2023-2024学年湖南省长沙市高一年级上册期末数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市高一上册期末数学质量检测模拟试题

一、单选题

1.命题“心€[0,+8),/-3/+220”的否定是()

A.Hxe|^0,+oo),x3-3x2+2<0B.Vxe(-oo,0),x3-3x2+2>0

C.3x6(-oo,0),x3-3x2+2<0D.Vxe|^0,+(»),x3-3x2+2<0

【正确答案】A

【分析】根据全称命题的否定理解判断.

【详解】命题“TX€+8),Y-31+2*0”的否定是“太€[0,+8),V-3/+2<0

故选：A.

2.己知集合4={邓082141},8=}»=3'+1},则()

A.[1,2]B.(1,2]C.g,2D.(；,2

【正确答案】B

【分析】解对数不等式求出集合A,再求出指数函数的值域即可求出集合B,进而根据交集的概念即

可求出结果.

【详解】因为睡2X«1,即0<x42,所以4={x|0<x42},

而由于3*>0,则>>1,即8={y|y>l}

所以/08=(1,2].

故选：B.

3.下列说法正确的是()

A.若a>b,则〃°2>儿2B.若一2<。<3,1<6<2则一3<〃一6<1

m

C.若a>b,c>d,则D.若a>b>0,〃7>0,则一<一

ab

【正确答案】D

【分析】利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可.

【详解】A：当c=0时，显然这2>儿2不成立，因此本选项说法不正确；

B：1<6<2=—2〈一力<一1,而一2<。<3,所以有一4<。一6<2,因此本选项说法不正确;

C：当〃=-2,6=-3工=-4,"=-5时，显然满足Q>b,c〉d,但是ac>Z>"不成立，因此本选项说法不

正确；

ah11nimnitn

D：由。>力>0=>0=--->-7="7>—»而加>0,所以丁>一，即一</，因此本选项说法正确,

ababbabaab

故选：D

sin—+a-cos(zr-a)

4.已知角a终边上一点尸(1,2),则一y-----------------=()

sinI--al-sin(2〃+a)

A.2B.-2C.0D.|

【正确答案】B

【分析】通过坐标点得出角a的正切值，化简式子，即可求出结果.

【详解】解：由题意，

角a终边上一点P(l,2),

tana=2

仁+a卜网…)

sin

2cosa_2

=2,

cosa-sina1-tana

-sin(21+a)

故选：B.

【正确答案】A

【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD,然后根据x«0,兀)时的函数值可排除B.

【详解】因为〃x)=(l-高｝inx=(?E卜inx,定义域为R,

又，（r）=FT?sin（r）=777疝”=/6

所以/(X)是偶函数，图象关于了轴对称，故排除CD,

又当xe(O,劝时，3>0,sinx>0,/(x)>0,故排除B.

ex+1

故选：A.

6.若正数工、少满足x+2y=2盯，若不等式x+2歹2加的恒成立，则〃2的最大值等于()

A.4B.1C.40D.8

【正确答案】A

【分析】由已知得出L1=1,将代数式X+2'与1+二相乘，展开后利用基本不等式可求得x+2y的

x2yx2y

最小值，即可得出实数小的最大值.

【详解】已知正数X、了满足x+2y=2中，可得1=生浮=,+；,

2xyx2y

所以x+2y=(x+2y)[+=2+/+殳22+2小/•互=4,

当且仅当x=2y时，即x=2j=l时，等号成立,

所以x+2y的最小值为4,

:.m<4.

因此，实数，〃的最大值为4.

故选：A.

7.已知函数/(x)=sin7t@x-限05兀0乂。>0)在[0,1]内恰有3个最值点和4个零点，则实数。的取值

范围是()

<1023]「1023、「1713、<172

A.(737，〉6」B.L—36)C.L~63JD.I6(

【正确答案】B

【分析】数形结合，由第4个正零点小于等于1,第4个正最值点大于1可解.

