2023-2024学年辽宁省沈阳市新民高级中学高三（上）开学数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳市新民高级中学高三（上）开学数学

试卷（9月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.集合{%|三^2°}=（）

A.（―8,1）u[4,4-00）B.（-8,1]U（4,+oo）

C.（1,4]D.[1,4]

2.下述正确的是（）

A.若6为第四象限角，贝Us讥6>0

B.若cos。=0,则。=]

C.若。的终边为第三象限平分线，则tern。=-1

v

D."6=/CTT+6Z是"sin6=cosB”的充要条件

3.已知函数/（%）=2sin（a）x+9）（3>0,\（p\<兀）的部分图象如图所示，且不_xi=p则3,

9的值为（）

A.3=1,卬=与B.0）=l,（p=C.o）=2,（p=D.o）=2,（p=^-

4.已知x>0,y>0,尤+2y=l,则竺岁豆的最小值为（）

A.4+4V-3B.12C.8+4，ZD.16

5.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作（f

登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一

座建筑物4B,高约为37m,在地面上点C处（B,C,N三点共线）测得建筑物顶部4,鹳雀楼顶部

M的仰角分别为30。和45。，在4处测得楼顶部M的仰角为15。，则鹳雀楼的高度约为（）

M

6.岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展.如图1是番禺区某风景

优美的公园地图，其形状如一颗爱心,图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可

看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为()

A.y=|x|V4—x2B.y=4—x2

C.y=yj—X2+2|x|D.y=V—X2+2x

7.已知函数/(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f'(x),若对任意X6R有/'(x)>l,

/(1+x)+/(I-%)=0,且/(0)=—2,则不等式/0-1)>彳-1的解集为()

A.(4,+oo)B.(3,4-00)C.(2,+oo)D.(0,+co)

8.记a=2O2V2022，b=2O2V2023，c=2O2V2023，则a,b,c的大小关系是()

A.,a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.设函数f(x)=sin(xsinx),则()

A.f(x)是偶函数B.2兀是/(乃的一个周期

C.函数9(%)=/(%)-1存在无数个零点D.存在&e(一兀,兀)，使得/■(&)<0

10.已知△ABC的内角力，B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()

a_Q+b+c

sinAsinA-^-sinB+sinC

B.若44BC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

C.若正•函>0，则^ABC是锐角三角形

n2thCLbC

D右,=颉=衣则4力BC一定是等边三角形

11.如图（1）,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产

中仍得到使用.如图（2）,一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒P到水面的距离

3

+

为d（单位：m）（P在水下则d为负数）、d与时间t（单位：s）之间的关系是d=3sin猿t一看）2-

则下列说法正确的是（）

图⑴剧2）

A.筒车的半径为3m,旋转一周用时30s

B.筒车的轴心。距离水面的高度为|加

C.tG（40,50）H'L盛水筒P处于向上运动状态

D.盛水筒P出水后至少经过20s才可以达到最高点

12.已知当x>0时，*<ln（l+；）<：,则（）

A.<2B.In9<1+|+-+5<InlO

98/9

C.（第9<9!D.命+（务+…+（孰<e

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点C

间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图，已知

某勒洛三角形的一段弧触的长度为基则该勒洛三角形的面积是//

AB

14.已知函数/(%)=2sinx+一一，％E当％=a时，函数/(%)取得最小值,则cos2a=

15.已知函数/⑶=cos(s-)(3>0)在区间(答,2扪上有且只有2个零点，则3的取值范

ooco

围是.

16.已知偶函数/O)的定义域为R,函数g(无)=sin江-cos江+|sin江-cos划，且/(x)=

(log2(4x+2),xe[0,1)

e[1,9),若f(x)在[m,m]上的图象与直线y=2恰有602个公共点，则zn的

(/(X-9),xG[9,4-00)

取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,已知/+02一=4cs

(1)求角4

(2)若a=2,求，可b-c的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知AABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,b+6cosB=2c.

⑴求A;

(2)M为AABC内一点，4M的延长线交BC于点。，,求△力BC的面积.

请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.

①△ABC的三个顶点都在以M为圆心的圆上，且MD=?;

②A/IBC的三条边都与以M为圆心的圆相切、且=

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

19.(本小题12.0分)

己知函数f(%)=2l^sin2(久+$+2sin2x-V-3-1.

