四川省成都市高新区2023-2024学年数学九年级上册期末统考试题含解析

四川省成都市高新区2023-2024学年数学九上期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5。加，6cm,9cm,另一个三角形的最长边

长为4.5。加，则它的最短边长是（）

A.1.5cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

2.如图，PA,尸8是。。的切线，A,B为切点，AC是。。的直径，NA4c=28°,则NP的度数是（）

A.50°B.58°

C.56°D.55°

3.下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）

A.1)2=0B.f+2x—19=0

C.X2+4=0D.x2+%+l=0

4.如图，ABC中，NC=90°,AB=13,AC=12,贝UsinA=()

6.如图，以点O为位似中心，将AABC放大得到ADEF,若AD=OA,则AABC与ADEF的面积之比为（）

/)

A.1:2B.1:4C.1:5D.1:6

7.方程4x=()的根是()

A.x=4B.x=0C.玉=0,w=4D.xx=0,x2=-4

8.已知。，〃是方程f+x—3=0的两个实数根，则A+2019的值是（）

A.2023B.2021C.202（）D.2019

9.如图是二次函数丁=幺2+加+。图象的一部分，其对称轴是x=-l,且过点（—3,0）,下列说法：①。儿＜0；

②2a-b=U；③4a+2Z?+c＜0；④若（一5,苗）,||,%是抛物线上两点，则,＜为，其中说法正确的是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

10.刘徽是我国古代一位伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海宝算经》是中国宝贵的文化遗产.他所提出的

割圆术可以估算圆周率乃.割圆术是依次用圆内接正六边形、正十二边形…去逼近圆.如图，。的半径为1,则。的

内接正十二边形面积为（）

11.一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同.从袋子中随机摸

出一个球，则它是黄球的概率是（）

12.关于x的一元二次方程分2+2x-1=（）有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.a>-lB.a>-\C."0D.a>-l且a。。

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，O为RtAABC斜边中点，AB=10,BC=6,M、N在AC边上，^AOMN^ABOC,点M的对应点是O,

14.对于实数a和b,定义一种新的运算“*"，a*b=b]?aba<b，计算

-a~+2ab-La>b

（2x+l）*（x+l）=.若（2乂+1）*6+1）=01恰有三个不相等的实数根“x2,x3>记

k=XI+X?+X3,则k的取值范围是.

15.如图，点“1、加2、知3、知4在射线OM上，点M、N]、Nj、N4在射线ON上，且

MN〃MK211M3IM*N&,M2Nt//M3N2UM.N?若AMMM2和\M2N2M.的面积分别为1和4,则图中

三个阴影三角形面积之和为.

16.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为120。的扇形，则该圆锥的侧面面积为co?（结果保留

7T）.

17.已知关于X的二次函数7=。必+（a2-1）X-a的图象与X轴的一个交点坐标为（”?，0）.若2<机<5,则a的取

值范围是.

18.若抛物线>=办2+法+。与X轴的交点为（5,0）与（1,0）,则抛物线的对称轴为直线X=.

三、解答题（共78分）

19.（8分）某便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能够售出240件.经过调查发现:

如果每件涨价1元，那么每天就少售20件;如果每件降价1元，那么每天能够多售出40件.

（1）如果降价，那么每件要降价多少元才能使销售盈利达到I960元？

（2）如果涨价，那么每件要涨价多少元才能使销售盈利达到1980元？

20.(8分)一个斜抛物体的水平运动距离为x(m),对应的高度记为h(m),且满足h=ax1+bx-la(其中aWO).已

知当x=0时，h=l；当x=10时，h=l.

(1)求h关于x的函数表达式；

(1)求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离.

21.(8分)某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级(1)班的2名男生1名女生中和九年级(2)班的1名男生1名女生中

各随机选出1名主持人.

(1)用树状图或列表法列出所有可能情形；

(2)求2名主持人恰好1男1女的概率.

22.(10分)如图，ZsOAP是等腰直角三角形，NOAP=90。，点A在第四象限，点P坐标为(8,0),抛物线y=ax?+bx+c

经过原点O和A、P两点.

