5.3-5.4平行线的性质平移2024年七年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第五章相交线与平行线5.35.4平行线的性质、平移1平行线的性质①两直线平行，同位角相等；即如果a//b，则∠1=∠2；②两直线平行，内错角相等；即如果a//b，则∠2=∠3；③两直线平行，同旁内角互补；即如果a//b，则∠2+∠4=180°.2命题（1）定义判断一件事情的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成；【例】“对顶角相等”是命题，它可写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论.（2）命题真假性如果题设成立，那么结论一定成立的命题是真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立的命题是假命题.【例】命题“如果a=b，那么a2=b2”是真命题；命题“如果（3）定理真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据.【例】平行线的判定和性质都是定理.3平移（1）概念在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同；（2）性质①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应相等相等；③对应角相等.∆ABC平移后得到∆A1B1C1，则AA1=B【题型1】命题及其真假性【典题1】指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．(1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；(2)内错角相等；(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．解析(1)题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；(2)题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；(3)题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题．【典题2】命题“如果a2＞b2，那么a＞b”是命题(填“真”或“假”)．解析假设a＝﹣3，b＝2，则满足a2＞b2，但a＜b，因此，这个命题是假命题．故答案为：假．【巩固练习】1.命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角④同位角相等．其中假命题的是()A．①② B．②③ C．③④ D．②③④答案C解析由对顶角的性质可直接判断①是正确的，是真命题；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②正确，是真命题；由反例“角平分线分成的两个角相等”，但它们不是对顶角，故③错误，是假命题；由“两直线平行，同位角相等”，前提是两直线平行，故④错误，是假命题．故选：C．2.下列命题为假命题的是()A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．垂线段最短 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行答案B解析A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，符合题意；C、垂线段最短，是真命题，不符合题意；D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意；故选：B．3.命题“同位角相等，两直线平行”的题设是，结论是，此命题是命题．(填“真”或“假”)答案同位角相等，两直线平行，真．解析命题“同位角相等，两直线平行”的题设是同位角相等，结论是两直线平行，此命题是真命题，故答案为：同位角相等，两直线平行，真．4.把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：．答案如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零解析命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零，故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零．5.证明“若|a|＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是a＝．(写一个即可)答案﹣5(答案不唯一)解析证明命题“若|a|＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a＝﹣5，∵|﹣5|＞1，但是a＝﹣5＜1，∴命题“若|a|＞1，则a＞1”是假命题．故答案为：﹣5(答案不唯一)．6.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③∠A＝∠B．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．解析选择①②作为条件，③作为结论．理由如下：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD，∵∠A＝∠B，∴∠ECA＝∠ECD，∴CE平分∠DCA；选择①③作为条件，②作为结论．理由如下：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD，∵CE平分∠DCA，∴∠ECA＝∠ECD，∴∠A＝∠B；选择②③作为条件，①作为结论．理由如下：∵CE平分∠DCA，∴∠ECA＝∠ECD，∵∠A＝∠B，∠A+∠B＝∠ACD＝∠ECD+∠ECA，∴∠A＝∠ECA＝∠B＝∠ECD，∴AB∥CE.【题型2】平移的概念与性质【典题1】如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，道路的总面积为平方米．解析平移后绿化地长为(32﹣2)米，宽为(20﹣2)米，∴面积为(20﹣2)×(32﹣2)＝18×30＝540(平方米)，∴道路的总面积＝20×32﹣540＝100(平方米)．故答案为：100．【巩固练习】1.一个图形，经过平移后，改变的是()A．颜色 B．形状 C．大小 D．位置答案D解析一个图形，经过平移后，改变的是位置，不改变颜色，形状和大小，故选：D．2.下列现象中，属于平移的是()A．滚动的足球 B．转动的电风扇叶片 C．正在上升的电梯 D．正在行驶的汽车后轮答案C解析A．滚动的足球是旋转，故不符合题意；B．转动的电风扇叶片是旋转，故不符合题意；C．正在上升的电梯是平移，故符合题意；D．正在行驶的汽车后轮是旋转，故不符合题意；故选：C．3.