安徽省肥东县城关中学2023-2024学年度高二年级上册数学期中考试题【解析版】

安徽省肥东县城关中学2023・2024学年度高二上学期数学

期中考试题【解析版】

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.已知圆的方程/+y2+2依+9=0圆心坐标为（5,0）,则它的半径为

A.3B.75C.5D.4

2.直线/经过点尸（1,-1）和以M（-3,l）,N（3,2）为端点的线段相交，直线/斜率的取值范

围是（）

A.「8,迅B.15，+叼C.

D.18,尚唱,+8）

3.已知4=（2,-1,3）,6=（-1,4,-2）,c=（l,3,A）,若“，b,c三向量共面，则实数几

等于（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知过点P（2,l）有且仅有一条直线与圆+V+2ox+ay+2a2+。-1=0相切，则。=

（）

A.-1B.-2C.1或2D.-1或-2

5.圆C：/+丫2-2欠-20y-机=0上存在点到原点的距离为1,则实数机的取值范围

为（）

A.[-3,5]B.[1,3]C.[-3,3]D.[1,5]

6.在圆x2+y2-2x-6y=0内，过点E（0,l）的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四

边形ABCD的面积为（）

A.5&B.105/2C.15&D.20无

7.己知点P（f,r）,点M是圆a：f+（y-l）2=；上的动点，点N是圆。2：（x—2丫+丁=；

上的动点，则的最大值是（）

A.1B.#,-2C.V5+2D.2

8,若空间向量印4满足同=N+司=3,则。在62方向上投影的最大值是（）

o/a3

A.3B.0C.一任D,一一

22

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列说法正确的是（）

A.已知直线（a+2）x+2取―1=0与直线3奴-y+2=0垂直，则实数a的值是-g

B.直线，加-y+i-〃，=o必过定点（1,1）

C.直线y=3x-2在y轴上的截距为—2

D.经过点（1,3）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-4=0

10.圆。1：x2+y2-2x=0和圆Q:x2+y2+4x-6y=0的交点为A,B,则（）

A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0

B.线段A8中垂线的方程为x+）」l=0

C.公共弦A3的长为正

2

D.两圆圆心距|qOj|=3及

11.如图，正方体ABCD-AAGA的棱长为2,E是力"的中点，则（）

A.

B.点E到直线BC的距离为34

c.直线5E与平面MGC所成的角的正弦值为（

D.点G到平面4CE的距离为：

12.下列说法正确的有（）

A.直线2x+（3+m）y+l=0过定点（一夕0）

B.过点（2,0）作圆Y+（y一炉-4的切线/,则/的方程为2x-y-4=0

C.圆f+（y_l）2=4上存在两个点到直线x+y-2=0的距离为2

D.若圆a：x2+y2-2y-3=0与圆O2：x2-6x+y2-i0y+,"=（）有唯一公切线，则，〃=25

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.直线/过点（1,2）,且纵截距为横截距的两倍，则直线/的方程是.

14.已知点A(-3,T),8(6,3)到直线/:ar+y+l=O的距离相等，则实数。的值为

15.若直线/先沿x轴的负方向平移3个单位长度，再沿y轴的正方向平移1个单位长

度后，又回到原来位置，则直线/的斜率为.

16.点尸(-2,-1)到直线/：(l+32)x+(l+2)y-2-42=0(4为任意实数)的距离的最

大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤)

17.在平面直角坐标系中，圆C经过。(0,0)4(1』),8(4,2)三点.

⑴求圆C的方程；

⑵若经过点的直线/与圆C相交于M,N两点,且NMCN=120?,求直线/的方

程.

18.已知圆O：x2+y2=4.

(1)过圆外一点P(2,l)引圆的切线，求切线方程和切线长；

(2)设点P是直线4：x-y+4=O上的一点，过点尸作圆的切线，切点是M,求OPA7的

面积最小值以及此时点尸的坐标.

19.ABC中A(3,-l),AB边上的中线CM所在直线方程为6x+IOy-59=。，的平

分线方程87为x-4y+10=0.

(1)求顶点8的坐标；

(2)求直线BC的方程.

20.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=2,BC=4,△PAC为正三角形，。为A8的

中点，ACA.PD,NPCB=90°.

(1)求证：8C_Z平面PAC：(2)求PO与平面PBC所成角的正弦值.

21.已知圆C:¥+y2+4x-12y+24=0,直线/：y=Ax+5.

