判断B：由周期性可得

八竿）=/（；），求岀/&）可判断C；若f（l）=急，由/得出与已知矛盾，判

断D.

【解答】

解：对于从若函数为f（x）=0,符合题意，故/（1）=0,A错误；

对于B,依题设y=/（%）关于直线％=1对称，

故/⑺=f（l+l—乃,Qp/（X）=/（2-x）,xERf

又由f（%）是偶函数知/（一%）=/（%）,xeR,

A/（-%）=f（2—%）,xER,

将上式中一%以工代换，得/（%）=f（x+2）,XER,

这表明/（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期，故B正确；

对于C,由B,/（x）是以2为周期的周期函数，/"（竿）=f（2x253

因为对X2G[0,jJ,都有/'01+%2)=f(%l),/(%2)，

所以f⑶=居+包=居)居)0.x€[0,1],

/（1）=/（|+|）=/（|）/（|）=[/（1）]2=i>o.

・••/(x)>0,x6[0,i],f(i)=1,/(I)=/(I+1)=/(1)/(1)=[/(1)]2=1,

所以，/(I)=：1,即/■(等)=1,故C正确;

对于。,若〃1)=蒜财⑴=6+》=展)6)=［/鄧=募中0,

6)=』用)=6+；)“(»(》=呜”』

11

>

2-4-与f(x)在［0T上单调递增，相矛盾,

所以，"1)=^错误，原命题/(久)在［0由上单调递增，则/⑴。焉正确.

«Vfc»*T4厶U44T

故选BCD.

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查概率的基本性质，条件概率公式，属于中档题.

根据概率的基本性质及条件概率逐项求解即可.

【解答】

解：由题意P(瓦)=%

对于A，P(4+m)=PQ4)+P⑧-PQ4万)，所以P(砲=?+；-3故4错误；

对于8,由P(4)=PG4B)+PG4万)，所以「(48)=「(4)一「(力戸)=3-2=",所以P(B|A)=

P(B),故C正确;

对于D：由P(B)=PQ4B)+P(彳B)，所以P(lB)=P(B)—PQ4B)=3—：=3，

所以P(疝+AB)=P(加+P(AB)-P(AB,而)=2+>0=/故。正确.

故选BCD.

13.【答案】3》=卜兀+(-1)”,卜62}

【解析】【分析】

本题考查三角方程的解法，二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

由题结合二倍角公式求得sinx=g,,由此求出方程的解集.

【解答】

解：方程3sin久=1+cos2x,可得3sinx=2-2sin2x,

即2sin2%+Ssinx-2=0,可得sinx=-2(舍去)，或sinx=

解得｛小="+(—l)”,k€Z｝,

故答案为｛%氏=+(―GZ｝.

14.【答案】an=4n-1

【解析】解：设等差数列｛册｝的公差为d,

由+。5=22,得。3=11，

由$71=7i(cin—2n+2),得S2—2(02—2),

又S2=%+&=2a2—d,解得d=4,

所以Qn=%+(九-3)d=4n—1.

故答案为：an=4n-1.

设等差数列｛an｝的公差为d,由%+旳=22,得到由，再由Sn=?i(an-2九+2),令九=2求解.

本题考查了等差数列的通项公式，属于中档题.

15.【答案】(1,由

【解析】【分析】

本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的零点与极值，属于中档题.

由题意，列出关于3的不等式，结合kez得到3的取值范围即可.

【解答】

ni冗、兀iI

&]3+工》5+kn2

解：由题意，(—co+7/"3+Z)G(5+kn,丁+kjt),kwZ=｛37r，/cEZ=^+2k《

26622兀3+J4当+而3

OL

4

co<§+kk6Z

又/1(X)在(0《)内存在零点,由于0,3+J=W，故*G(3+*),即5<为3+3=3>1

ooZo5oL5o

又由于Q+2/C<Q+/C=k&Q，月G+k>lnk>-Q,又kWZ,

(24

3<W<3,即36(1,为

3>13

16.【答案】(C,C)

【解析】【分析】

本题考查正弦定理、二倍角公式及余弦函数的性质，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是

解题的关键.

利用三角形为锐角三角形，得出角B的范围，由正弦定理、二倍角公式得：=^=2cosB,根据

bsinB

余弦函数的性质即可得出.

【解答】

解：由C=2B得4=TT-C-B=兀-38,

因为AABC为锐角三角形，

c=2Be（0,歩

所以（8e（0,与），解得86（手,号），

A=7T-3F6（0,9）

则在△ABC中，

由正弦定理箧=等=2SEB*SB=2COSBG

bsinBsinB''

故答案为（，7,，豆）.

17.【答案】解：（1）在厶4BD中，由余弦定理得cosB=竺2迦*2=36+BD2T6=3；

3aA2ABBD12BD4

BD=5或BO=4.

