2023-2024学年上海市控江中学高三年级上册期中考试数学试卷含详解

控江中学高三上期中考试试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生应在

答题纸的相应位置直接填写结果.

1.不等式％+1的解集为.

2,函数，=但（'-5x+4）的定义域为

2+4i

3.复数1+i（其中i为虚数单位）的虚部为.

4.已知。为实数.若关于x的方程%2-4%+。=°有一个根为2+i（其中i为虚数单位），则”的值为.

5.已知“为实数，若数据1,2,4,6的平均数为3,则这组数据的标准差为.

/0、gtana+—=-3tanp——

6.若tan（a+Q）=3,（4J，则（3的值为.

7,已知。为实数.若＞=/（"）是定义在R上偶函数，且它在区间［°'+°°）上是严格增函数，则使得了（“）"/0）

成立的a的取值范围是.

8,某工厂生产A、8两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3.现用分层抽样的方法抽出一个样本容量为〃的样本,

则其中A种型号的产品有1。件，现从样本中抽出两件产品，此时含有A型号产品的概率为.

（p&\--X--

9,已知I2,2）t若函数/（x）=sm（3x+°）的图像关于直线x-5对称，则夕的值为

10.如图所示，两块斜边长均等于血的直角三角板拼在一起，则的值为.

11.在棱长为1的正方体—中，点4、鸟分别是线段A3、82（不包括端点）上的动点，且线段

平行于平面fA.若M=2piB,则四面体利做的体积为

a2+b2+a

12.已知/（*）=/+2。23°若实数“力€（°，+00）且卜/卜=。

2,则此的最小值为

二、选择题（本大题满分18分，4+4+5+5=18）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生

应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.

13.对任意向量a、力，下列关系式中不恒成立的是（）

A.（a+/?）=1+qB.+=a"—//

C.|a-Zj|<pz|-|/?|D.<|o|-|/?|

14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和石，将该三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周得到两个圆

锥，则这两个圆锥的体积的比值为（）

A.1B.6C.3D.3月

15.已知函数y=/（x）,xeR.若〃1）<〃2）成立，则下列论断中正确是（）

A.函数/（X）在（-oo,+o。）上一定是增函数；

B.函数/（x）在（-co,+oo）上一定不是增函数;

C.函数“X）在（3,+8）上可能是减函数；

D.函数“X）在（YO,+oo）上不可能是减函数.

2兀47r67r247r

x|x=sin^^+sin^—+sin——+---+sin——,Z:eZ,Z:>0^,则集合A的元素个数为

{2023202320232023

)

A.1011B.1012C.2022D.2023

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,高为3,底面半径为2.

（1）求该圆锥的侧面积;

（2）设Q4、。8为该圆锥的底面半径，且NAO5=90，M为线段A3的中点，求直线与直线。8所成的

角的大小.

18.已知。为实数，设/（可=/+卜-。|.

(1)若a=l,求函数y=/(x),xeR最小值;

(2)判断函数y=/(x),xeR的奇偶性，并说明理由.

19.如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路。经过三个景点A、8、C.景区管委会又开发了风景优美的景点

O.经测量景点。位于景点A的北偏东30°方向16km处，位于景点8的正北方向，还位于景点。的北偏西75。方向

上.已知AB=10km.

(1)景区管委会准备由景点。向景点8修建一条笔直的公路.求线段8D的长度(长度单位精确到o.lkm)；

(2)求线段AC的长度(长度单位精确到O.lkm)(V3®1.732).

20.已知人为实数，/(x)=2sin2(：+x1-hcos2_x.

(1)若％=0,求关于x的方程〃力=1在［(),兀］上的解；

(2)若攵=&,求函数y=.f(x),xeR的单调减区间；

(3)已知。为实数且左=内，若关于x不等式|/(力—4<2在xw:e时恒成立，求。的取值范围.

2

21.己知实数a>0,设/(x)=—

(1)若a=3,求函数y=/(x),xeR的图象在点(1,-1)处的切线方程；

(2)若a=§,求函数y=.f(x),XG(2,+OO)值域；

(3)若对于任意的XIe(2,+»),总存在We(l,+8),使得/(玉)•/(w)=l，求”的取值范围.

控江中学高三上期中考试试卷

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)考生应在

答题纸的相应位置直接填写结果.

1.不等式x+1的解集为.

【答案】(-1,2)

【分析】

根据分式不等式的解法得(x-2)(x+1)<0,再解二次不等式即可得答案.