(1)若直线/被圆C截得的弦长为46,求/的方程；

(2)若直线/与圆交于A、8两点，求的中点〃的轨迹方程.

22.如图，叨_1_平面/158,4)_1.。。，ABCD,PQCD,

AD=8=£>P=2PQ=2A8=2,点M为BQ的中点.

(1)求二面角Q-MC-P的正弦值；

(2)若N为线段C0上的点，且直线£W与平面PM。所成的角为g,求N到平面MC尸的

距离.

1.D

【详解】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.

详解：由题得-学=5,，。=-5.所以圆的半径为也*2=§=4.

222

故答案为D

点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)当

£>2+£^-4尸>()时，x2+y2+£)x+Ey+F=0表示圆心为,半径为“+E。-4F的

222

圆.

2.D

【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，求出再结合图象即可求解.

【详解】3,1),N(3,2),.•.脑=1^=_1,%=^^=。，

—J—1Z5—1Z

图象如图所示：

由图可知，直线/的斜率%满足k4噎或％2j

故直线/的斜率的取值范围为18,U|,+8).

故选：D.

3.A

【分析】根据题意，存在实数乂'值得c=xa+m，列出方程组，即可求解.

【详解】由向量〃=(2,-1,3),人=(-1,4,-2),c=(l,3㈤，

因为a，b-c三向量共面，则存在实数为丫值得c=xa+>),

即(l,3,X)=x(2,—l,3)+y(—l,4,—2),

2x-y-\

可得,f+4y=3,解得x=l,y=l,贝=

3x-2y=A

故选：A.

4.A

【解析】由/+丁2+2办+砂+242+〃_]=0为圆的方程可得(2〃)2+〃2一4(2〃2+〃_1)>0,又

过点尸(2,1)有且仅有一条直线与圆C：f+/+2。氏+©，+2/+。一1=0相切，则点P(2,l)在圆

上，联立即可得解.

222

【详解】解：过点尸(2』)有且仅有一条直线与圆C：x+y+2ax+ay+2a+a-l=O^Q^]f

则点P(2,l)在圆上，

则2?+F+4Q+Q+2Q2+〃一1=0,解得。=-2或。=一1,

又%2+y"+2(ix+ay+2,cru—\=0为圆的方程,

则(2a)2+“2-4(2a2+a-l)>0,gp-2<a<j,

即。=—1,

故选：A

5.A

【分析】求出圆心及半径r，由题意可得|一1同0。《卜+1|,解之即可得解.

【详解】解：由圆C：x2+y2-2x-2y/3y-m=0,得(x-iy+(y-G)=4+m,

则圆心C(l,百)，半径”"+m,则|℃|=2,

因为圆C上存在点到原点的距离为1,

所以圆C与单位圆Y+y2=l有公共点，

」所一归。"际+1]解得_3小5,

4+/??>0

所以实数，”的取值范围为[-3,5].

故选：A.

6.B

【详解盼析：由过圆/+y2-21-6丁=0内一点七(0,1)的最长弦和最短弦分别为4。和BD,

可知最长弦为直径，最短弦为过点后(0,1)且与直径AC垂直.把圆工2+丁_21-6>=0变形

标准方程(X-1)2+(y-3)2=10.进而可求圆心为尸(1,3)，半径r=而.所以|AC|=2r=2而，

由点£（0,1）,求得归同=#+（3-1）2=75.进而求得忸。|=2/2-1在『=2V10-5=2石.进

而可求四边形488的面积为S=gx|AC|x忸。=gx2ji6x26=10夜.

详解：圆丁+9-2犬-6卜=0变形为（x-l）2+（y—3f=10.

所以圆心为尸（1,3）,半径r=JI5.

因为点E（0,l）,所以归同="+（3-1）2=6

因为过圆f+/_2x-6y=0内点£（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD,

所以|AC|=2r=2>/i5,=2#2-|PE、=2-10-5=2后.且AC18O

所以四边形A3CD的面积为5=gx|AC|x忸Q|=gx2ji6x2退=10夜.

故选B.

点睛：⑴过圆内一点A的最长弦为过点A的直径，最短弦为过点A且与过点A的直径垂直

的弦；

⑵过圆P内一点A的最短弦长为2jr2_|/>A|2.

