2023-2024学年江苏省南通市高一年级下册期中模拟数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南通市高一下册期中模拟数学试题

一、单选题

1.已知i是虚数单位，若Z=J=，则|z|=（）

2-1

A.1B.75C.—D.3

5

【正确答案】C

【分析】根据复数的除法运算，化简ZM-2+I1，进而即可求出答案.

ii（2+i）-l+2i1,2i

【详解】因为z=）（）-1）

2-i一（2-i2+i-555

I

所以

故选：C.

1.4

2.3^*sin（7t+a）=-~9则cos（7t—2a）=（）

3D3cl

A.-D."—C.D.

5525~25

【正确答案】c

【分析】结合诱导公式和二倍角公式求得正确答案.

44

【详角军】由sin（兀+a）=-sina=得sina=

55

所以cos（7i-2a）=-cos2a=2sin2tz-1=2x^^j-17

25

故选：C

3.记_钻。的内角48,。的对边分别为。为,。,。=2,。=3,8=1,则AC边上的高为（）

&后n畑c3庄n3历

147147

【正确答案】D

【分析】根据余弦定理求出分，再根据面积公式列式可求出结果.

【详解】由层=q2+c2-2accos3=4+9-2x2x3x」=7,得A=g.

2

设AC边上的高为〃,

百

2x3x

因为5,卄=丄加4118=丄劭，所以，acsinB23而,

''byH1

即AC边上的高为亚

7

故选：D

4.利用公式：sin(a+y5)=sinacos/?+cosasin/3,sin(a-y5)=sincrcos/?-cosasin/?,可

得：sinacos/=g[sin(a+0+sin(a—/)].则化简sin20cos70+sin10sin50的值是()

A.-B.2C.；D.旦

4224

【正确答案】A

【分析】根据题目所给公式计算化简即可求值.

【详解】由sinacos/3=；[sin(a+夕)+sin(a-夕)]可得，

sin20cos70=g[sin(20+70)+sin(20-70)]=gsin90+^sin(-50),

sin10sin50=sin10sin(90-50)=sinl0cos40

=g[sin(10+40)+sin(10-40)]=；sin50+gsin(一30),

所以sin20cos704-sin10sin50=—sin90+—sin(-50)+—sin50+—sin(-30)

=—sin90——sin50+—sin50——sin30=------=—,

2222244

故选:A.

5.如图在中，N8AC=q.AD=2DB，P为8上一点，且满足

AP=/nAC-i-^AB(/neR),若AC=3,AB=4,则APCD的值为(

)

13C,上1

A.-3B.D.

1212V2

【正确答案】c

i3

【详解】由AO=2O3及AP=〃?AC+/A3（m£R）,将AP="?AC+QAO（"?£R）.由三点

共线可求加的值，再用厶3、AC表示CO，进而求AP.CD即可.

_.17

【分析】AP=mAC+-AB（meR）,AD=2DB，即厶。=148,

3、

/.AP=mACGR),

因为C、P、O共线，设CP=/ICD,即AP-AC=4(AO-ACj,

1-2=/n

31

所以，AP=(1-A)AC+AAD,所以，彳_3,故加=l-j=a，

."4

112

所以，AP=-AC+-AB,而CQ=A£>-AC=—A8-AC,

423

由平面向量数量积的定义可得AB-AC=k8H4Ckos]=4x3xg=6,

/.APCD=\(1-AC^1-ABV2-AB-AC\=\-AB2一1一ABAC——1AC2

(42丿(3丿334

12-13

=—x4yl—x6—x3=—.

33412

故选：C.

.I/。G.A2tan13°/l-cos500血心/、

6.设a=-cos6。--sin6°,b=--------77—,c=.-,则有()

221+tan-13°V2

A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【正确答案】c

【分析】利用辅助角公式化简。，利用倍角公式化简6,C,利用正弦函数的单调性比较大小.

【详解】a=-cos6°-^-sin6°=sin(30°-6°)=sin240,

.2tan13°2sinl30cosl3°.

b=------——=——；-------；——=sin26°,

1+tan213°cos213°+sin213°

(

C=c^s5oO=Vsin225°=sin25°.

因为函数，=sinx在(0,5)上是增函数，所以

故选：C.

