江苏省无锡市梅村高级中学2023-2024学年高一年级上册期中数学试题

江苏省无锡市梅村高级中学2023-2024学年高一上学期期中

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列关系中正确的是()

A.-eQB.V2IRC.0GN*D.TCGZ

2

2.下列四组函数，表示同一函数的是()

2

y-

A.f(x)=E，g(x)=xB.f(x)=x,g(x)=—

X

2

C,/(x)=V?>g(x)=—D./(x)-x,g(x)=松口

X

3.己知xeR,则条件是条件“x<2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件.

4.函数〃力=后4+(，7。的定义域为()

A.(|,+8)

C.|,1]D(1,+8)

5.函数〃力=/-土的图象大致为(

I巾

6.若/(x)=|x+al与g(x)=：在区间[1,2]上都是增函数，则。的取值范围是()

x

A.(-1,0)(0,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.[-1,0)

7.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用

天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右

盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购

买10g黄金，售货员先将5g的祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后

又将5g的祛码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄

金()

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

8.若/(x)在R上满足f(x+2)=/(f)=-/(x),当xe[0,l]时，f{x)=x+a,则

A.0B.gC.1D.-

22

二、多选题

9.下列说法正确的有()

A.若a>b,贝!B.若=>4，则a>b

cc-

C.若a>6>0,m>0,则夕十.>」D.若一I<a<5,2<h<3,则

a+ma

-4<67—Z?<3

10.在整数集Z中，被7除所得余数为&的所有整数组成一个“类”，记为伏],即

[k]={ln+k\neZ,keZ},%=0,123,4,5,6,给出如下四个结论，其中正确的结论为

()

A.2021e[5]B.-2e[2]

C.Z=[0]o[l]o[2]u[3]u[4]o[5]o[6]D.若。—一同,则整数”，6属于同一

类

11.已知x>0,y>。，且x+y+^-3=0,则错误的是()

A.孙的取值范围是1L9]B.x+y的最小值是2

C.x+4y的最小值是3D.x+2y的最小值是4及-3

12.已知函数“X)的定义域为R,%,weR,且x产"，’』)一八々)VT,则()

试卷第2页，共4页

A./(-2)>/(2)+4B./(x)>/(x+l)+l

C.3+42〃0)D.力|+司+同+百<"2)+3

三、填空题

13.已知函数y=a-+3">0且awl)过定点P,且P点在幕函数/⑶的图象上，则

/(3)的值为.

14.若命题pHxeR,⑪?-以v-1为假命题，则。的取值范围为.

15.己知x>l,y>0,x+'=4,则一匚+>的最小值为_______.

yx-\

四、双空题

x,x>a

{-x+2x,x<a

①若玉eR,使得〃l+x)="l-x)成立，则实数。的取值范围是.

②若函数/(x)为R上的单调函数，则实数。的取值范围是.

五、未知

17.化简求值：

⑴J(-4)2-16i+&-0.008-3；

(2)若工+r|=4，求下列各式的值:

①f+x~2;

②--六

六、解答题

18.已知集合4=XI—<0m4-1<x<2m—11.

x+2

⑴当"?=3时，求集合A(。3)；

(2)若AB=B,求实数机的取值范围.

19.已知关于1的不等式ax?—(a+i)x+人<0.

(1)若不等式的解集是{x[l<x<5},求a+方的值；

(2)若a>0,6=1,求此不等式的解集.

2

20.对于函数f(x)=a—k；(aeR).

(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；

(2)若函数f(x)为奇函数，求。的值；

⑶在(2)的条件下，若存在实数人使得不等式-2f)+/(2/-％)<0成立，求实

数々的取值范围.

21.2023年，8月29日，华为Mate60Pro在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫

星通话的大众智能手机.其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科

技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划

在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定

成本300万，每生产x(干部)手机，需另投入成本R(x)万元，且

10x2+l00x,0<x<50

R(x)={c10000八c由市场调研知此款手机售价0.7万元,且每年内生产

701XH-------9450,x>50

的手机当年能全部销售完.

(1)求出2020年的利润w(x)(万元)关于年产量x(干部)的表达式；

(2)2020年年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

22.定义在。上的函数/(x),如果满足：对任意xe。，存在常数M>0,都有lf(x)区M

成立，则称Ax)是。上的有界函数，其中M称为函数/(x)的上界.

(1)试证明：设M>0,N>0,若f(x),g(x)在。上分别以N为上界，求证：函数

/(x)+g(x)在。上以M+N为上界.

⑵若函数f(x)=l+a1£|+(：)在[0,一)上是以3为上界的有界函数，求实数〃的取

值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据元素与集合的关系逐个分析判断即可.

