2022-2023学年深圳市南山外国语学校九年级上学期期中考试数学试卷（学生版+解析版）

2022—2023学年南山外国语学校（集团）九年级上学期期中考试数学

试卷

一、选择题（每题3分，共10小题.每题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡

上）

1.方程V-25=°的解是（）

Ay=5B.y=-5C.y=5或y=-5D.y=0或y=5

2.如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在。区域的概率是（）

ace1八3c+2e

3.若各=，=7而且八则的值为＜）

4.如图，以点。为位似中心，把J15C放大2倍得到.A'3'C'.下列说法错误的是（）

A.AABC^AA'B'C'B.AO:A4'=1:2

C.AB//AB'D.直线CC'经过点。

5.如图，四边形ABC。的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（)

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=8。

6.用配方法解一元二次方程/+6x—10=0,此方程可变形()

A.(X+3)2=19B.(X-3)2=19C.(x+3)2=1D.(x-3)2=l

7.下列命题正确的是()

A.如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比

B.对角线相等且垂直的四边形是正方形

C.顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形

D.各边对应成比例的两个多边形相似

8.如图，在菱形ABCQ中，对角线AC与BQ相交于点O,在8c延长线上取一点E,连接。E交C。于

点?已知A8=5,CE=\,则CF的长是()

9.若关于x的方程⑪2+乐+c=0(a。())满足。―8+。=。，称此方程为“月亮”方程.已知方程

1OQQ/y

。2彳2_1999"+1=0(。/0)是“月亮”方程，求"+1999。+的值为()

A.0B.2C.1D.-2

10.如图，在正方形ABC。中，ZV郎的顶点E，尸分别在BC,8边上，高AG与正方形的边长相

等，连接3。分别交AE,Ab于点M,N,下列说法：①NE4F=45。；②连接MG,NG,则

AMGN为直角三角形；@^AMN~/SAFE■.④若BE=2,FD=3,则MN的长为之血，其中正确结

2

论的个数是()

C.2D.1

二、填空题（每题3分，共5小题.请把正确答案填写在答题卡上）

11分解因式：cr+8<2+16=.

12.一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提

下，小天为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下

颜色，然后把它放回口袋中.不断重复上述过程.小天共摸了200次，其中有40次摸到白球.因此小天估

计口袋中的红球大约有.

13.如图，ABMGH//CD,点、H在BC上,AC与8。交于点G,AB=2,CZ>3,则G”的长为—.

_m2+m+n,当?n2〃时，

14.对于实数相，〃，先定义一种断运算如下：7〃=〈，.z,若

n+m+n,当m<〃时

x（g）（—2）=10,则实数x的值为

15.如图，在A4BC中，8。平分NABC,NA=3NC,AB=6,BC=10,则A£>=

三、解答题（55分，共7题，其中16题5分，17题6分，18题8分，19题8分，20题8

分，21题10分，22题10分.）

16计算：（3.14—万）°一场+出一2|+电.

17.解方程

（I）X2-2X-1=0

（2）3/+21=（）

18.某学校创办“耕耘文学社”以来，关注度逐年上升.学校为了了解学生对“耕耘文学社”的关注度,

采用了随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计

图.（其中力表示“关注”；B表示“不关注”；C表示“非常关注”；。表示“关注很少”）.

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（2）请补全条形统计图；

（3）该校现有学生420名，请估计这420名学生中“非常关注”的学生人数；

（4）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“不关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的

想法，而本次调查回答“不关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两

名同学中刚好有这位男同学的概率.

19.如图，在菱形ABCZ）中，AB=2，ZB=60°,将一个60。的NPCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋

转，当CP与边AB交于点M,C。同时与边AD交于点N时.

Q

（2）当CW等于多少时，2AMN的面积最大，请说明理由.

20.某超市销售一种衬衫.平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该超市准

备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件.

（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？

（2）小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬

衫应降价多少元？若不同意，请说明理由.

21.如图，在一ABC中，BC的垂直平分线分别交BC,AC于点。，E，BE交AD于点F，

AB=AD.

(1)求证：△BFDs'AB；

(2)求证：AF=DF；

EF

(3)——的值等于.(直接写出结果，无需解答过程)

FB

22.如图，正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上，且NECF=45°,CF的延长线交

BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.