7.D

【分析】要使忙MT「M最大，需|PN|最大,且PM最小，由图可得，|尸叫最大值为归O?|+；,

仍照的最小值为|POj-g,所以可得|PN|-|PM|最大值是|W2|-|P6>,|+L由于点尸（M在

直线y=x上，找出。|关于直线y=x的对称点O：,结合图形可求得结果

【详解】如图，

圆/+（丫-1）2=；的圆心«（0,1）,

圆。-2）2+9=；的圆心a（2,0）,

这两个圆的半径都是”

要使|RV|-|PM|最大,需|EN|最大,且忸闾最小，

由图可得，|尸凶最大值为|POj+g,归闸的最小值为

故网_|PM|最大值是（尸04+］一（归0卜£|=|尸02卜俨01|+1，

点p（r,f）在直线y=X上，。（0,1）关于y=X的对称点为q'（i,o）,

直线o/Y与y=x的交点为原点o,

则|尸。卜闸|=归。2|-卜。：卜"阂=1,

故|PO2Hp卬+1的最大值为1+1=2.

故选：D.

8.C

4+27

【分析】设向量q,e,的夹角为凡根据题意，求得cos6=」二।厂•,得到所以弓在e,方向

12回

同2+27=-（®+24）,结合基本不等式，即可求解.

上的投影为同cos。=-

44同

【详解】因为同=悔+司=3,设向量e；,e；的夹角为

所以同+4同+4同间cosd=9,可得同+12同cos9+27=0,

e,+27

解得cos"」、।,

12/

k2|27

所以4在4方向上的投影为k|cos0=-=-（丫+彳彳）4-28+21

44匐彳雨

=-2n=-苧，当且仅当1=鬲时，即同=36时，等号成立,

所以q在e?方向上的投影的最大值为-也.

故选：C.

9.BC

【分析】根据直线垂直关系列方程求〃，判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项

B；根据截距的定义判断选项C,根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.

【详解】解：对A：因为直线(a+2)x+2被—1=0与直线3or-y+2=0垂直，

则3a(a+2)—2a=3/+4a=0,解得°=0或。=—A不正确；

对B：直线/nr-y+l-m=0可变为y-l=因此直线必过定点(1,1),即B正确；

对C：由直线方程y=3x-2取尸0,得y=-2,

所以直线y=3x-2在y轴上的截距为_2,所以C正确.

对D：经过点(1,3)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-4=0或y=3x,所以D

不正确；

故选：BC.

10.ABD

【分析】把两圆方程相减得到公共弦A8所在直线的方程，即可得到选项A；再把两圆分别

化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段中垂线，即可得到选项B；

利用一个圆的圆心到直线x-N=0的距离进而求出弦的长，验证选项C；两圆心的距离即可

得到选项D.

【详解】/+)2-2'=0①，Y+y2+4x_6y=0②，用①减去②即得到公共弦A8所在直线

的方程为x-y=o,故A正确；

把圆q：f+y2-2x=0化为标准方程得(x-l)2+y2=i,圆心。1为(1,0),半径为4=1,把

圆U：x?+/+4x-6y=0化为标准方程为(x+2)2+(y-3)z=13,圆心。2为(-2,3),弓=713,

线段A8中垂线即为圆心。।与圆心。2两点构成的直线为x+y-l=0,故B正确；

=等，故公共弦AB的长为

圆心。1到公共弦所在直线x-y=O的距离为4=

=&,故C错误;

圆心Oi到圆心O2的距离依。2|=«+2)2+32=30，故D正确.

故选：ABD.

11.AC

【分析】以点A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.

【详解】如图以点A为原点，建立空间直角坐标系，

则8（2,0,0）,C（220）,E（0,21）,4（2。2）,R（0,2,2）,〈（2,2,2）,

5,C=（O,2-2）,B£>,=（-2,2,2）,

则5c=0+4—4=0,所以qCJ.8。，故A正确;

/.B.EB,C4+2y/2

B,E=（-2,2，T，则3佃n旦r4。=^^=k=彳，

所以sinNCB|E=正，

12

所以点E到直线BC的距离为BqsinNC4E=乎，故B错误；

因为CA1平面片GC,所以AG=（2,0,0）即为平面BCC的一条法向量,

D£.BiE

则直线与平面gC。所成的角的正弦值为kos&C*©卜4I，故C

D^E273

正确;

CC,=(0,0,2)

设平面gCE的法向量为“=（x,y,z）,

n-B,C=2y-2z=0/、

则有，,可取”=(1,2,2),

n-BtE=-2x+2y-z=0

|CC,-n\4

则点C,到平面B,CE的距离为=~,故D错误.

