专题09 直线与圆的方程-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）原卷版

2/2专题09直线与圆的方程（新高考）目录目录【备考指南】 2 【真题在线】 3【基础考点】 4【基础考点一】直线的方程 4【基础考点二】圆的方程 5【基础考点三】圆的几何性质 6【基础考点四】直线与圆的位置关系 7【基础考点五】圆的切线方程 8【综合考点】 9【综合考点一】圆与圆的位置关系 9【综合考点二】弦长与弦心距 10【综合考点三】圆的公共弦与公切线 11【培优考点】 12【培优考点一】隐圆问题 12【培优考点二】四点共圆问题 14【总结提升】 15【专项检测】 16备考指南备考指南考点考情分析考频直线与圆2023年新高考Ⅰ卷T62023年新高考Ⅱ卷T152022年新高考Ⅱ卷T152年3考椭圆2023年新高考Ⅱ卷T52023年全国甲卷T72022年新高考Ⅰ卷T162022年新高考Ⅱ卷T162022年全国甲卷T102021年新高考Ⅰ卷T52021年全国甲卷T152021年全国乙卷T113年8考双曲线2023年新高考Ⅰ卷T162023年新高考Ⅱ卷T212023年全国乙卷T112022年全国甲卷T142022年全国乙卷T112021年新高考Ⅱ卷T132021年全国甲卷T52021年全国乙卷T133年8考抛物线2023年新高考Ⅱ卷T102023年全国甲卷T202022年新高考Ⅰ卷T112022年新高考Ⅱ卷T102022年全国乙卷T52021年新高考Ⅰ卷T142021年新高考Ⅱ卷T33年7考直线与圆锥曲线位置关系2023年新高考Ⅰ卷T222023年新高考Ⅱ卷T212022年新高考Ⅰ卷T212022年新高考Ⅱ卷T212022年全国甲卷T202022年全国乙卷T202021年新高考Ⅰ卷T212021年新高考Ⅱ卷T202021年全国甲卷T202021年全国乙卷T213年10考圆与圆的位置关系2022年新高考Ⅰ卷T14直线方程2022年新高考Ⅱ卷T3预测：考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.全国卷近两年考察的难度为中低档.建议二轮复习时做好查缺补漏，掌握好基础知识与基本技能.真题在线真题在线一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．2．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．73．（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．4．（2021·北京·统考高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则

A． B． C． D．二、多选题5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．6．（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切三、填空题7．（2023·北京·统考高考真题）设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．8．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．9．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．10．（2021·全国·统考高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为．11．（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．12．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．13．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则．14．（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．15．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．16．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则．基础基础考点【考点一】直线的方程【典例精讲】（多选）（2023上·浙江·高二温州中学校联考期中）已知直线，，则（

）A．直线过定点 B．当时，C．当时， D．当时，之间的距离为【变式训练】一、单选题1．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）已知直线：，：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·福建龙岩·统考二模）已知M是圆上一个动点，且直线：与直线：（，）相交于点P，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·浙江宁波·统考一模）设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（

）A． B．C．的面积为 D．三、填空题4．（2020·江苏·高三专题练习）若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为．【考点二】圆的方程【典例精讲】（多选）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知直线：，：，圆C：，下列说法正确的是（

）A．若经过圆心C，则B．直线与圆C相离C．若，且它们之间的距离为，则D．若，与圆C相交于M，N，则【变式训练】一、单选题1．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（

）A． B．C． D．2．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（

）A． B． C． D．14二、多选题3．（2023·河北保定·统考二模）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过点B．C．直线被圆截得的最短弦长为D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称三、填空题4．（2023·河北张家口·统考二模）已知抛物线与轴的交点分别为,点的坐标为,若过三点的圆与轴的另一个交点为,则.【考点三】圆的几何性质【典例精讲】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知半圆与直线相交于A，B两点，下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．当点B为时，圆心到直线AB的距离为C．D．线段AB长度的最小值为4【变式训练】一、单选题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（

