5.5数学归纳法同步练习（含解析）人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页5.5数学归纳法同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（）A． B． C． D．2．在正项数列中，，，则（）A．为递减数列 B．为递增数列C．先递减后递增 D．先递增后递减3．“”表示实数整除实数，例如：，已知数列满足：，若，则，否则，那么下列说法正确的有（

）A． B．C．对任意，都有 D．存在4．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2024项的和为（

）A．1348 B．675 C．1349 D．13505．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（

）A．1348 B．675 C．1349 D．13506．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（

）A．1项 B．k项 C．项 D．项7．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（）A．假设正确，再推正确B．假设正确，再推正确C．假设正确，再推正确D．假设正确，再推正确8．用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（多选题）已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（

）A． B．存在，使得C． D．是单调递增数列，{}是单调递减数列10．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（）A．使不等式成立的第一个自然数B．使不等式成立的第一个自然数C．推导时，不等式的左边增加的式子是D．推导时，不等式的左边增加的式子是11．已知数列中，，，则下列结论正确的是（

）A．当时，数列为常数列B．当时，数列单调递减C．当时，数列单调递增D．当时，数列为摆动数列12．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（

）A．若成立，则当时，均有成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则当时，均有成立D．若成立，则当时，均有成立三、填空题13．用数学归纳法证明“”时，第一步需要验证的不等式为14．用数学归纳法证明时，从“到”左边需要增加的代数式是15．数列满足：.若数列单调递减，则c的取值范围是；若数列单调递增，则c的取值范围是.四、解答题16．已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列.(1)用数学归纳法证明：（是正整数）；(2)求数列的通项公式.17．在数列{an}中，．(1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想．(2)令，为数列的前n项和，求．18．数列有100项，，对任意，存在,若与前n项中某一项相等，则称具有性质P．(1)若，写出所有可能的值；(2)若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质P;(3)若中恰有三项具有性质P，这三项和为，请用表示．19．已知函数，设，且任意的，有.(1)求的值；(2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明.20．数列满足为正整数.(1)试确定实数的值，使得数列为等差数列；(2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【分析】根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可.【详解】时，可得：时，可得：，故增加了项.故选：A2．A【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论.【详解】由，且，显然成立，假设，成立，当时，则，所以，故为递减数列.故选：A3．C【分析】根据递推关系可计算，，故可判断AB的正误，利用数学归纳法可证：除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数，故可判断CD的正误.【详解】因为，故，故，而，故，故A错误.但，故，此时，故B错误.下面用数学归纳法证明：除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数.当时，，此时除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数.设当时，除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数.则当时，为奇数，为偶数，为奇数，又与除3余数相同，故除3余1，故除3余2，故除3余2，由数学归纳法可得除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数.故除3余1，除3余2，故除3余0，即，故C正确.由C的分析可得没有项使得，否则除以3的余数为0，故D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：对于给定的数列的递推关系，要研究数列的若干性质，注意从而特殊情况总结出一般规律，再利用数学归纳法证明即可.4．D【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，再利用数学归纳法证明猜想，从而可求得答案.【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数，显然，猜想：，当时，成立；假设当时，成立，则为奇数，为偶数；当时，则为奇数，为奇数，为偶数，故符合猜想，因此，，所以数列的前2024项的和为.故选：D【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.5．C【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案.【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数，显然，猜想：，当时，成立；假设当时，成立，则为奇数，为偶数；当时，则为奇数，为奇数，为偶数，故符合猜想，因此，，所以数列的前2023项的和为.故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.6．