3.7 正多边形（4大题型）（分层练习）（解析版）

第3章圆的基本性质3.7正多边形（4大题型）分层练习考查题型一求正多边形的中心角1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）正八边形的中心角等于（

）度A．36 B．45 C．60 D．72【答案】B【分析】直接用360度除以边数即可得到答案．【详解】解：，∴正八边形的中心角等于45度，故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟知正n边形的中心角度数为是解题的关键．2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】连接，先求出的度数，然后利用正多边形外角和等于，即可求出答案．【详解】解：连接，如图：根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O，∴，，∴；∵是某正n边形的一个中心角，∴；故选：C．【点睛】本题考查了正多边形的性质，正多边形的外角和定理，解题的关键是掌握正多边形的性质，正确求出的度数．3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的中心角为，则从该正多边形的一个顶点出发共有条对角线．【答案】7【分析】利用正多边形的中心角的定义，即可求出这个多边形的边数，再根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可求答案．【详解】解：，．故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角的定义、多边形的对角线，熟练掌握边形从一个顶点出发可引出条对角线是本题的关键．4．（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，是的内接正三角形，是的内接正四边形的一边，连接，则是的内接正边形的一边．【答案】十二/12【分析】连接、、，求出，，从而求出，根据，得出答案即可．【详解】解：连接、、，如图所示：∵是的内接正三角形，∴，∵是的内接正四边形的一边，∴，∴，∵，∴是的内接正十二边形的一边．故答案为：十二．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握正多边形和圆的特点，求出．5．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，点是正方形，的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；（2）根据题意证明即可求解．【详解】如图所示，点即为所求．连接由得：是正方形中心，在和中，．【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．考查题型二已知正多边形的中心角求边数1．（2023·浙江·九年级假期作业）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．【详解】解：这个多边形的边数是，故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．【详解】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正八边形的一边，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的中心角是，则过它的一个顶点有条对角线．【答案】5【分析】根据正多边形的中心角是，可求得是正几边形，然后利用过边形的一个顶点有对角线计算即可．【详解】解：设正多边形的边数为且正多边形的中心角是，，，过边形的一个顶点有条对角线，即条，故答案为：．【点睛】本题考查的是多边形的对角线、正多边形的中心角．解题的关键是要掌握过多边形的一个顶点有条对角线、正多边形的中心角都相等．4．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知一个正多边形的中心角为，边长为5，那么这个正多边形的周长等于．【答案】40【分析】利用正多边形的中心角求出正多边形的边数，最后根据正多边形的性质求出其周长．【详解】解：一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数为：，这个正多边形的周长为：．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键在于知道中心角与边长的关系．5．（2023·浙江·九年级假期作业）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6【分析】类比探究：通过证明可得，则．拓展应用：通过证明可得，则．【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四边形面积为，∴正六边形的面积为6．【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．考查题型三正多边形与圆1．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，正六边形的半径是，由正六边形的性质构造证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案．【详解】解：如图，连接，交点为，

由正多边形的性质得，点为正六边形的中心点是正六边形的中心，正六边形的半径是，，，是等边三角形，，正六边形的周长为：，故选：C．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意构造出是等边三角形是解题关键．2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点，重合），则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数．【详解】解：连接、、，如图，

∵八边形是正八边形，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用；熟练掌握中心角公式，由圆周角定理求出结果是解决问题的关键．3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为．

【答案】【分析】如图，剪去部分为4个全等的等腰直角三角形，设直角边长为x，根据勾股定理构建方程，求得，进而得出正方形边长．【详解】解：如图，剪去部分为4个全等的等腰直角三角形，设直角边长为x，则，解得∴正方形的边长为：；故答案为：．【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，正多边形性质，掌握勾股定理是解题的关键．4．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，正三角形与正五边形内接于，则的度数为．【答案】24【分析】设外接圆圆心为O，连接，根据正五边形、正三角形和外接圆的性质可知：平分，平分，可得，根据正五边形和正三角形的性质求出，，问题得解．【详解】解：设外接圆圆心为O，连接，根据正五边形、正三角形和外接圆的性质可知：平分，平分，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，∵五边形是正五边形，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查正多边形与外接圆等知识，得出是解题关键．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点、、、都在上，，．(1)求的度数；(2)求的度数；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数:（2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．【详解】（1）∵点、、、都在上，∴，∵，∴，∴的度数为（2）连接，∵，∴，∴，∵，∴【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．考查题型四尺规作图—正多边形1．（2023春·九年级课时练习）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；对于甲、乙两人的作法，可判断（

