福建省莆田锦江中学2023-2024学年高三年级上册期中考试数学试题（解析版）

莆田锦江中学2023-2024学年上学期期中考试

高三数学

一、单选题

A-[x\x2-7x<0）B=„

1,已知集合II>,—>,则（）

A.0B.（4,7）C.（0,+a）D.（0,4）

【答案】C

【解析】

【分析】先将集合A化简，再根据集合的并集运算得解.

【详解】因为4={耳%2-7%<（）}={x[0<x<7},8={x|x>4},

故A_B=（0,+oo）.

故选：C.

2.已知〃：%2一%<0,那么命题P的一个必要不充分条件是（）

121

A.0<x<1B.—1<x<1C.—<x<—D.一<x<2

232

【答案】B

【解析】

【分析】根据必要条件的定义对每个选择进行分析即可求解.

[详解】p:x2-x<0=0<x<l,

根据充分条件、必要条件的定义可知：

对于A,0<工<1是P的充要条件,A错误；

对于B,—1<x<1是。的必要不充分条件，B正确：

|2

对于C,-<x<一是〃的充分不必要条件，C错误；

23

对于D,2<X<2是"的既不充分也不必要条件，D错误.

2

故选:B.

3.命题“Vx'l,sinx-炉<1”的否定是（）

A.3x<l.sinx-x2>1B.3x>l,sinx-f>1

c.Vx<l,sinx-A：2>1D.Vx>1,sinx-x2>1

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题得出结果.

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

故“VxNl,sinx——<1"的否定是,sinx-x2>1M»

故选：B.

x--]

4.函数/(x)=一厂厂的图象大致为()

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性可排除BC,根据单调性可判断A,即可求解.

V2_1(_v)2_1X2-1

【详解】/(月=开二的定义域是卜«00},关于原点对称，/(-%)=--=/(X),所以

1囚rx\冈

“X)是偶函数，排除B,C；

当x>0时，/(x)=《sl=x—L易知/(x)在(0,+8)上是增函数，排除A.

XX

故选：D

5.已知函数/(X)的导函数为/"(X),若*x)=2H(l)+liw,则/'。)=()

A.一1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】求得/'(尤)=2/'⑴+L令X=l,即可求解.

X

【详解】由函数〃x)=2M•'⑴+hLt,可得r(x)=2/'(l)+J

令x=l,可得/'(1)=2/'(1)+1,解得/=

故选：A.

6.已知兀)，且3cos2a-4sina=l,贝ijtan2a=()

A1R472

37

c1c4行

c.—u.-----

37

【答案】D

【解析】

【分析】由倍角余弦公式并整理得3sin2a+2sina_1=0,结合角的范围得sine=；,进而求tana,应

用倍角正切公式求值即可.

【详解】由3cos2a-4sina=3-6sin2cz-4sina=1，即

3sin2a+2sina-1=(3sina-l)(sina+1)=0,

所以sina=—或sina=-1,又aw则sina=一,

2J71

所以cosa--------，则tana=-----产,

32V2

c2tana472

由tan2a=--------=-------.

1-tan-a7

故选：D

7.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、

射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳

场地，则不同的安排方法共有()

A.12种B.18种C.24种D.36种

【答案】C

【解析】

【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.

【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有C；A；=6种,

②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有C；C；A；=18种,

所以不同的安排方法有6+18=24种.

故选：C

8.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是

中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1〜9的一种

方法.例如：3可表示为“三”，26可表示为“=1”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用

1〜9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（）

_——=।

123456789

15।7

A.-B.—C."D.—

312212

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答.