(1)填空：ZAHCZACG；(填“>”或"V”或“=”)

(2)线段AC,AG,AH什么关系？请说明理由；

(3)设AE=m,

①AAGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值.

②请直接写出使4CGH是等腰三角形的m值.

2022—2023学年南山外国语学校（集团）九年级上学期期中考试数学

试卷

一、选择题（每题3分，共10小题.每题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡

上）

1.方程V-25=°的解是（）

A.y=5B.y=-5C.y=5或y=-5D.y=0或y=5

【答案】C

【解析】

【分析】先把常数移到右边，再利用开平方的方法解方程即可.

【详解】解：丁—25=0

移项得：丁=25,

开方得：y=±5,

,y=5或y=-5,

故选C.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

2.如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C区域的概率是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据概率公式所占部分除以总数即可求得.

【详解】指针落在c区域的概率是g=?,

故选D

【点睛】此题考查了概率问题，解题的关键是用概率公式求解.

ace1,„,„„„a-3c+2e

3.若工=7=丁=三且8-3d+2/H°,则八―不的值为（）

baj5b-3a+2/

5ill

A.—B."C.—D.一

6263

【答案】D

【解析】

a-3c2e1

【分析】先利用分式基本性质得到了=一口=；了=彳，然后根据等比性质解决问题.

b-3d2f3

aceI

【详解】=-=-=

bdf3

.a_-3c_2e_1

又•.•6-3"+2"0,

.a-3c+2e_1

，-b-3d+2f—3，

故选D.

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的系数是解题的关键.

4.如图，以点O为位似中心，把放大2倍得到vA'3'C.下列说法错误的是（）

C.AB//AB'D.直线CC'经过点0

【答案】B

【解析】

【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可.

【详解】解：•••以点0为位似中心，把一ABC放大2倍得到一AB'C,

/./XABC^AA'B'C，AB//AB'，直线CC'经过点。，AO:40=1:2,

，AO:A4'=1:3，

:.A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意.

故选:B.

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质.掌握位似三角形的性质是解题的关键.

5.如图，四边形ABCC的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

【答案】D

【解析】

【分析】易得四边形ABC。为平行四边形，再根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形即可得出

答案.

【详解】解：可添加AC=BD,

•••四边形ABCD的对角线互相平分，

四边形ABCO是平行四边形，

•：AC=BD,

四边形ABC。是矩形.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩

形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形.

6.用配方法解一元二次方程/+6%一10=0,此方程可变形为()

A.(X+3)2=19B.(X-3)2=19C.(x+3)2=1D.(x-3)2=l

【答案】A

【解析】

【分析】先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后整理即可得到答案.

2

【详解】解：X+6X-10=0

移项得：x2+6%=10>

配方得：+=10+^,整理得：（x+3『=19,

故选A.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，关键是要注意解题步骤要准确..

7.下列命题正确的是（）

A.如果线段A8被点C黄金分割，那么AC与A6的比叫做黄金比

B.对角线相等且垂直的四边形是正方形

C.顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形

D.各边对应成比例的两个多边形相似

【答案】C

【解析】

【分析】根据黄金分割的定义即可判断A；根据正方形的判定即可判断B；根据菱形的判定即可判断C；根

据相似多边形的判定即可判断D.

【详解】解：A、如果线段A6被点C黄金分割且AC>8C,那么4c与AB的比叫做黄金比，是假命

题，不符合题意

B、对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，是假命题，不符合题意；

C、顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形（可以利用三角形中位线证明），是真命

题，符合题意；

D、各边对应成比例，对应角相等的两个多边形相似，是假命题，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知黄金分割，正方形和菱形的判定，相似多边形的判定是解题

的关键.

8.如图，在菱形A8CQ中，对角线4c与8。相交于点O,在BC延长线上取一点E,连接OE交C。于

点、F.已知AB=5，CE=\,则”1的长是（）

35

C.D.

57

【答案】D

【解析】

【分析】作OGCD交BC于点G,根据平行线分线段成比例定理证明BG=CG,根据菱形的性质可得

OB=OD,则G。是△BCD的中位线，可求出BG、CG和0G的长，再求出GE的长，由CFGO可得△

ECFsMGO,根据相似三角形的对应边成比例即可求出C尸的长.