【详解】解：由分式不等式的解法得原不等式分<0等价于(x-2)(x+l)<0,

解不等式(x-2)(x+l)<0得—l<x<2.

故不等式7<0的解集为(-1,2).

故答案为：(-1,2)

2.函数y=lg(f—5x+4)的定义域为.

【答案】(4,”)U(9,1)

【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.

【详解】由对数函数定义可得V—5%+4>0,解得x>4或x<l,

所以函数定义域为(4,小>。)YO,1).

故答案为：(4,+oo)u(-oo,l)

2+4i

3.复数丁一(其中i为虚数单位)的虚部为.

1+1

【答案】1

【分析】利用复数除法运算求出结果即可作答.

【详解】•=芸*=货=3+1,

1+1(1+1)(1-1)2

所以复数——2+54■i的虚部为1.

1+1

故答案为：1

4.己知。为实数.若关于x的方程4x+a=0有一个根为2+i（其中i为虚数单位），则“的值为

【答案】5

【分析】依题意可得方程的另一个根为2-i，利用韦达定理计算可得.

【详解】因为关于x的方程/一4x+a=0（。为实数）有一个根为2+i，

所以另一个根为2—i，

则a=（2+i）（2-i）=5.

故答案为：5

5.已知。为实数，若数据1,2,。，6的平均数为3,则这组数据的标准差为.

【答案】^##-714

22

【分析】根据平均数、方差公式计算可得.

【详解】依题意］（1+2+。+6）=3,解得。=3,

7

所以方差为！［（）（）（）（）-

1—32+2—32+3-32+6-322-

4L

则标准差为=恒.

\22

故答案为：叵

2

6.若tan(a+/?)=3,tan|a+：)=-3,则tan],一:J的值为,

3

【答案】丁《75

【分析】根据tan尸一：=tan（a+尸）—a+£利用两角差的正切公式计算可得.

【详解】因为tan（a+6）=3,tan(a+巳=-3,

(兀'

所以tan|/?——=tan(a+⑶a+

I4J

tan(or+尸)-tan［a+：J

l+tan(a+/7)tan^a+

3+3^3

-l+3x(-3)--4,

故答案为：-巳3

4

7.已知“为实数.若y=/(x)是定义在R上的偶函数，且它在区间［0,+8)上是严格增函数，则使得

成立的。的取值范围是.

【答案】［3,”)U(e,—3］

【分析】利用偶函数在对称区间上的单调性相反可得函数y=/(x)在(-0,0］上单调递减，解不等式同？3即可

求得。的取值范围.

【详解】由>=/(X)是定义在R上的偶函数且在［0,+纥)上是严格增函数可知，

函数>=/(%)关于y轴对称，且在(7,0］上单调递减，

即/(X)在)，轴处取得最小值，离对称轴越近函数值越小，

若/(a)N/(3)可得,一0|习3—0|,

B|j|a|>3,解得a»3或a<—3,

所以。的取值范围是［3,4^)U(-8,-3］.

故答案为：［3,+8)(-00,-3］

8.某工厂生产A、8两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3.现用分层抽样的方法抽出一个样本容量为〃的样本,

则其中A种型号的产品有1()件，现从样本中抽出两件产品，此时含有A型号产品的概率为.

【答案】4359

【分析】首先求出样本中8种型号的产品数量，再由组合数公式及古典概型的概率公式计算可得.

3

【详解】依题意样本中8种型号的产品有10x-=15件，

2

现从样本中抽出两件产品共有C；5种取法，其中含有A型号产品的有C；o+C；°C；5种取法，

C；°+C；°C5_39

所以含有A型号产品的概率p=

C；560

39

故答案为:

60

37r

9.己知。e若函数/（x）=sin（3x+°）的图像关于直线x=1-对称，则9的值为

3兀3

【答案】一记##一亦

【分析】根据正弦函数的对称性计算可得.

37r

【详解】因为函数/（x）=sin（3x+o）的图像关于直线x对称，

3兀TI13兀

所以3x--1（p=—FkukwZ,解得（p-------Fkuk£Z,

52f109

又济卜5；｝所以右一正

37r

故答案为：一

10.如图所示，两块斜边长均等于血的直角三角板拼在一起，则QD.B4的值为.

【答案】1

【分析】由图可知。。・BA=（（M+A£>）-BA,利用向量数量积定义代入夹角和模长即可得出结果.

【详解】根据题意可知，。4=。3=1,AD=旦;

2

所以可得

ODBA=（OA+AD）BA=OABA+ADBA^lxy[2cos45+当x0cos9O=1,

即OZ>5A的值为1.