(1)求抛物线的函数关系式.

(2)点B是y轴正半轴上一点，连接AB,过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC=AB,求点B坐标；

(3)在(2)的条件下，点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,求ACBN面积的最大值.

23.(10分)在平面直角坐标系中，己知。4=10cm,OB=5cm.点P从点。开始沿。4边向点A以2cm/s的速度

移动；点。从点B开始沿80边内点O以lcm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用r(s)表示移动的时间(0<r<5).

(1)用含f的代数式表示：线段PO=cm；。。=cm；

(2)当♦为何值时，四边形PA8Q的面积为19cm2.

(3)当公尸。。与AA08相似时，求出/的值.

24.(10分)如图，在△A8C中，AB=AC,以48为直径作半圆O,交5c于点O,交AC于点E.

(1)求证：BD=CD.

(2)若弧。E=50°,求NC的度数.

(3)过点。作于点尸，若8c=8,AF=3BF,求弧80的长.

25.(12分)如图所示，折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC的长.

26.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)

与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x—6)2+h.已知球网与。点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距

O点的水平距离为18m.

(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】根据题意可得出两个三角形相似，利用最长边数值可求出相似比，再用三角形的最短边乘以相似比即可.

【详解】解：由题意可得出：两个三角形的相似比为：［-=5，

所以另一个三角形最短边长为：5xi=2.5.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是相似三角形的相似比，根据题目求出两个三角形的相似比是解此题的关键.

2、C

【分析】利用切线长定理可得切线的性质的总=尸3,CA±PA,则NQ4B=NPB4,NCAP=90，再利用互余计

算出NPAB=62,然后在根据三角形内角和计算出NP的度数.

【详解】解：：弘，尸3是。。的切线，A,B为切点,

：.PA=PB,CALPA,NC4P=90

:.NPAB=NPBA=62

在△4BP中

NPAB+NPBA+ZP=18O

二NP=56

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，熟练掌握切线长定理以及切线性质是解题的关键.

3、B

【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可.

【详解】A、△=(),方程有两个相等的实数根；

B、△=4+76=80>0,方程有两个不相等的实数根；

C、△=-16<0,方程没有实数根；

D、A=l-4=-3<0,方程没有实数根.

故选：B.

4、B

【分析】由题意根据勾股定理求出BC,进而利用三角函数进行分析即可求值.

【详解】解：；ABC中，NC=9()°,AB=\3,AC=12,

BC=VAB2-AC2=A/132-122=5>

故选：B.

【点睛】

本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，注意掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为

邻边比斜边，正切为对边比邻边.

5、A

【分析】把x=l代入方程，然后解一元一次方程即可.

【详解】把x=l代入方程得：1+，〃=0,解得：，”=-1.

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解.掌握一元二次方程的解的定义是解答本题的关键.

6、B

【解析】试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比•以点O为位似中心，将AABC放大

得到△DEF,AD=OA,AOA：OD=ls2,.,.△ABC与△DEF的面积之比为：1：1.

故选B.

考点：位似变换.

7、C

【分析】利用因式分解法求解即可.

【详解】方程整理得：x(x-1)=0,可得x=0或x-l=0,解得：xi=0,X2=l.

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.

8、A

【分析】根据题意可知b=34)2,a+b=-l>ab=-3,所求式子化为a2-b+2019=a2-3+b2+2019=(a+b)2-2ab+2016即可求解.

【详解】a,。是方程f+x—3=0的两个实数根，

h=3—b2>a+b——l>ab=-3>

：.(72-/?+2019=a2-3+/?2+2019=(a+Z?)2-2"+2016=l+6+2016=2023；

故选A.

【点睛】

本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键.

9、A

【分析】根据二次函数的图像和性质逐个分析即可.