【'详解】/(x)=sin7t(yx-A/3COS7t(wx=2sin^7t4wx-y^,

因为xe[0,l],所以兀-j,<y7t-y,

又因为函数/(x)=sinna)x-6cos兀。x(O>0)在[0,1]内恰有3个最值点和4个零点,

由图像得：3n<,解得：孚

3236

所以实数。的取值范围是'；10，一23、.

L36)

8.已知定义在R上的函数y=/(x)对于任意的x都满足〃x+2)=〃x),当-Lx<l时，/(幻=丁,

若函数g(x)=/(x)-10gti|x|至少有6个零点，则〃的取值范围是()

A.畤55,”)B.(0,1)u[5,+x)

C.(1,1)U(5,7)D.(吴)35,7)

【正确答案】A

【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的。进行分类讨论即可.

【详解】由〃x+2)=/(x)知/(力是周期为2的周期函数，

函数g(x)=/(x)-log(1|x|至少有6个零点等价于函数N=/(X)与g(x)=logJM的图象至少有6个交点,

①当a>1时，画出函数y=/(x)与g(x)=logjx|的图象如下图所示,

根据图象可得8(5)=唯.5<1,即0>5.

②当0<”1时，画出函数y=/(x)与g(x)=log.W的图象如下图所示,

1'

y=iog«|x|

根据图象可得g（—5）=log“5Z-l,即0<a<1.

综上所述，。的取值范围是（o,/U（5,+8）.

故选：A

二、多选题

9.下列说法中，正确的是（）

A.集合/=｛1,2｝和8=｛（1,2）｝表示同一个集合

B.函数/（力=，3+2X-必的单调增区间为（7,1）

C.若1暇3=%log27=6,则用a,6表示bg56=上工

a+b+1

D.已知/（x）是定义在（-8,0川（0,田）上的奇函数，当x>0时，/"）=犬+：-1,则当x<0时，

“X）=_，_:+]

【正确答案】BC

【分析】对于A,根据集合的定义即可判断；对于B,利用复合函数的单调性即可判断；对于C,利

用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D,利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.

【详解】对于A,集合/=｛1,2｝中元素为数，集合8=｛（1,2）｝为点，可知表示的不是同一个集合，所以

A选项错误；

对于B,»3+2X-X2>0解得函数/（x）=J3+2I的定义域为[-1,3],

令，=3+2x1则片〃，

f=3+2x-/为二次函数，开口向下，对称轴为x=l,所以函数/=3+2x-/在区间上单调递增,

在区间（1,3）上单调递减,

函数y=〃为增函数，根据复合函数的单调性可知函数/(x)=>/3与”的单调增区间为(-L1),所

以B选项正确；

对于C,因为log23=a,log?7=6,根据对数的换底公式可得

log?56=log2(7>8)=噫7+噫8=log27+log?2：6+3

•og4256=E,所以c选项正确,

log242log,(7x6)log27+log,6log27+log23+log22

对于D,因为当x>0时，〃x)=x2+工一1,可令x<0,贝U-x>0,所以/(-x)=(-xj+-1=--1,

X(FX

又因为〃X)是定义在(f,0)U(0,”)上的奇函数，所以/(x)=-/(-x)=-/+B+l,与题干结果不符，

所以D选项错误.

故选：BC.

10.下列说法不正确的是()

A.函数y=--x-2的零点是(-1,0)和(2,0)

1]Q

B.正实数°,&满足a+b=l,则不等式上+卷的最小值为:

a4b4

x2+3

C.函数夕=下=的最小值为2

VX2+2

D.x?<1的一个必要不充分条件是0<x<1

【正确答案】ACD

【分析】A：求出函数的零点即可判断；B：利用:+*=(：+1)(。+与和基本不等式即可判断求解;

C：令F3=t，利用换元法和基本不等式即可判断：D：判断从O<X<1是否可得/<1,结合充分

条件和必要条件的概念即可判断.

【详解】对于选项A：y=0=>x2-x-2=0=>(x-2)(x+l)=0=>x=2gj(-l,

则函数的零点是2或-1,故A错误;

对于选项B：;。>0,6〉0,。+6=1,

当且仅当:喘，即”2诙时，等号成立，吟+：的最小值为方故B正确;

对于选项C：令J%2+2=力..2，则％2=/一2,

则函数化为9=止2+3=《1!=/+12=2,当且仅当f=L即f=l时等号成立,

工2+3

­：t>2,故等号不成立，即y=k=>2,故C错误;

&+2

对于选项D：若0<x<l,则x?<l,即0<x<l是/<1的充分条件，故D错误.