(1)求/(%)的单调递增区间；

(2)方程/(X)=|在[0,刍上的两解分别为巧、%2»求COS(%1—％2)的值.

20.(本小题12.0分)

已知/(x)=ex-ax2,曲线y=f(x)在(1,/(1))处的切线方程为y-bx+1.

(I)求a,b的值；

(n)求/(x)在［0,1］上的最大值；

(HI)当xCR时;判断'=/'0)与丁=6%+1交点的个数.(只需写出结论，不要求证明)

21.(本小题12.0分)

如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路4B的垂直距离分别为C4=1km,DB=2km,

4B两端之间的距离为6kM.

(1)某移动公司将在4B之间找一点P,在P处建造一个信号塔，使得P对4C的张角与P对8、

。的张角相等(即NCP4=4DPB),试求PC+PD的值.

(2)环保部门将在4B之间找一点Q,在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、。所张角最大,

试求QB的长度.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=xcosx,g[x}=asinx.

(1)若a=l,证明：当x6(0()时x>g(x)>/(x)；

(2)当xe(-果0)U(0,务时，麒<鸣求a的取值范围.

乙Ly(町X

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由上子20,得产二4）（：-1）＜0,解得1＜%44,

则集合{久|m20}=（1,4].

故选：C.

根据分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案.

本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：对于4若。为第四象限角，根据三角函数定义可得sin。＜0,故4错误;

对于B,若cos8=0,则。=]+/OT,keZ,故8错误；

对于C,若。的终边为第三象限平分线，

则。=^+2kn,keZ,

此时tan。=1,故C错误；

对于O,由。=卜兀+eZ可得也义=tan。=1,HPsin0=cos6,满足充分性，

由sin。=cos。可得tan。=当^=1,

cosd

所以。=k7r+%kez,满足必要性，故。正确.

故选：D.

对于4,利用三角函数定义即可判断：

对于B,求出。的值即可判断；

对于C,算出。的范围即可判断；

对于。，利用充分，必要的定义进行判断即可.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由题意可得。=?得7=〃，所以空=兀，得3=2,

440）

因为/（X）的图象过点（符,一1）,

所以2sin连")=—1,由诱导公式可得：sin(57r—卷+R)=sin偿+0)=—5

再由诱导公式可得：sin(0-弓)=：,

所以夕—3=3+2kn,kEZ或卬一g=?+2kn,kEZ

oo6f69

所以9=/+2Mr,/c€Z,或9=兀+2攵兀，kEZf

因为Iwl<兀，所以0=(

故选：C.

由图及七-％1=和得5=?求出周期，再利用周期公式可求出3,再由/(等)=-1可求出伊的

值.

本题考查三角函数的解析式的求法及三角函数的性质的应用，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了基本不等式及其应用，属于中档题.

将x+2y=1代入(x+iy+1)中,利用基本不等式求解即可.

xy

【解答】

解：由x+2y=l可得，

22

(x+l)(y+l)_(x+%+2y)(y+x+2y)_(2x+2y)(x+3y)_2x+8xy+6y_2x6yQ«I2x6yQ_

xyxyxyxyyxyyx

8+4<3.

当且仅当：？时，等号成立，即/=3y2.

所以(x+?,+l)的最小值为&+4门,

xy

故本题选C.

5.【答案】B

【解析】解：由题意，在RtZiABC中，4c=-^=74,

s(n30

在△4CM中，ACAM=30°+15°=45°,/ACM=180-45°—30°=105。，

.♦.乙4MC=30°,由正弦定理..”,

sin乙4MCsmZ.CAM

得CM=•sin45°=74/1,

sm30

又在RtACMN中，MN=MC-sin450=74.

故选：B.

先在心△ABC中求出AC的长度，然后再求出AACM中的“AM,乙4CM,利用正弦定理求出CM,

最后在△CNM中利用三角函数的定义求出MN的长度即可.

本题考查解三角形的应用题的解题思路，侧重考查了正弦定理和三角函数的定义，属中档题.

