高考数学一轮复习试题第3节 二项式定理

第3节二项式定理

考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解

决与二项展开式有关的简单问题.

知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.二项式定理

⑴二项式定理：。+:)"=(2M"+(2储"-^^---…+C<"SEN*)；

(2)通项公式：71+i=CSa"-%*,它表示第1+1项:

⑶二项式系数：二项展开式中各项的系数C9,C,!,…，C;；.

2.二项式系数的性质

性质性质描述

对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即c#=ca

n~\~1

当时，是递增的

二项式系

增减性

数C6

当上>2("GN*)时，是递减的

当〃为偶数时，中间的一项c：取得最大值

二项式

系数最大值

当〃为奇数时，中间的两项1“与1”相等且取得最大值

3.各二项式系数和

(1)3+与"展开式的各二项式系数和：C9+G+&+…+&=£.

(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C9+G+C4+…

=或+心+心+…=2"」

|常用结论

(a+加”的展开式形式上的特点

⑴项数为〃+L

(2)各项的次数都等于二项式的爆指数n,即。与匕的指数的和为n.

⑶字母a按降寨排列，从第一项开始，次数由“逐项减1直到零；字母匕按升

箱排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到几

（4）二项式系数从c9,cl,一直到a」,a.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

（1）。加厂&公是二项展开式的第七项.（）

（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.（）

（3）3+。）"的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.（）

（4）（a+b）"某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式

系数不同.（）

答案（1）X（2）X（3）V（4）V

解析二项展开式中C加"r及是第女+1项，二项式系数最大的项为中间一项或

中间两项，故（1）（2）均不正确.

'ra>

2.（易错题）已知十3L（。为常数）的展开式的二项式系数之和为32,常数项为

80,则a的值为（）

A.lB.+lC.2D+2

答案C

解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32,

则有2"=32,可得"=5,

「f—Y15-5斤[5—5k

则二项式的展开式通项为「+1=&（m）5-=*cs丁，令一^J=o,得女

=3,

则其常数项为CW/,

根据题意，有Cg〃=80,可得。=2.

3.（多选）（2022・淄博调研）对于二项式g+炉）（〃GN*）,以下判断正确的有（）

A.存在“WN*,展开式中有常数项

B.对任意〃GN*,展开式中没有常数项

C.对任意“6N”,展开式中没有x的一次项

D.存在〃WN*,展开式中有x的一次项

答案AD

解析该二项展开式的通项为冗+i=c（Jay=cw*-",当〃=较时，展开式

中存在常数项，A正确，B错误；当〃=4%—1时，展开式中存在x的一次项，D

正确，C错误.

4.（2020.全国I卷）（x+?）a+>）5的展开式中x3/的系数为（）

A.5B.10C.15D.20

答案C

解析法一（x+g（x+y）5=+5%4y+1QxV+1Ox2y3+5xy4+y5）,

.•./V的系数为10+5=15.

2

法二当x+?中取》时，vy的系数为eg,

当x+1■中取?时，xY的系数为eg,

.•.%y的系数为a+d=io+5=i5.

5.（易错题）在（2/一?的展开式中，所有二项式系数的和是32,则展开式中各项

系数的和为.

答案1

解析因为所有二项式系数的和是32,

所以2"=32,解得〃=5.

在（2/一乡中，令兀=1可得展开式中各项系数的和为（2—1）5=1.

6.（2021・浙江卷）已知多项式（尤一l）3+（x+l）4=X4+6nX3+d!2X2+<23x+6!4,则a\=

；Q2+Q3+Q4=.

答案510

4

解析a—厅展开式的通项，+1=（2济丁・（一i）,,a+i）4展开式的通项nn=cu

-k

则ai=C9+Cl=1+4=5；

«2=Ci(-l)'+C^=3；

〃3=CK-1)2+C?=7；Q4=d(—1)3+C4=O,

所以。2+。3+44=3+7+0=10・

考点突破•题型剖析

考点一展开式中的通项问题

角度1求二项展开式的特定项

例1(1)(2020.全国HI卷),十号的展开式中常数项是(用数字作答).

答案240

解析,十|)的展开式的通项为O+inCSaVF停)=C82%i2-3,・，令12—3r=0,

解得厂=4,得常数项为Cg24=240.

’3厂1

(2)巾一丁的展开式中所有的有理项为.