故答案为：1

11.在棱长为1的正方体ABC。一44G2中，点打、鸟分别是线段AB、BDI（不包括端点）上的动点，且线段

P\P?平行于平面aAO4.若A片=2RB,则四面体P]P2AB]的体积为.

【答案】上

【分析】由线面平行的性质定理可得,易知鸟到平面A《用的距离为A到平面A《用的距离的;,由

锥体体积公式即可求得结果.

【详解】如下图所示：

由线段62平行于平面AAO。，且平面AB",平面A平面4BA=AR,

由线面平行的性质定理可得，

2

由可得又正方体棱长为1,可得A6=g

171

所以的面积为S=—X—xl=—,

233

设鸟到平面4的距离为d,

.11

易知D｝到平面APtB］的距离为A。=1,由08=2P2B可得d=§AA=§；

所以四面体的体积为V=，SM=：x|x|=」-.

JJJ。乙/

故答案为：—

27

12.已知/(X)=V+2023X,若实数。力«0,网且了值一3。1+/&一/=0,则-+♦+"的最小值为

12)\2Jab

【答案】5

【分析】易知函数/(x)=Y+2023》为奇函数，可得3。+。=1,则①+"+"=:+丑+1利用基本不等式即

abab

可求得其最小值为5.

【详解】易知函数/(x)=x3+2023x的定义域为R,且满足/(—x)=—丁―2023X=—/(X),

可得函数〃x)=d+2023x为奇函数，

(\}11

若/工一3。+/--b=0可得一一3。+——b=0,即3。+匕=1；

U)22

cru.a'+b~+aab1ab3a+bab3a,b4alb4a,=

abbabbabbabab\ab

b4a12

当且仅当t二F时，即4=—/=—时，等号成立；

ab55

即才+”+”的最小值为5

ab

故答案为：5

二、选择题(本大题满分18分，4+4+5+5=18)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生

应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.

13.对任意向量力，下列关系式中不恒成立的是（）

A.+=|a+/?|B.[a+b^-（a-b^~a-b

C.|a-^|<|a|-|^|D.<|o|-|/7|

【答案】D

【分析】

根据向量平方即为模的平方.即可判断A；运用平方差公式和向量数量积的性质，即可判断B；运用向量数量

积的定义，即可判断C；运用向量模的性质，即可判断D.

【详解】A,由模的平方等于向量的平方知(。+。『=卜+42恒成立，故正确；

B,由平方差公式知(。+分(4叫=1一〃2恒成立，故正确；

C1•司=同似cos(d,〃)4同似恒成立,故正确；

D,当不共线时，由三角形中两边之差小于第三边知，,一0＞卜卜M，故卜一q4自卜,|不恒成立，故D

错误.

故选：D

14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和6，将该三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周得到两个圆

锥，则这两个圆锥的体积的比值为()

A.1B.6C.3D.373

【答案】B

【分析】根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】绕边长为1的直角边旋转得到圆锥的半径彳=6，高4=1,

所以圆锥的体积乂=：兀424=：兀*(6『>1=兀；

绕边长为V3的直角边旋转得到圆锥的半径4=1，高饱=G，

所以圆锥的体积匕=」兀]"兀xFxG=叵;

23233

匕=」-=6

所以匕&

丁

故选：B

15.已知函数y=/(x),xeR.若/⑴</(2)成立，则下列论断中正确的是()

A.函数/(x)在(，》,+»)上一定是增函数；

B.函数“X)在(-<»,”)上一定不是增函数；

C.函数“X)在(F,+8)上可能是减函数；

D.函数/(x)在(，&+»)上不可能是减函数.

【答案】D

【分析】根据函数单调性的定义判断即可.

【详解】因为函数y=/(x),xeR且〃1)<〃2)成立，

则函数/(x)在(，》,中»)上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数，

如/(x)=d,满足但是“X)在(9,土»)上不具有单调性,

故D正确，A、B、C错误.

故选：D

16.设集合A=(x|x=siir27t,+sin-4兀_+$抽_6无_+…+$论-？①wZ,k>。，则集合A的元素个数为

[12023202320232023

()

A.1011B.1012C.2022D.2023

【答案】A

【分析】依题意由表达式中角特征可知当0＜Z«1011«wZ时,sin——的取值各不相同，当左21012时

2023

利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为1011.

