2023-2024学年武汉市19中高二数学上学期10月考试卷附答案解析

2023-2024学年武汉市19中高二数学上学期10月考试卷

（试卷满分为150分，时间为120分钟）2023.10.4

一、单选题

1.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m,n,记，=加+〃，则下列说法正确的是（）

1

A.事件“，=12”的概率为21B.事件“t是奇数”与“相="”互为对立事件

C.事件"=2"与“73”互为互斥事件D.事件“，>8且，"”<32，，的概率为］

2.如图，在平行六面体488-4印沦中，M在AC上，且A"="'N在上，且”=2汨.设

AB=a,AD=b,3，则MN=

11,11/111,211

——a+—b+—ca+—b——c—a——b——c——a+bk+—c

A.333B.33c.333D.33

3.已知空间三点A（°J，2）,B（l,3,5）,C（2,5,4-女）在一条直线上，则实数4的值是（）

A.2B.4C.-4D.-2

4.已知直线/的方程为xsina+6y-l=0,aeR,则直线/的倾斜角范围是（）

兀2兀

.喝愕"）c.t铝D

5.在长方体A88-A4GA中，AB=BC=\,例=6,则异面直线A"与所成角的余弦值为

A.5B.6C.5D.2

6.如图，在60°二面角的棱上有两点A、B,线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直

于棱AB,若M=AC=8D=4,则线段CD的长为（）

A.B.16C.8D.4&

1

7.如图，平行六面体AB8-A8£A的底面ABC。是矩形，AB=M,AD=M,9=2应，且

NA"=NAA8=60。，则线段AG的长为（）

A.2瓜B.2石c,而D.3

8.某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一

支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比

231

赛的概率均为5,乙通过每个阶段比赛的概率均为5,丙通过每个阶段比赛的概率均为E,且三人每次

通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（）

224196141

A.225B.225C.D.25

二、多选题

9.（多选）下列说法正确的是（）

"=1

A.不经过原点的直线都可以表示为。b

B.若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为（4,1）则直线1的方程为82

C.过点（1,1）且在两轴上截距相等的直线方程为y=x或x+y=2

D.直线3x—2y=4的截距式方程为3

10.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.若直线/的方向向量为e=（l，°3,平面a的法向量为〃闻，则直线/〃a

B.已知。，b,c为空间的一个基底，若祖=a+c,则也是空间的基底

OP=-OA+-OB+-OC

C.若对空间中任意一点°,有632,则尸，A,B,C四点共面

D.平面a的一个法向量为"=（122）,点入（3,1,0）为。内一点，则点到平面a的距离为2

11.下列说法正确的是（）

A.甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是0$和025,则题被解出的概率是0125

2

B.若A,B是互斥事件，则尸(Au8)=P(A)+P(8),尸(43)=0

C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%,中级占比30%,初级占比50%,现从中抽取50

名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人

2

D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是与

12.下列命题正确的是（）

A.若尸是平面a的一个法向量，A,8是直线人上不同的两点，则匕Pa的充要条件是=°

212

4°「OP^-OA+-OB+-OC

B.已知A，B,C三点不共线，对于空间中任意一点°,若555,则「，人民。四点共

面

_1

C,已知a=（T，L2）,A=（O,2,3）,若hz+0与2a—石垂直，则k=4

D.已知-A5C的顶点分别为A（T/，2），8（4,l,4）,C（3,—2,2）,则AC边上的高80的长为相

三、填空题

13.已知直线1的一个方向向量为〃'：=（1'亚'-1）,若点尸（—LLT）为直线1外一点，“（4L—2）为直线）

上一点，则点P到直线1的距离为

14.四面体OABC中，M,N分别是OA,CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN,若

OG=xOA+yOB+zOC则x+y+z=

15.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A="取出的两球同色”，

8="取出的2球中至少有一个黄球"，C="取出的2球至少有一个白球”，。="取出的两球不同色"，E=

“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为

①A与。为对立事件；②8与C是互斥事件；③C与E是对立事件：④尸（0初=1；⑤P（8）=尸传）.

16.直线/过点M（T，2）,且与以「（YlI）、Q（3，°）为端点的线段相交，则直线/的斜率的取值范围

是.