）A．16 B．25 C．49 D．81二、多选题3．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知圆和圆的交点为，直线：与圆交于两点，则下列结论正确的是（

）A．直线的方程为B．圆上存在两点和，使得C．圆上的点到直线的最大距离为D．若，则或三、填空题4．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，动点到点的距离是到点的距离的2倍，则的面积的最大值为．【考点四】直线与圆的位置关系【典例精讲】（多选）（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知曲线C上任意一点P到，的距离之比为2，直线l：与曲线C交于两点，若，则下列说法正确的是（

）A．曲线C的轨迹是圆B．曲线C的轨迹方程为C．D．【变式训练】一、单选题1．（2023·福建·校联考模拟预测）已知点的坐标为，点的坐标为.若对任意经过，两点的，该圆总与直线（）有两个公共点，则必有（

）A． B． C． D．2．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2二、多选题3．（2023·河北石家庄·统考一模）已知抛物线的焦点为，过点分别向抛物线与圆作切线，切点为分别为（不同于坐标原点），则下列判断正确的是（

）A． B．C．三点共线 D．三、填空题4．（2023·陕西西安·统考一模）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是.【考点五】圆的切线方程【典例精讲】（多选）（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（

）A．切线长的最小值为B．四边形面积的最小值为C．若是圆的一条直径，则的最小值为D．直线恒过定点【变式训练】一、单选题1．（2023下·江西·高三校联考阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．2．（2023·北京通州·统考三模）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（

）A．4 B． C． D．2二、多选题3．（2023·山东烟台·统考三模）已知点为直线与轴交点，为圆上的一动点，点，则（

）A．取得最小值时， B．与圆相切时，C．当时， D．的最大值为三、填空题4．（2023·天津南开·统考二模）若直线与圆相切，则.综合考点综合考点【考点一】圆与圆的位置关系【典例精讲】（多选）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（

）

A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2πB．若圆与曲线W有8个交点，则C．与的公切线方程为D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4【变式训练】一、单选题1．（2023·广东潮州·统考二模）已知圆，则下列说法正确的是（

）A．点在圆内B．若圆与圆恰有三条公切线，则C．直线与圆相离D．圆关于对称2．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知抛物线：为抛物线的焦点，为抛物线上的动点（不含原点），的半径为，若与外切，则（

）A．与直线相切 B．与直线相切C．与直线相切 D．与直线相切二、多选题3．（2023·广东韶关·统考一模）已知圆，点，下列命题正确的是（

）A．圆的圆心为B．过点的直线可能与圆相切C．圆上的点到点距离的最大值为D．若以为圆心的圆和圆内切，则圆的半径为三、填空题4．（2023·山东潍坊·三模）已知圆，与圆总相切的圆的方程是．【考点二】弦长与弦心距【典例精讲】（多选）（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知经过点的圆的圆心坐标为（为整数），且与直线相切，直线与圆相交于、两点，下列说法正确的是（

）A．圆的标准方程为B．若，则实数的值为C．若，则直线的方程为或D．弦的中点的轨迹方程为【变式训练】一、单选题1．（2023·广东深圳·统考二模）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·河北·校联考一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（

）A．10 B．12 C．13 D．15二、多选题3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知直线与圆，下列说法正确的是（

）A．所有圆均不经过点B．若圆关于直线对称，则C．若直线与圆相交于、，且，则D．不存在圆与轴、轴均相切三、填空题4．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知直线,,圆，则以下命题正确的是．①直线均与圆不一定相交；②直线被圆截得的弦长的最小值；③直线被圆截得的弦长的最大值为6；④若直线与圆交于两点，与圆交于两点，则四边形的面积最大值为．【考点三】圆的公共弦与公切线【典例精讲】（多选）（2023·福建·统考模拟预测）已知，，则下列说法正确的是（