当BD=4时，COSN/WB=1/坂＜0）则乙MB＞今不合题意，舍去；

当BD=5时，COSNAOB=2sle＞0,则N4DB＜今符合题意.

咚2x41x52

・・.BD=5.

36+8〃-72

在△ABC中,cosB=3

-2ABBC--12BC-4

・•・BC=12或BC=-3(舍).

:,DC=BC-BD=7.

(2)i己ND4C=仇则=20,

AB2+AD2-BD29

在△ABO中,cosZ-BAD=cos20=—，

2ABAD16

・・・2。为锐角，得sin?。=1c；s2。=3sin2。=^

厶16

5AT2

即sin。=马COS0-----,

8

、417/~14

法一：sin30=sin20cos0+cos20sin9=———，

5V-2

同理cos36

64

由cosB=*知：sinB=?，

:.sinC=sin(7r—B—30)=sin(84-30)

77-14

=sinBcos30+cos^sin30=—^―

AD2+BD2-AB216+25-361._3/7

法二：cosZ.BDA=一，sinZz-DBDn4A=~-

2ADBD2x4x588

・•・sinC=sin(Z.BDA-0)

7ym

=sinZ.BDAcosd—cosZ.BDAsin0=

【解析】本题主要考查余弦定理解三角形，涉及三角恒等变换，属于中档题.

(1)分别在△ABD、△ABC中，由余弦定理求BD,BC,即可求DC的长度；

(2)记乙。=则4BAD=26,在△4BD中由余弦定理求sin26、sin。、cos0,

法一：即可求sin3。、cos30,由已知求sinB,由sinC=sin(?r—8—3。)即可求值；

法二：由余弦定理求cos48£M,可得sinZ_8£M,由sinC=sinQBZM-6)即可求值.

18.【答案】解：(1)当几=1时，3s1=4的-2,解得旳=2,

当nN2时,

v3Sn=4an—2,

*'•=4。九一i一2,

**,3sli—3s九一1=461rl—2—(4dn_^-2),3a九=4a九—4a九_1，

a

•••n=4azi_1，

・•.数列是以2为首项，4为公比的等比数列，

，数列｛册｝的通项公式为册=22九t；

n

(2)由(1)得及=log2an=log222t=2n—1,

.•・数列｛%｝中落入区间(％n+i—tam+2+1］内，

•••am+l—1V4am+2+1，

2(m+2)-12m+12m+3

...22(7n+i)-i-1<2n-1<2+1,2<2n<2+2,

A22m<n<227n+2+l,

・•,数列出工中落入区间(&n+l-lfam+2+1］内的项的个数Cm=22m+2_22m+1=3X4租+1,

S=+m=4m+1+m-4.

m吧1-—4f")

vSm>2022,

...4m+1+m-4>2022,即用+1+6>2026,

当m=4时，44+1+4=1024+4=1028<2026,

当m=5时，4S+1+5=4096+5=4101>2026,

...4m+1+zn随ni的增大而增大，

■.Sm>2022的最小整数为5.

【解析】（1）根据已知条件，分n=l,nN2两种情况讨论，即可求解；

（2）由（1）得垢=2n-1,由am+i—1<垢Wam+2+1，推出22加<九<226+2+1,则=

2m+22m

2-2+l,从而可求出Sm，进而可求出使得S7n>2022的最小整数m的值.

本题主要考查数列求和，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】（1）证明：若选①，取AC中点G,BC中点。，4B中点H,连接EG,。。,。“，

vEDHAC,CG=\AC=ED,；•四边形EDCG为平行四边形，EG//CD,

EG=又AG=^AC=1,AE—2,

■-AG2+EG2=AE2,.-.AGLEG,

又CO//EG,•••ACLCD,5L.AC1BC,BCCtCD=C,BC,CD

.••AC丄平面BCO,平面ABC,二平面ABC丄平面BCO,

vBD=CD,DOA.BC,又COu平面BCD,平面BCDn平面力BC=BC,

•••D。丄平面ABC,又OH"AC,AC1BC,：.OH1BC-.

若选②，••­ACLBD,AC1BC,BCCBD=B,BC,BOu平面BCO,

4C丄平面BCO,：4Cu平面ABC,二平面ABC丄平面BCO,

取BC中点。，AB中点4,连接DO,。“，

I)

,:BD=CD,：.DO1.BC,又OOu平面BCD,平面BCDn平面4BC=BC,

丄平面4BC,又OH"AC,AC1BC,OH1.BC；

若选③，取BC中点。，48中点连接OO,OH,EH,

vDC=BD=V-3--DO1BC,又BC=2,D。=C；

•••0,//分别为垢力8中点，」.0“屋4(；,又ED広AC,：,0H〃ED,

••・四边形DEH。为平行四边形，EH=DO=

vAC丄BC,AC=BC=2,AB=2A/-2,•1•EH=AE丄BE,

•­•/.EAB=AEBA,BE=AE=2,•••BD2+DE2=BE2,

•••BDIDE,又DE//AC,AC1BD,

又AC丄BC,BCCBD=B,BC,BCu平面BCD,

••,AC丄平面BCD,「ACu平面ABC,.♦.平面ABC丄平面BCD,

又。。丄BC,DOu平面BCD,平面BCDCl平面ABC=BC,

•••DO丄平面4BC,XOH//AC,AC丄BC,：.OH丄BC；

综上所述：DO,OH,BC两两互相垂直，

则以。为坐标原点，而，而，时为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则4(2,-1,0),B(0,l,0),