较安—.2_且-2

口木41'8'256入

解析二项展开式的通项公式为

Tk+\=C|()^—2J3,

LHH上10—2%„,,

由题意一—GZ,且0W女W10,ZGN.

10—2A

令3-=«GZ),

3

则10—2A:=3r,k=511r.

•.NGN,应为偶数，

可取2,0,-2,即攵可取2,5,8,

.•.第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为条2,一笑，熬-2.

角度2两个二项式之积、三项展开式问题

例2(1)。+§(1+讨的展开式中/的系数为()

A.15B.20C.30D.35

答案C

解析因为(l+x)6的通项为C^，所以(l+±)(l+x)6的展开式中含X2的项为

1C靓2和已.(2前\

因为G+C2=2C2=2X好=30,

ZA1

所以。+§(1+无»的展开式中f的系数为30.

(2)C?+x+y)5的展开式中，必产的系数为()

A.10B.20C.30D.60

答案C

解析法一(/+尤+>)5=[(/+*)+)[5,

含y2的项为73=C5(x2+x)3y.

其中(/+x)3中含％5的项为Cix4-x=Clx5.

所以ty的系数为c$Ci=30.

法二(f+x+y)，表示5个V+x+y之积.

...炉>2可从其中5个因式中，两个取因式中/,剩余的3个因式中1个取X,其

余因式取》因此x5y2的系数为c支4c3=3O.

感悟提升(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指

数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k

+1,代回通项公式即可.

(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规

律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可

利用排列组合的知识求解.

(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.

训练1(1)。2+》+1)。-1)4的展开式中，X3的系数为()

A.-3B.-2C.lD.4

答案B

解析(X—1)4的通项为Tk+l=Cix4^k(—1)k,(x2+x+1)(无一1)4的展开式中，的

系数为c3(-l)3+a(-l)2+cl(-1)=-2.

(2)(2x+1一3)的展开式中常数项是.

答案一1683

解析（2x+:一3）表示五个（2x+:一3）相乘，则展开式中的常数项由三种情况产

生，第一种是从五个（2九+；—3）中分别抽取2x,2x,-3,则此时的常数

项为C±C%22.（—3）=—360；第二种情况是从五个（2r+:—3）中都抽取一3,则此

时的常数项为（-3）5=-243；第三种情况是从五个3+:—3）中分别抽取2x,p

-3,-3,-3,则此时的常数项为C&Cl2“-3>=—1080,则展开式中常数项

为一360—243—1080=—1683.

考点二二项式系数的和与各项系数的和问题

角度1二项式系数和与系数和

例3（1）（2022.广州模拟）若二项式卜一孑）的展开式的二项式系数之和为8,则该

展开式每一项的系数之和为（）

A.-lB.lC.27D.-27

答案A

解析依题意得2，=8,解得〃=3.取x=l得，该二项展开式每一项的系数之和

为（1—2）3=—1.

（2）（多选）（2022。济南调研）若（1—2x）5=ao+a\x+aix1+。3丁+a4X4+公%5,则下列结

论中正确的是（）

A.ao=1

8.0+02+03+04+45=2

C.4O—a\+。2—g+s—45=3，

D.ao--1〃3|+。4—1〃5|=-1

答案ACD

解析令x=0,则40=15=1,故A正确；

令X=1得-1=。0+。1+〃2+。3+。4+。5,所以〃1+。2+〃3+的+。5=—1—。0=—

2,故B错误；

令X=-1得35=40—a\+。2一曲+。4—。5,故C正确；

因为二项式（1-2x）5的展开式的第r+1项为7；+i=CS（—2）丫,

所以当「为奇数时，C5(—2)『为负数，即G<0(其中i为奇数)，

所以ao—1。1|+。2—1。3|+。4—1。5|=〃0+。1+〃2+。3+。4+。5=-1,故D正确.

感悟提升1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(如+

b)fl,(ax2+bx+cr(a,〃£R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.

