2023-2024学年青海省西宁市高一年级上册期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年青海省西宁市高一上册期末考试数学试题

一、选择题(共60分，每小题5分)

1.已知集合IIJ,则为“

A,卜卜1<%<2}B.|x|-l<x<2j

C.{x|x<_l}u{x|x>2}D.|x<-11|x>21

【正确答案】B

【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出x-2>0的解集，从而求得集

合A,之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.

详解：解不等式—一8一2>0得x<—1垢>2,

所以4={刈％<-1或％〉2},

所以可以求得C"={x|TWxW2},故选B.

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程

中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

2.sin10°cos500+cos400cos10°=()

A.yB.显C.正D.—立

2222

【正确答案】C

【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.

【详解】sin10°cos500+cos40°cos10°=sin10°cos50°+cos(90°-50°)cos10°

V3

=cos50°sin100+sin50°cos10°=sin(50°+10°)=sin60°V

故选：c

3.设M=2a(a-2),N=(a+l)(a-3),则()

A.M>NB.MWNC.M<ND.

M<N

【正确答案】A

【分析】利用作差法即得.

［详解］因为M-N-2a（a_2）_（a+l）（a_3）——2cr_4iz_cr_2a_3）

=a2-2a+3=（a—+2>0恒成立，

所以"〉N.

故选：A

4,下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,+8）上单调递增的函数是（）

A.y-x3B.y=ln—C.y-TD.y=x2

x

【正确答案】D

【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案.

【详解】是奇函数，不满足题意；

了=111：的定义域为（0,+8）,是非奇非偶函数，不满足题意；

y=2、是非奇非偶函数，不满足题意；

>=/是偶函数，且在区间（0,+8）上单调递增，满足题意；

故选：D

5.设x>0,yeR,则“x>V”是“x>|y|"的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的含义，结合特殊值说明即可.

【详解】设x=3,y=-4,显然有x>几但是x>|引不成立；

若x>3,因为例之y，所以有x>N成立.

所以，“x>N”是“x>|引”的必要而不充分条件.

故选：C.

6.已知扇形面积为一，半径是1,则扇形的圆心角是()

8

3%3万3乃3乃

A.—B.—C.—D.

1684T

【正确答案】C

【分析】

根据扇形面积公式即可求出.

【详解】设扇形的圆心角为a,

1q41

则S=—a戸，即一=-ax『，解得a=一.

2824

故选：C.

7,下列函数中最小正周期为%的是()

A.>,=|sinx\B.y=sinxC.y=tan]D.

y=cos4x

【正确答案】A

【分析】依次计算4个选项的周期即可.

【详解】对于A,^=卜m同为夕=5访》把X轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为力,

正确；

对于B,v=sinx的最小正周期为2%，错误；

r—=2/1

对于c,y=tan二的最小正周期为1,错误；

2i

2TTTC

对于D,y=cos4x最小正周期为％-二万，错误.

故选：A.

2

8,函数/(x)=ln(x+l)--的零点所在的区间是()

x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)

【正确答案】B

2

【分析】函数/(x)=ln(x+l)一t的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数

值符号相反.

【详解】解：•••/(l)=ln2—2<lne2—2=0,

/(2)=ln3-l>lne-l=0,

则/⑴〃2)<0,

2

・・・函数"X)=ln(x+1)-、的零点所在区间是(1,2),

、2

当x>0,且x―>0时，/(X)=In(x+1)<0

22

/'(e)=ln(e+l)——〉Ine——>0,

2?

/(3)=ln(3+l)-y>lne-->0,

21

/(4)=ln(4+l)-->Ine-->0,

ACD中函数在区间端点的函数值均同号，

根据零点存在性定理，B为正确答案.

故选：B.

本题考查函数的零点存在性定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处

的函数值异号.

9.已知a=log2().2/=2°LC=0.2°3,则

A.a<b<cB.a<c<hC.c<a<bD.

b<c<a

【正确答案】B

【分析1运用中间量0比较a，c,运用中间量1比较b,c

0203

【详解】a=log20.2<log21=0,b=2->2°=1,0<O.2<0.2°=1,则

0<c<l,a<c<b.故选B.

本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法，利用

转化与化归思想解题.

【分析】先求出函数的定义域和奇偶性排除选项A和B,再利用特殊值即可排除选项C,

进而求解.