故选：ACD.

11.已知函数〃x)=/sin®x+。)(其中Z>O,0>O,-]<s<|o的部分图象如图所示，则下列结论

只需将/(x)的图象向左平移三个单位

函数了=/(x)在区间(%兀-?向+看)任eZ)上单调递增

C.

函数V=/(x)在区间言，兀]上的取值范围是卜百，1]

D.

【正确答案】AC

【分析】由图得A、。，点仁,2在图象上求得。及/(x)的解析式可判断A：根据图象平移规律可判

断B；利用正弦函数的单调性可判断C：根据x的范围求得sin(2x+^J可判断D.

【详解】由图得“=2，*詈-3卜所以「喏小…

71

所以/（x）=2sin（2x+p）,因为点£,2)在图象上，所以2=2而(2、弓+可，

6

sin（g+夕）=1,因为一■兀|■<夕<■|n■,所以尹=看，可得/(x)=2sin(2x+£,故A正确;

226

对于B,将/(x)的图象向左平移三个单位，得到

y=2sin2（x+g卜2=2sin（2x+^^）=2sin（2x卷的图象，故B错误;

对于C,由一]+2E<2x+：<]+2%兀（左wZ）得一g+EKxV^+人武AwZ）,

所以函数夕=/(x)在区间+上单调递增，故C正确;

4十77兀兀c兀714兀13兀LLI、I.(、兀兀)11

对于D,xe——,71时，2x+—G—~~7~，所以sin2x+^w—1,~，

12636V672

函数y=/(x)在区间卷，兀上的取值范围是[-2』，故D错误.

故选：AC.

12.已知函数/⑴式改吁''”若方程/(x)-加=0有三个不同的解。也。，且"6<c,则下列说

[2x-25,x>10

法正确的是()

A.—<a<\B.1</><10C.12.5<^c<13D.0<w<l

10

【正确答案】BC

【分析】画出/(x)的图象，结合图象以及对数运算确定正确答案.

-lgx,0<x<1

lgx,l<x<10,作出/(x)的图象，如图所示:

)2x-25,x>10

因为方程/(x)-m=0有三个不同的解a,"c(a</)<c),由图可知0<加41,故D错误;

且加=-Iga=Igb=2c-25,Iga+Igb=lgaZ>=0,aZ>=1,

所以a=l(T”e=e(l,10],故A错误，B正确;

所以abc=c=—L«12.5,13],故C正确；

故选：BC

关于形如y=|iog°x|、y=log.|x|等函数图象的画法，可结合绝对值的意义、函数的奇偶性、函数的单

调性进行作图，作图过程中要注意曲线“弯曲”的方向，也要注意函数定义域的影响.

三、填空题

7T

13.函数/(x)=3sin(0x+§)的最小正周期T=?t,则切=.

【正确答案】±2

【分析】根据正弦型函数的周期公式求解.

【详解】因为/(x)=3sin(5+§TT,

27r

所以r=一■-71,解得G=±2,

⑷

故答案为.±2

14.函数/(x)=Jx-1-x的值域为.

【正确答案】(一8,-(

【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.

【详解】令/=Jx-l20,则X="+1,

可得：y="(/+i)=_/+/_]«20),

•・・函数、=-/+，-1的对称轴为f=；〉0,

,当,二彳时，函数J，=T?+/—]取至11最大值Jmax=—(；)+g_l=—

即函数“X)的最大值为故函数“X)的值域为18,-力.

故答案为

15.己知cosa=2，，sinQ=17,且ae(0,5),Pe,则a+夕的值是

【正确答案】£

【分析】由平方关系求得sina,cos夕，再求出cos(a+夕)即可得解.