2.若/(©uao+aix+azPHFoW,则/(x)展开式中各项系数之和为人1),奇数项

系数之和为〃()+&2+。4+…=，()偶数项系数之和为。1+曲+。5

/⑴一/(一I)

+…=2

角度2展开式的逆用

例4已知一C100(2~x)+C?oo(2—x)2—C?oo(2-%)34---FC188(2-x)loo=ao+aix+

av?-\----Faioftx1<K\则ai+s+a3H-----Fa99=()

2"-1

A.-1B.12C.299—1D.2

答案B

解析记7(x)=1—Cloo(2—x)+C?oo(2—x)2—C?oo(2—x)34---FC188(2—x)1(x)—1=

[l-(2-x)]100-l=(x-l)l00-l,

即(x—1=ao+aix+a2x2-l----Faiooo:100.

令x=1,得ao+ai+敛+…+aioo=­1.

令x=0,得ao=O.

又易知aioo=l,所以ai+s+/H----1-。99=—2.

感悟提升根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理

右边的结构，然后逆用二项式定理求解.

训练2(1)(2022.山西八校联考)已知(1+x)"的展开式中第5项和第7项的二项式

系数相等，则奇数项的二项式系数和为()

A.29B.210C.2"D.212

答案A

解析由题意知C4=C9,由组合数性质得〃=10,则奇数项的二项式系数和为

2门=22

(2)(多选)(2021・武汉模拟)若(1—2x)2021=ao+aix+a2%2+a3X3+…+。2021%2

°2i(xGR),则()

A.no==1

3202,+l

Bai+03+45+…+〃2021—3

11132021-l

C.QO+Q2+44+•••+02020=

42021

D^+冬+22021——1

答案ACD

解析由题意，当X=0时，&0=12。21=1；

当X=1时，。。+0+。2+。3+,・・+。2021=(-I)2021=-1,

当尸一1时，00—01+02—03+—02021=32021,

、32021+1

所以“1+03+45+…+42021=-5,

32021—1

00+02+44+…+。2020=；

22(P1

,02I1a20211.,flY

7+驻H卜2近21=〃1X/+a2=b1------1-。2021义61

当x=T时，O=ao+mX^+zX1

+…+仪202]X

22021

Q[+…+a202lxg)

所以aiX^

-m=-1.

(3)设复数是虚数单位)，则Cl022x+C?O22X2+022X3H-----FC?8^2O22=

()

A.OB-2C.-l+iD.-l-i

答案B

4aL2i2i(1+i),..,,,

解71析x=Y^y=(IT)~(]+.=-]+i,由于Ci022X+Ci022X2+C2022X3H—

+Ci8?ir2022=(l+x)2°22—1=i2°22—1=—1—1=—2.

I考点三二项式系数的最值问题

例5二项式43x+1的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中

Iw

x的指数为整数的项的个数为（）

A.3B.5C.6D.7

答案D

解析根据y女十3的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得〃=20,

：.’x十目的展开式的通项为九+1=©0•(小x)2°{J=(#严火&0，0-彳，

要使x的指数是整数，需k是3的倍数，.•"=(),3,6,9,12,15,18,...尤

的指数是整数的项共有7项.

感悟提升二项式系数最大项的确定方法：当〃为偶数时，展开式中第W+1项

的二项式系数最大，最大值为I”；当〃为奇数时，展开式中第一y一项和第三一

项的二项式系数最大，最大值为或CJ.

训练3⑴已知(3xT)"展开式的第5项的二项式系数最大，且〃为偶数，则(3x

—1)"展开式中f的系数为()

A.-252B.252C.-28D.28

答案B

解析由题意可得〃=8,则(3%一1)8的展开式的通项是T,+l=Cg(3x)8-r.(-l)r,

令8—r=2,解得r=6,则展开式中％2的系数为Cg2=252.

(2)(2022.杭州调研)在卜一卡)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展

开式中系数最小的项的系数为()

A.-126B.-70C.-56D.-28

答案C

解析：只有第5项的二项式系数最大，

...〃=8,卜一山的展开式的通项为

3

〃+i=(—IpCk8-7伙=0,1,2,8),

...展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数

与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展

开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(一1)3&=-56.

【I分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.已知，一5)的展开式的第4项等于5,则x等于()

A.；B.—1C.7D.—7

答案B

解析由A=C%4(一力=5,得％=—3.

2.(1r—2y)的展开式中/y3的系数是()

A.-20B.-5C.5D.20

答案A

解析Tr+i=C.^)•(—2y)『=cs]£|•(—当r=3时，展开式中x2/

2

的系数为弟)X(-2)3=-20.

