第6章实数全章复习（3个概念1个关系3个性质1种运算1个技巧2种思想专练）

第6章实数全章复习攻略（3个概念1个关系3个性质1种运算1个技巧2种思想专练）【知识导图】【知识清单】3个概念1.算术平方根与平方根1．（2023春•安庆期中）下列各式中没有算术平方根的是A． B．0 C． D．【分析】根据负数没有算术平方根进行判断即可．【解答】解：负数没有算术平方根，、，有算术平方根，、的算术平方根是0，有算术平方根，、，有算术平方根，、，没有算术平方根．故选：．【点评】本题考查了算术平方根的性质，正数有1个算术平方根，负数没有算术平方根，0的算术平方根为它本身，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．2．（2023春•谯城区校级月考）的平方根为A．100 B． C． D．【分析】根据平方根的定义解决此题．【解答】解：，，的平方根是．故选：．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是关键．3．（2023春•蒙城县月考）有一列数按如下规律排列：，，，，，则第10个数是．【分析】由这一列数的变化规律，即可得到答案．【解答】解：一列数按如下规律排列：，，，，，则第10个数是．故答案为：．【点评】本题考查算术平方根，规律型：数字的变化类，关键是找到数字的变化规律．4．（2023春•长丰县期末）的平方根是A．3 B． C． D．【分析】如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，由此即可得到答案．【解答】解：，的平方根是．故选：．【点评】本题考查平方根、算术平方根，关键是掌握平方根、算术平方根的定义．5．（2023春•天长市校级月考）36的算术平方根是．【分析】根据算术平方根可直接进行求解．【解答】解：，的算术平方根是6；故答案为：6．【点评】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键．2.立方根6．（2023春•安庆期末）的立方根是．【分析】根据立方根的定义解答即可．【解答】解：的立方根是．故答案为：．【点评】本题考查的是立方根，熟知如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键．7．（2023春•蜀山区校级期中）的立方根是A． B． C． D．【分析】根据立方根的性质计算．【解答】解：的立方根是，故选：．【点评】本题主要考查了立方根的概念，掌握立方根的性质是解题关键．3.实数8．（2023春•亳州期末）以下说法正确的是A．无限小数都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．无理数是带根号的数 D．分数是无理数【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得无理数，可判断、、；根据有理数的定义可判断．【解答】解：、无理数是无限小数，但无限小数不一定是无理数，所以此选项说法不正确；、无限不循环小数是无理数，所以此选项说法正确；：带根号的数有的是有理数，有的是无理数，如是有理数，是无理数，所以此选项说法不正确；、整数和分数统称为有理数，所以分数是有理数，所以此选项说法不正确；故选：．【点评】本题考查了无理数和有理数的定义，注意无理数是无限不循环小数．9．（2023春•宣城期末）下列实数中，无理数是A． B． C． D．是有理数）【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；、是无理数，所以属于无理数，故此选项符合题意；、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；、是有理数，则是有理数，故此选项不符合题意．故选：．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．10．（2023春•淮南期末）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是A． B． C． D．【分析】根据4，9，16是常见的平方数，可判断出不符合题意，而5不是平方数，所符合“面”的描述的数．【解答】解：，所以选项不符合题意；，所以是符合“面”的描述的数，选项符合题意；，所以选项不符合题意；，所以选项不符合题意；故选：．【点评】此题主要是考查了二次根式的性质，能够熟记一些能够开方开的尽的二次根式是解答此题的关键．11．（2023春•定远县校级月考）将下列实数前的序号填入相应的括号内．①，②2，，④，⑤，，⑦，⑧．（1）整数集合；（2）分数集合；（3）负有理数集合；（4）无理数集合．【分析】根据整数，分数，无理数，负有理数的定义，可得答案．【解答】解：（1）整数集合②⑤；（2）分数集合①⑦；（3）负有理数集合⑤⑦；（4）无理数集合③④⑥⑧．故答案为：（1）①⑦；（2）①⑦；（3）⑤⑦；（4）③④⑥⑧．【点评】本题考查了实数，熟知实数的分类是解题关键．1种关系实数与数轴的对应关系12．（2023春•怀远县校级期末）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点、，则点、表示的数分别是A． B．， C．， D．，【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离较大的数较小的数，便可求出1和之间的距离，进而可求出点表示的数．【解答】解：数轴上正方形的对角线长为：，由图中可知1和之间的距离为．点表示的数是；点表示的数为．故选：．【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．13．（2023春•蒙城县月考）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为A． B． C． D．【分析】因为面积为7的正方形边长为，所以，而，得，点的坐标为1，故点的坐标为．【解答】解：面积为7的正方形为7，，，，点表示的数为1，点表示的数为，故选：．【点评】本题考查了与数轴有关的问题，关键是结合题意求出．14．（2023春•亳州期末）如图，数轴上表示1，的对应点分别为，，，则点所表示的数是A． B． C． D．【分析】先求出的长，得到的长，即可得到点所表示的数．【解答】解：表示1，的对应点分别为，，，，，点所表示的数为．故选：．【点评】本题考查实数与数轴，将点表示的数减去的长即可得到点表示的数是解题的关键．15．（2023春•蜀山区校级月考）在如图所示的数轴上，，、两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是A． B． C． D．【分析】设点所对应的实数是，根据和数轴的性质建立方程，解方程即可得．【解答】解：设点所对应的实数是，由题意得：，解得，故选：．