【详解】解：因为cosa=芈，sin^=*，且ae(()，5),

所以sina=乎,cos.=3，^.,且a+Pw(0,兀)，

um/42亚3V10VsTioV2

则cos(a+〃)=----x----------x----=——,

',5105102

所以a+〃=?IT.

4

故答案为

4

16.若函数/(X)与g(x)对于任意须,马£小，可，都有了(占)长(x2)之加，则称函数/(x)与g(x)是区间

［c,d］上的“加阶依附函数已知函数/(x)=3x-l与g(x)=f-ax_a+4是区间口,2］上的“2阶依附函数，，,

则实数。的取值范围是.

【正确答案】(f,2］

【分析】由题意得“X)1nmy"号“22在［1,2］上恒成立，又/(x)m,n=2,所以g(x)21在［1,2］上恒成立，

即aM正生在［1,2］上恒成立,令x+l=f,小［2,3］,设硝)=”-2,研究咐)的最小值即可.

x+\t

【详解】因为函数/(x)=3x-l与g(x)=x2-"-a+4是区间［1,2］上的“2阶依附函数”，

所以/(x)m：g(x)mMN2在［1,2］上恒成立,

又〃x)=3x-l在［1,2］上单调递增,则〃x)1nM=/⑴=2,

所以g(x)=f-办-。+421在［1,2］上恒成立，即°＜寸土2在［1,2］上恒成立,

X+1

x2+3(x+1-1)+3

=x+1+——2

X+1X+1x+l

令x+l=Z,Zw［2,3］,设M，)=Z+；-2,

〃'(1)=1一\=号*0,则如)在［2,3］上单调递增,

所以，Smin=/?(2)=2，

所以a42.

故(-°o,2］.

四、解答题

17.已知函数/(x)=lg(x-l)+正工的定义域为"g(x)=3、+l(xe［0,2］)的值域为8

⑴求力和8；

(2)若［a,a+l］q/c8,求。的最大值.

【正确答案】⑴/为Q4］,8为［0,10］

(2)3

【分析】(1)根据函数的解析式有意义，得到满足即可求解函数的定义域出根据

[4-x>0

g(x)=3'+l(xe[0,2])在定义域内为增函数，即可求出值域8

(2)由(1)可知4c8=(1,4],根据集合间的包含关系可求出参数a的范围，则可得出”的最大值.

【详解】(1)解：由题意，函数/(x)=lg(x-l)+"T,满足4_》>0，

解得I<x44,所以函数/(x)的定义域为(1,4],

而函数8(》)=3*+1卜句0,2])在区上是增函数，

g(0)=30+l=2,g⑵=32+1=10,

所以函数g(x)=3'+1(xe[0,2])的值域为[0,10],

故定义域4为(1,4],值域8为[0[0].

(2)解：由(1)可知/c8=(l,4],若[a,a+l]q/c8,

[a>1

则解得1<。£3,

[a+l<4

所以a的最大值为3此时满足[3,4旭(1,4],

故最大值为3.

18.已知函数止)=2$疗5：-8525'+机(0<0<1)的图象关于点6,2)对称.

(1)求g,的值；

(2)将/(x)的图象向左平移3个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得

到函数g(x)的图象，求g(x)在[0,3句上的值域.

【正确答案】(1)，"=1,

(2)[2-^2,4]

【分析】(1)由二倍角公式降幕后，由余弦函数的对称性可求得0，机值;

(2)由图象变换得出g(x)的表达式，再由余弦函数值域得结论.

【详解】(1)/(x)=1-cos2(ox-cos2a)x+m-m+l-2cos2cox,

依题意可得加+1=2,等=/+〃乃，〃£Z(O<G<1),

贝|J〃？=1,CD=—.

2

(2)由(1)知/(%)=2-2cosx,则g(x)=2—2cos[1+i).

故g3在［0,3句上的值域为［2-72,4］.

19.已知函数/(x)=£3是定义在［-1,1］上的奇函数.

(1)判断函数/(x)的单调性并用定义加以证明；

⑵求使/(加-1)-/(1-2加)<0成立的实数”的取值范围.