此时sin2®；

【详解】根据题意可知，当左eZ时，——e（0,7r）,

2023''2023''

2女兀7T

又因为2023为奇数，2A为偶数，且——中的任意两组角都不关于一对称,

20232

2^7T

所以sin——的取值各不相同，因此当0＜女＜1011,AreZ时集合A中x的取值会随着攵的增大而增大,

2023

所以当％=1011时，集合A中有1011个元素;

当攵=1012时，易知

2兀4兀2022兀2024兀

x=sin------i-sin+…+sin+sin

2023202320232023

2TI4兀.202271.{兀

sin----+sin+•一+sm------+sin7i+

202320232023I2023

2兀.4兀.2022兀兀

=sin------bsin-----+,••-i-sin--------sin---

2023202320232023

2022n.兀

又易知sin=sin——,所以可得

20232023

.2K.4兀.2022兀.2024712兀4兀,2020n:

x—sin------Fsin------1---i-sin+sin=sin------bsin---+—i-sin------

20232023----------20232023202320232023

即左=1012时x的取值与k=1010时的取值相同,

根据集合元素的互异性可知，k=1012时并没有增加集合中的元素个数，

以此类推可得当A21012时，集合A中的元素个数并没有随着人的增大而增加，

所以可得集合A元素个数为1011个.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称

性，由集合中元素的互异性得出当《21012时，集合A中的元素个数并没有随着人的增大而增加即可求得结果.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,高为3,底面半径为2.

p

A

（1）求该圆锥的侧面积;

（2）设Q4、。8为该圆锥的底面半径，且NAO5=90，/为线段AB的中点，求直线PM与直线。8所成的

角的大小.

【答案】（1）2屈n

（2）arccos—

11

【分析】（1）由圆锥的高和底面半径求出母线长，利用侧面展开图即可求得侧面积为2而兀;

（2）作出异面直线与0B所成角的平面角，即可求得其大小.

【小问1详解】

由圆锥性质可知QPL平面AO8,易知高/?=OP=3,底面半径r=OB=2,

可得母线长/=律方=/，

所以圆锥侧面积S=兀"=2屈兀

【小问2详解】

取。4的中点为N,连接PN,MN,如下图所示:

因为M为线段AB的中点，所以MN//OB,因此NPMN（或其补角）就是直线与直线。8所成的角,

又NAOB=90，即OPVOB,

且0P,Q4u平面PQ4,OP04=0,即OB_L平面PCM,

所以MN_L平面PQA,

即肱V_LPN；

在RtzXPNM中，易知PN=M,MN=1,PM=旧,

，八…MNiVHVn

cos/PMN=----=—j==----,因此LL4PMN=arccos-----

PM1111

即直线PM与直线OB所成的角的大小为arccos—

11

18.已知a为实数，^f（x）=x2+\x-a\.

（1）若a=l,求函数＞=/（x）,xeR的最小值；

（2）判断函数＞=/（%）,xeR的奇偶性，并说明理由.

3

【答案】（1）-

4

（2）当a=0时/（X）为偶函数，当aH0时“X）为非奇非偶函数.

【分析】（1）首先得到了（力的解析式，将其写成分段函数，再分段利用函数的单调性分别求出函数的最小值，即

可得解；

（2）分别判断＞=/、y=的奇偶性，即可得解.

【小问1详解】

当4=1时/（力=%2+,-11=/2+"-''1，

尸一冗+1,XV1

当X21时/（x）=f+x-l,函数在［1,欣）上单调递增，则/（x%n=/（l）=l,

当X＜1时/（x）=d-x+l,函数在（_0O,g上单调递减，在C，l）上单调递增，

所以〃丁=七（1A3

综上可得了（无）1nhi

【小问2详解】

因为/（刈=/+上-可定义域为R,

又为偶函数，y=|乂为偶函数,

所以当a=0时/（x）=f+W为偶函数，

当arO时丁=上一《关于x=a对称，此时y=卜一《为非奇非偶函数，

所以〃”=/+卜-3为非奇非偶函数，

综上可得：当a=O时"X）为偶函数，当a#0时/（x）为非奇非偶函数.

19.如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路〃经过三个景点A、8、C.景区管委会又开发了风景优美的景点

“经测量景点。位于景点A的北偏东30°方向16km处，位于景点B的正北方向，还位于景点。的北偏西750方向

上.已知AB=10km.

（1）景区管委会准备由景点。向景点8修建一条笔直的公路.求线段5。的长度（长度单位精确到0.1km）；

（2）求线段AC的长度（长度单位精确到0/km）（73®1.732）.

【答案】（1）7.9km

（2）19.6km

【分析】（1）利用余弦定理计算可得；

（2）先求出NDW，NAOC的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出sin/ACD,最后利用正弦定理计

算可得.