【详解】解：对于①：•••抛物线开口向上，.

bb

•.•对称轴———<0,即——>0,说明分子分母4/同号，故方>0,

la2a

•.•抛物线与y轴相交，.故abc<0,故①正确；

对于②：对称轴4―2=一1,.•.勿^一匕二。，故②正确；

2a

对于③：抛物线与X轴的一个交点为(-3,0),其对称轴为直线x=-l,根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个

交点为,1,0),故当自变量x=2时，对应的函数值y=4a+2/?+c>0,故③错误；

57

对于④：•••x=-5时离对称轴x=-l有4个单位长度，x=二时离对称轴x=-l有一个单位长度，

22

7

由于万<4,且开口向上，故有多>%，故④错误，

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像与其系数的符号之间的关系，熟练掌握二次函数的图形性质是解决此类题的关键.

10>B

【分析】根据直角三角形的30度角的性质以及三角形的面积公式计算即可解决问题.

【详解】解：如图，作ACJLOB于点C.

圆的内接正十二边形的中心角为36()°4-12=30°,

.••过A作AC±OB,

1I

..AC=-OA=-,

22

.••圆的内接正十二边形的面积S=12x-xlx-=3.

22

故选B.

【点睛】

此题主要考查了正多边形和圆，三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考

题型.

11、B

【分析】利用概率公式直接计算即可.

【详解】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个，

41

从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率一=一.

123

故选B.

【点睛】

本题考查概率的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键.

12、D

【解析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式“力且△=22-4ax(-1)>1,从而求解.

【详解】解：根据题意得：存1且A=22-4ax(-1)>1,

解得：a>T且在1.

故选D.

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程+云+c=i(存1)的根与△="-4ac有如下关系：当△>1时，方程有两个不

相等的两个实数根；当△=1时，方程有两个相等的两个实数根；当△<1时，方程无实数根.

二、填空题(每题4分，共24分)

25

13、—

8

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得OC=OA=OB='AB,根据等腰三角形的性质可得NA=NOCA,

2

MNOC

ZOCB=ZB,由相似三角形的性质可得NONC=NOCB,——=—，可得OM=MN,利用等量代换可得NONC=NB,

OMOB

即可证明△CNOsaABC,利用外角性质可得NACO=NMOC,可得OM=CM,即可证明CM='CN,利用勾股定

2

理可求出AC的长，根据相似三角形的性质即可求出CN的长，即可求出CM的长.

【详解】为RSABC斜边中点，AB=10,BC=6,

:.OC=OA=OB=；AB=5,AC=VAB2-BC2=8，

r.ZA=ZOCA,ZOCB=ZB,

VAOMN^ABOC,

MNOC

.,.ZONC=ZOCB,——=—,ZCOB=ZOMN,

OMOB

.,.MN=OM,ZONC=ZB,

/.△CNO^AABC,

.OCCN5CN

:.----=-----.HHUn—=-----.

解得：CN=—,

4

VZOMN=ZOCM+ZMOC,ZCOB=ZA+ZOCA,

.,.ZOCM=ZMOC,

；.OM=CM,

125

.,.CM=MN=-CN=—.

28

25

故答案为：—

8

【点睛】

本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边

的一半；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

-x20)7

14、’,'、/-l<k<——

2x(%>0)8

【分析】分当2x+l<x+l时，当2x+12x+l时两种情况，分别代入新定义的运算算式即可求解；设

y=(2x+l)*(x+l),绘制其函数图象，根据图象确定m的取值范围，再求k的取值范围.

【详解】当2x+l<x+l时，即x<()时，

(2x+l)*(x+l)=(x+l)~-(2x+l)(x+l)=—x2-x

当2x+lNx+l时，即x»()时，

(2X+1)*(X+1)=-(2X+1)2+2(2X+1)(X+1)-1=2X

,、/、一x~—x(x<0)

'7V7[2x(x>0)

设y=(/2x+l、)*(,x+l\)，则y=1—x2~x-(x(xx1<。0))

根据图象可得：

当0<m<；时，(2x+l)(x+l)=相恰有三个不相等的实数根，

其中设X1，x2,为y=—x2—x与y=m的交点，X3为y=2x与y=m的交点，

b1

X]+x2=—=一],

a

/.x,+x2+x3=-l+x3,

0vm<一时，0vx?<-9

438

—1,<k.<—7

8

-x2-x(x<0)7

故答案沏I2x(x>0)!-1<k<~?