【详解】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6,3根算筹可表示3和7,4根算筹可表示4和8,5根

算筹可表示5和9,

因此5根算筹表示的两位数有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12个,

其中个位数与十位数之和为5的有14,41,23,32,共4个，

4I

所以所求概率为「二百二二

123

故选：A

二、多选题

1—V

9.关于函数〃x）=lno7,下列选项中正确的有（）

A./（x）的定义域为（F,-1）U（1,M）

B./（x）为奇函数

c./(x)在定义域上是增函数

D.函数/(X)与y=ln(l—x)—ln(l+x)是同一个函数

【答案】BD

【解析】

1y

【分析】①求函数/(X)的定义域，可令一^>0,解出此不等式的解集即可得到所求函数的定义域；

1+X

②判断函数的奇偶性，要用定义法，由函数解析式研究/(-X)与/(X)的关系，即可证明出函数的性质；

③此函数是一个减函数，由定义法证明要先任取士,毛且王<々,再两函数值作差,判断差的符号，再由定义得

出结论.

④判断函数事都是同一函数，首先看定义域，定义域相同，然后看解析式,解析式也相同，即为同一函数.

1—x

【详解】①由题意令一^>0,解得一1〈尤<1,所以数定义域是(T,l),A错误；

1+x

1-\r1-\r

②由A知函数的定义域关于原点对称，且f(-x\=ln——=-ln——=-/(x)函数是奇函数,B正

\'1-x\+x

确；

③此函数在定义域上是减函数，证明如下：任取士属于(-U)且不<超,

£/、.1-X.1-X,,(1-%)(1+尤2)

f(x.\-=In----L-In----=--In-----u---",

dIJ1+玉l+x2(1-%2)(1+%))

由于内,々属于(T，D且玉<%2，

/.1-%1>1-x2>01+x2>1+>0,

可得富臀〉1

(l-x2)(l+x,)

所以ln°F(K)

>0,

(1F(1+X)

即有/(%)-/(42)>°，即/(3)>/(%2)，

故函数在定义域是减函数,C错误；

④函数y=ln(l—x)—ln(l+x)定义域：h+x〉o,即(一1,1),

1-x

y=In(1-x)-In(1+x)=In=/(x)，

1+x

故函数/(x)与y=足(1-%)-111(1+%)是同一个函数,。正确.

故选BD

【点睛】本题考查函数的基本性质：定义域、奇偶性、单调性，只需按照定义判断即可.

10.已知函数/(X)的图象是由函数y=2sinxcosx的图象向右平移N个单位得到，则()

A./(x)的最小正周期为万

■JTJT

B.“X)在区间上单调递增

C.“X)的图象关于直线x三对称

D./(X)的图象关于点],0)对称

【答案】AD

【解析】

【分析】用二倍角公式化简y=2sinxcosx,向右平移后得/(x)=sin(2x—三)，分别代入正弦函数的单

调区间，对称轴，对称中心分别对四个选项判断即可.

【详解】因为y=2sinxcosx=sin2x,向右平移/个单位得/(x)=sin2[x-2)=sin(2x-方)则

2兀

最小正周期为7=与=兀，故A选项正确；

2

']IJIj11

令一一+2lai<2x一一<-+2kji,解得——+kn<x<—+kn,所以单调递增区间为

2321212

兀5兀

--+lai,—+laiMeZ,故B选项错误；

jrjrSjrKTT

令2x——=上+阮,解得尤=」+一/eZ,故C选项错误；

32122

令2x—Z=E，解得x='+所以函数/(x)的对称中心为佟+E,o],ZeZ,故D选项正确.

36koJ

故选：AD

11.如图，在底面为正方形的四棱锥中，24_L平面ABC。，AP=AB=1，则下列说法正确

的是()

A.异面直线依与AC所成的角为60°

B.直线PO与平面PAC所成的角为30°

C.平面与平面的夹角为30°

D.点C到面尸比)的距离为苴

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求

解；B选项，证明3D，平面PAC，故可取3。=(一1,1,0)为平面24。的法向量，利用线面角的向量求

解公式进行求解；C选项，求出两平面的法向量，利用相关公式求出两平面夹角；D选项，利用点到平面

的距离公式求出答案.