6.【答案】C

【解析】解：对于A,Vy=|%|V4-X2=7x2(4-x2)<J/尸2,_2(当且仅当/=4-x2,

即x=±/至时取等号)，

・•.y=田，4一〃在(一2,2)上的最大值为2,与图象不符，A错误；

对于B,当x6(—2,0)时，y=xV4-x2<0,与图象不符，B错误;

对于C，y=y/—x2+2\x\=yj—(|x|—l)2+1，二当X=±1时，y-max-1；

又y=J+2|x|过点(—2,0),(2,0),(0,0)；

由一/+2|x|20得：|x|(|x|-2)<0,解得：-24xW2,即函数定义域为［-2,2］；

又不~~(­x)^+2|—x|=’~—x2+2|x|>

y=J一/+2因为定义在［-2,2］上的偶函数,图象关于y轴对称；

当*6［0,2］时，y=V_*+2x=J_牙_1)2+1,则函数在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调

递减；

综上所述：y=J—/+2仅|与图象相符,C正确；

对于。，由—/+2x>。得：0WxW2,二y=7—x?+2x不存在x6(—2,0)部分的图象，。错误.

故选：C.

利用基本不等式可求得y=|x|V4-x2<2.知A错误；

由x6(—2,0)时，y=4—x2<。可知B错误；

根据y=，—N+2|X|W1、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定

义域可知。错误.

本题主要考查函数的图象与图象的变换，考查转化能力，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：设g(x)=f(x)—x,则9'(久)=(。)-1>0恒成立，故函数g(x)在R上单调递增.

r(l+x)+f(l-久)=0,则/(2)+f(0)=0,即f(2)=2,故g(2)=/(2)—2=0.

/(X-1)>%-1,即g(x-l)>0,即g(x-1)>g(2),故％-1>2,解得x>3.

故选：B.

构造g(x)=f(x)—x,确定函数g(x)在R上单调递增，计算f(2)=2,g(2)=0,转化得到-

l)>g(2),根据单调性得到答案.

本题主要考查了导数与单调性关系在不等式求解中的应用，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解:设/0)=”壶，则f(x)在R上单调递增,

故f(2022)V/(2023),即QVb；

由于伍Q=焉;伍2022,Inc=市工伍2023,

ZUZJZUZ4

设9(x)=祭,x>e2,

1+x1

(-..I.----Inx1+—-Inx2—Inx/2八

则。(%)="~~差=X2-幺与VO,(X>e),

八,0+1)2(x+1)2(X+1)2

则g(x)在(?2,+8)单调递减，

故g(2023)Vg(2022),

即仇c<Ina,则c<a；

综上得，b>a>c,。正确.

故选：D.

由函数f(x)=X表在R上单调递增，可判断a<b,再对a、c两边取对数，由函数g(x)=翳在

e2,+8)单调递减，可得c<a,从而得解.

本题考查利用函数单调性比较大小，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4,f(x)定义域为R，

又/'(一%)=sin(-xsin(-%))=sin(xsinx)=/(%),

所以f(%)是偶函数，故A正确；

对于8,/(%+2兀)=sin((x+2zr)sin(%+2TT))=sin(xsmx+2nsinx)H/(%),

所以27r不是/(%)的一个周期，故8错误；

对于C,因为ZEZ时，有sin(]+2而)=1,又6+2")•sin(]+2/nr)=]+2"，

所以"%)=1有无数多个解，所以函数g(x)=/(x)—l存在无数个零点，故。项正确；

对于。，当0<%V7T时，有0<sinx<1,所以0Vxsinx<x<TT,

所以有八%)>0在(0,兀)上恒成立，

又"0)=0,f(x)是偶函数,

所以当一7T<X<兀时，有/(X)>0恒成立，故。错误.

故选：AC.

求出f(-x)即可判断4项；

求出“X+2兀)即可判断B项；

当％=1+2上兀*62时，有/(x)=l,即可说明C项；

当0<x<兀时，可求出0<xsinx<x<兀.进而根据偶函数的性质即可判断。项.

本题主要考查偶函数的性质，以及三角函数的周期性，属于中档题.