如图，根据图中给出的数据，判断第一个图形的周长L1与第二个图形的周长L2的关系：L1L2．(填“等于”或“大于”或“小于”或“无法判断”)．答案大于解析设凹槽的深度为a，则第一个图形的周长L1为：2×(3+4)+2a＝14+2a，第二个图形的周长L2为2×(3+4)＝14，因此L1大于L2．故答案为：大于．4.某酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯．已知楼梯的宽度是2米，楼梯的总长度为8米，总高度为6米，其侧面如图所示．已知这种地毯每平方米的售价是50元．请你帮老板算下，购买地毯至少需要花费元．答案1400解析如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为8米，6米，即可得地毯的长度为6+8＝14(米)，地毯的面积为14×2＝28(平方米)，故买地毯至少需要28×50＝1400(元)．购买地毯至少需要1400元．故答案为：1400．5.如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，此时AB＝10，DO＝4，阴影部分面积为40，则平移的距离为．答案5解析由平移的性质可知AB＝DE，S△ABC＝S△DEF，∴S△ABC﹣S△OEF＝S△DEF﹣S△OEF，即S梯形ABEO＝S阴影部分＝40，∵AB＝10，DO＝4，∴OE＝6，∴12×(10+6)•BE＝40，解得：BE＝5，即平移的距离为5故答案为：5．6.已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，将此直角三角形沿射线BC方向平移，到达直角三角形A1B1C1的位置(如图所示)，其中点B1落在边BC的中点处，此时边A1B1与边AC相交于点D，如果BC1＝12cm，AD＝CD＝3cm，那么四边形ABB1D的面积＝cm2．答案18解析由平移变换的性质可知，BB1＝CC1＝B1C＝13BC1＝4cm∴BC＝8cm，AC＝6cm，B1C＝4cm，CD＝3cm，∴S四边形ABB1D＝S△ABC﹣S△B1CD＝12×8×6﹣12×4×3＝24﹣6＝18(cm2故答案为：18．【题型3】平行线的性质求角度【典题1】如图，AB∥CD，射线FE，FG分别与AB，CD交于点M，N，若∠F＝∠FND＝3∠EMB，则∠F的度数是．解析如图，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠EMB＝∠EFH，∠HFN+∠FND＝180°，∵∠EFN＝∠FND＝3∠EMB，∴∠EFH=13∠∴∠HFN＝23∠EFN∴23∠EFN+∠EFN＝180°∴∠EFN＝108°，故答案为：108°．【巩固练习】1.一副直角三角板按如图所示的方式放置，点E在边BC的延长线上，BE∥DF，∠B＝∠DEF＝90°，则∠CDE的度数为()A．30° B．25° C．20° D．15°答案D解析∵△ABC，△EFD为直角三角板，∴∠ACB＝60°，∠EDF＝45°∵BE∥DF，∴∠FDC＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠FDC﹣∠EDF＝60°﹣45°＝15°，故选：D．2.光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，若∠1＝125°，则∠2等于()​A．65° B．55° C．45° D．41°答案B解析∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣125°＝55°．∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝55°．故选：B．3.如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝55°，则∠2的度数为()A．117.5° B．110° C．118.5° D．125°答案A解析∵∠1＝55°，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝125°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∴∠AEG＝∠GEF+∠1＝117.5°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠AEG＝117.5°．故选：A．4.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为．答案55°解析∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝12∠∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，∴∠BAD+∠BCD＝2∠E，∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，∴∠BED＝12(∠BAD+∠BCD)＝12(70°+40°)＝故答案为：55°．5.如图，已知∠E＝∠A+∠C，若∠1＝82°，则∠2的度数为．答案98°解析过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠AEC＝∠A+∠C，∴∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C，∴∠CEF＝∠C，∴EF∥CD，又∵EF∥AB，∴AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝82°，∴∠2＝98°．故答案为：98°．6.如图，DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝32°，∠AGF＝76°，FH平分∠EFG，则∠PFH的度数是．答案22°解析∵DC∥FP，∴∠3＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DC∥AB；∵DC∥FP，DC∥AB，∠FED＝32°，∴∠EFP＝∠FED＝32°，AB∥FP，又∵∠AGF＝76°，∴∠GFP＝∠AGF＝76°，∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝76°+32°＝108°，又∵FH平分∠GFE，∴∠GFH＝12∠GFE＝54°∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝76°﹣54°＝22°．故答案为：22°．7.如图，将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠EAD＝∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°．给出下列结论：①若∠2＝30°，则AC∥DE；②若BC∥AD，则∠2＝30°；③∠BAE+∠CAD＝180°；④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的结论的为．