【详解】对于A,因为!为有理数，所以;eQ,所以A正确，

对于B,因为正为无理数，所以正是实数，所以啦iR,所以B错误，

对于C,因为0不是正整数，所以OeN*，所以C错误，

对于D,因为兀为无理数，所以7i£Z,所以D错误，

故选：A

2.D

【分析】根据函数的三要素逐一判断即可.

【详解】/(x)=的值域为似+刈，8。)=》的值域为R,A错误；

2

f(x)=x的定义域为R,8。)='的定义域为｛》|工*0｝,B错误；

X

I--工2

f(x)="7的定义域为R，g(x)=工的定义域为WXNO｝，C错误；

X

fM=x,g(x)=库定义域，值域，解析式都相同，是同一函数，D正确.

故选：D

3.A

【分析】若命题，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件

【详解】因为,一“<1,所以0<x<2,所以0<x<2nx<2.

故选：A

4.B

【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0,分式的分母不为0,以及零次基的底数不等

于0,建立不等式组，求解即可.

[3x-2>02

【详解】解：由己知得,八，解得且X",

[x-lwO3

所以函数”x)=^^^+(x-l)。的定义域为悖1卜(1，+8)，

故选：B.

5.D

【分析】根据函数的奇偶性可排除选项A,B；根据函数在(0,+8)上的单调性可排除选项C,

答案第1页，共11页

进而可得正确选项.

【详解】函数"X)的定义域为{xlxeR且XHO},关于原点对称，

因为f(-X)=(-X)2-七=、一==〃x),

IrIIxI

所以/(X)是偶函数，图象关于y轴对称，故排除选项A,B,

当x>0时，/(x)=x2--,

由y=V在(0,+8)上单调递增，y」在(0,+<»)上单调递减，

X

可得/(x)=V-T在(0,X0)上单调递增，排除选项C,

故选：D.

6.D

【分析】根据绝对值函数与反比例函数的性质求解.

【详解】f(x)=|x+4在*<一4时递减，在时递增，因此一a>-\,

双工)=@在(-8,0)和(0,”)上为增函数，则avO,即在口,2]上增函数时，a<09

X

所以—l<a<0.

故选：D.

7.A

【分析】设天平左臂长为“，右臂长为b(不妨设。>8),先称得的黄金的实际质量为犯，

后称得的黄金的实际质量为机2.根据天平平衡，列出等式，可得叫，，为表达式，利用作差法

比较叫+吗与■的大小,即可得答案.

【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为。，右臂长为6(不妨设"〉>)，

先称得的黄金的实际质量为犯，后称得的黄金的实际质量为机”

由杠杆的平衡原理：bmy=ax5,am,=bx5.解得见=学，a=%，

ba

p5b5a

则见+〃/2=—+—.

ab

下面比较叫+叫与10的大小：(作差比较法)

因为(见+,%)-]()=毁+：一]0=5([j),

答案第2页，共11页

因为标b,所以5传j)2>0,即孙+g>10.

ab

所以这样可知称出的黄金质量大于l()g.

故选：A

8.B

【分析】由/(x+2)=/(-x)=-/(x)可知函数/⑶为奇函数且周期为4,由定义在R上的奇

函数有/(0)=。即可算出。=0,由周期性与对称性即可求出答案.

【详解】因为/(-x)=-/(x)

所以函数/(*)为奇函数，关于(0,0)点对称.

因为/(x+2)=-/(x)

所以函数/5)为周期函数，周期7=4.

因为/(X+2)=/(-x)=-/(x),

令x=0.则/(2)=/(0)=0nn=0.

所以当xe[0/l时，fM=x.

因为f(x+2)=f(-x)

令x=T可得

所以〃2)+/(等〉0+《等卜心5'4+野川|卜也卜；.

故选:B.

9.BCD

【分析】特值法判断A；根据不等式的性质分析判断B、D；根据作差法分析判断C.

【详解】对A：若c=0,则改2=必，故A错误;

对B：若可知5>0,则j，故B正确;

b+mbm{a-b)

对C：作差得:

a+maa(a+m)

Va>h>0,m>0f则。+m>0,。一〃>0,

.m(a-b)h+mb

..--------r>0,则---->-.故C正确;

a(a+m)a+ma

对D,2<Z?<3,<,•—3<—b<—2,又一1<a<5,则—4<a—/?<3,故D正确.

故选：BCD.