2x

【详解】由题意可知：函数/（X）的定义域为R，

%2+1

又因为上上言2x

x2+\

所以函数/（x）为R上的奇函数，故排除选项A和B；

2x

又因为当x>0时，函数/'*）=-一>0,故排除选项C,

x+1

故选.D

11.已知曲线G：V=sinx的图像，C2:y=cosl2x-|j,则下面结论正确的是（）

TT

A.把a上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移一个单

6

位长度，得到曲线。2

B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移二个单

位长度，得到曲线。2

c.把G上各点的横坐标缩短到原来的9倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移g个单

26

位长度，得到曲线。2

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移展个单

位长度，得到曲线。2

【正确答案】D

【分析】先将C转化为_y=cos(x-'),再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.

【详解】对于曲线G，歹=sinx=cos[x—，要得至DC2：V=cos(2x-g],则把G上

各点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，得到歹=cos(2x-5｝再把得到的曲线向

左平移看个单位长度，得到cos[2(x+])g=cos(2x—?),即得到曲线G.

故选：D.

12.若定义在R的奇函数/(X)在(—8,0)单调递减，且貝2尸0,则满足—1)20的x的取

值范围是()

A.[-l,l]U[3,+a))B.[-3,-l]U[0,l]

c.[-1,O]U[1,4W)D.[-I,0]u[l,3]

【正确答案】D

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数/(x)在相应区间上的符号，再根据两个数

的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在R上的奇函数/*)在(-8,0)上单调递减，且/(2)=0,

所以/*)在(0,+8)上也是单调递减，且/(—2)=0,/(0)=0,

所以当xe(-oo,-2)u(0,2)时,/(%)>0,当xe(-2,0)U(2,+co)时，/(x)<0,

所以由-1)20可得:

x<0fx>0

或4或x=0

-2<x-l<0^0<x-l<2

解得一1<XW0或1WXW3,

所以满足犷。一1)20的x的取值范围是[T,0]u[l,3],

故选：D.

本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

二、填空题(共20分，每小题5分)

13.函数/(x)=f-+lg(x+1)的定义域为______.

71-x

【正确答案】(-M)

【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

x1—x>0

【详解】函数/(')=-7『=+坨(》+1)有意义，则有〈，八，解得—

VI-x[x+1>0

所以函数/(x)的定义域为(-1,1).

故答案为：(-LD

14.函数y=log“(x-2)+3(。>0且恒过定点为.

【正确答案】(3,3)

【分析】根据log”1=0,直接求定点.

【详解】由函数y=log"(x-2)+3,可知当x=3时，"log“l+3=3.

所以函数恒过点(3,3).

故(3,3)

15.已知sin(a+乃)=-g,贝i]tan(a—.

【正确答案】-7或---##---或-7

77

3

【分析】首先根据诱导公式求出sina=-,再利用同角三角函数关系式求出cosa,tana的

值，从而可求出tan(a—的值.

3344

【详解】因为sin(a+4)=--,所以sina=-,所以cosa=——或cosa=一,

5555

43(71tana-1r

当cosa=一一时，tancr=——,tana---------r=-7；

54Itana+1

4tana」，tan")tana-1_1

当cosa=1时,

4I4丿tana+17

故答案为：-7或---.

7

-4-7

16.若函数/(x)=一,,—的定义域为R,则实数左的取值范围是

')AX2+4AX+3

3

【正确答案】0,-

【分析1分析可知，对任意的xeH,履2+4丘+3wo恒成立，分左=0、左。。两种情况

讨论，结合已知条件可求得实数上的取值范围.

人+7

【详解】因为函数/(%)=—5—J—的定义域为A,

kx+4Ax+3

所以，对任意的xeR,Ax?+4Ax+3。0恒成立.

①当左二0时，则有3w0,合乎题意；

3

②当左。0时，由题意可得A=16r_12厶<0,解得0<4(一.

4

综上所述，实数左的取值范围是o,|j.

故答案为.0,-^-j

三、解答题(共70分，17题10分，18-22题各12分)

「厶sina-cosa1

17.已知二--------=-.

sina+cosa2

(1)若a为第三象限角，求cosa的值

(2)求cos2a的值

【正确答案】(1)一回

10

⑵一

【分析】（1）根据题意可得sin。=3cosa,再结合sir?a+cos2a=1且a为第三象限角

即可求解;

（2）结合（1）的结论和二倍角的余弦公式即可求解.

【小问1详解】

因为'Ma_cosa=丄,所以2sina-2cosa=sina+cosa，

sina+cosa2

则sina=3cosa，因为siVa+cos2a=1且a为第三象限角,

所以sina=---------->cosa=-----------

1010

【小问2详解】

由（1）可知：cosa=—Xi。，

10

,14

所以cos2a=2cos-a-1=2x------1=——.

