2023年高考数学一轮复习 第4章 正弦定理、余弦定理

正弦定理、余弦定理

【考试要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单

的三角形度量问题.

【知识梳理】

1.正弦定理与余弦定理

定理正弦定理余弦定理

〃2=匕2+/—2/730$A；

abc

内容==拄=。2+〃2-2C4COSB；

sinAsinBsinC

/=〃2+〃2-2〃庆05C

(l)a=2HsinA,

尼+c2一屋

cosA-；

b=2RsinB,2bc

c=22sinC；/+Q2—加

变形cosB-c；

2ac

(2)asinB=bsinAf

层+按一，

Z?sinC=csmB,cosC—_7

2ab

“sinC=csinA

2.三角形中常用的面积公式

(l)S=%〃，/za表示边a上的高)；

(2)5=1aZ?sinC=^acsinB=^bcsmA；

(3)S=：(i+b+c)(r为三角形的内切圆半径).

【常用结论】

在△ABC中，常有以下结论：

(1)ZA+ZB+ZC=TC.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)6Z>/?<4A>B<4sinA>sinB,cosA<cosB.

,।।.A+BC

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=_cosC；tan(A+B)=­tanC；sin~-~=cos-；cos

.C

sin—.

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA~\~acosB.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（D三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.（x）

（2）在△ABC中，若sinA>sin8,贝|A>R（V）

（3）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.（X）

（4）当序+/一次>0时，ZiABC为锐角三角形.（x）

【教材改编题】

1.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=1,则N8AC等于（）

A71

A6

生琮

3

答案C

解析因为在△ABC中，

设AB=c=5,AC—b—3,BC—a—1,

所以由余弦定理得

"+<?一"9+25—491

cosABAC—-2bc—-—30

因为/BAC为△ABC的内角,

所以NBAC=可.

2.在△ABC中，若A=60。，a=4\f3,6=46，贝!J8=.

答案45°

b

解析由正弦定理知一区

sinB'

又a>b,则"3,所以B为锐角，故2=45。.

3.在△ABC中，a=2,b=3,C=60°,则c=,△ABC的面积=

答案S乎

解析易知c=\^4+9—2X2X3X：=S,

AABC的面积等于:*2X3x4=岁.

题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1（12分）（2021・新高考全国I）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知^=

ac,点。在边AC上，BDsinZABC=asmC.

(1)证明：•［切入点：角转化为边］

(2)若AO=2Z)C,求cos/ABC［关键点：N8D4和NBOC互补］

【高考改编】

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知bsinC+asinA=6sin3+csinC.

⑴求A;

(2)设。是线段BC的中点，若c=2,AD=江,求a

解(1)根据正弦定理，

由bsinC+asinA=6sinB+csinC,

可得bc+a2=b2+c2,

即bc=b2-\-c2-a2,

加+廿一〃21

由余弦定理可得，cos4=盗W，

2bc2

因为A为三角形内角，

所以A昔

(2)因为。是线段8c的中点，c=2,AD=V13,

所以

则cosZADB+cosZADC=0,

2

〜砂+沙一已―2g+DG—AC

斤又2ADBD_2ADDC~-0,

储a2

13+T-2213十一一尻

即一一+——=。，

2折彳2叱

整理得层=2廿—44,

又a2—b2+c2-2bccosA—b2+4—2b,

所以〃+4—26=2〃-44,

解得b=6或6=—8(舍)，

因此次=2〃-44=28,

所以a=2五

思维升华解三角形问题的技巧

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含

有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理

都有可能用到.

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边

和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进

行判断.

2冗

跟踪训练1(2021•北京)已知在△ABC中，c=2bcosB,C=~.

(1)求B的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，并求出8C边上的中线

的长度.

①c=gb；②周长为4+2>/5;③面积为

角星(1)Vc=2/?cosB,

则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

2兀g2兀

Asin2B=sin—VC=—,

323

.".BG(0,；),2Be(0,中)，

2B—^,解得B=3

36

(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得

户bsin毁B]_+6，

2

与c=\/ib矛盾,故这样的△ABC不存在；

若选择②：由(1)可得

设△ABC的外接圆半径为R,

则由正弦定理可得a=b=2Rsm?=H,

o

c=2Rsin^=\l3R,

则周长为a+b+c=2R+\f3R=4+2\f3,

解得R=2,则Q=2,C=2\/3,

由余弦定理可得3C边上的中线的长度为

^J(2\^)2+12-2X2\/3X1XCOS^=\/7；

若选择③：由(1)可得4=3即a=6,

6

贝S^ABc=^absmC=^2X^y=^^,

解得4=3,

则由余弦定理可得8c边上的中线的长度为

孚.