■•.AB=(-2,2,0).BE=(1,-1,/^),

•••DO丄平面ABC,•♦.平面ABC的一个法向量沅=(0,0,1);

设平面ABE的法向量福1=(Xi，%,zj,

则匡-瓦>=一2/+2%=0

[BE•宙=%—yi+2zx=0

令Xi=1,解得：yx=1,z2=0)■-n^=(1,1,0),

m'n7=0,即记丄声，.•.平面ABE丄与平面ABC.

(2)设在线段BC上存在点F(0,t,0)(-l<t<l),使得平面4EF与平面4BE夹角的余弦值等于富,

由(1)得：卽=AE=(-1,1,

设平面4EF的法向量覆=(>2，y2，Z2)，

强雙F+”+?2=。,令y2=l,叫t+1

则-T'z2=—^—'

,EF-n2——%2+£,2-V2Z2=0

由平面4BE的法向量的一个法向量为温=(1,1,0),

国•冋用+1|_5E

|cos<殖而>|

同•陶司爲)*+嘈

化简可得：2t2-131-7=0,解得：t=一;或t=7(舍),

.•.F(0,-1,0),.：BF=l，...g3

4

综上所述：在线段BC上存在点产，满足募='，使得平面4EF与平面ABE夹角的余弦值等于空.

oC443

【解析】本题考查面面垂直的判定，利用空间向量求面面夹角，属于较难题.

(1)若选①，取4C中点G,BC中点。，AB中点H,可证得四边形EDCG为平行四边形，从而利用勾

股定理和平行关系证得4c丄CD,由线面垂直和面面垂直判定得到平面SBC丄平面BCD,利用面

面垂直性质可证得。。丄平面力BC；

若选②，取BC中点。，48中点H,由线面垂直和面面垂直的判定可证得平面ZBC丄平面BCD,利

用面面垂直性质可证得DO丄平面力BC；

若选③，取BC中点。，4B中点H,根据长度和平行关系可证得四边形DEH。为平行四边形，由此

确定=得到4E丄BE,结合4E=BE可得BE=2,从而利用勾股定理和平行关系证得

4c丄BD,由线面垂直和面面垂直判定得到平面4BC丄平面BCD,利用面面垂直性质可证得。。丄平

面ABC：

三个条件均可说明DO,。”,BC两两互相垂直，则以。为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面

垂直的向量证明方法可证得结论；

(2)假设存在满足题意的点尸(0,t,0)(-l<t<1),利用二面角的向量求法可构造方程求得t=

由此可确定F点位置，得到雾的值.

20.【答案】解：(1)

X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=(l-|)x(l-|H，P(X=l)=(l-|)x|+|x(l—|).

P(X=2)=|x|=g,

故分布列为:

X012

144

P

999

(2)由(1)知，甲排1号时，期望值为E(x)=0x：+1x《+2x，=。,

设y表示男乙排i号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，

则y的可能取值为o,i,2,

则p(y=o)=(i-1)x(1)=煮P(y=i)=(i-|)xi+|x(i-g=^

P(y=2)=区=装

故期望值为E(y)=0蟾+lx||+2蟾

因为?＜，故乙排1号时期望值更大.

【解析】本题考查了独立事件的概率以及分布列与期望，属于中档题.

(1)求出X的可能取值及对应的概率，得到分布列；

(2)在(1)的基础上，求出男甲排1号时的期望值，再求岀男乙排1号时的期望值，比较后得到结论.

21.【答案】解：(1)由题意知M(O,b),N(a,O),由gab=l,得ab=2①

设直线y=x与椭圆C交于点Q(-%o,-&),则|PQ/=8XQ

把P(Xo，Xo)代入椭圆方程，得以=啓，

a2+b

故|PQ|2=^=(F)2,即萼

由①②，解得｛之:或｛仁:(舍去),

2

所以椭圆C的标准方程为？+y2=1;

(2)假设存在这样的圆。，设祝.诙=九

当直线4B的斜率存在时，设直线48的方程为y=kx+m.

y=kx+m

由%2,得(1+4忆2)第2+8攵机％+4m2-4=o.

匕+f=i

设4(X141),8(%2，丫2)，则/+%2=一畫%，与孙=誓扌，

2224m

故瓦？-OB=xrx2+y^2=(1+fc)xi%2+km(xi+x2)+m—(1+k)