第01讲 认识三角形（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第1讲认识三角形了解三角形的概念；了解三角形的重心概念；了解三角形的稳定性；理解三角形的分类；理解三角形及与三角形有关的线段的概念；掌握并证明三角形两边的和大于第三边；理解三角形内角、外角的概念；探索并证明三角形的内角和定理；知识点1三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；记作：△ABC，如图：其中：线段AB，AC，CA是三角形的边，A，B，C是三角形的顶点，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．知识点2三角形的分类：等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。知识点3三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。【拓展：三边关系的运用】①判断三条线段能否组成三角形；②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。知识点4三角形的稳定性①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等知识点5三角形的重要线段知识点6三角形的内角①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。测量法：剪角拼角法：知识点7三角形的外角①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图，∠ACD是△ABC的一个外角②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。【题型1三角形的概念】【典例1】（2022秋•游仙区期中）三角形是指（）A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形【变式1-1】（2022•杭州模拟）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（）A． B． C． D．【变式1-2】（2022春•通川区期末）根据下列已知条件，能确定△ABC​的形状和大小的是（）A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°​ B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm​ C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°​ D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°​【题型2三角形的分类】【典例2】（2022秋•民权县月考）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误 C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误【变式2-1】（2022•宽城县一模）下列图形中，是直角三角形的是（）A． B． C． D．【变式2-2】（2022春•馆陶县期末）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（）A．①对，②不对B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对【题型3三角形的判断】【典例3】（2022春•承德县期末）如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能【变式3-1】（2022秋•东平县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能【变式3-2】（2022秋•颍泉区期中）如图，一个三角形纸片被木板遮掩了一部分，则这个三角形为（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【题型4三角形的三边关系】【典例4】（2023春•建湖县期中）下列各组线段能组成一个三角形的是（）A．3cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，6cm C．4cm，8cm，12cm D．5cm，8cm，12cm【变式4-1】（2023春•锦江区校级期中）如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝14m，PB＝10m，那么AB间的距离不可能是（）​A．4m B．15m C．20m D．22m【变式4-2】（2023春•市南区校级期中）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为（）A．4或6 B．2或4 C．4 D．6【变式4-3】（2023春•溧阳市期中）用木螺丝将五根不能弯曲的木棒围成一个五边形木框，不计螺丝之间距离，其中木棒长如图所示，若在不破坏木框的前提下，任意改变木框的内角大小，那么其中两顶点之间能达到的最大距离是（）A．12 B．11 C．9 D．8【题型5三角形的稳定性】【典例5】（2023春•丰泽区校级期中）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等【变式5-1】（2022秋•中山市期末）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【变式5-2】（2023•南海区校级模拟）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【题型6三角形的高】【典例6】（2023春•道里区校级期中）如所示的四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（）A． B． C． D．【变式6-1】（2023春•香坊区校级期中）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A． B． C． D．【变式6-2】（2023春•奉贤区校级期中）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）​A．图① B．图② C．图③ D．图④【变式6-2】（2023•东城区一模）如图，已知△ABC，用直尺测量△ABC中BC边上的高约为cm（结果保留一位小数）．【题型7利用三角形的中线巧算周长】【典例7】（2022秋•黔东南州期中）如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长（AC＜AB）．【变式7-1】（2023春•工业园区期中）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式7-2】（2023春•天桥区期中）如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（）A．20 B．24 C．26 D．28【变式7-3】（2021秋•河口县期末）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．【题型8利用三角形的中线巧算面积】【典例8】（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式8-1】（2021秋•凤凰县期末）如图，D、E分别是AC、BD的中点，△ABC的面积为12cm2，则△BCE的面积是（）A．6cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2【变式8-2】（2022秋•张店区校级期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为cm2．【题型9三角形的内角和定理】【典例9】（2023春•沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C＝（）A．72° B．92° C．108° D．180°【变式9-1】（2023春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠B的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．60°【变式9-2】（2023春•渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则∠C度数为（）A．32° B．34° C．36° D．38°【变式9-3】（2023春•朝阳区校级期中）如图，CE是△ADC的边AD上的高．若∠BAD＝40°，∠ECD＝25°，则∠B的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°【题型10三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】【典例10】（2021春•芜湖期末）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°．（1）求∠DAE的度数；（2）试写出∠DAE与∠C﹣∠B有何关系？（不必证明）【变式10-1】（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（）​A．50° B．60° C．70° D．80°【变式10-2】（2022秋•新兴县期末）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠DAE的度数为（）A．40° B．20° C．10° D．30°【变式10-3】（2023•碑林区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（）A．5° B．8° C．10° D．12°【题型11三角形外角性质】【典例11】（2023•长安区模拟）将一副直角三角板如图放置，则∠1的度数为（）A．75° B．65° C．45° D．30°【变式11-1】（2023•漳州模拟）如图，∠CBD是△ABC的外角，∠A＝38°，∠CBD＝68°，则∠C的度数是（）A．68° B．40° C．38° D．30°【变式11-2】（2023•海口模拟）如图，将一副三角板叠在一起，则图中∠α的度数是（）A．50° B．60° C．75° D．85°【变式11-3】（2022秋•明水县校级期末）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝（）A．30° B．40° C．50° D．80°1．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，92．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（）A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形4．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm5．（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．6．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）A．1 B．2 C．7 D．87．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线8．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为．9．（2021•大庆）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为．1．（2023春•锡山区校级期中）各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）A．B． C．D．2．（2023春•南山区期中）已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．83．（2023•未央区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（）A．10° B．12° C．15° D．18°4．（2022秋•禅城区校级期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝70°，则∠F＝（）A．125° B．130° C．135° D．140°5．（2022秋•晋安区期末）修理一把摇晃的椅子，我们可以斜着钉上一块木条（如图），其中所涉及的数学原理是（）A．两边之和大于第三边 B．三角形稳定性 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线10．（2022秋•泸县校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADC的度数为（）A．100° B．90° C．80° D．50°6．（2023•定远县二模）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）A．56° B．34° C．36° D．24°7．（2023•雁塔区校级模拟）如图，将一副直角三角板按如图所示叠放，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的大小是（）A．10° B．15° C．25° D．30°8．（2023•青岛模拟）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°9．（2022秋•许昌期末）要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（）根木条．A．1 B．2 C．3 D．4