【点评】本题考查了实数与数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．16．（2023春•无为市期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，若点表示数，设点所表示的数为．（1）实数的值是；（2）求的值．（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数；（2）代入求值即可；（3）根据非负数的性质，求得，的值，代入即可求解．【解答】解：（1）（1），故答案为：；（2），故答案为：．（3）与互为相反数，，，，，，，，，．【点评】本题考查的是两点间的距离公式、非负数的性质，关键是要会理解两点间的距离，最后求的平方根有两个．3个性质1.平方根的性质17．（2023春•宣城期中）已知，是实数，，则的值是．【分析】先将原式变形为，再根据非负数的性质得出，，代入计算可得答案．【解答】解：，，，，，则，故答案为：9．【点评】考查非负数的性质以及二次根式的性质、完全平方公式，掌握几个非负数的和等于0，则每个数等于0，是解题的关键．18．（2023春•涡阳县期中）若实数，，，满足，则．【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查非负数的性质：算术平方根，非负数的性质：偶次方，非负数的性质：绝对值，关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0．19．（2023春•蜀山区校级月考）若、为实数，且满足，则的算术平方根为A．4 B． C．2 D．【分析】直接利用算术平方根以及绝对值得出，的值，进而代入得出答案．【解答】解：，，，解得：，，故，则的算术平方根是2．故选：．【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出，的值是解题关键．20．（2023春•固镇县期末）若，为实数，且满足，则的算术平方根为．【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可．【解答】解：，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了偶次方和绝对值，方程的思想，立方根的应用，关键是求出、的值．2.立方根的性质21．（2023春•天长市校级期中）如果，，那么约等于A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333【分析】被开方数的小数点每移动三位，立方根的小数点移动一位，根据以上规律得出答案即可．【解答】解：，，故选：．【点评】本题考查了立方根，能熟记移动规律是解此题的关键．22．（2023春•淮北月考）已知，，则的值为A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0、2或6【分析】根据立方根等于本身的数有0，，求出的值，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：立方根等于本身的数有0，，或，解得或0或2，的值为0或2．故选：．【点评】此题考查了立方根，掌握立方根等于本身的数是解题的关键．3.实数的性质23．（2023春•淮北月考）的绝对值是．【分析】先判断出的符号，进而可得出结论．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】本题考查的是实数的性质，熟知绝对值的性质是解题的关键．24．（2023春•霍邱县期中）实数的相反数是．【分析】根据相反数的定义进行解答即可．【解答】解：实数的相反数是．故答案为：．【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号相反的两个数叫互为相反数．25．（2023春•谯城区校级月考）一个数的立方根是它的相反数．这个数是A．1 B． C．0或1 D．0【分析】利用立方根的定义和性质可得出答案．【解答】解：的立方根是1，不符合题意，不正确，的立方根是，不符合题意，不正确，和1的立方根是它本身，不符合题意，不正确，的立方根是0，0的相反数还是0，正确．故选：．【点评】此题考查了立方根的定义和性质，熟练掌握立方根的定义和性质是解本题的关键．26．（2023春•长丰县期末）的绝对值是．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：的相反数是．故答案为：．【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质．27．（2023春•瑶海区期末）实数的立方根与的倒数相等，则的值为A．8 B． C． D．【分析】根据计算即可得到的值．【解答】解：，的倒数是，，，故选：．【点评】本题考查立方根和倒数的概念，若，则就是的立方根，两数之积为1，则这两个数互为倒数．1种运算实数的运算28．（2023春•安庆期末）计算：．【分析】利用算术平方根的定义，立方根的定义进行计算即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．29．（2023春•庐阳区校级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是．【分析】将开始输入的值代入计算，知道所得计算结果大于9时输出即可．【解答】解：，，即，输入，则，输入，则，输入，则，故输出．故答案为：．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30．（2023春•淮北月考）若，则称与是关于1的平衡数，关于1的平衡数是．【分析】直接利用平衡数的定义结合实数运算法则计算得出答案．【解答】解：，则称与是关于1的平衡数，关于1的平衡数是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数运算，正确把握相关定义是解题关键．31．（2023春•黄山期末）计算．【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．32．（2023春•霍邱县期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．（1）求和的值；（2）利用平方根的定义，求关于的方程的解．【分析】（1）利用一个正数得平方根有两个，是互为相反数，其和相加得0，列方程求解；（2）利用直接开平方根法求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，．（2）原方程为：，，解得：．【点评】本题考查了平方根得意义，掌握一个正数的平方根有两个是解题的关键．33．（2023春•淮北期末）如果，是2023的两个平方根，那么．