10.【答案】AB

【解析】解：对于4由正弦定理焉=焉=肃=2R,

得,广+篇,r=2R"：+s阴+S.=2R=号，4正确；

sinA-^-sinB+sinCsinA-}-sinB+sinCstnA

对于B,斜AABC中，tcmC=tan,—(4+8)]=—tan(A+8)=一普熬缁，

则tanA+tanB=tanC(tanAtanB—1),即tcmA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,B正确;

对于C，由前•例>0，得前•丽=|刀|•|而|cos(兀一C)=-abcosC>0，贝UcosC<0,

因此C为钝角，△ABC是钝角三角形，C错误；

对于以由正弦定理及急=焉=康,得若=舞=若

即tanB=tcuiC=1,而B,Ce(O,TT),则B=C=|△ABC为等腰直角三角形，。错误.

故选:AB.

利用正弦定理推理判断4D；利用和角的正切及诱导公式推理判断B；利用平面向量的数量积定义

确定角C判断C作答.

本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，诱导公式及两角和的正弦公式，考查运算求解能力与

逻辑推理能力，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：对于4:d=3s讥(蒙-3)+|的振幅为筒车的半径，二筒车的半径为3g

d=3s配仁t一工)+不的最小正周期F=H=60,.•.旋转一周用时60s,4错误；

JU6/30

对于B，・•・dmax=3+|=|,筒车的半径r=3,二筒车的轴心。距离水面的高度为-x-r=|(m),

8正确;

对于C,当tw(40,50)时,t—6(—■,^-),此时d单调递减，

・•・盛水筒P处于处于向下运动的状态，C错误；

对于D,令3sD喘1一寿+；3+1・・・sin(象弋)=1,

t-?=?+2/c7T(fc6Z),解得:t=20+60fc(fcGZ)>

又t20,.•.当k=0时，tmin=20s,即盛水筒P出水后至少经过20s才可以达到最高点，。正确.

故选：BD.

根据振幅和最小正周期可确定A错误；利用dmax-r可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断

方法可知C错误；令d=£由正弦型函数的值可构造方程求得t，进而得到tm仇，知。正确.

本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的应用，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：已知当久>0时、去<ln(l+3<L

1+xKxyX

不妨令X=8,

可得击=1<皿1+》=尾,

所以《<4，

8

不妨令x=9,

可得ln(l+g)=IntV1

则与<焉，故选项A正确；

因为ln(l+工)=也过。<工，

可得In]V1,In[V],.・.，In与V

以上各式相加得仇10V1+3+…+卷故选项3错误：

由ln(l-1'—)=In.V或可得，％"(无+1)—xlnx—1V0,

整理得工伍(％4-1)—(%—l)Znx—1<Inx,

而仇2—1<Lnl,2ln3—ln2—1<ln2,

3ln4—2ln3—1<伍3,...»9/nlO—8/n9—1<仇9,

以上各式相加得9"10-9</n9!,

即e"-9=与=+9<外,故选项C正确;

因为ln(l+})<；,

所以(l+》x<e,

此时料枭…+§=(1+款<e，

不妨设匕n&N*,k<n,£n=n(n-l)(n-2)...(n-fc+l)<；

nknk-kl-

则肩2式昌

/-•0/"»9z»l「9

所以⑨2+(第2+…(部<$+*…+§<e，

故选项O正确.

故选：ACD.

根据给定的不等式，赋值变形判断4赋值求和判断CD：变形不等式右边，借助二项式定理及组

合数的性质推理判断0作答.

本题考查不等式的证明，考查逻辑推理和运算能力.

13.【答案】于

【解析】解：设等边三角形ZBC的边长为a,

则知=基解得a=l,

故由弧和弦长AB所围成的弓形面积为tx^a2-i-a2Xsin2=7-l2-^=7-^?'

23236464

故该勒洛三角形的面积为孕+3xG-孕)=手.

4'64，2

故答案为：ZZp.

直接利用扇形的面积公式和弓形的面积公式求出结果.

本题主要考查了扇形面积公式，考查了等边三角形的面积公式，是基础题.

14.【答案】0

【解析】解：•・•％€(0,九)，二sin%€(0,1],

/(%)=2sinx+-7—>2/2sinx•—^―=2V-2»

‘、,sinxyjsinx

当且仅当2sinx=」一得siMx=J,SPsinx=卒时取等号，

sinx22

即sina=殍时，/(x)取得最小值，

则cos2a=1—2sin2a=1—2x(-^)2=1—2x1=l-1=0.

故答案为：0.