(填序号)答案①③④解析∵∠2＝30°，∠1+∠2＝90°，∴∠1＝60°，又∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确，符合题意；∵BC∥AD，∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°．∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，∴∠3＝45°，∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故②不正确，不符合题意；∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故③正确，符合题意；∵∠D＝30°，∠CAD＝150°，∴∠D+∠CAD＝180°，∴AC∥DE，∴∠4＝∠C，故④正确，符合题意．故答案为：①③④．8.在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，边AB与边DE平行．答案252或解析①当DE在AB的上方时，如图，∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，∴∠BAC＝30°，∠E＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAE＝∠E＝45°，∴∠CAE＝∠BAC+∠BAE＝75°，∴其旋转的时间为：75∘6∘=②DE在AB的下方，如图，∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，∴∠BAC＝30°，∠E＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAE+∠E＝180°，∴∠BAE＝180°﹣∠E＝135°，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝105°，∴旋转的角度为：360°﹣∠CAE＝255°，∴旋转的时间为：255∘6∘=综上所述：当旋转过程中，第252或852秒时，边AB与边故答案为：252或85【题型4】与平行线有关的综合应用【典题1】如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，从点E引一条射线EF交线段AB于点F，若∠AFE+∠DCB＝180°，∠A＝∠AEF，求证：∠DCA＝∠ACB．证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠ABC+①＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，又∵∠AFE+∠DCB＝180°(已知)，∴∠AFE＝∠ABC(②)；∴EF∥③(同位角相等，两直线平行)．∴∠AEF＝④(两直线平行，同位角相等)，∵AB∥CD(已知)，∴∠A＝∠DCA(⑤)，∵∠A＝∠AEF(已知)，∴∠DCA＝∠ACB(等量代换)．解析证明：AB∥CD(已知)，∴∠ABC+∠DCB＝180°(两直线平行同旁内角互补)，又∵∠AFE+∠DCB﹣180°(已知)，∴∠AFE＝∠ABC(同角的补角相等)；∴EF∥BC(同位角相等，两直线平行)，∴∠AEF＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)，∵AB∥CD(已知)，∴∠A＝∠DCA(两直线平行，内错角相等)，∴∠A＝∠AEF(已知)，∴∠DCA＝∠ACB(等量代换)故答案为：①∠DCB；②同角的补角相等；③BC；④∠ACB；⑤两直线平行，内错角相等．【典题2】如图展示了光线反射定律，EF是镜面AB的垂线一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．(1)在图1中，∠1∠2(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)在图2中，AB，BC是两面平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断入射光线m与反射光线n的位置关系，并说明理由；(3)如图3，是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是两面平面镜，且AB∥CD．请解释进入潜望镜的判断光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？解析(1)∵∠AFE＝∠BFE＝90°，∵θ1＝θ2．∴∠1＝∠2，故答案为：＝；(2)m∥n，理由：如图2，∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，∴∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，∴∠5+∠6＝180°，∴m∥n；(3)∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠5＝∠6，∴m∥n．【巩固练习】1.已知：如图，C，D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB，(1)求证：CE∥DF；(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．答案(1)略；(2)25°解析(1)证明：∵∠1+∠2＝180°，C，D是直线AB上两点，∴∠1+∠DCE＝180°，∴∠2＝∠DCE，∴CE∥DF；(2)解：∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣130°＝50°，∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝12∠CDF＝25°∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°．2.三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．(1)如图1，求证：CF∥AB；(2)如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；(3)如图3，在(2)的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．答案(1)略；(2)100°；(3)12°．解析(1)证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠BCF+∠ADE＝180°．∴∠BCF+∠B＝180°．