四、解答题

17.已知至。的顶点人㈠㈤，8（5,7）,C（5,l）

（1）求AB边上的中线所在直线的方程；

⑵求经过点A,且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程.

18.在直三棱柱48C-中，N43C=90,AB=BC=1,8旦=2

3

(1)求异面直线8c与AC所成角的正切值；

(2)求直线BC与平面A/。所成角的余弦值.

19.已知空间中三点A(2,°，一2),5(1,-1,-2),C(3,0,T),设a=A8,b=AC

(1)若H=3,且C//8C,求向量c；

(2)已知向量B与力互相垂直，求女的值；

(3)求的面积.

20.如图，在棱长为2的正方体A8C0-中，E,F分别是A4,G0的中点.

(1)求点4到平面尸的距离；

⑵若G是棱AB上一点，当0G〃平面OEF时，求AG的长.

21.2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育

局以“学党史、悟思想、办实事、开新局''为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞

赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩

分成以下七组：P2,7可」76,8。)，[8。,84)"84,88),[88,92),[92,96),[96,100),并绘制成如图所

示的频率分布直方图.

4

(1)根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数；

(2)用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2

人中至少有1人成绩低于76分的概率.

22.如图，在正四棱柱A8CO-A4GR中，AB=2,A4,=4.点4,%G，2分别在棱明，3瓦,CC|,°R

l，（AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3

⑴证明：B2C2//A2D2.

⑵点尸在棱期上,当二面角尸一右。2-。2为150。时，求B2P.

1.D

【分析】计算出事件“t=12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念,

可判断C；计算出事件“t>8且mn<32”的概率可判断D；

【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，

所得向上的点数分别为m,n,则共有6x6=36个基本事件，

记t=m+n,

I

则事件“t=12”必须两次都掷出6点，则事件“t=12”的概率为36,故A错误；

事件“t是奇数”与“m=n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5,故B错误；

事件“t=2”与“怦3”不是互斥事件，故C错误；

事件“t>8且mnV32”有

5

[m=3pn=4卜〃=4[tn=5{m=5pn=5pn=6pn=6f/n=6

[”=6'[”=5[〃=6[〃=4'[“=5[”=6[〃=3'["=4[〃=5共9个基本事件，

故事件“t>8且mn<32”的概率为4,故D正确；

故选：D.

2.A

【解析】利用向量回路方法”Nn3+M+AN运算求解即可.

AA/=—MC4p*iKTczr\

【详解】解：因为M在AC上，且2,N在AQ上，且AN=2NO,

-1___2-

AM=-ACA,N=-A,D

所以3,'3',

在平行六面体A8CO-AB|C|°中，AB=a,AD=h,M=c,

UUL1p1Ai

所以AC=a+6,A.D=b-ef

MN=MA+AAj+AN=--AC+AA]+—\D

所以33

1/•八2万、111

=--(a+b)+c+—(b-c)=-—a+-bf+-c

故选：A.

【点睛】本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法MN=M4+A4,+aN是常用的方法

3.C

【解析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数后的值.

【详解】解：因为空间三点4°，1，2),B(l,3,5),C(2,5,4-Q在一条直线上，

所以AB=(1,2,3),AC=(2,4,2-A)

故AC=2AB

所以/=Y.

故选：C.

【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.

4.B

【分析】计算L°。」，再考虑LJ」和L,两种情况，得到倾斜角范围.

厂.旦仆［-回叵

［详解］%sina+gy-l=0,则3L33.

6

o[o<0<^k=tan0e

设直线/的倾斜角为故

kw0，V6>e0,-

所以当L'」时，直线/的倾斜角L6

kw6>e—,7i

当L)时，直线’的倾斜角L6

0e0,—o—,7t

综上所述：直线/的倾斜角L6」L6

故选：B

5.C

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角

与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

0(0,0,0),4(1,0,0),B/1,1,6),〃(0,0,6),所以期=(-1,0,73),DB、=(1,1,G),

AD「DB]=-1+3=@

cos〈AR,O8])=

\ADt\\DBt\2x5/55,所以异面直线岫与阴所成角的余弦值为彳，选仁

因为

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破"建系关”，构建恰当的空间直角坐标系;

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应

用公式关

6.D

【分析】分别过点A、点。作B。、48的平行线相交于点E,连接CE,则由题意可知A4CE为等边三

角形，ACDE为直角三角形,求解CO即可.