【正确答案】(l)/(x)在卜1,1］上是增函数，证明见解析；

⑵同

【分析】(1)根据奇函数利用"0)=0求出。，再验证即可，由函数单调性定义证明即可:

(2)根据函数的单调性列出不等式组求解即可.

【详解】(1)定义在［7,1］上的奇函数，所以/(。)=帮?=一0=0,所以a=0，

当a=0时，/")=三,满足/(r)=//「一/(幻，故。=0满足题意.

X+1(一X)+1

0

/(x)=言Y在［-1,1］上是增函数，证明如下：

设七,》2且引，

mf(x}f(xx_2x,2X2_2x,(x^+1)-2X2(X；+1)_2(x2-x,)(x,x2-1)

则〃xJ一/(x2)一不?一寸(才+1)(4+1)-(x：+l)(.+l)；

因为％，z且再＜々，所以々-X|＞0,再々-1＜0,卜；+1）卜；+1）＞0,

所以/（占）-/（乙）＜0,所以/（X）＜/（々），所以/（x）在卜1』上是增函数;

（2）由得

7Y

由（1）知/（x）=£？/«）在卜1』上是增函数，

-1<AW-1<10<m<2

2

所以《一141-2加Ml,BPp<w<1,解得04加苦.

m-l<\-2tn2

m<—

3

所以实数机的取值范围是0,1

20.如图，风景区的形状是如图所示的扇形0/8区域，其半径为4千米，圆心角为60。，点C在弧

上.现在风景区中规划三条商业街道。心CD.CE,要求街道。C与0/平行，交08于点。，街道

DE与。/垂直（垂足E在。4上）.

（1）如果弧BC的长为弧CA长的三分之一，求三条商业街道围成的△CQE的面积;

（2）试求街道CE长度的最小值.

【正确答案】（1）12-4近平方千米

3

（2）那一百千米

【分析】（1）结合已知角及线段长，利用三角形的面积公式可求；

（2）由已知结合解三角形的知识，利用三角函数恒等变换可表示CE,然后结合正弦函数性质可求.

【详解】（1）如下图，连接OC,过C作CR_LCM,垂足为R.当弧8c的长为弧。长的三分之一时,

NCOR=45°,在ACOR中，OC=4,CRLO4,故CR=272，OR=2&.在“ODE中，DE=CR=20，

ZDOR=60°,所以匹=tan60°=6,则=城，所以CD=RE=2近-地=还匚逅，^CDE

0E333

的面积S=；。3T.(安昌2也上啜(平方千米),

(2)设NCO/=9(0<0<。)，则CR=4sin6,OR=4cos<9,DE=CR=4sin0,

又空=tan6(T=6,则OE=逋sin。，所以CO=欧=4cose-逑sin。.在直角三角形COE中，

0E33

CE1=CD2+DE2=(4cosi9-苧sin。/+(4sin9)?=y(2/3sin20+cos26»)gsin(20+<p,其中

tan夕邛(0<9<》因为。〈0%,所以夕<2。+夕哼+0,又0“</,所以当2分。后时，C炉有

最小值为止警，即CE*=杵普=2竺年.综上，街道CE长度的最小值为2回;2、△千

米.

21.用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度，

单位：mg/ml)随时间(单位：小时)变化的函数符合c«)=言(1-2y),其函数图象如图所示，其

中外为药物进入人体时的速率，发是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效

治疗效果的浓度在4mg/ml到15mg/ml之间,当达到上限浓度时(即浓度达到15mg/ml时)，必须马

上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合。2“)=。-2一"，其中C为停药时的人体血药浓度.

(1)求出函数。⑺的解析式;

(2)一病患开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二

次注射？(结果保留小数点后一位，参考数据：lg2aO.3』gI5，」8)

【正确答案】(l)q(f)=161-24(r>0)

\/

(2)从开始注射后，最多隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注

射

【分析】(1)根据图象可知，两个点(4,8),(8,12)在函数图象上，代入后求解参数，求q(f)；

(2)由(1)求6("15中f的范围;求得q⑺后，再求q(f)…4中，的范围.

