离散型随机变量及其分布列高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修三

7.2离散型随机变量及其分布列

求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.

有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系.例如，掷一枚骰子，用实数m(m=1、2、3、4、5、6)表示“掷出的点数为m”;又如，掷两枚骰子，样本空间为Ω={(x，y)|x、y=1、2、…、6}，用x+y表示“两枚骰子的点数之和”，样本点(x，y)就与实数x+y对应.一、探究新知

类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5、4、3、2、1；等等.

有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.

对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应.

即通过引人一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.一、探究新知一、探究新知

考察下列随机试验及其引入的变量:

试验1:

从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数;

试验2:

抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量Y表示需要的抛掷次数.

这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量X、Y有哪些共同的特征?

对于试验1,如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”,用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点，则样本空间

Ω1={000,001,010,011,100,101,110,111}.各样本点与变量X的值的对应关系如右图所示.11111010110001101000100032212110Ω1X一、探究新知

考察下列随机试验及其引入的变量:

试验1:

从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数;

试验2:

抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量Y表示需要的抛掷次数.

这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量X、Y有哪些共同的特征?

对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”,则样本空间

Ω2={，th,tth,ttth,…}，Ω2包含无穷多个样本点.

各样本点与变量Y的值的对应关系如右图所示.…ttthtththh…4321Ω2Yh……………h…………h………h……tttt

在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X、Y有如下共同点:

(1)取值依赖于样本点；

(2)所有可能取值是明确的.二、随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量．

试验1中随机变量X的可能取值为0、1、2、3，共有4个值；试验2中随机变量Y的可能取值为1、2、3、…，有无限个取值，但可以一一列举出来.

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.

通常用大写英文字母表示随机变量,例如X、Y、Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x、y、z.

随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫(Che-byshev，1821—1894)在19世纪中叶建立和提倡使用的.

现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.

例如，种子含水量的测量误差X1；某品牌电视机的使用寿命X2；测量某一个零件的长度产生的测量误差X3.这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量.本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.

不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集.随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.三、探究新知

现实生活中，离散型随机变量的例子有很多.例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0、1、2、…、10；某网页在24h内被浏览的次数Y，它的可能取值为0、1、2、…；等等

你能再举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子吗?

根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题.

例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则事件“掷出m点”可以表示为{X=m}(m=1、2、3、4、5、6)，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}，事件“掷出偶数点”可以表示为{X=2}∪{X=4}∪{X=6}，等等.由掷出各种点数的等可能性，可得三、条件概率

这一规律可以用下表表示：X123456P

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1、x2、…、xn，则称X取每一个值xi的概率

P(X=xi)=Pi(i=1，2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列.

与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示(如下左表)，还可以用图形表示.例如，下右图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.四、分布列Xx1x2…xnPp1p2…pnPXO234561

根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:

(1)pi≥0(i=1，2，…，n)

(2)p1+p2+…+pn=1

利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率.例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式得，事件“掷出的点数不大于2”的概率为

P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=四、分布列

类似地,事件“掷出偶数点”的概率为P({X=2}∪{X=4}∪{X=6})=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)五、精典例题例1一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义

求X的分布列.五、精典例题

对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”，

表示“失败”，定义

如果P(A)=p，则P(

)=1-p，那么X的分布列如下表所示.

则称X服从两点分布或0—1分布.

实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1).像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述.X01P1-pp例2某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个

等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示.五、精典例题等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030

从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布

列，以及P(X≥4).例3一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从

中随机挑选2台,求这2台电脑中A品牌台数的分布列.五、精典例题六、课堂小结1.随机变量：

2.概率分布列：

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都

有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量．

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1、x2、…、xn，

则称X取每一个值xi的概率

P(X=xi)=Pi(i=1，2，…，n)

为X的概率分布列，简称分布列.Xx1x2…xnPp1p2…pn

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为

离散型随机变量.

通常用大写英文字母表示随机变量,例如X、Y、

Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x、y、z.六、课堂小结3.离散型随机变量分布列的性质：

4.两点分布：

(1)pi≥0(i=1，2，…，n)

(2