【小问1详解】

依题意可得NAD3=30°,AD=16,AB=10,

在△ABO中由余弦定理Afi?=AZ??+B£）2—2AD,BDCOSZADB，

即10?=16?+BO?—2x16x8。cos30°，即一1+156=0，

解得80=8百+6>16（舍去）或50=8G-647.9，

所以线段8。的长度约为7.9km.

【小问2详解】

ABBD

/ADB中，=，

sinZADBsinZDAB

../inBD-sinZADB4e-3

・・sin/DAB=------------------=----------,

AB10

.36+4

•♦cosNDAB-----------,

10

在,ACD中，ZADC=ZADB+ZBDC=30°+75°=105°,

:.cosZADC=cos105°=cos(60°+45°)

r

=cos60°cos45O-sin60°sin45°=----------,

4

V2+V6

sinZADC=sin105°=sin(60°+45°)=

4

sinZACD=sin[180°-(ZZMC+ZADC)]

=sin(ZmC+sinZACD)

=sinADAC-cosZADC+cosADAC-sinZADC

473-3V2-V63肉4V2+V67逐一血

=----------------X---------------------1------------------X-------------------=----------------------

10410420

V2+V6

又sinZBDC=sin75°=sin(180°-105°)=sinl05°=

4

BCBD

在uBDC中由正弦定理

sinZBDCsin/BCD

BC_873-6

‘解得8C="铲'9.6,

即立+瓜-

2(n

所以线段AC的长度约为10+9.6=19.6km.

20.已知化为实数，/(x)=2sin—+xcos2x.

4J

⑴若k=0,求关于X的方程〃x)=l在［(),兀］上的解；

⑵若k=也,求函数y=.f(x),xeR的单调减区间；

(3)已知“为实数且左=由，若关于x的不等式|/(同一［＜2在xe时恒成立，求〃的取值范围.

TT

【答案】(1)%=0或》=:或X=7l

2

5兀,1171,

(2)----Hkn,-----1-kn,kGZ

1212

(3)[1,4]

【分析】(1)利用二倍角公式及诱导公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得；

(2)利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得；

(3)依题意可得-2+a</(x)<2+a在xw时恒成立，求出/(x)在上值域，即可得到不等式

组，解得即可.

【小问1详解】

因为/(x)=2sin2(3+x)-&-cos2x

=1-cos2四+x-攵•cos2x

(4)

=1-cos\—+2x\-k-cos2x

(2)

=l+sin2x—Z・cos2x,

当攵=0时/(x)=l+sin2x,由/(x)=l,则sin2x=0,

所以2x=觊水eZ,解得x=—,&GZ,

2

所以方程/(x)=l在[(),可上的解为x=0或x或x=n.

【小问2详解】

当女=6时/(x)=1+sin2x-V3cos2x=1+2sin

令？+2kn<2x--<—+2kli,keZ,

232

解得2++keZ,

1212

57r]]TT

所以/(X)的单调递减区间为^+kn,—+kit,kwz.

【小问3详解】

当女=百时/(x)=l+2sin(2x-1),

关于x的不等式|/(同一《<2在xe时恒成立，

兀71

关于X不等式-2+a</(x)<2+a在xe时恒成立,

兀兀71兀2兀〜1兀兀、

由xe-,贝!]2%一不€7,丁，所以sin12x一4卜

[42J33

f2+_

则〃x)e[2,3],所以《「一二，解得"a",

即。的取值范围为[1,4].

2

21.已知实数4>0,设/(x)=-

(1)若〃=3,求函数y=/(x),xeR的图象在点(1,-1)处的切线方程；

(2)若。=：，求函数N=.f(x)，xe(2,+x))的值域；

(3)若对于任意的F«2,物)，总存在w《l,+8),使得/(A,)\f(w)=l，求〃的取值范围.

【答案】⑴4x+y-3=0

(2)(-oo,3]

33

⑶忆手

【分析】⑴求出r(i),〃i),写出切线方程即可;

(2)确定当x«2,+x>)时y=/(x)的单调性再求值域;

(3)求函数单调区间、极值、零点，A="(x)|xe(2,T8)},集合3={JFX€(1,+OO)J(X)HO},由题意

/(-V)

33

知由OeA时不成立知二42,讨论一与1的大小关系求出满足的。的取值范围.

2a2a

【小问1详解】

因为a=3,/(x)=x2-2X5,/(1)=-1,

所以/'(x)=2x-6f,/'⑴=-4.

故点(1,-1)处的切线方程为y-(—l)=