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1三角形形状判断

例2在△ABC中，一=sin2gq,从。分别为角a,'C的对边），则的形状为（）

2c2

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由cos8=1—Zsil?与，

得sin??=1-cosB

2

1—cosB

所以-2-

即cosB=~.

c

层+■一反

方法一由余弦定理得:="a,

即次+c2—勿=2层，

所以02+62=^2.所以AABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=岑，

sinC

又sinA=sin（B+Q=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sin5cosC=09又sin3WO,

所以cosC=0,又角。为三角形的内角，

所以。=5所以为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.

延伸探究将"°a=sin2g"改为"也3+。+〃）（》+。-〃）=3历"，试判断△A3C的

2c2smBc

形状.

名力h3sinAa

解因为一^=一,

sinBc

所以?=、所以6=c.

bc

又S+c+〃)(Z?+c—d)=3bc,

222

所以b-\~c—a=bc9

万+/一次be1

所以cosA=

2bc2bc~2'

rr

因为AG(0,7r),所以A=],

所以AABC是等边三角形.

思维升华判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A

+B+C=TI这个结论.

命题点2三角形的面积

例3(2022•沧州模拟)在①sinA,sinC,sinB成等差数列；②a：b：c=4：3：2；③bcosA

=1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积

的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(sinA—sin8)+/»in

B=csinC,c=\,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解因为a(sinA—sin8)+6sin8=csinC,

由正弦定理得a(a—b)+b2=c2,

即a2+Z>2—

又CG(0,兀)，

所以C=j.

选择①：

因为sinA,sinC,sin3成等差数列，

所以sinA+sinB=2sinC,即a+b=2c=2,

由a2+b2—c1=a2+b2—l=ab,

得(a+32—3ab=1,所以ab=1,

故存在满足题意的△ABC,

11兀#

SAABc=-absinC=-X1Xsin

选择②：

因为a：Z?：c=4：3：2,

所以A>8>C=*

这与A+8+C=7t矛盾，所以△ABC不存在.

选择③:

因为&cosA=l,

Z?2+1一屋

所以"，^=1,

得62=1+次=/+/,

所以8=]此时AABC存在.

又C=g,所以A=g

JO

所以〃=lXtan?=*,

o3

所以&ABC=[〃C=好.

20

思维升华三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=%6sinC=|ncsinB=|z?csinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

命题点3与平面几何有关的问题

例4如图，在平面四边形A8CD中，已知A苦，B=y,AB=6.在AB边上取点E,使得

BE=1,连接EC,ED若/CED=£,EC=®

⑴求sinZBCE的值；

⑵求CD的长.

解(1)在△BEC中，由正弦定理，

如BE_CE

口sin/BCEsinB

VB=y,BE=1,CE=\[i,

3

(2)'：ZCED=B=-9

:・/DEA=/BCE,

cosZDEA=A/1-sin2ZD£A

=Nl_sin2/BCE='/l_^=吟

VZo14

.♦.△AED为直角三角形，又AE=5,

：.ED=-0=3=23.

cosADEA5s

IT

在△CEO中，

CD2=CE2+DE2-ICEDEcosZCED

=7+28-2xgx2sx(-£)=49.

:.CD=7.

思维升华平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题,

通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题

时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再

利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.

跟踪训练2(1)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c—acos8=(2。一

b)cosA,则△ABC的形状为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D,等腰或直角三角形

答案D

解析因为c—dicosB=(2a—/?)cosA,

C—Ti—(A+B),

所以由正弦定理得sinC—sinAcosB

=2sinAcosA—sin5cosA,

所以sinAcosB+cosAsinB—sinAcosB

=2sinAcosA—sin5cosA,

所以cosA(sinB—sinA)=0,

所以cosA=0或sinB=sinA,

所以A=5或B=A或3=兀一A(舍去)，

所以△ABC为等腰或直角三角形.

2

⑵(2022•郑州模拟)如图，在△45。中，AB=9,cos5=1,点。在5C边上，AD=1,ZADB

为锐角.

①求BD；

②若NBAO=/D4C,求sinC的值及CD的长.

解①在△A3。中，由余弦定理得

AB2+BD2-2ABBDCOSB^AD2,

整理得8。2-1280+32=0,

所以80=8或BD=4.

16+49-812

当BD=4时，cos/A£)B=

2X4X7?

则乙4。8＞多不符合题意，舍去;

64+49-812

当BD=8时，cos/ADB

—2X8X7-7'

则乙4。8号符合题意，所以80=8.