）A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对C．两人都不对 D．两人都对【答案】D【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等【详解】甲：∵BF是中垂线

∴四边形OCDE是菱形

∴△OCD,△OED都是等边三角形，同理可得△OAB,△OAF也是等边三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等边三角形∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形乙：∵AB=AO=BO=AF=OF∴△OAB,△OAF都是等边三角形，同理可得△OCD,△OED也是等边三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等边三角形∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形故选D【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等2．（2023春·九年级课时练习）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是（

）A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对【答案】C【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知，六边形是正六边形，即甲同学的作业正确．由乙同学的作业可知．依次画弧可得．六边形为正六边形，即乙同学的作业正确．故选C【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键．3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：①作出半径OF的中点H．②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝．（结果保留根号）【答案】【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点，∴OH=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝，∵AH＝HG＝，∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．故答案为：10﹣2．【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键．4．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．（1）⊙的周长等于；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】见解析【分析】（1）利用勾股定理可得答案；（2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．【详解】（1）∵⊙的半径为：，∴⊙的周长，故答案为：（2）如图：∵，又∵，∴，∴．∵，

∴，∴．∵，∴．∵，∴．

∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是矩形．∴，∴，∵，∴，

∴，∴．∵，∴，∵过圆心,，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形．故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．5．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）作图题：(1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法）(2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分别以、为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．（2）连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，即可得出图形．【详解】（1）（2）解：连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，，如图，六边形即为所求．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键．1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接、于点，根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．【详解】解：如图，连接、于点，

∵正六边形边长为4，，∴，在中，，，，，点的横坐标为，纵坐标为，点的坐标为．故选：B．【点睛】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，正六边形内接于，点P在上，点Q是的中点，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据圆内接正六边形的性质和点Q是的中点，得到，，得到，根据圆周角定理即可得到的度数．【详解】解：如图，连接，

∵正六边形内接于，Q是的中点，∴，，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，熟练掌握正多边形和圆的知识是解题的关键．3．（2023·辽宁阜新·校联考一模）如图，点O为正六边形对角线上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接、、，则交点为，设正六边形的边长为，每个小三角形底边上的高为，则的长为，正六边形的面积为，，然后根据这个点取在阴影部分的概率是，计算求解即可．【详解】解：∵正六边形，如图，连接、、，则交点为，

设正六边形的边长为，每个小三角形底边上的高为，则的长为，∴正六边形的面积为，，∴这个点取在阴影部分的概率是，故选：B．【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确表示阴影部分、正六边形的面积．4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第次相遇地点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，O为正六边形的中心，可得，连接OB，作于点G，可得，，可得，，根据题意可得，P，Q第一次相遇地点的坐标在点，以此类推：第二次相遇地点在点，第三次相遇地点在点，…如此循环下去，即可求出第次相遇地点的坐标．【详解】解：，O为正六边形的中心，，连接OB，作于点G，

则，，，，正六边形的边长为1，正六边形的周长等于6，又点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，第1次相遇需要的时间为：（秒），此时点P的路程为，点Q的路程为，此时P，Q相遇地点的坐标在点，以此类推：第二次相遇地点在点，第三次相遇地点在点，…如此下去，，第2023次相遇地点在点，的坐标为．故选：A．【点睛】本题考查正多边形和圆、平面直角坐标系中坐标的规律探究及等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质找到坐标的运动规律是解题的关键．5．（2023·福建·统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，∵，∴，则，故正十二边形的面积为，圆的面积为，用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．6．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图所示，在正五边形中，是的中点，点在线段上运动，连接，当的周长最小时，的度数为．

【答案】【分析】根据对称的定义得出当点在同一条直线上时，的周长最小，由正五边形的性质可得，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质和三角形外角的定义进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，当点在同一条直线上时，的周长最小，

，五边形是正五边形，，，，是的中点，是正五边形的一条对称轴，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，熟练掌握正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，是解题的关键．7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，正六边形的半径为，点在边上运动，连接，则的长度可以是（只写出一个满足条件的值即可）．