105

18.在①=②Zc8=0这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答.

已知集合/={x|2a-1<》<4},8=卜卜241}.

（1）若a=-1,求但4）U8；

（2）若,求实数a的取值范围.

【正确答案】（1）{x[x<—3或xN-l}

（2）答案见解析

【分析】（1）化简集合8,根据集合的运算直接计算即可得到结果.

（2）根据条件分集合A为空集与集合A不为空集分别讨论计算，即可得到结果.

【小问1详解】

5=^x|x2<=|x|-l<x<1|,

当a=-l时，^={x|-3<x<-l},所以为/={x|x«_3或xN_l}

所以(4/)U3={x|x4-3或x»—l}

【小问2详解】

由(1)知8={x|-14x41},

若选①：由4口8=4,得4=B

当2。一12。，即时，4=0,符合题意；

2o-l<a

当Z/0时，ba-l>-l,解得OWa<l.

a<l

综上所述，实数”的取值范围是[0,+力）

若选②：当/=0时，2。一12。，即421;

2a-\<a\2a-l<a

当月H0时,或4

a<-\"[2a-l>l

解得aW-1或。不存在.

综上所述，实数a的取值范围是（-8,-1]31，+8）

19.为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形

空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆

满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.

（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；

（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

【正确答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为（824+160J5）平方米.

【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可;

(2)表示S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(——+4),利用均值不等式，即得最小值.

x

【详解】(1)设草坪的宽为X米，长为y米，由面积均为400平方米，得夕=理.

X

因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以理..x+9,所以/+9%一40。，0,解得

x

-25,,4,16.

又x>0,所以0<x,16.

所以宽的最大值为16米.

(2)记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得

S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(—+4)=824+8(x+—)...(824+1606)(平方米)

XX

当且仅当x=10百米时，等号成立.

所以整个绿化面积的最小值为(824+16073)平方米.

x+2,x<0,

20.已知函数/(%)=上八且点(2,1)在函数/⑴的图像上.

logax,x>0,

(1)求并在如图直角坐标系中画出函数/(x)的图像;

(2)求不等式/(x)<l的解集；

(3)若方程/(x)-，〃=0有两个不相等的实数根，求实数机的取值范围.

【正确答案】(1)a=2,图像见解析

(2)(-x,-l)U(0,2)

(3)(-℃,2]

【分析】(1)由/(2)=1得出。，进而画出图像;

(2)由对数函数的单调性解不等式得出解集；

(3)由函数丁=加的图像与函数y=.f(x)的图像有两个不同的交点，结合图像得出实数“

的取值范围.

【小问1详解】

•••点(2,1)在函数/(x)的图像上，.•./(2)=log“2=l,

:.a=2

x+2,x<0

log2x,x>0

函数/(X)的图像如图所示:

【小问2详解】

不等式/(X)<1的解集为(一8,-1)u(0,2).

【小问3详解】

方程/(x)-〃?=0有两个不相等的实数根,

•.・函数歹=加的图像与函数y=/(x)的图像有两个不同的交点.

结合图像可得义.2,故实数机的取值范围为(-8,2].

（2）写出函数/（x）在0,1上的单调递减区间.

【正确答案】（1）y=2sin（2x+

7171

(2)

【分析】（1）根据图象求得4。,/，从而求得了（X）解析式.

（2）利用整体代入法求得/（X）在区间0,|上的单调递减区间.

【小问1详解】

由图象知4=2,7=今71乃，所以⑦=2,又过点K，oJ,

A兀CC,ClR.II7C71

齐一Wx2+夕=2左肛夕=2左zr+w,由于M|<5，故9=（,所以y=2sin（2x+?J.

4

【小问2详解】

由2人乃+'W2x+^<2%乃+羡（女€Z）,

qrSTT

可得左7TH——<X<k7l-\-——（左£Z）,

88

当』时台

7171

故函数/(X)在0,y上的单调递减区间为

82

h-2x

22.已知定义域为R的函数/(x)=±亠是奇函数.

2X+a

(1)求a,b的值；

(2)用定义证明/(X)在(-8,+00)上为减函数；

(3)若对于任意/eR,不等式/(——2/)+/(2/一左)<0恒成立，求左的范围.

【正确答案】(1)。=1,b=\.

(2)证明见解析.(3)I-oo,-|l

【分析】(1)根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.

(2)根据函数单调性的定义即