若三角形中cos4=g,S=4&，

7.43c的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,c

且sin(A-8)=2sin8(l—2cosA),则匸=()

3

A.3B.-C.2D.4

2

【正确答案】D

【分析】易知sinA=迪，利用两角差的正弦公式化简原等式，可推出tanB=¥，从而知

sin8和cosB的值，再结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求得sinC的值，然

后由正弦定理，知力=：c,最后由S=；6c-sinA,得解.

【详解】Qcos4=g,且Ae(O,m,

sinA=A/1-COS2A=,

3

sin(A-B)=2sinB(l-2cosA),

sinAcosB-cosAsin=2sinB-4sin^cosA,即sinAcosB=2sinB-3sinBcosA,

厶&cosB=2sin8-3x丄sin8=sin3

33

...tanB=^

3

B£（0,兀），sinB=,8sB=~^=

V17V17

?.sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=x+丄x=8y,

3V173V173>/17

b

由正弦定理知,

sinBsinC'

b_c

3

•••2y（2~8&,即〃

7173>/T7

S=-Z?csinA=---cc—=4^,

2243

c=4.

故选：D

ABC中,若sinC=sinAsinB,则tan（A+5）的取值范围是（）

TB.c.同D.M]

【正确答案】A

【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得tanA+tan8=tanAtan8,利用基本不等式

得tanAtanB",利用两角和的正切公式表示tan(A+B),结合以上条件即可求解

tan(A+8)的取值范围.

【详解】丁，cosAcosBwO,

VsinC=sinAsinB，即sin(A4-B)=sinAsinB,

sinAcosB+cosAsinB=sinAsinB,

两边同时除以cosAcosB,得lanA+lan8=lanAtan3,

tanA,tanB>0,

•*.tanA+tanB>2VtanAtanB,当且仅当tanA=tanB时等号成立,

tanAlanB>2jtanAtanB，B|JtanAtanB>4,

-n、tanA+tanBtanAtanB1

tan(A+B)=-----------------=------------------=------------------

1-tanAtanB1-tanAtanBI1，

tanAtanB

VtanAtanB>4，0<---------------<—,

tanA-tanB4

tanA-tanB4

——<-------------------<-1/、4

；・3-1.，即tan(A+5)的取值范围是-不-l

-----------------1J

tanA-tanJB

故选：A.

二、多选题

2

9.在复平面内,复数z=皐瓦，正确的是()

A.复数I的模长为1

B.复数z在复平面内对应的点在第二象限

C.复数z是方程f-x+l=0的解

D.复数。满足|。-目=1,则同皿=&+1

【正确答案】AC

【分析】根据复数的除法运算法则化筒复数得2=丄-3i,进而可判断厶8,将2=丄-立i代

2222

入方程中即可验证C,根据复数的几何意义即可判断D.

得“=(1+T)(f%[-乐则送+当

2

【详解】由2=

1+后

2

对于A,|z|==1,故A正确,

对于B,复数z在复平面内对应的点为,故该点位于第四象限，故B错误,

316....1-73.日

---+—1+1=n0,tez=--------1是

42222

Y7+1=0的复数根，故C正确,

对于D,设复数。对应的向量为OW=(x,y)到，复数z对应的向量为OZ=；，由

3-z|=l得|ZW|=1的距离为1,故复数。对应点的(x,y)在以g,-券为圆心，半径为1

的圆上，故网的最大值为|oz|+r=l+l=2,故D错误，

故选：AC

10.在一A5C中，记角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若ABMC=2，a=2,则()

A.b2+c2=SB.向量SA，AC夹角的最小值为？

C.内角4的最大值为。D._A8C面积的最小值为G

【正确答案】AC

【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到从+C?=8,根据均值不等式得到反44,

计算cosA=；，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到Sf=1"?一44百,得到答

案.

"+〃—4

【详解】AB-AC=bccosA=------;------=2,/?2+c2=8,故A对；

2

217T

b2+c2=S>2bc,be<4,当且仅当b=c时取等，bccosA=2,cosA=—>-,即AMX=T，

be23

故B错，C对；

S.ABC=3besinA=bcylI-cos2A=gbcjl—(=--—----<y/3>故D错.

故选：AC

II.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，

是沟通代数与几何的桥梁•若向量a,8满足同=同=2,卜+4=2百，则（）

兀

A.a-b=—2B.d与力的夹角为］

C.k一4＜卜+4D.a-b在/，上的投影向量为产

【正确答案】BC

【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B,根据投影向

量的求法即可判断D.