）A．若，两圆的公切线过点B．若，两圆的相交弦长为C．若两圆的一个交点为，分别过点的两圆的切线相互垂直，则D．若时，两圆的位置关系为内含【变式训练】一、单选题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）已知圆心均在轴的两圆外切，半径分别为，则两圆公切线的斜率为（

）A．或0 B．或0 C．或0 D．或0二、多选题3．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆与圆，下列说法正确的是（

）A．与的公切线恰有4条B．与相交弦的方程为C．与相交弦的弦长为D．若分别是圆上的动点，则三、填空题4．（2019·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为.培优考点培优考点【考点一】隐圆问题【典例精讲】（多选）（2023·山东菏泽·统考二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（

）A．椭圆的蒙日圆方程为B．记点到直线的距离为，则的最小值为C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为D．的面积的最小值为，最大值为【变式训练】一、单选题1．（2022·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2022·四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是A． B． C． D．二、多选题3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（

）

A．B．C．点的轨迹的长度为D．直线与平面所成角的余弦值的最小值为三、填空题4．（2023·黑龙江大庆·统考三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，，Q为抛物线上的动点，点Q在直线上的射影为H，M为圆上的动点，若点P的轨迹是到A，B两点的距离之比为的阿氏圆，则的最小值为．【考点二】四点共圆问题【典例精讲】（多选）（2022·上海·统考模拟预测）设A、B是双曲线上的两点，点是线段的中点．(1)求直线的方程；(2)若线段的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．【变式训练】一、单选题1．（2021·全国·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．2．（2021·四川凉山·统考二模）、分别为双曲线的焦点，以为直径的圆依次与双曲线的渐近线交于、、、四点，，若直线，的斜率之积为，则双曲线的离心率（

）A． B． C． D．二、解答题3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由．4．（2023·河北张家口·统考一模）如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E．(1)请证明E为定点，并求点E的坐标；(2)当的面积最大时，求抛物线M的方程．总结提升总结提升1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2.两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0).3.点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0).4.圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.5.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).6.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2，))消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.7.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.8.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长eq\f(l,2)，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.9.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.10.隐圆问题在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆毫无关系，但通过对题目条件的分析、转化后，会发现此问题与圆有关，进而利用圆的性质解题，一般我们称之为隐圆问题.(1)借助圆的定义；(2)借助距离的平方和为常数；(3)借助平面向量的数量积为定值；(4)借助距离比值为常数(eq\f(PA,PB)＝λ，λ>0且λ≠1，动点P的轨迹为阿波罗尼斯圆).专项专项检测一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（

）A． B． C． D．2．（2023上·江苏常州·高二校联考期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（

）A．1 B． C． D．4．（2023·全国·模拟预测）已知圆，直线.若直线与圆相交所得的弦长为8，则（

）A．或2 B．或12 C．或12 D．或15．（2023上·四川达州·高二四川省万源中学校考期中）已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．6．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）圆与圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，分别过点作圆的切线．若两切线的交点总在直线上，则点的坐标为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（

）A．线段AB最短为B．的面积的最大值为C．若P是圆上任意一点，则不存在m，使得取最大值D．过点A，B分别作直线l的垂线，与x轴交于C，D两点，若，则10．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知曲线，则（

）A．当时，是圆B．当时，是焦距为4的椭圆C．当是焦点在轴上的椭圆时，D．当是焦点在轴上的椭圆时，11．（2023·江西景德镇·统考一模）已知点P在圆O：上，点，.则（

）A．直线与圆O相切B．直线与圆O相交，且相交所得弦长为C．存在点P，使得D．存在点P，使得12．（2023·云南·校联考模拟预测）点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，为切点，则（

）A．存在点，使得B．弦长的最小值为C．点在以为直径的圆上D．线段经过一个定点三、填空题13．（2023·全国·模拟预测）已知圆，点是圆上的任意一点，点为直线上任意一点，点，则的最小值为.14．（2023·全国·模拟预测）古希腊科学家阿基米德对几何很有研究，下面是他发现的一个定理：