6.1导数同步练习（含解析）人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页6.1导数同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知二次函数的图象与轴交于、两点，图象在、两点处的切线相交于点．若，则的面积的最小值为（

）．A． B． C． D．2．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（

）．A． B． C．2 D．3．若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．函数的导数（

）A． B．C． D．5．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时该质点的瞬时速度为（

）A． B． C． D．6．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的“拐点”是，则点G（

）A．在直线上 B．在直线上C．在直线上 D．在直线上7．已知函数，则曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．8．若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（

）A．3 B． C．1 D．二、多选题9．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（

）A．B．为奇函数C．D．设，则10．下列选项正确的是（）A．，则B．，则C．，则D．设函数，且，则11．已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（

）A．B．恒成立C．在上单调递减D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称12．已知函数，，则（

）A．恒成立的充要条件是B．当时，两个函数图象有两条公切线C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则三、填空题13．已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为．14．已知函数，，若存在实数使得且，则实数的取值范围为.15．函数在区间上的平均变化率为，四、解答题16．已知函数，记的图象为曲线C．(1)若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值；(2)求证：以曲线C上的两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线AB恒过某定点M．17．设函数，函数在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．18．（1）已知k，，且，求证：；（2）若，且，证明：；（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.19．已知函数．(1)若第一象限内的点在曲线上，求到直线的距离的最小值；(2)求曲线过点的切线方程．20．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.(1)求证：；(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值.【详解】设，，则与是方程的两根，则，，，又，则函数在点处的切线方程为，同理函数在点处的切线方程为，则，解得，即点，则，当且仅当时等号成立，故选：C.2．A【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解.【详解】∵，设为所求的点，则得，，则点P到直线的最小距离为．故选:A.3．D【分析】由时，易知直线与曲线必有一个公共点，当时，由直线与曲线相切，利用导数法求得，再由图象位置判断．【详解】解：当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意，当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得．由切点在切线上，得，由切点在曲线上，得，所以，．如图所示：故当直线与曲线（且）无公共点时，．故选：D【点睛】思路点睛：时，由单调递增，单调递减容易判断；时，利用导数法研究直线与曲线相切时a的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大,图象向x轴靠近而得解.4．C【分析】根据复合函数的求导法则直接求解即可.【详解】，故选：C5．B【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求解.【详解】因为，所以，所以，即当s时该质点的瞬时速度为24m/s.故选：B.6．D【分析】对函数求导，根据“拐点”定义可得，即可知在直线上.【详解】由可得，所以，可得；因此，即“拐点”即为，在直线上．故选：D．7．C【分析】代入法求得，以及利用导数的四则运算法则求得进一步求得即可得解.【详解】由题意知，，∴曲线在处的切线斜率为，∴曲线在处的切线方程为，且.故选：C．8．D【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得，，即可求得．【详解】函数的导数为，由题意可得，图像在点处的切线恰为直线，所以，，解得，，即．故选：D．9．ABD【详解】对于A：令可得；对于B：令可得；对于C：先确定的奇偶性，然后令后对两边同时求导，再代入即可；对于D：利用累加法求通项公式.【点睛】对于A：令得，所以，A正确；对于B：令得，所以，B正确；对于C：因为，所以，即，所以为偶函数，由可得，令得，则，令，得，所以，C错误；对于D：因为，，所以，且所以，相加可得，所以，则，D正确.故选：ABD.10．AD【分析】根据题意，由基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】因为，则，则，故A正确；因为，则，故B错误；因为，则，故C错误；因为，则，又，则，即，所以，故D正确；故选：AD11．AC【分析】由题意求出，然后由余弦型函数的性质判断即可.【详解】函数的图象在y轴上的截距为，所以，因为，所以.故A正确；又因为是该函数的最小正零点，所以，所以，解得，所以，，所以，故B错误；当时，，故C正确；将的图象向右平移个单位，得到，是非奇非偶函数，图象不关于轴对称，故D错误.故选：AC.12．ACD【分析】根据导数求解恒成立即可求解A，根据导数求解切线方程，根据公切线的性质即可结合选项求解BCD.【详解】对于A，若恒成立，即恒成立，而恒成立，所以，解得，故A正确；对于B，设切点,，,，，，有，①代入②，可得，当时，代入方程解得：，，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；对于C，当时，代入方程得：，，故，，所以函数与的一条公切线为：，故C正确；对于D，如图，不妨设切线与切于，与切于，设,，,，,，,，，，故所以，，，同理，则中点即可中点，所以四边形是平行四边形，由处的切线方程为，处的切线方程为，得，即，结合可知，是方程的根，由C选项可知：是的两个切点，所以，也是方程的根，所以,且,故，则，，，，令，则，故，故D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是设切点，根据导数含义和斜率定义得到，再整理化简代入值即可判断.13．．【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可.【详解】由题意设切点，因为，令，得，由导数几何意义知：，又，所以，故曲线在处的切线方程为：，整理得：.故答案为：.14．【分析】根据题意，利用两点的斜率公式把问题转化为的取值范围为两点连线斜率范围，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解.【详解】由题意，相减得，又，所以，则表示点与点连线的斜率，则的取值范围为两点连线斜率范围，设过点与的切线为（过原点切线为割线斜率的上界），切点为，由，则，所以，所以切线方程为，又切线过点，所以，解得，所以切线方程为，即.如图：