H

【分析】A.将直线变形（2x+3y+l）+〃o，=0,观察可得定点;

B.分斜率存在和不存在求出切线方程；

C.通过圆心到直线的距离来判断；

D.由已知的两圆内切，根据圆心距离等于半径差列式计算.

【详解】对于A：直线2x+(3+m)y+l=0变形为(2x+3y+l)+四=0,

令y=0,则x=-g,直线过定点(一g，0),A正确；

对于B：(1)当斜率存在时，设直线y=%(x-2)

•••直线与圆相切

.••圆心到直线的距离d=r

二%=2

直线方程为2x-y-4=0；

(2)当斜率不存在时，x=2,B错误；

对于C：圆的半径r=2,圆心到直线的距离〃=正<r,所以存在两点到直线距离为2,C

2

正确；

对于D：圆q:W+(y-iy=4与圆a：(x-3y+(y-5)2=-m+34

两圆有唯一公切线，所以两圆相内切，

|O02|=4-U或者|。|。2|=4-4

>/32+42=2-J34-,"或者打+4?=y/34-m-2

解得机=-15.D错误.

故选：AC.

13.2x-y=0或2x+y-4=0

【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点(1,2),由点斜式方

程即可得出答案.②直线不过原点，设其方程为2+4=1,又由直线经过点(1,2),代入求

出。，即可求出直线/的方程.

【详解】根据题意，分2种情况讨论：

①直线过原点，又由直线经过点。,2),此时直线的方程为y=2x,即2x-y=0；

②直线不过原点，设其方程为二+三=1,

a2a

又由直线经过点(1,2),则有上+白=1,解可得。=2,

a2a

止匕时直线的方程为2x+y-4=0,

故直线/的方程为2x-y=0或2x+y_4=0.

故答案为：2x-y=0或2x+y-4=0.

..1海7

14.--sk--

【分析】利用点到直线的距离求解.

【详解】因为点4-3,T),8(6,3)到直线/:or+y+l=0的距离相等,

解得a=_§或々=--，

_17

故答案为：一§或一5

15.--

3

【分析】利用函数的平移“左加右减，上加下减''求出变化后直线的斜率.

【详解】设直线/的方程、=履+匕，沿x轴的负方向平移3个单位长度得y=A(x+3)+b,再

沿y轴的正方向平移1个单位长度，可得>=履+3女+8+1,则履+32+/?+1=履+力，即&

=」

故答案为一!

•I

16.岳.

【分析】将直线方程变形为(x+y-2)+(3x+y-4)2=0,得直线系恒过点A(l,l),由此得到

P到直线/的最远距离为|PA|,再利用两点间的距离公式计算可得.

【详解】•••直线/：(l+3/l)x+(l+4)y-2—44=0,

可将直线方程变形为(x+y-2)+(3x+y-4”=0,

fx+y-2=0[x=\

t/八，解得

[3x+y-4=0[y=l

由此可得直线系恒过点A(l,l),

P到直线/的最远距离为|PA|,此时直线垂直于以，

22

•••41ax=1^1=7(-2-l)+(-l-l)=V13.

故答案为：V13.

17.(1)/+y2-8x+6y=0；

3

(2)x=2和8x+6y—39=。.

【分析】(1)设圆的一般方程，由点在圆上列方程组求参数，即可得圆的方程；

(2)由圆的方程写出圆心、半径，由题设易得圆心到直线/距离为g,讨论直线/与x轴的

位置关系，应用点斜式、点线距离公式求参数，进而确定直线方程.

【详解】(1)设圆C方程为f+9+6+硝+/=0,经过。(0,0)4(11)4(4,2)三点，

F=0D=-8

所以D+E+F=-2解得，E=6

4D+2E+F=-20F=0

所以圆C方程为炉+/一8%+6y=0.

(2)圆。方程化为(x-4)2+(y+3)2=25,所以圆C的圆心为(4,一3),半径为5.

因为』MCN=120?,设MN中点为E,则CE工MN且/ECN=60?,从而CE=|.

即C(4,-3)到直线/的距离为：，且经过点

当直线/与x轴垂直时，直线/为3，点C(4,-3)到直线/的距离为；5，满足题意;

当直线/与x轴不垂直时，设直线/为即丘-y-1+：=0.

|44+3-迎+2|4

所以22匚5,解得％=一止匕时直线/为8x+6y—39=0.

行一23

因此，满足题意的直线/的方程为产3;和8x+6y-39=0.