【点睛】

本题主要考查新定义问题，解题关键是将方程的解的问题转化为函数的交点问题.

15、42

NM1

【分析】由已知可证一NM%NN2M2M3,从而得到于I/=不，利用四附2M和AM2MM等高，可求出

/V1/vIqi

^^M2N2，同理求出另外两个三角形的面积，则阴影部分的面积可求.

【详解】•••/乂〃加2乂，%乂//必乂.

:.々M%=4N2MlM3,NNMM=NN2M3M2，

:..NMM?/N2M2M3

AMMM?和AMzN2M3的面积分别为1和4

N\M]1

AN2M3—5

VAN\M和AM?N2M3等高

•qkJ,q=1-7

••^N}M2N2•°AM?N2M3.■.乙

・

••0q•掰2电-一?乙

同理可得S&VMM=8，S协3MM=32

...阴影部分的面积为2+8+32=42

故答案为42

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及所求三角形与已知三角形之间的关系是解题的

关键.

16、3K

120^-x32

【详解】=3乃.

360

故答案为：37r.

11一

17、—Va<—或-5<a<-1.

52

【分析】首先可由二次函数的表达式求得二次函数图象与x轴的交点坐标，可知交点坐标是由〃表示的，再根据题中

给出的交点横坐标的取值范围可以求出。的取值范围.

【详解】解：•・•7="+(a1-1)x-a—(ar-1)(x+a),

・••当y=0时，x=-a^x=-,

二抛物线与X轴的交点为(-4,0),(-,0),

a

由题意函数与x轴的一个交点坐标为(/«,0)且1V”?V5,

.♦.当a>0时，IV」V5,即

a52

当a<0时，lV-aV5,即-5VaV-1；

故答案为一<a<—或-5<a<-1.

52

【点睛】

本题综合考查二次函数图象与与x轴的交点坐标以及一元一次不等式的解法，熟练掌握二次函数图象与坐标轴交点坐

标的求法以及一元一次不等式的解法是解题关键.

18、3

【分析】函数,=以2+"+。的图象与x轴的交点的横坐标就是方程④2+加+c=o的根，再根据两根之和公式与对

称轴公式即可求解.

bb

【详解】根据两根之和公式可得1+5=―-,即一一=6

aa

则抛物线的对称轴：-2b=3

2a

故填：3.

【点睛】

本题考查二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式与对称轴公式，熟练掌握公式是关键.

三、解答题(共78分)

19.(1)每件要降价1元才能使销售盈利达到I960元；(2)每件要涨价1元或3元才能使销售盈利达到1980元.

【分析】(D设每件要降价x元，根据盈利=每件的利润x销售量即可列出关于x的方程，解方程即可求出结果；

(2)设每件要涨价y元，根据盈利=每件的利润X销售量即可列出关于y的方程，解方程即可求出结果.

【详解】解：⑴设每件要降价x元，根据题意，得(20-12-x)(240+40x)=1960,

解得：X]=X2=1，

答：每件要降价1元才能使销售盈利达到1960元.

(2)每件要涨价y元，根据题意，得(20+>-12)(240-20)，)=1980,

解得：X=1，必=3，

答：每件要涨价1元或3元才能使销售盈利达到1980元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.

20、(1)h=-x,+10x+l；(1)斜抛物体的最大高度为17,达到最大高度时的水平距离为2.

【分析】(1)将当x=0时，h=l；当x=10时，h=L代入解析式，可求解；

(1)由h=-xi+10x+l=-(x-2)i+17,即可求解.

【详解】(1)•.,当x=0时，h=l；当x=10时，h=l.

.J2=-2。

2=100a+10人-2a

；.h关于x的函数表达式为：h=-x'+lOx+l；

(1)Vh="x'+10x+l=-(x-2),+17,

.•.斜抛物体的最大高度为17,达到最大高度时的水平距离为2.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键.

21、(1)答案见解析；(2)-

2

【分析】(D首先根据题意列表，由树形法可得所有等可能的结果；

(2)由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，根据概率公式即可求得解.