【分析】根据平方根的性质可得，，然后代入式子中进行计算，即可解答．【解答】解：，是2023的两个平方根，，，，故答案为：2023．【点评】本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．34．（2023春•合肥月考）计算：；．【分析】根据立方根和算术平方根的意义，进行计算即可解答．【解答】解：；；故答案为：4；8．【点评】本题考查了实数的运算，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．35．（2023春•怀宁县期末）定义运算“”的运算法则为：，则．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：，，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．36．（2023春•巢湖市校级期中）（1）计算：；（2）求的值：．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）利用平方根的意义，进行计算即可解答．【解答】解：（1）；（2），，或，或．【点评】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．37．（2023春•南陵县期末）计算：．【分析】先化简绝对值，计算立方根和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：．【点评】本题考查实数的混合运算，涉及化简绝对值，计算立方根和算术平方根．掌握实数的混合运算法则是解题关键．38．（2023春•淮北月考）已知，，求的值．【分析】先根据平方根及立方根的定义求出、的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：，，，，或，，当，时，原式；当，时，原式．【点评】本题考查的是实数的运算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．39．（2023春•芜湖期中）阅读下列解题过程：；；；（1）计算：；（2）按照你所发现的规律，猜想：；为正整数）（3）计算：．【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；（2）利用式子的规律解答即可；（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．【解答】解：（1），故答案为：；（2）依据上述运算的规律可得：，故答案为：；（3）原式．【点评】本题主要考查了实数的运算，实数运算的规律，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．40．（2023春•蒙城县月考）如图，是一个计算流程图：（1）求的取值范围；（2）当输入的为时，输出的是多少？（3）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据非负数才有算术平方根列出不等式即可解得；（2）把代入即可解得；（3）为0和1时，有效，始终输不出值．【解答】解：（1）取算术平方根，负数没有算术平方根，解得；（2），取算术平方根：，2是有理数继续取算术平方根，是无理数，输出即可，故答案为：；（3）当时，0的算术平方根是0，始终输不出值，解得，当时，1的算术平方根是1，始终输不出值，解得．【点评】本题考查了程序设计与实数运算，掌握实数运算规则是关键．41．（2023春•定远县校级月考）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，，已知和是有理数：（1）若，则的平方根为；（2）若，其中，是的平方根，则的值为．【分析】（1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，进行计算即可解答；（2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答．【解答】解：（1），和是有理数，，，解得：，，，的平方根为，故答案为：；（2），，，和是有理数，，解得：，，是的平方根，，故答案为：4．【点评】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．42．（2023春•凤阳县期末）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．（1）请根据上面三个等式提供的信息，猜想：；（2）请按照上面各等式的规律，计算的值．【分析】（1）直接利用已知运算规律得出，最终结果的分母与后两项分母的关系，进而得出运算结果；（2）直接利用已知运算规律得出，最终结果的分母与后两项分母的关系，进而得出运算结果；（3）利用（2）中运算规律，进而化简得出答案．【解答】解：（1）；故答案为：（1）．（2）由（1）可得运算规律为：；原式．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及数字变化规律，正确发现数字之间变化规律是解题关键．1个技巧比较实数大小的技巧43．（2023春•安徽月考）三个数的大小关系是A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质把这一组数化为二次根式的形式，再比较被开方数的大小．【解答】解：这一组数据可化为、、，，，即．故选：．【点评】本题考查的是实数的大小比较，解答此类问题时要根据二次根式的性质把各数化为二次根式的形式，再比较被开方数的大小．44．（2023春•龙子湖区期中）比较大小：（填“”“”“”．【分析】首先确定与1的大小，进行比较即可求解．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大．45．（2023春•蜀山区校级期中）比较大小：．（填、或【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行判断即可．【解答】解：，，，，故答案为：．【点评】本题考查实数的大小比较，熟练掌握比较实数大小的方法是解题的关键．46．（2023春•蜀山区校级月考）已知的平方根为，的算术平方根为4．（1）求，的值；（2）若和是连续的整数，且，求的值．【分析】（1）根据平方根算术平方根的性质列式计算即可；（2）根据的值代入比较大小，即可得到的值，将的值代入计算即可．【解答】解：（1）的平方根为，，；的算术平方根为4，，；（2），，；，．；和是连续的整数，且，，，．【点评】本题考查了无理数大小的比较，都平方后变成有理数再比较是常用的方法．47．（2023春•太和县期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）的整