10.ACD

答案第3页，共11页

【分析】根据“类”的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】对于A：因为2021=288x7+5,所以2021w[5],故选项A正确;

对于B：因为—2=7x(-1)+5,所以—2e[5],故选项B错误;

对于C：根据“类”的概念知2=同31]32]33]34]3司36]正确，故选项C正确；

对于D：若a-6e[0],设a-6=7〃,〃eZ,即a=7〃+/?,〃eZ,不妨令b=1m+k,mwZ,k-0,

1,2,3,4,5,6,

则。=7m+7〃+Z=7("z+〃)+Z,mwZ,neZ,所以。与〃属于同一类，故选项D正确；

故选：ACD

11.AC

【分析】根据基本不等式可求得。<外41,判断A；将x+y+^-3=0变形为

3-(x+y)=孙4(中产，结合基本不等式，判断B；由x+y+初一3=0整理得至以=-1+2,

结合基本不等式可判断CD.

【详解】对于A,因为x>0,y>0,所以x+y'RH，当且仅当x=V时取等号，

即3-孙22^/^,+2y/xy-3<0,解得即0<盯41,A错误；

对于B,由x>0,y>0,3—(x+y)=w*g)2,当且仅当x=y时取等号，

得(x+y)2+4(x+y)-12N0,解得x+yN2,当x=y=l取等号，

故x+y的最小值是2,故B正确;

—y+34

对于C,由x>0,y>0,x+y+--3=0,Wx=—-r=-1+---7,因为冗>0,所以。<9<3,

y+1y+1

44

则x+4y=-l+——+4y=——+4(y+l)-5>2-4(y+l)-5=3,

y+\y+1

4

当且仅当一;=4(y+l),即y=0时等号成立，但0vyv3,

y+i

所以x+4y>3.(等号取不到)，故C错误；

八八4

对于D,由C的分析知：x>0,y>0,x=-l+----,

44

x+2y=-14-----b2y=----4-2(y+l)-3>2

y+1y+1

答案第4页，共11页

4

当且仅当一;=2(y+l),即丫=0-1时等号成立，D正确.

故选：AC.

12.ABD

【分析】根据函数单调性的定义可得g(x)=/(x)+x单调递减，然后根据函数的单调性逐项

分析即得.

【详解】设X|>*2，则/(尤1)-/(毛)<-(西一&)，即/(xj+玉</(.)+々，

令g(x)=/(x)+x,则g(%)<g(x2)，所以g(x)在R上单调递减，

由g(-2)>g(2),得/(一2)-2>〃2)+2,即/(一2)>/(2)+4,A正确；

因为XCX+1,所以g(x)=/(x)+x>g(x+l)=/(x+l)+x+l,

即/(x)>J.(x+l)+l,B正确；

因为«20,所以g(五)=/(4)+«4g(0)=/(0),C错误；

因为14+/2(当且仅当时=百，即。=±1时，等号成立)，

所以g1|4+同尸卜|+亩+同+时X⑵=八2)+2<〃2)+3,D正确.

故选：ABD.

13.9

【分析】由指数函数的性质易得函数过定点(2,4),再由基函数过该定点求解析式，进而可

求〃3).

【详解】由…I+3知:函数过定点(2,4),若/(x)=x",则2"=4,即〃=2,

fM=x2,故1(3)=9.

故答案为:9.

14.[0,4)

【分析】由它的否定是真命题求解.

【详解】由题意W：VxeR,奴2-or>_1是真命题，B|Jax1-or+1>0>

。=0时显然满足，

答案第5页，共11页

a>0

"0时,解得0<a<4,

A=a2-4a<0

综上”的范围是［0,4).

故答案为：［0,4).

【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

［详解】因为x>l,y>0,x+^=4,所以

yy

女‘7+g=泉-1+工］(白+)，=<2+(x-l)^+-一.

x-l3(y八X-1)3|_(x-l)y

14

>-2+2(x-l)y

~3(i)y3

|i5)

当且仅当(xT)y=77F：且x+-=4,即x=W，y=；时，等号成立,

\x~~［)yy23

1414

所以—；+>2彳，则—>的最小值为彳.

x-\3x-13

_4

故答案为：—.

16.a>\或。=1

【分析】①由〃1+式)=/。-力知,函数“力关于直线x=l对称,结合图像可知。的取值

范围;

②令g(x)=_f+2x,〃(x)=x,根据g(x)与〃(X)的单调性，结合图像知,440或4=1

【详解】①由〃l+x)=〃l-x)知，函数”X)关于直线X=1对称，由函数解析式

“>匕Ix+2,x—2a绘制出其图象的几种大致情况,如下图示

答案第6页，共11页

结合图像知：当玉eR,使得f(l+x)=/(l-x)时，需”>1.