【详解】分别过点A、点。作3£>、AB的平行线相交于点E,连接CE,

则四边形ABDE为平行四边形.

线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.

ACLAB,则为二面角的平面角，即NC4E=60

AB=AC=8O=4

.-.AC^BD^AE=AB=DE=4,如图所示.

二.山为等边三角形，CE=4

7

ACLDE,AELDE,ACcAE=A,ACu平面ACE,AEu平面ACE

.,.DE_L平面ACE

又•.CEu平面ACE

DEICE

在RtACDE中CD—>/CE2+DE2—54,+42=4A/2

故选：D

【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题.

7.B

【分析】根据题意，由AG=AC+CG,转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到

结果.

【详解】由AG=AC+CG,可得|AC『=AC：=(AC+CCJ=4C2+2ACCC+CC：,

因为底面为矩形，AB=6,AD=&,AA=2五，

所以AC2=M『=2+2=4,CC：=|CG|2=8,

ACCC,=(A8+A。｝CG=ABVC、+ADCC,

0

=|/1B|.|CC,|.COS60+|AD|-|CCI|-COS60°=V2X2>/2X-!-+5/2X2>/2X-!--4

22,

所以kG『=kc『+2AC，CG+|CG『=4+2x4+8=20则,弓卜26

故选：B

8.B

.12114

1--x—x—=—

【分析】根据题意可得这支队伍通过每个阶段比赛的概率为35215,利用相互独立事件的概率

计算可得出结果.

【详解】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过“，

,12114

I--x_x_=__

则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为352~15,

<14?=|96196

所以他们连续通过初赛和复赛的概率为115)225,即进入决赛的概率为石.

故选：B

9.BCD

【分析】A中，截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，即可判断；

B中，直接利用截距式方程判断；

C中，直接求出过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程，即可判断;

D中，直接化为截距式方程判断.

8

【详解】A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；

£+2=1

B中，AB的中点为(4,1),那么A(8,0),B(0,2)的直线方程为1万

故B对；

C中过原点时，直线为y=x,不过原点时直线为x+y=2,故C对；

D中，方程3x-2y=4可化为3，故D对.

故选：BCD

10.BCD

【分析】根据线面垂直、基底、共面、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，虽然e-〃=-2+2=0,但是无法判断/是否在平面a外，所以A选项错误.

B选项，由于机=a+c,所以共面，

由于。，b,C为空间的一个基底，即匕与,不共面，也即匕与机不共面，

所以｛"'"'心｝也是空间的基底，所以B选项正确.

OP=-OA+-OB+-OC

C选项，由632,

卓0尸一OC=：(OA-OC)+；(OB-OC)

所以63,所以CP,。,C8共面，所以P,AB,C四点共面，所以c选项正确.

PAn6.

D选项，PA=(2，1，1),所以尸到平面a的距离是HI',D选项正确.

故选：BCD

11.BCD

【分析】用对立事件判断A;根据互斥事件的概念判断B;根据分层抽样方法判断C;根据排列组合公式求

出位女生相邻的概率，从而判断D.

3

…(1-0.5)(1-0.25)=-

【详解】,・,他们各自解出的概率分别是0・5和。25,,则此题不能解出的概率为8,

।35

则此题解出的概率为88,A选项错，

若A、8是互斥事件，则尸(4U8)=P(A)+P(B),P(A8)=0,B选项对，

高级教师应抽取时50x20%=10人，C选项对，

p=A._4_2

由题意可得女生相邻的概率入；63；D选项对，

故选BCD.

12.BCD

9

【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A的结论，利用共面向量的充要条件判断B

的结论，利用向量垂直的充要条件判定C的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高8。的值判

定D的结论.

【详解】若P是平面a的一个法向量，直线人上有不同的两点A,B,当〃uc时,

即使=也不能说明匕//a,故A错误；

212212

。尸=-04+—。8+—0。-(OP-OA)=-(OB-OP)+-(OC-OP)

若555,则555,

A尸=—PB+PC

所以2,所以P,AB,C四点共面，故B正确；

由题意可得妨+"=(一"'"+2,2«+3),24-6=(-2,0,1),若ka+b与2a-b垂直，

3

,(ka+bY(2a-b]=2k+2k+3=0，…卜=一二

则rl')')，解得4,故C正确；

由题意可得AB=(5,0,2),AC=(4.-3,0),则AC边上的高8。的长即为点8到直线AC的距离

220+0+0)er

即二AB-25+4-

7,故D正确.