【详解】A选项，因为24,平面ABCD,AB,ADu平面ABCD,

所以A4_LAB，PAYAD，

又四边形4BC0为正方形，故A8,AD,PA两两垂直,

以A为坐标原点，所在直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系,

则*0,0,1),8(1,(),0),4(0,0,0),c(l,1,0),。(0,1,0),

则P3=(l,0,—l),AC=(l,l,0),

阿时」(I,O,T).(I』,0)L

设直线PB与AC所成的角大小为0,则COSe=Ms(PB,AC)i

网JAC]Vi+TxVi+T2

故。=60°,A正确;

B选项，因为四边形A8CQ为正方形，所以ACLBD，

又B4_L平面ABC。，平面ABCO,故B4_L8D，

因为ACcB4=A,AC,P4u平面PAC,

所以3。，平面PAC,故可取BD=(-1,1,0)为平面PAC的法向量,

设直线产。与平面PAC所成角大小为。，

\PDBd1(0,1,0)11

则sina=cos(PD,BD)=:।।=卜/八/4=一，

\/|叫•叫Vl+lxVl+12

故直线PO与平面PAC所成的角为30°,B正确；

C选项，设平面P8D的法向量为〃=(x,y,z),

n-BD=(x,y,z)-(-1,1,0)=-x+j=0

令y=l得x=z=l,

n-PD=(x,y,z)-(0,l,-l)=y-z=0

故〃=(1,1,1),

平面248的法向量为加=(0,1,0)，

|m-n||(O,l,Q)-(l,M)|_^

m|-|n|Jl+1+13

故平面PBD与平面Q45的夹角不为30°,C错误;

D选项，由C选项知，平面P%)的法向量为"=(1,1,1),

\n-CB\1(1,1,1).(0,-1,0)16

故点C到面PBD的距离d=——>-------=-,D正确.

|«|G3

故选：ABD

12.已知偶函数“X)对"wR,都有x+2)+〃x+2)=0,且x«0,2)时，/(x)=x+l,下列

结论正确的是().

A.函数“X)的图象关于点(2,0)中心对称

B./(x)是周期为4的函数

C./(-2)=0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/(—x+2)+/(x+2)=0可推出函数/(力的对称中心即可判断A项，根据/(x)为偶函数及

/(—x)+/(x+2)=0可推出函数“X)的周期可判断B项，采用赋值法、偶函数性质、周期性即可判断C

项、D项.

【详解】对于A项，由/(—x+2)+/(x+2)=0得“X)的图象关于(2,0)中心对称，故A正确：

对于B项，因为“X)为偶函数，所以"X—2)=〃—x+2),

又因为〃—x+2)+/(x+2)=0,所以"x—2)=-〃x+2),

所以/(x)=—/(x+4),

所以〃x+8)=—〃x+4)=,f(x),即是周期为8的函数，故B项错误;

对于C项，因为/(-x+2)=-/(x+2),

所以令x=(),则,f(2)=—/(2),即,"2)=0,

又因为“X)为偶函数，所以/(—2)=〃2)=0,故C项正确；

对于D项，因为xe[0,2)时，/(x)=x+l,/(x)的周期为8,7(x)为偶函数，

所以=)=1，故口项正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.某工厂月产品的总成本y(单位：万元)与月长量X(单位：万件)有如下一组数据，从散点图分析可

知y与X线性相关.如果回归方程是y=x+3.5,那么表格中数据的值为.

X/万件1234

》/万件3.85.6a8.2

【答案】6.4##—

【解析】

【分析】分别求出工厂总成本和月长量的平均值，代入回归方程，即可求出表格中数据。的值.

【详解】由题意及表知,

-1+2+3+45_117.6+a

x=---------=—y=1(3.8+5.6+a+8.2)=

4

•••回归方程是y=x+3.5.

-------=2.5+3.5，

4

a—6.4.

故答案为：6.4.

（K°

14.x+-的二项展开式中，/项的系数为__________.

