铁人中学2023级高一下学期开学考试-数学答案

铁人中学23级高一下学期开学考试数学试题（含答案）试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。第Ⅰ卷选择题部分一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若a,b∈R，则“a<b”是“lna<A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】因函数y=lnx在0,+∞上单调递增，则lna<lnb⇔0<a<b，而a,b∈R，当a<b时，a，b可能是负数或者是0，即lna或lnb可能没有意义，所以“a<b“lna<lnb”2.函数的零点所在的区间是（

）A． B．1,2 C．2,3 D．3,4【答案】D【解析】函数fx因为f3=log33-所以函数fx的其中一个零点所在的区间是3,43.设，则的最小值为（）A.B.7C.4D.5【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，故选：B4.下列关于函数的说法正确的是（）A.最小正周期为B.图像关于点成中心对称C.在区间上单调递增D.图像关于直线成轴对称【答案】B【解析】函数，当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确；函数的最小正周期为，所以A错误；当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误；正切函数不是轴对称函数，所以D错误．5.已知，则（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】由题，得，则或，因为，所以，.6．已知a=234，b=312，c=log34，A. B. C.D.【答案】C【解析】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，函数在单调递增，并且有，则，于是得，即，则，又函数在单调递增，且，则有，所以.故选：C7．已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（）A．B．C．函数是偶函数D．函数是减函数【答案】C【解析】令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；令，则有，即，故函数是奇函数，有，即，即函数是减函数，令，有，故B正确、C错误、D正确.8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知：或∴或∴或∵在上单调递减，∴∴

①当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，∴符合取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合当时，，舍去，当时，也舍去②当时，取知此时，当时，，此时在上单调递增，舍去当时，，舍去，当时，也舍去综上：或2，.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）9．已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在上单调递增【答案】BC【解析】由题意，所以的最小正周期，A错误；当时，所以的图象关于直线对称，B正确；当时，所以的图象关于点对称，C正确；当时，，所以在上不具有单调性，D错误；10.下列结论中正确的是（

）A.若函数，且，则m=2e2B.为偶函数，则的图象关于对称C.若函数y=6sinωx与y=6cosωxD.若0<φ<π，函数fx=cos2x+φ在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是【答案】BC【解析】对于A，因为f2x=xln2=ln2x，则fx=lnx，又，则m=e2，故A错误。对于B，由为偶函数，可得f-2x+3=f对于C，作出函数y=6sinωx与y=6cosωx的图像，设两图像任意相邻的三个交点分别为A，B由题意可知△ABC为等边三角形，且AC＝4，所以函数y=6sinωx的最小正周期T＝AC因为|ω|＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)，且ω为正实数，所以ω＝eq\f(π,2).对于D，当x∈-π6因为0<φ<π，函数fx=cos2x+φ所以-π3+φ,π3当x∈0,π6因为0<φ<π，fx在区间0,所以φ<π2<π311.已知函数，若，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.的取值范围是D.的取值范围是【答案】ACD【解析】由可得，解得.作出函数的图象如下图所示：由图象可得，由，可得，即，得，A选项正确；令，解得，当时，令，解得，由于，，所以，函数的图象关于直线对称，则点、关于直线对称，可得，B选项错误；，C选项正确；，下面证明函数y=x+1x在上为减函数，任取、且，则，，则，，所以，，所以，函数y=x+1x在，则，D选项正确.第Ⅱ卷非选择题部分三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分。）12．已知集合，若，则的最小值为______．【答案】【解析】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值为.13．函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是______．【答案】14.已知x，y∈(0,π2)，且tanxtany+tanxsiny-sinx≤1，则x【答案】π【解析】由tanxtany+tanxsiny-sinx≤1，且x，y∈(0,π2)因为函数y=tanx，y=sinx均在(0,π2)上单调递增，所以函数y=tanx+sinx所以y≤π2-x，所以0<x+y≤π2.则x=-y-当y=2-m时等号成立，且此时0<2-m<π2，所以又函数fm=2(m-1)2在f2-π2=f(π所以当y=2-π2，x=π-2时，则x2三、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15．(本小题13分)已知函数.（1）求函数的值域.（2）求不等式的解集.（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？（直接给出答案即可，无需说明理由）【解析】（1）因为，所以当时，，当时，，所以函数的值域为.（2）因为，所以，则，所以，得的解集为.（3）当时，方程在内的实根最多，最多有5个.16．(本小题15分)设fx（1）求f(π12)（2）若α∈(0,π2)，fα【解析】函数f=（1）令x=π12，则令2x+π3∈[2kπ-解得：x∈[kπ-5π12,kπ+则函数fx的单调递增区间为[kπ-5π12（2）因为fα=1因为α∈(0,π2)，所以2α+则sin=117．(本小题15分)已知函数（且）．（1）求的定义域；（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由，得或．的定义域为；（2）令，因函数在上单调递减，则在上为增函数，又，在上为减函数；函数在有且只有一个零点，即在上有且只有一个解，函数在上的值域为，的范围是．（3）假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，由且，可得．又由（2）知在上为增函数，在上为减函数．则在上为减函数，得．即在上有两个互异实根，因，即，有两个大于3的相异零点．则．由此，a的取值范围是(0,3-218．(本小题17分)在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh(x)=e（e是自然对数的底数，e=2.71828…（1）解方程：cosh（2）求不等式：的解集；（3）若对任意的t∈[0,ln2]，关于x的方程【解析】（1），故所求解为.（2）因为，恒成立，故是奇函数；又因为在上的严格增，在上的严格减，故是上的严格增函数，所以，即所求解集为.（3）因为是上的严格增函数，所以当时，成立；又因为，等号成立当且仅当，而当时，，所以函数的值域为，所以若关于的方程有解，只需对任意关于都成立，故只需，即.19．(本小题17分)已知函数fx=log（1）若y=lggx的值域为R（2）若非常数函数fx是定义域为-2,2的奇函数，且fx1-gx【解析】（1）因为函数y=lggx的值域为R，所以函数ggx当m=0时，gx=-2当m≠0时，令t=2x,t∈0,+∞当m>0时，ymin=m⋅2m2所以3-4m≤0当m<0时，2m<0，则函数y=mt即函数gx的值域为-综上所述，0<m≤43，所以满足条件的整数m的值为（2）因为函数fx是定义域为-2,2所以f0=0f-1=-f1，即由函数fx不是常数函数，所以a=2b=1，经检验，符合题意，所以a=2b=1由∀x