故选：BCD.

13.后

【分析】直接利用空间中点到线的距离公式计算即可.

rz1(11\

m=2

2-2-

k

【详解】由题意可得1的一个单位方向向量为

AP=(-5,0,1)

d=AP2-4P消=J26-9=VF7

故点P到直线1的距离11忸D

故答案为：拒.

5

14.6

【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.

10

1Q1Q

OG=OM+MG=-OA+-MN=-OA+-（ON-OM}

因为2323、）

=-0A+--（OB+OC]--OA=-OA+-OB+-OC

23|_2、，2」633

I15

又0AO8QC不共面，..「一不'）_"一§,贝

5

故答案为:6.

15.①④

【分析】在①中，由对立事件定义得A与。为对立事件；有②中，8与C有可能同时发生；在③中，C与

E有可能同时发生；在④中，(C)+P(E)-P(C©=1；在⑤中C#8,从而尸(B)丰P(C).

【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，

事件A="取出的两球同色"，B="取出的2球中至少有一个黄球”，

C="取出的2球至少有一个白球"，D="取出的两球不同色"，E="取出的2球中至多有一个白球”,

①，由对立事件定义得A与。为对立事件，故①正确；

②，8与C有可能同时发生，故8与C不是互斥事件，故②错误；

③，C与E有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；

63148

=1--=-=TTP(CE)=—

④，P(C)155,P(E)15,15,

从而P(C,E)=P(C)+P(E)-P(CE)=1,故④正确；

⑤，C#B,从而尸(B)wP(C),故⑤错误.

故答案为：①④.

【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、

互斥事件等基本概念的合理运用.

-8,一；[1,+00)

16.I2」

【分析】作出图形，求出⑥。、工观察直线/与线段PQ的交点运动的过程中，直线’的倾斜角的变化,

可得出直线/的取值范围.

【详解】如下图所示：设过点M且与X轴垂直的直线交线段尸。于点A,设直线/的斜率为

11

当点8从点尸移动到点A（不包括点A）的过程中，直线/的倾斜角为锐角,

此时，k~kW=X.

当点8从点A（不包括点A）移动到点。的过程中，直线/的倾斜角为钝角,

..k&=-彳

此时，2.

综上所述，直线/的斜率的取值范围是

[y,一：[1,+00）

故答案为：I2」

17.⑴5x+4y-29=0

⑵5x+3y=0或x+y-2=0.

【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段AB的中点，再利用两点式即可求出所求;

（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.

【详解】（1）线段A8的中点为0a6,

y-6_x-1

则中线所在直线方程为：言一打，即5x+4y-29=0

（2）设两坐标轴上的截距为°力，

I-=5-0=5

若。=6=0,则直线经过原点，斜率一方5一一§,

5

V---X

直线方程为3,即5x+3y=0；

若a=b钝,则设直线方程为。。，即》+尸"=。，

把点A（-3,5）代入得_3+5-。=0,即a=2,直线方程为犬+尸2=0；

综上，所求直线方程为5»3丫=°或x+y-2=o.

12

叵

18.（1）石；（2）5.

【解析】以点B为坐标原点，BA、BC、84所在直线分别为犬、y、z轴建立空间直角坐标系3-个巳

（1）利用空间向量法求出4G与AC所成角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案；

（2）利用空间向量法求出直线8c与平面ABC所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得

出答案.

【详解】在直三棱柱A'。-A8C中，ABC=90,以点8为坐标原点，54、BC、^所在直线分别

为X、V、z轴建立空间直角坐标系型，如下图所示：

则点A（1,O,O）A（1,0,2）矶0,0,0）4（0,0,2）、C（0,l,0）C,（0,1,2）

（1）设异面直线4G与AC所成角为a,耳G=（（）,l,0）,AC=（-l,l,-2）,

cos<B,C,,>=|g'C'|'|A'C|==—瓜N/30

1X766,即cosa=w,.•.sina=-r,

_sina_6

则a。,一嬴£一，因此，异面直线与&与AC所成角的正切值为石；

（2）设直线8c与平面A8C所成角为夕，设平面A8C的一个法向量为〃=（x，y，z）,

网=（1,0,2）8c=（0,1,0）gC=（O,l,-2）

n-BA]=x+2z=0\x~-2z

由1〃4C=y=0,得jy=O,取z=-l,得〃=（2，。，-1）,

所以，平面A"。的一个法向量为"=（2,0，T）,

13

COS<B]C,n>=]■-~F=-7=7=~~2Qr.；~~2nV21

B.C-kA/5XV55sin/7n=-cos/?=^l-sin^=—

I1III,5,则5.