【详解】(1)解：由图象可知点(4,8),(8,12)在函数图象上，

1-2-4*)=8

17

两式相除得匚3•4,解得：八¥%=24。。，

图5)=

函数c[f)=16(d0).

(J.\L1

(2)解：由161-24<15,得2-42-L=2Y,解得，04Tl6,

I)16

.•.从开始注射后，最多隔16小时停止注射；

1t

由题后、可知c=15,又〃，°2(/)=15.2一,，

/_14

由152八4，得24>

即-L^log,巴n-Lz2-log,15n-42-,

,4621546241g20.3

所以解得：04/47.7,

为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射.

22.设函数/(x)的定义域为D,若存在使得/(%)=%成立，则称与为〃x)的一个“不动点”,

也称/(X)在定义域。上存在不动点.已知函数〃X)=log?(4。-a-2，”+2).

(1)若函数/(x)在区间[0』上存在不动点，求实数”的取值范围；

(2)设函数g(x)=2\若％凡4-1,0],都有|〃西)-8(々)归2成立，求实数°的取值范围.

【正确答案】(1)6-;,1

⑵-gvaWl.

【分析】(1)由题可得4'-”・2川+2=2'在［0,1］上有解，令2、=J可得/-2a/+2=f在口,2］上有解,

分离参数即可求解；

⑵将问题转化为g(x2)11m-2M/(xJMg(X2)min+2,利用单调性求出g(x)的最值，令2*=f,

可得1±2_2w+2制恒成立，分离参数求解即可.

【详解】(1)由题意知，/(灯=丫即4<0・2川+2=2，在［0,1］上有解,

令2'=f,xe［0,l］,则fe［l,2］,则『-2〃+2=，在［1,2］上有解，

当fe[l,2]时，y=f+在口,0]递减，在(0,2]递增，则y=/+：e[2&,3]

则2ae[2正-1,2],即ae/-g,l,

故实数。的取值范围为V2-1,l.

(2)1/(x,)-g(x2)|<2»-2</(x,)-g(x2)<2,即g(X2)-2M/6)4gG)+2,

则g(Xz)mL2M/(xMg(X2)mM+2

又g(x)在上是减函数，

X

则g(2)«ax=g(T)=2,g(A-2)mi„=g(0)=1,

0</(x,)<3,

令2*=Z,xe[-l,0],则1</2-2a/+2<8,

「J_66

2a>------=t——

则

c-r+11

2a<------=t+-

又…一在V；刀上递增，则为=-5,又y=t+，2

/.-5<2a<2,

—4a41,

2

；•实数〃的取值范围为一*"

方法点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/（x）,xe[a,6],j=g（x）,xe[c,d]

⑴若气€上,典，总有/（再）＜8（々）成立，故/（》）皿＜8（々）皿"；

⑵若％e[a,6],HX2G[C,J],有/（xJvgG）成立，故/（力皿；

（3）若*w[a,6],Hx2&[c,d],有/（再）＜8仁）成立，故"x"”＜g®）1rax;

（4）若依e[a,6],3x2e[c,d],有小）=8（功，则/（》）的值域是g（x）值域的子集.

2023-2024学年湖南省长沙市高一上册期末数学质量检测模拟试题

一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.已知集合则/的子集的个数是（）

X

A.15B.8C.7D.16

2.已知a,beR,则“巴>1”是“a>b”的（）

b

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形

图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将以坐标原点。为圆心的圆

的周长和面积同时平分的函数，称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数的为（）

A.y=x——B.y=sinxC.y=cosxD.y=x-2x

x

4.己知函数/（x）=J二彳，则函数/（2-x）+/（x）的定义域为（）

C.[0,2]D,[0,4]

5.下列函数中，以兀为最小正周期且在区间（0,上单调递减的是（）

A.y=sin2xB.y=tanxC..y=|cosx|D.y=cos]

6.函数=：专的部分图象大致为（）

7.若。=e°7,6=10gli3,c=log2sin—,则a、b、c的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

&函数/(/')、九[2sin(7t'x()0<x<1)

若a、b、c互不相等，且/(〃卜/㈤二/,)，则a+b+c的

取值范围是()