3.(2021.青岛二模)已知(x+1)("—J的展开式中常数项为-40,则a的值为

()

A.2B.—2C.±2D.4

答案c

解析(如一的展开式的通项公式为77+i=C5(ar)5F(—U

=(-l)^5-rC§x5-2r,

令5—2r=-1可得r=3,

令5-2r=0可得r=|,不符合题意，舍去.

；.（一1那53cg=-40,即10/=40,

;・。=±2.

4cL+2C2+4G+…+2门©=（）

A.3"B.2-3"

3"3"-1

C万一1D.-2-

答案D

21I

解析以+2a+4或+…+2"一I=2℃,'i+2'C^+2C^+-+2^'C；!=1（2C,（+

3IIM

22cM+2C^+-+2"C，）=|（2℃2+2CI+22c2+23G+…+2"C；）-1=1（1+2）-

13M-1

2=2,

5.（多选）在二项式,2—号的展开式中，有（）

A.含x的项B.含土的项

C.含d的项D.含9的项

答案ABC

解析二项式（3/一多的展开式的通项为「+1=田5飞（一2）3f，仁o,1,2,

3,4,5,结合所给的选项，知ABC的项都含有.

6.（多选）（2022•枣庄模拟）已知。—1）5=〃（）+0（%+1）+〃2（%+1/+…+〃5（X+1）5,则

（）

A.a（）=—32

B.Q2=-80

C.G3+4S=0

D.ao+oi+…+。5=1

答案ABC

解析令x=—1得（一1—l）5=qo,即。o=-32,故A正确.

令x=0得（一l）5=ao+m+…+。5,即。（）+。1+—+。5=—1,故D不正确.

令x+1=y9则（x-l）5=ao+ai（x+l）+a2（x+l）2-|1-〃5。+1）5就变为（y—2>=

ao+a\y+a2y2~\---1~。5日根据二项式定理知，。2即二项式（y-2）5展开式中9项

的系数，7Vi=C一（一2汽故敛=C*—2）3=-80,B正确.

«4=Ci(—2)'=—10,a3=Cg(—2>=40,故C正确.

7.(2020•天津卷的展开式中，％2的系数是

答案10

2r5-3r

解析\"Tr+l=C^=2CSx,令5—3r=2,得r=1,...乃=2C1?=10f,

・・.f的系数是10.

8.在（1-/）7+（也+制

的展开式中，若％2的系数为19,则。=

答案2

33

解析（1—5），+的展开式中含X2的项为c9（—Vx）6+Ci（

CW+CVa,则aCg+C3=19,解得a=2.

2

9.（2020・浙江卷）二项展开式（1+2%）5=加+。1尤+4以+。3/+。4%4+。5%5,则。4=

,a\+03+45=.

答案80122

解析由题意，得ai=Cg义2，=5X16=80.

当x=1时，（1+2）5=〃o+m+02+03+04+05=35=243,①

当X=11时，（1—2）5=40—41+〃2—。3+。4一。5=-1.②

由①一②，得2（〃1+。3+。5）=243—（—1）=244,

可得。1+。3+。5=122.

屋,、

厂1n

10.已知在Vx—二的展开式中，第6项为常数项.

<2

⑴求〃；

（2）求含x2的项的系数.

解（1）通项公式为Tr+I=

〃-2r

•..第6项为常数项，，r=5时，有一y-=0,即〃=10.

n—2rj

(2)令一^—=2,得/■=](〃-6)

=^X(10—6)=2,

...含/的项的系数为

11.（2021.重庆质检）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二

项式系数相等，③所有二项式系数的和为2?这三个条件中任选一个，补充在

下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

已知（2%一+…+a?x"（〃eN*）,若（2兀-1）”的展开式中，

（1）求n的值；

⑵求|ai|+㈤+1。3|H---F㈤的值.

解（1）选择条件①：

若（2元—1）”的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则^=5.

所以n=10.

选择条件②：

若（2%—1）”的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，C2=CZ.

所以”=10.

选择条件③：

若（2无一D"的展开式中所有二项式系数的和为2】。,则2»=210.

所以〃=10.

⑵由（1）知n=10,则（2x—l）i°=ao+auJ+a2«2+a3X3+…+aio%i°,

令x=0,则ao=l,

令x=-1,则

3io=ao-a\+<22-B+…+aio

=1+|川+|阂+|。31H--