由图可知，，所以，即实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查了方程有根求参数范围问题，解题的关键是转化为，利用几何思想将问题转化为点与点连线的斜率范围问题，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解，属较难题.15．1【分析】利用平均变化率计算即可.【详解】由平均变化率可知.故答案为：116．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，再借助二次函数求出最小值.（2）设出点的坐标，再结合两条切线平行，列式计算推理即得.【详解】（1）由函数，求导得，因此曲线C在处切线的斜率为，当且仅当时取等号，所以切线的斜率的最小值为.（2）设点，，由，得，即，整理得，因此，于是，显然点是线段的中点，所以当时，直线恒过定点.17．(1)(2)证明见解析，定值为6【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线方程，即可列式求解；（2）首先求曲线上任一点处的切线方程，并结合图象，求三角形的面积，即可求解.【详解】（1）直线的斜率为，将代入直线方程得，，由题意可知，，且，即，解得：，所以；（2）设曲线上任一点为，，曲线在点处的切线方程为，整理为，当时，，联立，得，如图，即，，所以，所以曲线上任意一点处的切线与直线和所围成的三角形面积为定值，定值为6.18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）运用组合数运算公式进行计算证明即可；（2）法一：运用组合数运算公式，结合（1）的结论进行计算证明即可；法二：利用分析法，结合导数的运算性质进行计算证明即可；（3）运用等差数列的通项公式，逆用二项式定理进行证明即可.【详解】（1）左边，右边，所以；（2），而，所以.所以.所以，原命题成立.另法：，要证，只需证.设，由，两边同时求导，得令，得，即得证.所以，原命题成立.（3）由条件，设等差数列，，，…，的公差为d，，则.因为，所以对任意的，是关于x的一次函数.【点睛】关键点点睛：本题的关键是第一问的证明，后续证明需要第一问的结论，利用二项式定理和等差数列的性质也是本题的关键.19．(1)(2)【分析】（1）设，求出在点的切线斜率与直线的斜率相等时，点的坐标，进一步计算即可；（2）设出切点坐标，利用斜率相等建立方程，解出后求得切点坐标，进一步计算即可.【详解】（1）设，由题意得，当曲线在的切线与平行时，到的距离最小，此时，得，即，则故到的距离的最小值为．（2）设所求切线的切点为，由（1）得，则，解得，所以切点为，切线的斜率为．故所求的切线方程为，即．20．(1)证明见解析(2