【详解】解：如图，作0GCD交BC于点G,

•••四边形ABC。是菱形，且A8=5,

.•.BC=CD=A8=5,OB=OD,

,BGBO,

••=-----=1,

CGDO

1“5

*>BG=CG——BC——，

22

GO是△BCD的中位线

i5

G0=CD=-,GOCD

22

'：CE=\,

57

，GE=CG+CE=一+1=一，

22

,：CFiGO,

：.NECF=NEGO

'：ZE-ZE

:.△ECFsgGO,

.CFCE

"~GO~~GE'

5y1

GO・CE25

CF=--------=?一=-,

GE77

2

的长为之,

7

故选：D.

【点睛】此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性

质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

9.若关于X的方程融2+灰+c=o（awo）满足。一匕+。=0,称此方程为“月亮”方程.已知方程

1OQQz；

。2£_19990¥+1=0（"0）是“月亮”方程，求/+1999。+号三■的值为（）

A.0B.2C.1D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根据“月亮”方程的定义得出02+19994+1=0,变形为1+1999。=一1，/+I=T999a代

入计算即可.

【详解】解：•.•方程。2X2-1999"+1=0（。。0）是“月亮”方程，

/•〃+1999。+1=0

A«2+1999a=-b/+]=_]999。

・2see1999asee1999a,

••ci+1999。H------ci2+1999〃--------------1+（z-1）——2n

a2+l-1999a

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程

的解.

10.如图，在正方形A8C。中，AAE尸的顶点E，尸分别在BC，C£＞边上，高47与正方形的边长相

等，连接8。分别交AE,AF于点M，N,下列说法：①NE4尸=45。；②连接MG，NG，贝U

AMGN为直角三角形；@AAA«V~AAF£；④若BE=2,FD=3,则MN的长为其中正确结

2

论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据正方形的性质及HL定理求得RtAAEB^RtAAEG,RtAAFD^RtAAFG,从而求得

ZEAB=ZEAG,NFAD=/FAG,然后求得2/EAG+2NFAG=90。，从而得到NW=45。，由此判断①；

将aADN绕点A顺时针旋转90。至AABH位置，连接MH,MG,NG,由旋转的性质根据结合SAS定理

求得aAHM之△ANM,得至ijMN=MH,结合正方形和旋转的性质求得NHBM=/ABH+/ABD=90。，从而

可得MH=HB2+BM2,然后根据SAS定理求得△ABM会Z\AGM,AAND^AAANG,从而得到

BM=GM,DN=GN,从而求得MN?=MG2+NG2,由此判断②；

由垂直可得NAEG=90°-NEAG,然后结合①中己证/EAG+/FAG=NEAG+/FAD=45。，可得

ZANM=90°-ZEAG,由此得到/AEG=NANM,然后根据AA定理求得三角形形式，由此判断③；

旋转4ABE到aADH,由旋转性质和SAS定理可得得4ABE丝AADH,AAEF^AAHF,设CF=a,在Rt

△CEF中，根据勾股定理列方程求a,从而求得正方形的边长，设MN=x,结合②中的结论列方程求x的

值，从而判断④.

【详解】解：如图中，

:四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZABC=ZADC=90°,

VAG±EF,

/AGE=NABC=90。，

'AE—AE

在RtZiAEB和RtZiAEG中，J

AB^AG

：.RtAAEB^RtAAEG,

/EAB=/EAG,

同理可证RtAAFD^RtAAFG,

ZFAD=ZFAG,

2ZEAG+2ZFAG=90°,

NEAG+/FAG=45°,

.\ZEAF=45°,故①正确；

如图②，将4ADN绕点A顺时针旋转90。至AABH位置，连接MH,MG,NG

由旋转知：ZBAH=ZDAN,AH=AN,

・・•四边形ABCD是正方形，

.•・ZBAD=90°,

ZEAF=45°,

.,.ZBAM+ZDAN=45°,

JZHAM=ZBAM+ZBAH=45°,

.\ZHAM=ZNAM,又AM=AM,

AAAHM^AANM,

・・・MN=MH

・・•四边形ABCD是正方形，

AZADB=ZABD=45°.

由旋转知：ZABH=ZADB=45°,HB=ND,

・・・ZHBM=ZABH+ZABD=90°,

.,.MH2=HB2+BM2,

AMN2=MB2+ND2.