2

18.⑴切线方程为3x+4y-10=0或x=2,切线长为1

⑵..OPM的面积最小值为2,此时P(-2,2)

【分析】(1)由题意，利用分类讨论的解题思想，结合切线的性质以及点到直线的距离公式,

根据勾股定理，可得答案；

（2）由题意，利用数形结合的解题思想，求得点P,可得答案.

【详解】（1）由题意，可作图如下：

当切线斜率存在时，设切线的方程为=2）,即丘-y-2左+1=0,

..|-2k+l|3

圆心（0,0）到切线的距离是2,.•・呆m=2,解得“=一彳,

33

,切线方程为——x-y+—+1=0,即3x+4y-I0=0.

42

当切线斜率不存在时，又x=2与圆也相切，

故所求切线方程为3x+4），-10=0和x=2.

由圆的性质可知，切线长为曰=Jo产—产=J22+『-22=1.

（2）由题意，可作图如下：

当OP，《时，OPM的面积最小值.

又因为4：x-y+4=o,所以直线。尸的方程为

y=-xx=—2

由7+4=0,解得）二2，即点P的坐标为（一2,2）.

此时O/W的面积最小值为‘X2x2=2.

2

19.(1)(10,5)

⑵2x+9y-65=0.

【分析】（1）根据题意，设8（$,%）,将A3中点坐标代入直线CM方程，将8点代入直线8T

方程，联立即可得到结果;

（2）根据题意，列出方程，求得点A关于直线BT的对称点。的坐标，再由⑥C=%M，即

可得到结果.

【详解】（1）设8伍,%）,则AB的中点M（"，为在直线CM上.

.■.6x^^+10x^^-59=0,.•.3%+5%+4-59=0,

即3%+5»)-55=0①,

又点B在直线BT上,则%-4%+10=0②，

由①②可得%=10,%=5,即8点的坐标为（10,5）.

（2）设点A（3,-l）关于直线BT的对称点D的坐标为（。力）,

则点。在直线8c上.

—

a-34

由题知，.•.£>(1,7).

〃+

-4x—+10=0

2

,,7-52

=-=--

2

直线BC的方程为y-5=-^（x-10）,即2x+9y-65=0.

20.（1）证明见解析；（2）与平面P8C所成角的正弦值为亘.

14

【分析】（1）、取AC的中点。，连接O2OP,证明OPJLAC结合ACLPZ）,先证明AC_L平

面PO。，得到ACLOD,再证明AC18C,然后证明BC/平面PAC；

（2）、以。为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量及尸。，利用向量法求

线面角.

【详解】（1）证明：作AC的中点0,连接。D,OP,因为△R4C是正三角形，所以OP_LAC,

又47，/>£>,尸。口0尸=尸,/>£>,02匚平面「0。，所以AC_L平面POD,又OOu平面PO£>,

所以AC，。。，

因为OO〃BC,所以AC1BC,又PC_L8cpeiAC=C,PC,ACu平面PAC,所以8C1

平面PAC；

（2）以。为坐标原点，OA.OD、OP所在直线分别为为x,y,z轴非负半轴，建立空间直角坐

标系如图示，

则C（T0,0）,n（0,2,0）,8（T,4,0）,P（0,0,6）,所以

CP=（1,0,百）,CB=（0,4,0）,PO=仅,2,一6），

mCP=x+sf3z=0

设平面PBC的法向量为“=（x,y,z）,则，取x=VL则相=（6,o,-i）,

m-CB-4y=0

\m-PD\V3后

设P。与平面PBC所成角为。，则sin6=,i=/।I,9与平面P8C所

|/„|.|PD|X/4+3-^+114

成角的正弦值为叵.

14

21.（1）3x-4y+20=0；（2）x2+y2+2x-1ly+30=0.

【分析】（1）先求出圆心和半径，由弦长、圆心距和半径的关系求出圆心距的值，再利用点

到直线的距离公式列方程可求出A的值，从而可求出直线/的方程；

（2）设M（x,y）,直线/过定点尸（0,5）,由题意可知，CM.PM=0,从而可得

（x+2,y—6）.（x,y—5）=0,即/+卜2+2》-11），+30=0,再检验即可得48的中点〃的轨迹

方程

【详解】解：（1）。：/+产+以-12），+24=0可化为（x+2p+（y—6）2=16,

则圆心C（-2,6）,半径厂=4,

被圆C截得的弦长为46，则圆心C到直线/的距离为1=2,

.♦.点C(-2,6)到直线I:y=区+5的)巨离卜2：：6+5|=),

U~+l

3

解得％=此时直线/的方程为3x—4y+20=0；

4