A.(l,100)B.(l,n)C.[2,ll]D.(2,101)

二、多项选择题：(本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.已知log3a>logs6,则下列不等式一定成立的是()

A.0<—<—B.log3(a-/>)>0

C.3fD.©<©

10.下列各式中，值为的是()

7兀・兀兀兀.3兀、

A.tan——B.2sin——cos—+cos——sin——

3I124124J

cl+tanl5°D.cosl5°-^sinl5°

l-tanl50

11.设函数〃x)=2sin(2x+G|同45/(°)=一行，则下列叙述正确的是()

A./(x)的最小正周期为TTB./(x)的图象关于直线X=三对称

C./(x)在上的最小值为-1D./(x)的图象关于点件,0)对称

12.已知函数/(x)对DxeR都有/"+2)=-/(力，且函数y=/.(x—l)的图像关于点(1,0)对称,

当xe(O,l]时，/(x)=2v-l,则下列结论正确的是()

A./(2022)=0B./(x)在区间(7,9)上单调递减

C./'(x)是R上的奇函数D.函数y=/'(力一”0切有6个零点

三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置)

13.函数y=log“(2x—3)+8的图像恒过定点且点Z在幕函数/(x)的图像上，则/(4)=.

52

14.若正实数。、b,满足lg〃+lgb=l,则士+*的最小值为___.

ah

15.已知cos('!■-a[=-,则sin(t+a)+cos(*+a]=.

16.已知函数/(力=5吊(5+夕)/>0尹€1^在区间(意,手]上单调，且满足

(1)若—=则函数〃x)的最小正周期为.

⑵若函数〃x)在区间与，学)上恰有5个零点，则w的取值范围为.

四、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

解答写在答题卡上的指定区域内)

17.(本小题满分10分)

2

(27^3

计算：(1)—+—log3xlog8;

I8J23

(2)sin(-120°)-cos210°+cos(-300°)-sinl50°

18.(本小题满分12分)

已知全集。=1^,集合/=«x；<2"i<8,,8={x|3a—2<x<2a+l}.

(1)当a=l时，求4口(a8)；

(2)若AcB=B,求a的取值范围.

19.(本小题满分12分)

6cosa--+sina+—\/、

已知——7----~~^f=-8,dzefo,-1.

2cos（兀一a）-3sin（兀+a）<4）

（1）求tana的值；

（2）若/且cos］：+夕|=5，求a+/的值.

20.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=cos2x-cos|2x+—|+1.

(1)求函数/(x)的最小正周期、单调增区间及对称中心；

(2)求函数〃x)在同)上的值域.

21.(本小题满分12分)

2

已知函数/(x)=a+汨]为奇函数，aeR.

(1)求a的值：

(2)判断函数/(x)的单调性，并用单调性的定义证明；

⑶若存在xe[-2,-1],不等式/。一1)+/卜2+/)<0有解，求实数/的取值范围.

22.(本小题满分12分)

函数/(x)=log4(4"+l),g(x)=(Ar-l)x,记打冷二八力-8^),且F(x)为偶函数.

(1)求常数％的值；

(2)若对一切xeR,不等式尸(x)>—g〃?恒成立，求实数〃?的取值范围；

(3)设/(xblogjaZ'_ga],若函数/(x)与"(x)的图象看只有一个公共点，求实数a的取

值范围.

答案解析

123456789101112

DDBCCADDCDABCABDACD

8.【正确答案】D

【详解】函数/(x)的图像如图所示:

设a<b<c,由函数图像数形结合可知：a+b=2x-=\,

2

0<Ige<2,/.l<c<100,2<a+6+c<101.