②分别令g(x)=-x?+2x,/i(x)=x,则y=g(x)在(7,1)上单增，力(犬)=苫在口上单增,

结合上述图像可知：若〃x)=F',X""在R上单增，则需440或0=1.

''[-X+2x,x<a

故答案为：①。>1；②或。=1.

17.(1)-1

⑵①14；②土加

【分析】(1)由指数基运算性质运算求解即可；

(2)①将原式平方后求解即可；②设[一平方后求解即可.

【详解】(1)7(~4)2-1+~0-008-(24)U^(|7-[(0.2)3]-^

…5u1

=4-2H-----5=—

22

(2)①x+无々=4,则(%+/)2=16,则Y+2+—=16,则/+厂2=14；

②设则/=芯-2+」=2,则/=土应，即，土应

18.(l){x|-2<x<4}

(2){m\m<3}

【分析】(1)解不等式求出集合A,再根据集合交集，补集运算求解即可;

(2)由题知8=4,再分8=0和8H0两种情况讨论求解即可.

答案第7页，共11页

【详解】⑴由=40,得[(12)(j-5)W0,解得_2<X45,故A={x|-2<x«5},

x+21x+2w0

当m=3时，B={A-|4<X<5},所以Q8={幻x<4或x>5},

所以A低B)={x]-2<x<4}.

(2)因为AB=B,所以

当8=0时，m+\>2m-l,解得m<2,此时3=A；

tn+\<2m-1

当5/0时，由8=A,得<团+1>-2,解得2K〃2<3,

2/n-}<5

综上，加43,即团的取值范围是{加|机<3}.

19.(1)«+/>=!；(2)分类讨论，答案见解析.

【分析】(1)利用根与系数关系列式，求得6的值，进而求得a+6的值.

⑵将原不等式转化为a(x-£|(x-l)<0,对a分成三种情况，讨论不

等式的解集.

【详解】(1)由题意知a>0,且1和5是方程以°-(a+l)x+6=0的两根，

.—(〃+1)b

••1+5=-------，且a1x5=—,

aa

解得〃=；,h=\,

(2)若a>0,6=1,原不等式为加-(a+l)x+l<0,

・，・(6ix—l)(x—1)<0,——1)<0.

时，1<1,原不等式解集为卜!<x<l),

。=1时，-=1,原不等式解集为0,

a

0<”1时，~>\,原不等式解集为

aa\

答案第8页，共11页

综上所述：当。>1时，原不等式解集为卜

当4=1时，原不等式解集为0.

当0<°<1时，原不等式解集为卜卜<、</}.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数关系，考查分类讨论的数学

思想方法，属于中档题.

20.(l)f(x)为R上的增函数，证明见解析

(2)a=l

(3)(-；,+℃)

【分析】(1)利用单调性的定义判断并证明；

(2)利用奇偶性的概念求解；

(3)利用单调性与奇偶性解不等式，结合二次函数的最值求解.

【详解】(1)“X)为R上的增函数，证明如下：

〃》)定义域为口，设

/»(〃)=("高一(加言=(舌逐),

由机可得0<2"'<2",即有〃加)一/(〃)<0,

则为R上的增函数.

(2)若/(x)为奇函数，即有/(0)=0,即a-1=0,解得a=l,

==/(_)===/(),

XI^IF5-X则"X)为奇函数，

则a=1.

2

(3)/(%)=1-=二为R上的奇函数，也为增函数，

2+1

不等式F(尸-2t)+f(2?-Q<0,即为—2f)<—/(2产—幻=fG-2f2),

即有/一2/<攵一2/，即%>3/一2/,

答案第9页，共11页

,1,111

由3产-2f=3(f-：)2-已知，当/=>!■时，3/一2f取得最小值一：,

3333

若存在实数r,使得不等式〃产-〃)+/(2/-％)<0成立，

则%>-g，即实数％的取值范围是(-g,+8).

-1Of+600x-300,0<x<50

21.(1)W(JC)=<

+9150,x>50

⑵2020年年产量为1()()(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元

【分析】(1)通过讨论x的范围，得出M*)的解析式；

(2)分别求出怦⑴在0<x<50和X250上的最大值即可得出结论.

【详解】(1)当0<x<50时，w(x)=700x-(10x2+100x)-300

=-10X2+600X-300.

当xN50时.，w(x)=700x-(701x+^^-9450)-300=—(x+^^)+9I50,

[―10x~+600.V-300»0<x<50

w(x)=

+9150,x>50

(2)若0<x<50,w(x)=-10(10)2+8700,

当x=3O时，卬(x)1rax=8700万