【答案】答案不唯一，只要符合即可．【分析】设正六边形的中心为，连接，，，，，根据正六边形的性质得和为等边三角形，然后可由勾股定理求出，进而得，再求出，根据在边上运动得，最后在这个的范围内取一个值即可．【详解】解：设正六边形的中心为，连接，，，，

根据正六边形的性质得：经过点，，，为等边三角形，，同理：为等边三角形，，又，，，，在中，，，由勾股定理得：，，又，，在边上运动，，即：，．故答案为：答案不唯一，只要符合即可．【点睛】此题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正多边形的性质，中心角、半径等概念．8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图②是一部分巢房的截面图，建立平面直角坐标系，已知点的坐标为，则点的坐标为．

【答案】【分析】根据正六边形的性质可得出点与点关于原点成中心对称，由成中心对称的两个点坐标的变化规律即可得出答案．【详解】解：如图，由题意可知，点与点关于原点成中心对称，

∵点的坐标为，∴点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、成中心对称的两个点坐标的变化规律，熟练掌握正六边形的性质、成中心对称的两个点坐标的变化规律，是解题的关键．9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，正五边形内接于，是的直径，P是上的一点（不与点B，F重合），则的度数为°．【答案】54或126【分析】由正五边形的性质，圆周角定理，得到，由等腰三角形的性质推出直径，从而求出的度数，分两种情况，即可解决问题．【详解】解：连接，∵正五边形的五个顶点把圆五等分，∴，∴，∴，∵，∴直径，∴，∵，∴，当P在上时，连接，∵，∴，∴，当P在上时，由圆内接四边形的性质得．∴的度数是或．故答案为：54或126．【点睛】本题考查正五边形和圆，关键是掌握正五边形的性质．10．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．

【答案】6【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，∴∵是等边三角形的外接圆，其半径为4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值为的长度∵是等边三角形，，∴∴的最小值为6．故答案为：6．【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．11．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考期末）如图，正五边形的两条对角线相交于点F．(1)求的度数；(2)求证：四边形为菱形．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用正五边形的性质求出及度数，得出，最后求出的度数；（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证．【详解】（1）解：∵正五边形ABCDE∴，，∴同理：，∴．（2）证明：∵，∴，∴，同理∴∴四边形CDEF为菱形．【点睛】本题考查了正多边形的性质及菱形的判定，利用正五边形的性质得出内角度数是解题关键．12．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，的半径为4，将该圆等分成8份，连接，并延长交于点．(1)连接，直接写出和的位置关系___________；(2)求证：；(3)求的长；【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）连接，根据将该圆等分成8份，可得是的直径，再根据圆周角定理可证得；（2）连接，，根据圆周角定理可证得，再由被8等分可得，，即可证得，再根据全等三角形的性质，即可证得结论；（3）连接，，，由被8等分可求得，可得，再根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：如图：连接，将该圆等分成8份，是的直径，，，故答案为：；（2）解：如图：连接，，，被8等分，，，在与中，∴，，，即；（3）解：如图：连接，，，被8等分，∴，，，∴在中，．【点睛】本题考查了圆周角定理，等分圆的性质，全等三角形的性质及判定定理，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．13．（2022秋·湖北武汉·九年级统考阶段练习）请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．(1)如图，正六边形中，G为上一点，连接．①连接，在图1中过点G画一条直线平分的面积；②将绕点O旋转得到，在图2中画出旋转中心点O和；(2)如图3，弦是的内接正五边形的三条边，在图中画出另两边以及圆心O．【答案】(1)①见解析，②见解析(2)见解析【分析】（1）①先根据正六边形的特点连接，则得到的中点，再作过的中点和点G的直线即为所求，等底等高面积即相等；②连接对角线，对角线的交点即为旋转中心，根据旋转的性质即可得到中心对称图形；（2）延长、交于一点，连接与交于一点，过两个交点作直线，直线与劣弧的交点即为点E，即可画出另两边，，与交于一点，连接交点与点D，与之前所画的线交于一点O，点O即为圆心．【详解】（1）解：①如图即为所求．②如图即为所求．（2）解：如图即为所求．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，以及中心对称图形的做法，也考查了正六边形的性质、正五边形的性质．14．（2023·河北邯郸·校考二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．

(1)________°(2)若，的半径为10，小圆的半径都为1：①在旋转一周的过程