又・.,AB=AG,ZEAB=ZEAG,AM=AM

AAABM^AAGM

・•・BM=GM

同理可证：AAND^AAANG

・・・DN=GN

.,.MN2=MG2+NG2

即AMGN为直角三角形，故②正确；

VAG1EF

AZAEG=90°-ZEAG

又・.,NANM=NBDA+NDAF=45°+ZDAF

由①可知：ZEAG+ZFAG=ZEAG+ZFAD=45°

/ANM=90°-ZEAG

ZAEG=ZANM

又ZAMN=ZAFE

：.^AMN~^AFE,故③正确;

如图3中，

图（3）

旋转4ABE至!]ZXADH,AABE^AADH

；.DH=BE=2,

同理②中可证：△AEFgZXAHF,

；.FH=EF,设CF=a

；.CD=CF+DF=a+3,EF=FH=DF+DH=5,

•..四边形ABCD是正方形，

；.BC=CD=a+3

；.CE=BC-BE=a+3-2=a+l,

在RtZXCEF中，根据勾股定理得，（a+1）2+32=25

.♦.a=3或a=-5（舍），

，CF=3,

；.CD=6,

，正方形的边长为6；

由正方形ABCD的边长为6,

.•.BD=0CD=6&,

图（3）

由①可知△MAN=45°,

VAB=AD,ZBAD=90°,

由②得BM2+DN2=MN2,

设MN=x,

；BD=6&,,

：.D^=DN=6y/2--y/2-X=^--X

22

./3夜、，,9近、22

••（----）-+（------x）=x-

22

解得x=*返，

2

.*.MN=—V2,故④正确

2

故选：A.

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性

质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用探究的

结论解决新的问题，属于中考压轴题.

二、填空题（每题3分，共5小题.请把正确答案填写在答题卡上）

11.分解因式：«2+8«+16=.

【答案】（。+4）2

【解析】

【分析】根据完全平方公式进行因式分解，即可求解.

【详解】解：〃+8。+16=（。+4）2,

故答案为：（a+4『.

【点睛】本题考查了利用公式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键.

12.一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提

下，小天为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下

颜色，然后把它放回口袋中.不断重复上述过程.小天共摸了200次，其中有40次摸到白球.因此小天估

计口袋中的红球大约有.

【答案】20

【解析】

【分析】求出口袋中的球的总数量，即可求解.

40

【详解】解：根据题意得：口袋中的球大约共有5+七=25,

所以口袋中的红球大约有25-5=20个.

故答案为：20

【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据题意求出口袋中的球的总数量是解题的关键.

13.如图，AB//GHVCD,点、H在BC上,AC与80交于点G,AB=2,8=3,则GH的长为—.

D

BHC

【答案】1##1.2##11

【解析】

【分析】由AB〃GH,可得ACGHs^CAB,从而得出里="，同理可得空=也，将两个式子相

ABBCCDBC

加，即可求出GH的长.

【详解】

.丝即空二里①，

ABBC2BC

同理等”即空=也②，

CDBC3BC

„gGHGHCHBHBC

23BCBCBC

.GHGH

••----1----=1,

23

解得GH=?.

故答案为—.

…nr+m+n,当m>〃时，

14.对于实数⑶n,先定义一种断运算“㊁”如下：加③〃=〈,也「若

n+m+n,当相<〃时

x（S）（-2）=10,则实数x的值为

【答案】3

【解析】

【分析】根据定义，分X2一2和xV—2两种情况进行解方程，得出x的值.

【详解】解：当x》一2时，2=10,

解得：Xi=3,%2=—4（不合题意，舍去）；

当xV—2时,（-2）2+x-2=10,

解得：x=8（不合题意，舍去）；

；.广3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分X》一2和》〈一2两种情况进行解

方程是解题的关键.

15.如图，在A4BC中，BD平分NABC,ZA=3ZC,AB=6,BC=10,则A£>=.

A

【答案】V6

【解析】

【分析】作出如图的辅助线，证明AAB3AEBO（SAS）,推出NE4C=NC,AE=EC,再证明8。是

An3

AE垂直平分线，利用勾股定理和面积法求得BG和A/，再求得AC的长，再利用面积法求得7K=$,

ACo

据此求解即可.