【详解】解：(1)用树状图表示如下：(A表示男生，B表示女生)

由树状图知共有6种等可能结果

(2)由树状图知：2名主持人1男1女有3种,

即(Ai,B2),(4,B2)(A2,Bi),

31

所以P(恰好T-女尸—=—

62

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适

合于两步完成的事件：树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

I242

22、(1)y=—%2—2x；(2)5(0,8)；(3)―-—.

【分析】(1)先根据AQ4尸是等腰直角三角形，NOAP=90。和点P的坐标求出点A的坐标，再利用待定系数法即

可求得；

(2)设点8(0,〃?)，如图(见解析)，过点C作CH垂直y轴于点H,过点A作AQ垂直y轴于点Q,易证明

\CHB=\BQA,可得AQ=B〃=4,CH=BQ=4+m,则点C坐标为(加+4,〃?+4),将其代入题(1)中的抛

物线函数关系式即可得；

(3)如图，延长NM交CH于点E,则先通过点B、C求出直线BC的函数关系式，因点N在抛物线上,

则设-2的，则可得点M的坐标，再根据三角形的面积公式列出等式，利用二次函数的性质求最值即可.

4

【详解】(1)A04P是等腰直角三角形，NOAP=90°,点P坐标为(8,0)

则点A的坐标为A(4,-4)

将点O、A、B三点坐标代入抛物线的函数关系式得:

,(c-0

c=0

<16a+4b+c=-4,解得：<a--

,4

64a+8Z?+c=0,

yb--o2

故抛物线的函数关系式为：y=-x2-2x；

-4

(2)设点8(0,加)，过点C作CH垂直y轴于点H,过点A作AQ垂直y轴于点Q,

ZR4Q+NQBA=90°,NQBA+NHBC=90°

：.ZHBC=NBAQ

又BC=AB,ZCHB=ZBQA=90°

bCHBsABQA(A4S)

AQ=BH=4,CH=BQ=4+m

故点C的坐标为(m+4,m+4)

将点C的坐标代入题(1)的抛物线函数关系式得:

1,,

一(加+4厂-2(m+4)=m+4,解得：加=8

4

故点B的坐标为(0,8)；

(3)如图，延长NM交CH于点E,则NEJ_CH

设直线BC的解析式为：y=kx+d,将点8(0,8),点C(12,12)代入得:

4=8k=L

解得：《3

12Z+d=12

d=8

则直线BC的解析式为：y==x+8

3

1,1

因点N在抛物线上，设N(x,—/一2幻，则点M的坐标为(x=x+8)

43

ACBN的面积S&CBN=S,+SACMN=；MN.HE+；MN.EC=3MN.HC

即SACBN=g(；x+8/+2x>12

整理得：SACBN=—|(X—9)2+当

又因点M是线段BC上一点，则0<x<12

由二次函数的性质得：当0<x<?■时，y随x的增大而增大；当可<x<12时，y随x的增大而减小

14242

故当时，SACBN取得最大值弓一.

【点睛】

本题是一道较好的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、三角形全等的判定定理与性质、二次函数图象的

性质，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题关键.

23、(1)26(5-/)；(2)Z=2或3；(3)或1.

2

【分析】(1)根据路程=速度X时间可求解；

(2)根据S四边形-SAP。。歹U出方程求解；

(3)分”二孚或上=QQ两种情形列出方程即可解决问题.

OAOBOBOA

【详解】(1)0P=2tcin,OQ=(5-t)cm.

故答案为：It,(5-0.

(2)S四边彩PABQ=S^ABO-St^pQOt

I1

,-.19=-xlOX5一一x2fX(5-t),

22

解得：U2或3,

...当Z=2或3时，四边形RLB。的面积为19c”/.

(3)与△AQB相似，ZPOQ=ZAOB=90a,

.OP0。-OPOQ

"04--OA"

OPOQ

①当

OAOB

5

-f

2

Jul.

综上所述：当f=|■或1时，△POQ与△408相似.

【点睛】

本题是相似综合题，考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，解答本题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

4万

24、(1)详见解析；(2)65°；(3)——.