【详解】由同=2,卜+0=2®

12冃4+切2=/+24./,+32=4+24./,+4,解得人/,=2,故厶错误

〃力=时也即6,6}=2宀«力）=前=3,

由于（a,b”（0,兀），.工与/，的夹角为T，故B正确，

pz-Z>|=’（a-/?）=\la-2a-b+b2=,4-2a.J+4=2<卜+0=2A/3，故C正确

b'（ci^bybci'h-bhh\

a—b在b上的投影向量为TI-%=—:—n=-1=-力，故D错误,

\b\\b\2\b\\b\2

故选：BC

三、单选题

12.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式

e，=cosx+isinx（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的

地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是

A.eLV4-1=0B.

eiv+e-u

C.cosx=----------D.

22

【正确答案】C

【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.

【详解】对于A,当x=］时，因为e，=cos/+isin/=i,所以/+1=i+1*0，故心+1=0

不一定成立，选项A错误;

fl+^iT=fcos^+isin4

对于B,e3=e”1=cos4+isin)二一1,所以B错误;

(22丿I33丿

对于C,由/=ssx+isinx,e-Lr=cos(-x)+isin(-x)=cos-isinx,所以eir+e"u=2cosx，得

出cosx=+e—，选项C正确；

2

对于D,由C选项的分析得e*-e±=2isinx,得出sinx=-唬主工选项D错误.

2

故选：C.

四、填空题

13.复数2+i与复数丄在复平面上对应点分别是43,则tan/AOB=______

3+1

【正确答案】1

【分析】根据复数运算法则可得A8两点的坐标，再根据两角和的正切公式即可算出

tanZAOB=1.

【详解—】根据复数运算法则可得±二苔蒜二言二宗一台

所以2+i与A对应的点的坐标为42」）,B』-丄〕

如下图所示:

10'10J

11

一+一

tana+tan/?23

则tanZAOB=tan(a+/)==1.

1-tancrtanp111

23

故1

14.已知sin£=^,COS（a+夕）=得，二£（0,3，万«0,兀），则sina=

【正确答案】豊

65

【分析】通过构角。=9+尸)-夕，再利用正弦的两角差的公式得

sina=sin(a+/?)cos/?-cos(a+^)sin/?,利用已知条件，通过进一步缩小厂和a+尸的范围,

再利用同角三角函数关系和二倍角公式求出sin广，cos)，sin(a+0的值，进而可求出sina

【详解】因为sina=sin[(a+£)-/7],由正弦的两角差的公式得

sinc=sin(tz+/?)cos/?-cos(a+尸)sin夕.

又因为力«0,兀)，又sin'=日，所以cosg=旧码=半,

又因为血分《净闻，"w(局,

3

所以sin/?=2sincosP=Jl-sin/

MT5

又.ael0,y1,.-.a+/7e又cos(a+/?)=搐，所以

sin(a+〃)=Jl-cos2(a+/?)=也,

r.sina=sin[(a+△)—6]=sin(a+£)cosP-cos(a+A)sin4

1235416

=—x---------X—=——

13513565

..16

故而•

15.设A8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知”=6,b=2,要使，45C为钝

角三角形，则c的大小可取..(取整数值，答案不唯一).

【正确答案】5(填7也对，答案不唯一)

【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出4<c<8,再分别讨论。和c•为钝角时，边c•的

取值范围，根据题意即可得到答案.

【详解】首先由“，b,c构成三角形有4=a-b<c<a+6=8,

若c为钝角所对边，有02>巒+庁=40,C>740,

若“为钝角所对边，有36=/>层+。2=4+02,c<伝,

由b<a,b不可能为钝角所对边,

综上，C的取值范围是(4,后)(740,8),

由题意，。取整数值，故。的大小可取5或7.

故5(填7也对，答案不唯一).

16.如图，尸为矩形A8CO边A8中点，M,N分别在线段EF、CQ上，其中AB=4,BC=3,

AE^BF^l,若PMPN=4,则PM+^M的最小值为•

【正确答案】2石

【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设M(W,1),N(〃,3),然后表示出PM,PN,

由PM/N=4可得根=丄=，代入PM+PN中求其模，利用基本不等式可求出其最小值.

n-2

【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

可知尸(2,0),M,N分别在线段£F、C£>上，

设N(〃,3)(0</n<4,0<M<4),

则PM=(/"-2,l),PN=5-2,3),

所以PM•PN=("?-2)(〃-2)+3=，*"-2(，〃+”)+7=4,

所以机=竺^20,

n-2

PM+PN=(m+〃-4,4),

所以|PM+=7(W+«-4)2+16

2+〃一4储6

n-2丿

IUULTmill।

所以|PM+PN|的最小值为20.