D【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项.【详解】当时，左边，当时，左边，左边增加的项为，共项.故选：D7．B【分析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；故选：B．【点睛】本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键8．B【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案.【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立.故选：B9．ACD【分析】由整理得，令，得到，借助反比例函数和的单调性得到和的增减性，即可判断D选项；根据求的范围即可判断C选项；利用数学归纳法证明，，即可得到，，即可判断A选项，根据，，可得，即可判断B选项.【详解】对于D，由可得，令，则，又，则，，当时，，，，设，在上单调递增，∵，∴，传递下去，可得，同理可得，∴是单调递增数列，是单调递减数列，又∵，在R上单调递增，所以是单调递增数列，是单调递减数列，故D正确；对于C，由，得，，得，∴，即，∵，∴，，显然，故C正确；对于A，先证：，当时，成立，假设当时，成立，那么当时，成立，综上，成立，同理可得，∴，即，故A正确；对于B，要使，则，而，，所以，即，故B错误.故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”，只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从开始的所有正整数都成立.10．BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断.【详解】当时，可得；当时，可得；即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；当时，可得；当时，可得；两式相减得：，所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；故选：BC.11．ABC【分析】求出数列各项的值，可判断A选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用数学归纳法推导出，结合数列的单调性可判断C选项；取，求出数列各项的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，由可得，，，，以此类推可知，对任意的，，此时，数列为常数列，A对；对于B选项，当时，则，此时，数列单调递减，B对；对于C选项，因为，，且，则，猜想，，，当时，猜想成立，假设当时，猜想成立，即，则当时，，因为，则，则函数在上单调递增，所以，，即成立，由数学归纳法可知，对任意的，，所以，，此时，数列单调递增，C对；对于D选项，当时，取，则且，则，，，，以此类推可知，当且时，，即，此时，数列不是摆动数列，D错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：判断数列单调性的方法有：（1）利用数列对应的函数的单调性判断；（2）对数列的前后项作差（或作商），利用比较法判断.12．ABC【分析】根据题设结论逐项分析判断.【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误；对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误；对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确；故选：ABC.13．【分析】因，故第一步需要验证的是时的不等式，代入整理即得.【详解】用数学归纳法证明“”时，第一步需要验证，当时，不等式，即成立，故答案为：.14．【分析】利用数学归纳法的步骤计算即可.【详解】把和代入等式左边分别可得：①②两式作差得.故答案为：15．【分析】若数列单调递减，则恒成立，可得恒成立，由此可得c的范围.若数列单调递增，则，即，且母函数.数列有极限，其值为其不动点.又在上单调增加，故，所.于是只需要证明时满足条件，时不满足条件即可.【详解】①若数列单调递减，因为，则，即，因此恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以c＜0.②数列单调递增，则当时，，当时，，而函数在上单调递增，则，即，假设当n＝k，k∈时，，则，即，因此由数学归纳法可得，即数列单调递增；当时，因为，则，即，有，，而，于是，即有，从而，则，令，故当时，，此时，而在上单调递减，∴，即，与题意矛盾.综上，的取值范围是.故答案为：；16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据题意得到之间的等式关系，再证明时，符合题意，而后假设时，所证成立，最后再根据之间的关系，推出时所证成立即可；（2）根据（1）的结论，结合，可得出当时，的通项公式，再验证时，是否符合通项公式，最后写出通项公式即可。【详解】（1）证明：因为，，成等差数列，所以，因为，所以上式可化简为，将带入上式可得：，当时，，符合，假设当时，有成立，则当时，，因为，所以,所以,符合，故有成立；（2）由（1）可得，，当时，，因为，符合，故。17．(1)，，，证明见解析(2)【分析】（1）代入计算即可得到，按照数学归纳法的步骤证明即可；（2），再利用错位相减法即可.【详解】（1）∵，∴因此可猜想:；当时，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，.（2），①②由①-②得：18．(1)3,5,7(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据定义式子代入即可求解；（2）通过数学归纳法证明逆否命题为真命题；（3）分析去掉具有P性质三项后，得到等差数列求和即可.【详解】（1），；当时，；当时，；，若，则；若，则；若，则（与时重复），或；所以的可能值有（2）假设中不存在满足性质的项，即对任意均有；下面数学归纳法证明，是等差数列；①当时，成立；②设当且时，；则当时，因为不具有性质，故而又存在，故，即；综上所述，当中不存在满足性质的项时，时等差数列成立；故其逆否命题：当不是等差数列时，中存在满足性质的项成立.（3）将数列中具有性质的三项去掉，得到一个新的数列，，，，且中没有满足性质的项，由（2）可知，数列是等差数列，所以，又因为数列中去掉的三项和为，所以.【点睛】方法点睛：本题属于数列新定义问题，重点考查新定义“性质”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力.处理