②在中,

A炉+4。2—

cosZBAD

2ABAD

92+72-8211

2X9X7-21'

所以sinZBA£)=^p,

又sin/ADB,

所以sinC=sin(ZADB-ZCAD)

=sm(ZADB-ZBAD)

=sinZA£>BcosZBAZ)—cosZADBsinZBAD

_3V5X112x8\/5_17\/5

X2i_7X^r-147?

在“8中,由正弦定理得人FA。

sinC

即CD=^-sinZCAD=~~：X8g392

sinC17y5

147

课时精练

〃2+/72—才

1.△ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为—-——，则。等于（）

兀

八

一B一

2

3

兀兀

A.-

C

一D一

.

4

6

答嗪

C

式知

面积公

角形的

意及三

根据题

解析

2

2

2

7—C

«+/

1

-,

----

-----

----

nC

54Z?si

一/

层+/

•

七2

,

cosC

----=

---

=---

sinC

所以

2ab

=j.

中，C

BC

在△A

所以

（）

等于

则c

nB,

=6si

inA

8,s

26=

。，a+

=60

中，C

BC

在△A

模拟）

西城区

•北京

（2022

2.

5

D.

C.6

/31

B.\

A而

B

答案

5,

6sin

inA=

因为s

解析

60,

得。=

理可

弦定

由正

=l,

6,b

以Q=

8,所

28=

又〃+

°

=60

因为C

9

2

2

2

,

bcosC

—2a

a+b

c=

所以

2

2

2

i,

X6x

2Xl

+l-

=6

即c

.

=病

解得c

7

！

,贝

A=—

cos2

〃=4,

c,

〃，b,

别为

边分

应的

,。对

A,B

内角

C的

△AB

已知

3.

）

（

半径为

外接圆

3

5

-

-D

3C

B.

A.5

2

2

C

答案

7

，

—玉

A=

cos2

因为

解析

7

-

石，

A=一

sin2

1—2

所以

4

,

=±-

sinA

解得

,兀），

A£（0

因为

4

~,

sinA=

所以

a4

又Q=4,所以2R=~~5,

sinA4

5

所以R=|.

4.（2022•河南九师联盟联考）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=26,sin2A

—3sin2B=^sinAsinC,则角C等于（）

「兀兀

C2DT

答案B

解析\"sin2A—3sin2B=|sinAsinC,

由正弦定理可得层一3按=，以

；c=2b,

a2—3b2=$2b=ab,

由余弦定理可得

4Z2+Z?2—c2a2—3b21

cosC=----------=~—:-=二，

2ab2ab2

71

'：0<C<n,：.C=-

5.（2022・济南模拟）在/、A台。中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2从inA=gacos8,AB

=2,AC=2也，。为BC的中点，E为AC上的点，且3E为NA3C的角平分线，下列结论

正确的是（）

A.cosNBAC=~~~B.S^ABC=34

O

C.BE=2D.AD=2由

答案A

解析由正弦定理可知

2sinBsinA=\/5sinAcosB,

VsinA^O,

2sinB=\/5cosB.

又sin2B+cos2B=l,

2

...si.nn*cosR

在△ABC中，

AC2=AB2+BC1-2ABBCCOSB,

得BC=6.

A项,

AB-+AC?-B(?4+24-36

cosXBAC—

2,ABAC2X2X2加

=一坐,故A正确;

o

B项，S的c=%BBCsinB=3x2X6X*=2卡,故B错误;

C项，由角平分线性质可知瞥=券=3

/SCnCJ

..AE=—.

2

BE2=AB2+AE2-2AB-AEcosA

=4+>2X2X坐义（一当噂

：.BE=^,故C错误；

D项，在△A3。中，

AE）2^AB2+BD2-'2ABBDCOSB

2

=4+9-2X2X3X-=5,

;.AD=\B,故D错误.

6.（2022•张家口质检）下列命题中，不正确的是（）

A.在△ABC中，A>8,贝UsinA>sinB

B.在锐角AABC中，不等式sinA>cos8恒成立

C.在△ABC中，若acosA=6cos3,则△ABC必是等腰直角三角形

D.在△A8C中，若8=60。，b2=ac,则△ABC必是等边三角形

答案C

解析对于A,由4>8,可得a>6,

利用正弦定理可得sin4>sinB,正确；

对于B,在锐角AABC中，A,Befo,如，

•：A+B>^,

：.^>A>^-B>0,

二•sinA>sing—Bj=cosB,

.二不等式sinA>cosB恒成立,正确;

对于C,在△ABC中，由〃cosA