利用基本不等式进行求解，利用倍角公式进行求解即可.

本题主要考查三角函数值的求解，利用基本不等式求出取最小值时的a,然后利用倍角公式进行

求解是解决本题的关键，是基础题.

15.【答案】专为

【解析】解：由*e(得,2利,可得的一旌(兀,2瓶一)其中3>0,

因为函数/'(X)=COS(3X-5)在区间会,2兀］上有且仅有2个零点，

>57T

(2(JI)71——-4

2解得

-<3<1-1

由余弦函数的性质可得：\¥--6

<77-T3

2

即实数3的取值范围是修片).

故答案为：停,?■).

先求得3》-今€(兀,23兀一名，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.

本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题.

16.【答案】［写L902)

【解析】解：由题意得f(x)是定义域为R的偶函数，

当％G1<log2(4x+2)<log26,

当xe［1,5］时，sin^x>cos^x,

444T,什

/(x)=2sin^x—2cos^x=2\/_2sin(^x—)

当xe［5,9)时，y<^x<y,sin江4cos%,/(x)=0,

当xG［9,+8)时，f(x)是周期为9的周期函数.

因为f(x)是定义域为R的偶函数，且f(0)=1,

所以/(x)在［0,m］上的图象与直线y=2恰有301个公共点.

/(x)在［0,9)上的图象如图所示，

f(x)在[0,9)上的图象与直线y=2有3个公共点，

令log2(4%+2)=2,得X=；，

令27"2皿,尢一今=2,得x=2或4.

所以这3个公共点的横坐标依次为;，2,4.

因为301=3x100+1,

所以：+100x9Wm<2+100x9,即等Sm<902.

故答案为：[*,902).

根据题意，分多个区间研究/Q)与直线y=2有几个交点，利用在[-犯血]上与直线y=2恰有

602个公共点，即可得出m的范围.

本题考查根据函数图像交点个数求参数，考查三角函数的二倍角公式、两角差的正弦公式、辅助

角公式、函数的周期性，考查了计算能力和函数思想，属于中档题.

17.【答案】解：(1)已知Z)2+c2-a?=4/3S,由余弦定理和三角形的面积公式，

得2bccos4=4>/-31bcsinA,即cosA=y/~3sinA>

若cos/=0,则sX=0,不符合题意，故cos4。0,

所以tQ7b4=1由A6(0,TT),得4=%.

(2)a=2,4=*,B+C=n-A=^,

、/66

由正弦定理焉=肃=导=靠=4,

y/~3b—c=4yJ~~3sinB—4sinC=4(yf~3sinB-sinC)=4[V-3sin(^—C)—sinC]

=cosC+芋sinC)—sinC]=4(ycosC+1stnC)=4sin(C+今，

由CE(0,等)，则C+geG，?),得sin(C+勺w(-J,1],

所以4s皿C+,£(-2,4],即Cb—c的取值范围(一2,4].

【解析】(1)已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角4

(2)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求Cb-c=4s讥(C+学，进而根据正弦函数的

性质即可求解取值范围.

本题考查正余弦定理，考查两角和差公式，属于中档题.

18.【答案】解：(1)va=3,b4-6cosB=2c,

在△ABC中，由正弦定理得sinB+2sinAcosB=2sinC,

又sinC=sin(7l+B),

则sinB+2sinAcosB=2sin(A+B),即sinB=2cosAsinB,

vBe(0,7T),WflsinBH0,

A1

:.cosA=q

VAG(0,71),

n

・•・A=-；

(2)由⑴得4=*

选择条件①：设△ABC的外接圆M的半径为R,

在△力BC中，由正弦定理得2/?=急=2，3,解得R=C，

则BM=CM=R=V~3>

加优

在4BMC中，由余弦定理得cos/BMC=32+28c2=_1T

2BM-CM2

NBMC=当乙MBD=2

3o

•••MD=三，

•••在ABOM中，由正弦定理得sin/BDM=瞿-sin乙MBD=1,

MD

•­.ABDM=即MDIBC,

・•.△ABC是等边三角形，

•・.△4BC的面积为/x32x孕=手；

224

选择条件②：由题意得NBA。=/.CAD==/

c

•••s4ABe=ShABD+S^ACD,即:besin?=|'ADsin^+-ADsin^,

L5ZoZo

3V3

vAD=^―，

>T3,3>/~31,,,.nnk.2bc

•­—bc=x-(h4-c),即b+c=亍，

在△ABC中，由余弦定理得Q2=b2+c2-2bccos*即的+一3儿=9,

•・.(华)2—3bc=9,解得be=9或be=-3(不合题意,舍去)，

.•・△48c的面积为［besin4=x9x?=^

2224

【解析】(1)由正弦定理得sinB+2sinAcosB=2sinC,可得sinB=2cosAsinB,即可得出答案;

