第3章 圆的基本性质（单元测试）（解析版）

班级________姓名________学号________分数________第3章圆的基本性质注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·浙江·九年级假期作业）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（

）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的倍D．圆是轴对称图形【答案】B【分析】根据圆的特征即可求解．【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，故选：．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键．2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（）A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断【答案】A【分析】根据点与圆的位置关系，对的半径与的长度进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵的半径为4，，又∵，∴点P与的位置关系是点P在内部，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解本题的关键．3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】将图按照对角线分成四个相同的基本图形，利用旋转的性质求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：

正方形对角线将图形分成四个完全一样的基本图形，可看作由这个基本图形旋转所组成，将图绕其中心最小旋转角后会与原图形重合，该图形绕其中心旋转的正整数倍后会与原图形重合，从而确定这个角不能是，故选：B．【点睛】本题考查图形旋转，分析出图中的基本图形是解决问题的关键．4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点B的对应点是点，点C的对应点是点，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据旋转性质，得到和，利用等腰三角形的性质，即可得到的度数．【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，，为等腰三角形，．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟知上述性质是解题的关键．5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案．【详解】如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．

∵点的坐标为，∴该圆弧所在圆的圆心坐标是．故选：C．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂径定理的推论，牢记垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）是解题的关键．6．（2023·浙江衢州·统考二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可．【详解】设圆心为O，为纸条宽，连接，，

则，，∴，，设，则，又∵，∴，即，解得：，∴半径，即直径为，故选B．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．7．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在半径为2、圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】当点D在线段上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接，过点C作于点H，如图，分别求出最小阴影部分面积比较即可得到阴影部分最小面积．【详解】当点D在线段OA上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接OC、BC，过点C作于点H，如图，

，，∵，∴．；线段、与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为．故答案为．【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆心角定理以及三角形及扇形的面积求法，讨论动点的位置作辅助线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键．8．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点A的坐标为，点B是y轴的正半轴上的一点，将线段绕点B按逆时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转结束时，点A与点C重合．若点C的坐标为，则第次旋转结束时，点A的坐标为(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标，再由旋转的角度，可知旋转4次是一个循环，则第次旋转结束时与第3次旋转结束时的位置一样，即可得出结论．【详解】解：过作轴于点，如图：

，，，，，，，，，点的坐标为，点的坐标为，，，，，，，第1次旋转结束时，点A即为点C，故；第2次旋转结束时，此时点A与的中点是点B，设，则有，解得：；第3次旋转结束时，此时点A与点C的中点是点B，同理可得：；第4次旋转结束时，点A回到初始位置，；发现规律：旋转4次一个循环，，第次旋转结束时，点，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．9．（2023·浙江杭州·校联考三模）如图，在的内接四边形中，，，，则的直径为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作直径，连、证明，利用勾股定理求出即可．【详解】解：作直径，连、．

是圆的直径，，，又，，，，，，的直径为．故选：．【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在正方形中，，是中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接．则线段长的最小值为（

）

A．8 B． C． D．【答案】A【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值．【详解】解：如图，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，

，在与中正方形中，，是边上的中点，线段的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）11．（2023·浙江温州·校考三模）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是cm．【答案】4【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径．【详解】解：扇形的弧长为，解得，，故答案为：4．【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式．12．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是．【答案】/80度【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．【详解】解：∵四边形内接于，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．13．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是度．（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．【详解】解：，则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键．14．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

【答案】26【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．【详解】解：连接，

，且寸，寸，设圆的半径的长为，则，，，在中，根据勾股定理得：，化简得：，即，（寸）．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．15．（2023春·浙江·七年级期末）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，其中，，，．若将三角板绕点按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为秒，当线段与三角板的一条边平行时，．

【答案】10秒或30秒或40秒【分析】由线段与三角板的一条边平行可知有三种情况：（1）当时，点落在线段上，由此可求出旋转角，进而可求出的值；（2）当时，则，由此可求出旋转角，进而可求出的值；（3）当，则，由此可求出旋转角，进而可求出的值．【详解】解：设旋转角为，则旋转的时间（秒），在顺时针旋转的过程中，线段与三角板的一条边平行，有以下三种情况：（1）当时，点落在线段上时，如图所示：

旋转角，（秒）；（2）当时，如图所示：

，，，旋转角，（秒）；（3）当时，如图所示：

，，旋转角，（秒）；综上所述：秒或30秒或40秒，故答案为：10秒或30秒或40秒．【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论．16．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，内接于半径为的半，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，且为的中点，则的长为.【答案】【分析】如图作于，连接，，交于．解直角三角形求出，利用全等三角形的性质证明，再利用三角形的中位线定理求出即可．【详解】如图，作于，连接，，交于．是直径，，，，点是的中点，∴，，，，，，，，设，则，，，（负根已经舍弃），，，，，，，，，，，，，，∴，，．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧弦之间的关系，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（8小题，共66分）17．（2023·浙江温州·统考二模）如图，在的方格纸中，已知格点线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．