9.【正确答案】CD

10.【正确答案】ABC

【详解】对于A,tan—=tan(2TI+—|=tan—=,故A正确

3I3j3

_t7T7T71.I-I7CTC7T.兀)-7C匚——

对于B,2sin-cos—+cos-sin——=2sin-cos—4-cos-sin—=2sin—=>/3,故B止确：

I124124JI124124)3

1+tanl5°_tan45°+tanl5°

对于C,=tan(45°+15°)=tan60°=百，故C正确;

l-tanl5°-l-tan45otanl50

对于D,cosl5o--73sinl50=2—cosl50----sin15°

122J

=2(sin30°cosl50-cos30°sinl5°)=2sin(30°-15°)=2sinl56,故D错误；

11.【正确答案】ABD

【详解】/(0)=2sine=-逝,/.s\n(p----，又例V］,工9=一三,/(x)=2sin^2x-yj；

27r

对于A,的最小正周期7=万=兀，A正确；对于B,B代入可知正确；

对于C,当x"工,兀］时，2x--ef—L则当2x-四=2，即》=业时，f(x)=-2,

_2J3L33J3212'v7m,n

C错误；

对于D,当x.时，2》-；=兀，此时/(x)=0,"(x)的图象关于点传,0)对称，D正确.

12.【正确答案】ACD

【详解】对VxeR都有f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函数/(x)是周期函数.周期为4.

当xe(O,l］时，f(x)=2x-l,即函数/(x)在(0,1］上递增，在［一1,0)上单调递增，

而2°—1=0=/(0),因此〃x)在［—1,1］上递增，

由〃x+2)=—“X)得：/(x+2)=/(-%),

则y=f(x)的图象关于直线X=1对称，函数/(X)在［1,2］上递减，

对于A,f(2022)=/(505x4+2)=/(2)=-/(0)=0>A正确；

对于B,因函数/(x)在［—1,1］上递增，函数/(x)的周期为4,则/(x)在(7,9)上递增，B错误；

对于C,函数y=/(x—1)的图像向左平移1个单位得函数/(x)的图象，又函数y=/(x-l)的图像

关于点(1,0)对称，因此函数/(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数/(x)是R上的奇函数，C正确：

对于D,函数y=/(x)—|lgx|的零点，即函数y=/(x)与y=|lgx|图象交点的横坐标,

在同一坐标系内作出函数丁=/(x)与y=|lgx|的部分图象，如图，

因函数y=/(x)的最大值为1,而当x〉10时，lgx>l,因此函数y=/(x)与y=|lgx|图象的交点

在(0,10)内，观察图象知，函数y=/(x)与y=|lgr|图象在(0,10)内只有6个交点，所以函数

y=有6个零点，D正确.

13.【正确答案】6414.【正确答案】215.【正确答案】0

Q

16.【正确答案】兀-<«<3(本小题第一空2分，第二空3分)

3

【详解】解：由题知•••/(X)对称中心为(专,0)，

代入可得-^-啰+夕=后］兀，吊eZ,①

；/(x)在区间皑引上单调，且，(x)对称中心为序o}

r..5兀2兀712兀71717兀.

乂：-----=—,-------=—<—..上单调.

63636212

•.上T25三71一兀7即1TN2'7r，即27i2兀.•.0</<3.

26233(o3

⑴—=•••/(X)关于X=意对称,代入可得胃。+。=、+左2兀，左2WZ,②

①一②可得鳖=一四+E，4eZ,即。=一2+4左，左eZ,；O〈/W3,.•.0=2....7=/=兀；

420)

(2)：/(x)对称中心为=0,

T5

•••/(X)相邻两个零点之间的距离为五个零点之间即27,六个零点之间即

只需空+2T〈四〈生+之7即可，即号<①43，V0<«<3,.,.-<(y<3.

3632333

17.【正确答案】(1)-(2)1；

4

9

【详解】(1)+2e°-log23xlog38=—+2

2)

sin(-l20°)-cos210°+cos(-300°)-sinl50°=-sin60°-(-cos300)+cos60°-sin300=sin90°=1.

18.【正确答案】(1)/口(48)=,k<2或xN3}(2)0,；u[3,+oo)

【详解】(1)2-1<2V+I<23,-l<x+l<3,-2<x<2,所以N={x|—2<x<2卜

当a=l时，6={x[l<x<3},全集U=R,={x|xK1或xN3},

所以AU(6RB)={X|X<2或x>3}.

(2)因为=所以

当8=0时，满足所以3。-222。+1,解得。23,

3a—2<2Q+1

当8#00寸，则需，3a-22—2,解