∴CF∥AB；(2)解：如图2，过点E作EK∥AB，∴∠BEK＝∠ABE＝40°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK＝∠ACF＝60°，∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；(3)∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝40°，∵∠EBC：∠ECB＝7：13，∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，∴13x+7x+100＝180，解得x＝4，∴∠EBC＝7x°＝28°，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．3.探究：如图①，EG∥FH，OF平分∠AFH，OH平分∠CHF，且点O、E、G均在直线EG上，直线EG分别与AB、CD交于点E、G．(1)若∠AFH＝80°，∠CHF＝40°，则∠FOH＝．(2)若∠AFH+∠CHF＝110°，求∠FOH的度数．(3)如图②，∠AFH和∠CHI的平分线FO、HO交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝β，直接写出∠FOH的度数．(用含β的代数式表示)答案(1)120°；(2)125°；(3)90∘解析(1)∵OF平分∠AFH，∠AFH＝80°，∴∠OFH＝12∠EFH＝40°∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝40°．∵OH平分∠CHF，∠CHF＝40°，∴∠OHF＝12∠CHF＝20°∵EG∥FH，∴∠GOH＝∠OHF＝20°．∴∠FOH＝180°﹣∠EOF﹣∠GOH＝180°﹣40°﹣20°＝120°．故答案为：120°；(2)∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，∴∠OFH=∵∠AFH+∠CHF＝110°，∴∠OFH+∵∠FOH+∠OFH+∠OHF＝180°，∴∠FOH＝180°﹣(∠EOF+∠GOH)＝180°﹣55°＝125°．(3)∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，∴∠OFH=∴∠FOH=∵∠CHI+∠CHF＝180°，∴∠CHI＝180°﹣∠CHF．∴∠FOH=∵∠AFH+∠CHF＝β，∴∠FOH=4.长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两月各安置了一探照灯(如图1)，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN＝45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数；(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？答案(1)15°；(2)15秒或82.5秒解析(1)两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．①当转动50秒时，∠MBC＝50×3°＝150°，∴∠CBN＝180°﹣∠MBC＝30°，∴∠ABC＝∠ABN﹣∠CBN＝45°﹣30°＝15°；(2)两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180﹣30＝150(秒)即0＜t＜150，①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3＝30(秒)，此时A射线共计运动30+30＝60秒，即∠QAE＝60°，即在灯B射线到达BN之前，如图3所示，∵PQ∥MN，BF∥AE，∴∠ABF＝∠EAB，∠PAB＝∠ABN，∴180°﹣∠ABN﹣∠ABF＝180°﹣∠BAP﹣∠BAE，∴∠MBF＝∠QAE，即有：3t＝30+t，解得：t＝15(秒)；②如图4，在灯B射线到达BN之后，回到BM前，根据①中，同理有：∠MBF＝∠QAE＝(30+t)°∵∠FBN＝(3t﹣180)°即有：3t﹣180+(30+t)＝180，解得：t＝82.5．③如图5，在灯B射线回到BM后，第二次到BN前，由题意得：3t﹣360＝30+t，解得：t＝195(舍去)．综上所述，A灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．【A组基础题】1.在下列现象中，属于平移的是()A．小亮荡秋千运动 B．升降电梯由一楼升到八楼 C．时针的运行过程 D．卫星绕地球运动答案B解析A、小亮荡秋千运动不是平移，故此选项错误；B、电梯由一楼升到八楼，是平移，故此选项正确；C、时针的运行过程属于旋转，不是平移，故此选项错误；D、卫星绕地球运动属于旋转，不是平移，故此选项错误；故选：B．2.如图，∠D＝60°，∠C＝120°，∠AED＝60°，则下列说法错误的是()A．∠B＝60° B．ED∥BC C．AB∥CD D．∠B+∠D＝180°答案D解析∵∠D＝60°，∠C＝120°，∴∠D+∠C＝180°，∴ED∥BC，∴∠B＝∠AED＝60°，故A、B不符合题意；∵∠D＝60°，∠AED＝60°，∴∠D＝∠AED，∴AB∥CD，故C不符合题意；∵∠B+∠D＝60°+60°＝120°，故D符合题意．故选：D．3.如图，一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路左边线向右平移tm就是它的边线．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，则小路面积与绿地面积的比为()A．19 B．110 C．211 答案A解析∵小路左边线向右平移tm就是它的边线，∴路的宽度是tm，∴小路面积是btm2，绿地面积是b(a﹣t)m2，∵a：b＝5：3，b：t＝6：1，∴a：t＝10：1，∴小路面积与绿地面积的比为19故选：A．4.如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠2＝156°，则∠1的度数为()A．54° B．44° C．36° D．24°答案C解析过A作AB∥a，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3+∠2＝180°，∵∠2＝156°，∴∠3＝24°，∴∠4＝60°﹣∠3＝36°，∴∠1＝∠4＝36°．故选：C．5.如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，ME平分∠AEP，MF平分∠CFP，NF平分∠DFP，下列四个结论错误的是（）A.∠EPF＝∠AEP+∠CFPB.∠EPF＝2∠M；C.若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM；D.∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM．答案C解析A：作PQ∥AB，∴∠AEP＝∠EPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CFP＝∠FPQ，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ，∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP，故A正确；同理可得：∠M＝∠AEM+∠CFM，∵EM平分∠AEP，FM平分∠CFP，∴∠AEP＝2∠AEM，∠CFP＝2∠CFM，∴∠AEP+∠CFP＝2(∠AEM+∠CFM)，即∠EPF＝2∠M，故B正确；设AB交MF于点H，若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，∵AB∥CD，∴∠AHF＝∠HFD，∵FN平分∠PFD，∴∠HFD＝∠PFH，∴∠AEP＝∠PFH，若∠AEM＝∠CFM，则∠AEP＝∠CFP，∵∠CFP与∠PFH不一定相等，∴∠AEM与∠CFM不一定相等，故C不正确；∵FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，∴∠FMN＝90°，∴∠N+∠M＝90°，∵∠M＝∠AEM+∠CFM，且∠AEM＝∠PEM，∠CFM＝∠PFM，∴∠M＝∠PEM+∠MNF，∴∠N+∠PEM+∠MNF＝90°，∴∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM，故D正确．故答案为：C．6.如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠AEF，交直线CD于点G，若∠CFM＝∠AEM＝58°，则∠CGE的度数为°．​答案151解析∵∠CFM＝∠AEM＝58°，∴CD∥AB，∵EG平分∠AEF，∴∠GEA＝12∠AEF＝12×58°＝∵CD∥AB，∴∠CGE+∠GEA＝180°，∴∠CGE＝180°﹣∠GEA＝180°﹣29°＝151°．故答案为：151．7.如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝120°，则∠3＝．答案40°解析∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠3＝∠4，∠AEF＝∠2，∵EG是∠AEF的角平分线，∴∠AEF＝∠2＝2∠4，∵∠2+∠4＝120°，∴∠4＝40°，∴∠3＝40°，故答案为：40°．8.如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是(只填序号)答案①④解析∵∠B＝∠AGH，∴GH∥BC，即①正确；∴∠1＝∠MGH，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠MGH，∴DE∥GF，∵GF⊥AB，∴DE⊥AB，即④正确；由已知条件无法得到∠D＝∠F，HE平分∠AHG，故都不一定成立；故答案为：①④．9.如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．(1)求证：CE∥GF；(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；(3)若∠EHF＝78°，∠D＝35°，求∠AEM的度数答案(1)略；(2)∠AED+∠D＝180°；(3)113°．解析(1)证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；(2)解：∠AED+∠D＝180°，理由如下：∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，∵∠C＝EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；(3)解：∵∠EHF＝78°，∴∠GHD＝∠EHF＝78°∵∠D＝35°，∴∠FGD＝180°﹣∠D﹣∠GHD＝180°﹣35°﹣78°＝67°，∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD＝67°，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝67°，∴∠AEM＝180°﹣∠AEC＝180°﹣67°＝113°．10.(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，AB∥CD，光线从空气中射入水面AB的E处，再从水底CD的F处射入空气中，根据光学知识有∠1＝∠2，求证：EG∥FH．请根据题意填空，完成下列推理过程：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠()∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BEF＝∠2+∠，即∠＝∠EFH．∴EG∥FH()．(2)如图2，直线MN上有两点A、C，在MN同侧分别引两条射线AB，CD，且∠MAB＝40°，∠DCN＝50°．射线CD绕顶点C以2度/秒的速度逆时针方向转动一周，设时间为t秒，是否存在某一时刻，使得CD∥AB？若存在，请求出所有满足条件的时间t；若不存在，请说明理由．​答案(1)CFE，两直线平行内错角相等，CFE，FEG，内错角相等两直线平行；(2)45秒或135秒。解析(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE(两直线平行内错角相等)∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BEF＝∠2+∠CFE，即∠FEG＝∠EFH．∴EG∥FH(内错角相等两直线平行)．故答案为：CFE，两直线平行内错角相等，CFE，FEG，内错角相等两直线平行．(2)解：存在，分两种情况讨论如下：①当CD与AB在MN的同侧时，CD旋转到CD1的位置，此时CD1∥AB，如图：∵∠MAB＝40°，CD1∥AB，∴∠MCD1＝∠MAB＝40°，又∵∠DCN＝50°，∴∠D1CD＝180°﹣∠MCD1﹣∠DCN＝180°﹣40°﹣50°＝90°，∵射线CD绕顶点C以2度/秒的速度逆时针方向旋转，∴所用的时间t＝90÷2＝45(秒)，即旋转的时间t＝45秒时，CD∥AB；②当CD与AB在MN的两侧时，CD旋转到CD2的位置，此时CD2∥AB，如图：∵∠MAB＝40°，∴∠CAB＝180°﹣∠MAB＝180°﹣40°＝140°，∵CD2∥AB，∴∠MCD2＝∠CAB＝140°，∵∠DCN＝50°，∴∠MCD＝180°﹣∠DCN＝180°﹣50°＝130°，此时线段CD所旋转的角度为：∠MCD+∠MCD2＝130°+140°＝270°，∵射线CD绕顶点C以2度/秒的速度逆时针方向旋转，∴所用的时间t＝270÷2＝135(秒)，即旋转的时间t＝135秒时，CD∥AB；综上所述：射线CD绕顶点C以2度/秒的速度逆时针方向转动一周，在45秒或135秒时，CD∥AB．【B组提高题】1.如图，已知：AB∥CD，CD∥