721

因此，直线BC与平面ABC所成角的余弦值为丁

【点睛】本题考查异面直线所成的角和直线与平面所成的角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标

系，利用空间向量法求解，考查计算能力，属于中等题.

，2

19.⑴C=（2/L2）或c=（-2,-l,2）；（2）5.（3）2

【分析】（1）首先求出8C的坐标，由C//BC,可设c=mBC,利用H=3,求出参数的值，即可求出结

果.

（2）首先表示出版+6的坐标，由向量鼠，+〃与〃互相垂直，得到（族+4此。，即可求出％的值.

.、/、/、cos<AB,AC>=-------------

(3)求出AB=(T，T，°),AC=(l,0,-2),BC=(2,l,-2),148MAe|,再由同角三角函数的

基本关系求出Bn<AB.AC>,最后由面积公式求出A4BC的面积.

【详解】解：⑴空间中三点”(2。一2),3(1,-1,-2),C(3,0T),设a=A8,b=AC,

所以a=A3=(l,-l,-2)-(2,0,-2)=(-l,-l,0),

〃=AC=(3,(),T)-(2,0,-2)=(l,0,-2),

.,fiC=(3,0,-4)-(l,-l,-2)=(2,l,-2)i

lcl=3,nAIBC,设°=加比

.c-mBC=-2)=(2肛肛一2〃?)

2m)2+(-㈤2+(2〃?)2=3pn|=3

:.m=±\,c=(2，L-2)或。=(-2,-1,2),

(2)版+〃=%(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1_太-%,-2)/?=(1,0,-2)

且向量h+b与〃互相垂直，

,平a+b“=l-&+4=0,解得％=5.

•-k的值是5.

14

⑶因为=4C=(l,0,-2),BC=(2,l,-2)

,AB.AC=-l,网=J(-】『+(T)2=^,困="+(-2)"

W_T___

/.cos<AB,AC>=

\AB\.\AC42.45~而

sin<AB,AC>=

S

MBC=gx|AB|X|AC|Xsin<AB,AC>

=—X-72X-75X—

2M

3

2

【点睛】本题考查向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、

三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

25]_

20.(1)7(2)2

【分析】（1）将点到平面的距离问题转化为直线与平面所成角相关问题，再运用空间向量法求解直线与

平面所成角的相关三角函数值，进而得出的结果；

（2）先将线面平行问题转化为直线与平面的法向量的夹角为0,再运用空间向量法列等式可求解相应点

的坐标，进而确定线段的长.

【详解】（1）如图，以顶点。为原点，分别以线段。人力。，。2所在直线为％y,z轴建立坐标系.

根据题意，图中各点坐标可表示为仇°Q°），E（2，°，1），"（°，1，2），4（2,2,2）

=（2,0,1）,=（0」,2）,即=（2,2,2）

设平面DEF的法向量为"=（%%z）,直线DBt与平面DEF的夹角为

点B'到平面DEF的距离为d，则，

15

ivDE=0j2x+z=0

〃力F=。即，1y+2z=0取〃=(1,4,—2),则有,

\n-DBt\|(1,4,-2X)|_V7

sin6=

同投V21?#3一7

:.d=l^l-sin6=28夸=

2匹

所以点“到平面OEF的距离Z-.

（2）根据（1）可设点G的坐标为（2，皿°）,点G的坐标为（°，2,2）,"=。，4,一2）

二.C］G=（2,iTi-2,-2）

当GG//平面户时，GG〃=0即，2+4（m-2）+4=0

1

m--

解得2.

£

故AG的长为5.

7

21.（1）86,86,86⑵10

【分析】（1）根据频率分布直方图求得众数，中位数，平均数.

（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求