【详解】解：在3c上取点E,使BE=AB,作AblBC于点F,连接AE交8。于点G,如图，

A

：BO平分/ABC,

ZABD^ZEBD

又BE=AB,BD-BD,

A4BZ)也AEBO(SAS),

；.AD=ED,NBAD=NBED=3NC,ZBAE=ZBEA=ZEAC+ZC,

：.ABAC=NBAE+NEAC=ZE4C+ZC+ZEAC=2ZEAC+ZC,

3ZC=2ZE4C+ZC,即ZEAC=ZC,

AE=EC.

VAB=6,6C=10,

A£=EC=10—6=4,

*/B。平分NABC，BE=AB,

：.8。是AE的垂直平分线，

AG—EG=2,

；•BG=ylAB2-AG2=472,

•：-AExBG^-BExAF,

22

AF=—.EF7AE，-AF?=♦,

33

CF=CE+EF=—,

3

AC=VCF2+AF2=还，

3

：BO平分/ABC,

点D到AB和BC边上的距离相等，

.S^BD_A8_6_3_ADA£)3

,,SACBDBC105CD''AC8

・4n_3876_FT

,•AD=-x------=76•

83

故答案为：、后.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题.

三、解答题（55分，共7题，其中16题5分，17题6分，18题8分，19题8分，20题8

分，21题10分，22题10分.）

16.计算：（3.14—4）°一伤+1百—2卜］：）.

【答案】12-4石

【解析】

［分析］根据a。=l（aw0）得到（3.14-〃）°=1,绝对值化简得到-2卜-（6-2）,根据。一"=.得

到（3），最后根据实数运算法则即可计算结果.

【详解】解：（3.14-乃）"-厉+2-2|+出

=1-3肉1百+2）+9

=1-36-6+2+9

=12-4^

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数辕的性质、负整数指数塞的性质、绝对值化简以及算术

平方根是解题关键.

17.解方程

（1）x2-2x-i=0

（2）3%2+2X-1=O

【答案】（1）%=1+0,赴=1-0

（2）,工2=-1

【解析】

【分析】（1）利用配方法解方程即可；

（2）利用因式分解法解方程即可.

【小问1详解】

解：x2—2x—1=0

移项得：x2-2x=1，

整理得：（X—1）2=2,

开方得：X-1=±V2-

解得玉=1+A/5,x2=1—>/2；

【小问2详解】

解：；3/+21-1=0，

/.（3x—l）（x+l）=0,

3x—1=0或x+l=0,

解得％=—,x2=-1.

3•

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

18.某学校创办“耕耘文学社”以来，关注度逐年上升.学校为了了解学生对“耕耘文学社”的关注度,

采用了随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计

图.（其中A表示“关注”；8表示“不关注”；C表示“非常关注”；。表示“关注很少”）.

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（2）请补全条形统计图；

（3）该校现有学生420名，请估计这420名学生中“非常关注”的学生人数；

（4）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“不关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的

想法，而本次调查回答“不关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两

名同学中刚好有这位男同学的概率.

【答案】(1)25,24°

(2)统计图见解析(3)210人

(4)树状图见解析，g

【解析】

【分析】(1)由两个统计图知，“非常关注”有30名，占50%,则可求得调查的总人数，用“关注”的

人数除以总人数即可求得加的值，用360度乘以“不关注”的人数占比即可求出B所在扇形的圆心角度

数；

(2)根据(1)所求从而可求得“关注很少”所占的人数，可补充完整条形统计图

(3)用420乘以调查中“非常关注”所占的百分比即是所求的结果；

(4)画出树状图，可得到所有的结果数及刚好有这位男同学的结果数，则可求得此时的概率.

【小问1详解】

解：由题意知：“非常关注”有30人，占调查人数50%,则调查的总人数为：30+5()%=6()人，

/.m%=—xlOO%，

60

77?=25;

4

360按—=24?,

60

•••B所在扇形的圆心角的度数为24°，

故答案为：25,24°；

小问2详解】

解：“关注很少”的人数为60-(15+4+30)=11人，

【小问3详解】

解：420x50%=210A,

•••估计这420名学生中“非常关注”的学生有210人;

【小问4详解】

解：“不关注”的这些同学中有一名男同学和3名女同学，分别用女1、女2、女3表示这3名女生，画出

的树状图如下：

则选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为色=

122

【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联、样本估计总体的数量、列表法或树状图求概率

等知识，充分利用两个统计图中的信息是解题的关键，用样本估计总体是统计思想的体现.