(2)分别选取条件①，②，利用正、余弦定理，结合面积公式，即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(l)/(x)=2<3sin2(x+》+2sin2x-C-l=q［l-cos(2x+%+

(-cos2x)—V~~3

=y/_3siri2x—cos2x=2sin(2x—，

单调递增区间满足：-3+2kzr工2%—色45+2%兀，解得：—・+欠兀工工工g+土兀,(々EZ),

ZOZO3

所以/(X)的单调递增区间为：［-g+k械+"］(keZ).

(2)设％1<%2,

xE［0,刍,则2%—G［-仁多］,

由于正弦函数y=s讥x在区间［V，刍上单调递增，在区间有篇上单调递减，

由/(x)=2sin(2x一3)=|，得sin(2x-

因为方程〃久)=法［0,刍上的两解分别为与、%2，

3

有

必O<<<2<

=-7-T7-T7-T27-T57-1

4?2X162266

2

所以，cos(2%i—看)=I1—sin(2x1—

同理COS(2%2—^)=一?，

:.cos(2%i—2%2)=cos[(2%i—^)—(2%2一^)]

2

=COS(2Q-2)COS(2X2一*+sin(2Xi-^)sin(2x2一，)=?x(一？)+(1)="

由于0<%!<^0<%2<5且与<%2,

<%1-%2<0,则COS(%i-g)20,

由COS(2%1—2%2)=2cos2(%1—X2)—1，

可得COS(X1—X2)=J1+COS(2j-2X2)：=3

【解析】(1)化简/'(X)的解析式，利用整体代入法求得/"(X)的单调递增区间.

(2)根据三角恒等变换的知识，先求得cos(2x1-2犯)，然后求得cosQi-犯)的值.

本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，属于基础题.

20.【答案】解：(I)/(x)=靖一a/的导数为/，(x)=靖一2ax,

由已知可得/''(I)=e—2a=b,/(I)=e—a=b+l,

解得a=1,b=e—2.

(E)令g(x)=f'(x)=ex—2x.

则g'(x)=ex-2,

故当0Sx<仇2时，g'(x)<0,g(x)在［0/n2)单调递减：

当，n2<xS1时，g'(x)>0,g(x)在()2,1］单调递增；

所以g(x)min=。(伉2)=2-2ln2>0.

故/(%)在［0,1］单调递增,

所以fCOmax=/(I)=6-1.

(皿)当xeR时，y=/(%)与、=bx+1有两个交点.

【解析】(I)求得f(x)的导数，由己知切线的方程，可得a,b的方程组，解方程即可得到a,b的

值；

(II)令g(x)=/'(%)=靖一2元求得导数,单调性，判断最值，可得/(%)的单调性,即可得到所求

最大值；

(in)结合单调性和图象，可得过(o,o),切点，即可得到所求交点个数.

本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查函数方程的转化思想，以及交点个数，

考查运算能力，属于中档题.

依题意有tcma=xtanpl=6-x

由tcma=tanp,得工=/一，解得％=2,

「x6-x

从而PC=VAC24-AP2=Vl2+22=5,PD=VPB2+BD2=V424-22=2A/-5,

故PC+PD=<5+2AT5=3，T

(2)设4Q=x,NCQ4=a,乙DQB=B,

12

依题意有

tcma=x-，tan广B=-6—-x,

所以tan4CQD=tan[7r—(a+y?)]

=—tan(a4-/?)

__x6—x

一_1」.A_

x6-x

x+6

-x2-6x+2f

令t=x+6,由0cx<6,得6<t<12,

所以tan“QD=/3

_t

―t2-18t+74

_1

-t+y-18,

所以Wt+?<6+?=等，

t63

所以2V18