(1)在图中画一个以为腰的等腰三角形，再画出该三角形向左平移两个单位后的图形．(2)在图中画一个以为边的钝角三角形，再画出该三角形绕点顺时针旋转后的图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；（2）根据要求画出图形即可．【详解】（1）解：图形如图所示（答案不唯一）；

（2）图形如图所示（答案不唯一）．【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．(1)画出关于原点O成中心对称的；(2)画出绕点O按逆时针方向旋转所得到的；(3)根据（1）（2）画出的图形，求出的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）作出关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可；（2）作出绕点O按逆时针方向旋转所得到的对应点，顺次连接即可；（3）顺次连接，得到，利用直角三角形面积公式求出的面积．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）如图，即为所求；（3）的面积．【点睛】此题考查了中心对称图形、旋转的作图、网格中三角形的面积，准确作图是解题的关键．19．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．

(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直径，∵点是的中点，∴，∵，∴，∴．（2）解：如图所示，连接，

∵，，∴是等边三角形，过点C作，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．20．（2023·浙江·一模）如图，在中，，以为直径的圆分别交，于点，连接交于点．若．

(1)求证：．(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)7.2【分析】（1）首先根据圆直径的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一性质求解即可；（2）首先利用勾股定理求出，然后利用等面积法得到，最后利用勾股定理即可求出的长．【详解】（1）∵是圆的直径，∴，∵，∴是等腰三角形，∴；（2）∵是圆的直径，∴，∵，，∴，∴，∵是圆的直径，∴，∴，∴，∴解得，∴．【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：

①为直径；②；③．(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．【答案】(1)①②；③；理由见解析（答案不唯一）(2)【分析】（1）任选其中两条作为已知条件，剩余一条作为结论，均为真命题，结合圆当中的基本性质和定理进行证明即可；（2）结合条件可推出，从而结合弧长计算公式直接求解即可．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵点为的中点，∴，，情况一：选择条件是①②，结论是③，是真命题；理由如下：∵为直径，∴，∴为等腰直角三角形，，∵，∴，∴条件是①②，结论是③，该命题为真命题；情况二：选择条件是①③，结论是②，是真命题；理由如下：∵为直径，∴，∴为等腰直角三角形，，∵，∴，∴条件是①③，结论是②，该命题为真命题；情况三：选择条件是②③，结论是①，是真命题；理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∵是圆上的弦，∴为直径，∴条件是②③，结论是①，该命题为真命题；故答案为：①②；③（答案不唯一）；

（2）解：由（1）可知，，如图所示，连接，∴，∵的长为，设的半径为，∴，解得：，∴的半径为．

【点睛】本题考查圆的基本性质，圆周角定理，弧长计算，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，理解直径所对的圆周角为直角及其推论，掌握弧长计算公式是解题关键．22．（2023·浙江·九年级假期作业）已知在中，，点平分平分，过点的⊙分别交于点．

(1)求的度数；(2)连接，求证：是等边三角形；(3)若，则⊙的半径______________．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；（2）连接，根据三角形的内角和定理得到，由（）知，推出是等边三角形，根据圆内接四边形对角互补得出，即可得到结论；（3）连接，，根据圆周角定理得到是的直径，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，求得，设根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：在中，，点平分，，，平分，，；（2）证明：连接，

在中，，，由（1）知，是等边三角形，，，又是等边三角形．（3）解：如图所示，连接，，

，是的直径，，由（）知，，是等边三角形，，，，，平分，，，，，

，设，，，，解得：，，，故答案为：．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．23．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E，点D，连结．(1)如图1，当点D在线段的延长线上时，①证明：四边形是平行四边形．②若点A为的中点，求四边形的面积．(2)如图2，当点D在线段上时，若点D为的中点，求的长．【答案】(1)①见解析；②8(2)【分析】（1）①利用等腰三角形的性质和旋转性质证得，即可得结论；②证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式求解即可；（2）先根据等腰三角形的性质和旋转性质得到，又，进而证明四边形平行四边形得到，，在图2中，延长交延长线于P，证明得到，，过C作于H，利用等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求解即可．【详解】（1）①证明：∵，∴，∵绕点C顺时针旋转到，∴，，，，∴，，∴，则，∴四边形是平行四边形；②∵点A为的中点，∴，又，∴四边形是平行四边形，又,∴四边形菱形，∴，∵四边形是平行四边形，，∴，∴四边形的面积为；（2）解：∵，∴，由旋转性质得，，，∴，∴，∴，又，∴四边形平行四边形，∴，，在图2中，延长交延长线于P，则，

∵点D为的中点，∴，又，∴，∴，，过C作于H，则，在中，，，∴，在中，，∴