6.2.2排列数课件高二下学期数学人教A版选择性

6.2.2排列数

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．

排列定义:问题2就是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，那么，从n个不同元素中任取2个元素的排列数是多少？

问题1

从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？问题1就是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？排列数公式：求排列数可以这样考虑：第1步先填第1个位置的元素,从n个元素任选一个,有n种方法.根据分步计数原理，每一种填法就得到一个排列；假定有排好顺序的2个空位（如图），a1，a2，…，an

中任意取2个去填空，从n个不同元素一个空位填一个元素，所有不同填法的种数就是排列数完成填空这件事可分为2个步骤：反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到.第2步确定第2个位置的元素,可从剩下n-1个元素任取1个填空，有n-1种方法.可以按依次填3个空位来考虑得一般地，从n个不同元素中任取m个不同元素的排列数可用占位法计算⒈位⒉位⒊位

··········m位解：分m个步骤完成：第一步确定第一个位置上的元素：有n种方法；第二步确定第二个位置上的元素：有（n-1）种方法；第三步确定第三个位置上的元素：有（n-2）种方法；··········第m步确定第m个位置上的元素：每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。有〔n-（m-1）〕=（n－m＋１）种方法。由分步计数原理得出：排列数公式的特点：⒈m个连续正整数的连乘积；⒉最大因数为n以下依次减1，最小因数是（n-m+1）.全排列数：⑴全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的一个全排列.⑵阶乘：正整数1到n的连乘积1×2×3×······×n称为n的阶乘，记做n！.=n！排列数公式：全排列数为因此全排列数为（m，n∈N*

且m≤n）说明：排列数公式两种不同形式的应用一般地：连乘形式用于值的计算；阶乘形式用于有关的式子化简。规定:0！=1.排列数公式的阶乘形式：

例题讲评

1.计算:(1)（2）巩固练习=16×15×14=3360.⑵=6！=720.例1.计算：⑴⑵⑶⑷巩固练习应用探究1.计算:(1)（2）解：想一想：1714想一想：分析：拓展探究例2.求证：证明：左式=—————+m———————

n！n！（n－m）！（n－m+1）！=————————————n！(n－m+1)+n！·m(n－m+1)！=—————

n！(n+1)(n+1－m)！=——————=（n+1）！（n+1-m）！=右式例题讲评例3.解方程：解：∴(n－3)(4n－23)=0∴n=3.解排列数方程解排列数不等式例5.5个人站成一排：（l）共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？（6）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解：（1）由于没有条件限制，5个人可作全排列，共有种排法．

（2）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，有种排法．（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？解：（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他3人有种排法，

而甲、乙又有种根据分步计数原理共有种排法.（4）甲、乙两人外的其余3人有种排法，

要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有种排法，

所以共有种排法；排法，(5)其中甲,乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解：（5）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站有种排法，

剩下的人有种排法，

共有种排法．

可将问题分为两类：一类是甲站在排尾，另一类是甲既不站在排尾也不站排头其余的人可全排列，有种排法；

有种站法，

乙不站排尾有种站法，

其余的人可全排列，有种排法,

故这一类有种排法.

由加法原理知：共有种排法.

(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解：解法2：甲站排头有种排法，

乙站排尾有种排法，

但两种情况都包含了“甲站排头，且乙站排尾”的情况，

有种排法，

故共有种排法．

1排列的概念任意取出元素按照一定顺序排列2排列数公式：小结反思升华素养基础知识基本技能排列数公式的应用：计算、解方程、不等式、实际应用须注意的问题排列的应用题可分两大类:①无条件限制的排列问题：解题关键：⑴确定该题是否是排列问题⑵正确地找出n、m的值⑶准确地运用两个原理②有条件限制的排列问题：主要表现为：某位置上不能排某元素，或某元素只能排在某位置上。小结反思升华素养（l）直接计算法排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法．（2）间接计算法先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数．这种方法也称为“排除