故

五、解答题

,sin2a-4sincr「(八冗、

17.已知一o——；---------7=3，«e°'r•

cos2a-4cosa+l\Z)

⑴求tana和sin2a的值；

⑵若sin尸=2si呜+/?J,夕w（0,卦求a+夕的大小.

3

【正确答案】（1）tana=3,sin2a=-；

【分析】(1)结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tana=3,以及sin2a=当吟求

tana+1

值；

(2)条件等式由诱导公式可得sinZ?=2cosZ7ntanQ=2,即可由和差公式求得tan(a+/7),

结合a+尸范围即可.

—sin2a-4sina2sinacosa-4sina2sina(costz-2)

【详解】(1)------------------------=---------z-----------------=---------7-----------^-=tana=3,

cos2a-4cosa+12cos-a-4cosa2cosa(cosa-2)

.82sinacosa2tancr3

sin2a=——7---------3-=——3-----=一；

sin~6Z+cos~atan-a4-15

(2)sinyff=2sin^+^j=2cos/?=>tan/?=2,

tana+tan

tan(a+yg)=^=-l,

1-tanatan(3

Va+y0G(O,7r),2+1=弓.

22

18.已知复平面内的点A,B对应的复数分别为Z|="?-加，z2=2/n-l+(/n-2)i(/?zeR),

设AB对应的复数为z.

(1)当实数，〃取何值时，复数z是纯虚数；

(2)若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数机的取值范围.

【正确答案】(1)m=――；(2)—2<m<—.

22

【分析】(1)求出z=z2-Z-z是纯虚数，虚部不为0,实部为0,即可求解；

(2)根据z的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.

【详解】点A,8对应的复数分别为4=加-,成22=2/-1+"一21，

A8对应的复数为z,，z=Z2-Z[=2,"2-,〃-l+O2+〃i-2)i,

[2济—1=o

(1)复数Z是纯虚数，，2。八，

[m-+"7—2.0

m1T।

解K/得r｛~——2或根=1,

m工一2且机w1

(2)复数z在复平面上对应的点坐标为(2布-〃LI,/+〃?一2),

2m2-m-l>0m{——或）1

位于第四象限,即\2/

m2+/%—2<0

-2<m<\

-2<m<——.

2

本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.

19.某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近

似为圆面，该圆面的内接四边形ABC。是原棚户区建筑用地，测量可知边界A8=A£>=4万

米，8C=6万米，CD=2万米.

（1）请计算原棚户区建筑用地ABC。的面积及AC的长；

（2）因地理条件的限制，边界厶。,OC不能更改，而边界A3,8c可以调整，为了提高棚户

区建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点尸，使得棚户区改造后的新建筑用地4PCO

的面积最大，并求出最大值.

【正确答案】⑴AC=2百万米.S.s=8百万平方米.

（2）所求面积的最大值为9石万平方米，此时点P为弧ABC的中点.

【详解】试题分析：（1）利用圆内接四边形得到对角互补，再利用余弦定理求出相关边长,

再利用三角形的面积公式和分割法进行求解；（2）利用余弦定理和基本不等式进行求解.

试题解析：⑴根据题意知，四边形内接于圆，•••NABC+NAOC=180。.

在△ABC中，由余弦定理，WAC2=AB2+BC2-2ABBCcos/.ABC,

即AC2=42+62—2x4x6xcosZABC.

在△AQC中，由余弦定理，得

AC2=AD2+DC2—ZADDCcosZADC,即AC2=42+22—2x4x2xcosNADC.

又cosZABC=—cosZ.ADC,

/.cosZABC=g,AC2=28,即AC=2、j7万米，

又NA8C£（0,n）,/.ZABC=­.

5囲边形ABCD=SbABC+SA（平方万米）.

⑵由题意知，S四边形APCD=S>ADC+S^APCf

KSAADC=^/4£）CDsin^-=2-j3（平方万米）.

设AP=xfCP=y,则SAAPC=-xys\n^=^lhxy.