19.如图，在菱形ABC。中，AB=2，28=60°,将一个60。的NPCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋

转，当CP与边AB交于点M，C。同时与边AO交于点N时.

Q

（2）当CM等于多少时，二AMN的面积最大，请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）6,理由见解析

【解析】

【分析】（1）连接AC,利用菱形的性质首先得出是等边三角形，根据ASA定理，可证得

△ANC/ABMC,CM=CN,据此即可证得结论；

⑵根据ABCM也ZXACN可得AN=，可得AM+AN=A3=2,再根据二次函数的性质，可得当

AM=AN=U'i,的面积最大，据此即可求得.

【小问1详解】

证明：如图：连接AC,

Q

四边形ABC。是菱形，

:.AB=BC,NBAC=NDAC」NBAD,AD//BC，

2

ZB+ZBAD=180°,

NB=6()°,

ABAD=180°-ZB=120°,

ZBAC=NZMC=60°=ZB,

.,.△ABC是等边三角形，

：.AC=BC,NACB=60。，ZBCM+ZACM=60°.

ZMCN=60°.

ZACN+ZACM=60°,

：.ZBCM=ZACN,

在」BCM与"例中

ZB=NCAN

<BC=AC

NBCM=ZACN

.△BCM丝△ACN(ASA),

CM=CN,

,ZMCN=6O°,

.•.△CW是等边三角形；

【小问2详解】

解：如图：AC与MN相交于点E,过点M作MF_LAO交ZM的延长线于点F,

/XBCM^/\ACN,

:.AN=BM，

：.AM+AN=AM+BM=AB=2,

；ZRW=120°,

AMAF=180°-120°=60°,

:・sAMNI1AN.MF

=-AA^-sin60°MM

2

73

AN(2-AN)

4

=_%AN/+专

a=------<0，

4

•.•该抛物线的开口向下，当AN=1时，.AMN的面积最大,

・•・当AW=AN=1时，的面积最大，

此时4WN是等腰三角形，ACLMN,MN=2ME,

ZBAC=6O°,

:.ZAMN=30°,AE^-AM

22

MN=6

△CMN是等边三角形,

:.CM=MN=6

【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，

二次函数的性质，根据题意得出=AN=1时，的面积最大是解题的关键.

20.某超市销售一种衬衫.平均每天可售出20件，每件盈利40元.了扩大销售、增加盈利，该超市准

备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件.

（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元?

（2）小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬

衫应降价多少元？若不同意，请说明理由.

【答案】（1）每件衬衫应降价10元

（2）不能，理由见解析

【解析】

【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，然后根据利润=单价盈利x数量列出方程求解即可；

（2）假设能获得，同（1）根据题意列出方程求解即可.

【小问1详解】

解：设每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（40-x）元，每天可以售出（20+2x）件.

由题意，得（40—x）（20+2x）=1200,

即（x—10）（x—20）=0,

解得％=10,W=20.

•.•每件盈利不少于25元，

x=10

...商场若想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价10元.

【小问2详解】

解：不能.理由如下：

假设能获得，由题意得（40-力（20+2x）=1300.

整理，得30X+250=0.

4ac=3（）2-4x1x250=-100<0，

.♦•方程无实数根，故不能.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程求解是解题关键.

21.如图，在中，3c的垂直平分线分别交5C,AC于点。，E,BE交AD于点F，

AB=AD.

B

(1)求证：ABEDSMAB：

(2)求证：AF=DF；

EF

(3)—■的值等于.(直接写出结果，无需解答过程)

FB

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；(3)-

3

【解析】

【分析】(1)根据相似三角形的判定即可求出答案；

(2)由相似三角形的性质即可知道48=2和，由于AB=A£>,所以AL>=2FD,从而可知。F=AF；

(3)作AABC的中线AG,交BF于点M,得点M是ZMBC的重心，得至IJ8知=2产例，再证AFM4名△/£：£),

得MF=EF,最后得出结论；

【小问1详解】

证明：是8c垂直