高考数学柯西不等式知识点总结

高考数学柯西不等式知识点总结柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式，它们在高等数学中的应用很普遍。下面店铺给大家带来高考数学柯西不等式知识点，希望对你有帮助。高考数学柯西不等式知识点(一)所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等号当且仅当==…=时成立。柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.我们令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)则我们知道恒有f(x)≥0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.于是移项得到结论。(2)用向量来证.m=(a1，a2......an)n=(b1，b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。巧拆常数：例：设a、b、c为正数且各不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a、b、c均为正数∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献.柯西简介:1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方。柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础。高考数学柯西不等式知识点(二)一、一般形式(∑(ai))(∑(bi))≥(∑ai·bi)等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。一般形式的证明(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2证明：等式左边=(ai·bj+aj·bi)+....................共n2/2项等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2/2项用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证二、向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。向量形式的证明令m=(a1，a2，…，an)，n=(b1，b2，…，bn)m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<<b>m，n>=√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)×cos<<b>m，n>∵cos<<b>m，n>≤1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)注：“√”表示平方根。高考数学得分技巧在三门主科中，只有数学最容易拉开距离，也最为同学、家长所关心。由于高考的特殊性，有些同学在考试开始的前5分钟就已乱了方寸，导致谁都不希望的结果。1.做好前面5个小题。不要小看这几个小题，对稳定情绪，鼓舞士气有很大作用。有些同学就是由于前面个别小题做得不顺，影响整个考试情绪。而一旦前面发挥得好，会感到一路顺手，所向披靡。2.认真审题。由于前面题目简单，想抓紧时间做完，以便腾出时间做后面的难题，结果把题目看错了，非常可惜。如2000年上海卷第1题就有不少同学犯这种低级错误。3.确实遇到暂时不会做的题目，可以放一放，但很多同学做不到。担心前面就有不会做，后面肯定更难，从而心慌手抖，头脑一片空白。要知道难易对大家都一样，你不会别人可能也不会。遇到暂时不会做的题目要敢于“合理放弃”，必要时你可以抬头看看，周围的人还在做这道难题，让他们浪费时间吧，我去做会做的题目。这种心理暗示会减少你的压力，等会做的做