911

在ZkAPC中，由余弦定理，得AC2=x2+y2—2wcos+=x2+y2一孙=28,

又x2+y2—xy>2xy—xy=xy,

当且仅当x=y时取等号，:.xyCg.

..S峻/1PC£>=2、布+业外，42、币+鱼28=95（平方万米），

44

故所求面积的最大值为9s平方万米，此时点P为弧ABC的中点.

20.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且出竺上讐=£当

smCa—b

(1)若〃=2石，b=2,求角8;

（2）设Z54C的角平分线A力交BC于点。，若“记C面积为g,求AO长的最大值.

【正确答案】（1）8=2

O

（2）1

【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角4再利用一次正弦定理

求得角度从

（2）利用角平分线性质及面积公式得到厶0=急,再利用基本不等式得出厶“最值・

sinA+sinB_c+b

【详解】（1）解：因为

sinCa-b

依据正弦定理号二七二工

sinAsinBsine

所以==儿+。2,

ca-b

即b2+c2-a2=-be,

-he1

由余弦定理变形知cosA=La-----=—

2bc2bc2

因为Ae（O,4,所以厶=4.

因为。=26，b=2,

则在48c中，由正弦定理得：

ab2732.D1

又sinAsinBV3sinB2，

T

因为/?VQ=3VA,所以8=£.

(2)法一：因为SABC=；bcsinN8AC=曰力。=栃=Z?c=4,

AO是NBAC=?的角平分线，

而SABC~SABD+SACD,

i771TT124

所以一xABxA£)xsin—+—xACxA£)xsin—=—xA8xACx——,

232323

即(Z?+d)AT)=秘,

所以陋=魚,

因为6>0,c>0,Z?+c>2\[bc,且人c=4,故==

当且仅当b=c=2取等,

所以AO最大值为1.

答：当力=c=2时，49最大值为1.

法二：因为SMe=—/?csinZBAC=be=6nbe=4,

ABC24

AABD=0,6£(°，彳｝

在AABD，ACD中由正弦定理知:

AD_cAD_c

sin。sinZADBsin。.f)、①，

smn9+一

I3丿

____A_D____—_____b____<>_____A_D____—_____b_____

.(71sinZADC.(4d.(Z)乃、②，

sinl——<91sinl--6^Isml0+yI-

因为历=4,所以①•②得，

bcsinJsin(4-0)8sin^sin|---0

2百sin26+2cos2,-2

A》_3_I3

sin-(—+0)1+cosf2^—l+cosf20-yj

令r=l+cos[26-(J,0w(0号

7T

由于2。-彳€

所以心=4-；,易得此函数在Ul，2为单调递增函数,

所以当，=2=6=5时＞A£＞最大值为1.

6

本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域

或最值，利用单调性求最值，属于较难题.

21.jWC的三个内角4,B,C的对边分别为小b,c.①asin-------=6sinA；

2

②(“-6)(sinA+sinB)=sinC(a-c)；®2a-c=2bcosC.

(1)在上述三个条件中任选一个，求B；

(2)在(1)所选定的条件下，若二ABC为锐角三角形，且c=2,求_ABC面积的取值范围.

【正确答案】(1)条件选择见解析，B=g；(2)且<s<26.

32

【分析】(1)选①，由诱导公式变形，再由正弦定理化边为角，然后由二倍角公式变形后可

得B;

选②，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理得角；

选③，先由余弦定理化角为边，然后再由余弦定理求得角;

(2)求出三角形面积，由正弦定理化为角的表达式，然后然后由诱导公式，两角和的正弦

公式，同角关系式化为C的代数式，再由C角范围得结论.

【详解】(1)asin+6sinA«sin—~—=i>sinA=>«cos—=bsinA

222

由正弦定理得：2/?sinAcos—=2/?sinBsinA=4/?sin—cos—sinA

222

在三角形中A、8e(0,万)得sinBwO,cos—^0

2

选②.由正弦定理得：(。-加"上夕=’-(a-c)nd+c2-b2=ac^>cosB=-

2R2R2

在三角形中Be(0,〃)，

/ex.ci~+h~—c-ci~+h~—c2“2,”八1

选③.2a-c=2b---------------=--------------na-+c—-=ac=>cosB=一

2aba2

7T

在三角形中3£(0,万)，丄^二^

/八亠十4宀皿。asinA

(2)由正弦定理大=一二=),

2csmC