I尤1

【答案】210

【解析】

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的次数为2,求出，•，代入通项公式中可求得结果.

【详解】[尤+:）的二项展开式的通项公式为=C；O-M°2，

令10-2厂=2,得r=4,

所以/项的系数为C：0=210,

故答案为：210

15.若兀＜8＜型且sin8=-。，则tan（e-¥]=_____.

2514；

【答案】

【解析】

【分析】先根据平方关系及商数关系求出cos。,tan。，再利用两角差正切公式即可得解.

QQ_______A

【详解】因为兀<。<三且sin8=-±,所以cos6=—Jl—sin?e=——,

255

3

所以tan8=一,

4

八兀3.

/、tan6/-tan———11

|n]441

则tan0—=------------------=------=—.

I4J1+tan0tan—1+一

44

故答案为：一L.

7

16.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率

论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y~B（〃，P）,当“充分大

时，二项随机变量y可以由正态随机变量x来近似，且正态随机变量x的期望和方差与二项随机变量y

的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了P=L的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的P进行了证明.

2

现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为

（附：若X,则P（〃一CT<X<〃+（T）H0.683,P（jU-2a<X<p+2a）®0.954,

P（//-3cr<X<M+3b）a0.997）

【答案】0.977

【解析】

【分析】利用二项分布的期望和方差的公式以及正态分布的3o■原则求解即可.

【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面朝上次数为X,则X

故£（X）=100x；=50,D（X）=100x；x（l-；）=25,

由已知得X-N（M，，）,且4=E（X）=50,/=£>（X）=25,

因为尸（40WXW60）a0.954,

所以。（40WXW60）=l—尸（X<40）—尸（X>60）=l—2尸（X>60）解得P（X>60）=0.023,

所以P(XW60)=1—尸(X>60)=1—0.023=0.977,

故答案为：0.977.

四、解答题

17.已知函数=sin[2x+mJ+sin(2x-1J+J^cos2x.

(1)求函数/(x)的最小正周期;

(2)当xe0,]时，求函数f(x)的单调递减区间和值域.

【答案】(1)兀

(2)f(x)的减区间为；函数/*)的值域为[石,2]

【解析】

7T

【分析】(1)化简得/(x)=2sin(2x+W),从而利用周期公式即可求解；

or

(2)令二+2E«2x+二4也+2航,AeZ,求解并结合xe0.J即可求得单调减区间；由于

232L2J

xw0,-,可得2x+—w-,再结合正弦函数的性质即可求解.

L2」333

【小问1详解】

因为sin(2x+—)=—sin2x+—cos2x,sin(2x--)=—sin2x--cos2x,

322322

所以/(幻=5吊2%+8(：052%=25皿(2%+三)，

271

所以/(X)的最小正周期是——=兀；

2

【小问2详解】

7TTT3冗7T7冗

令一+2kn<2x+—<-——F2kn,kGZ,解得一+kn<x<---Fkit,kGZ,

2321212

令攵=0,则jr〈7二兀

1212

IT-I兀兀

由于xe0,-,所以/*)的减区间为—.

因为无£0,一,贝I12xH—G一,—,所以sin2尤H—jG----,1

[2」3|_33」I3J|_2

所以2sin[2x+；)e[―32],即函数/(幻的值域为[―疯2].

18.如图，B4_L平面A8CD,四边形A8CZ)为矩形，24=45=2，4)=4,点尸是P3的中点，点

E在边8C上移动.

p.

F

/兴W—

百\z

DC

（1）求三棱锥E—AAD的体积；

（2）证明：AFYPE.

Q

【答案】（1）-

3

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）等体积法解决即可；（2）线面垂直的判定定理，性质定理相结合解决即可.

【小问1详解】

Q4J_平面ABCO,四边形ABCD为矩形，

,S^EAD=gAD-AB=4,

I8

VE-PAD=VP-EAD=~S&EAD'PA=^'

【小问2详解】

证明：Q4_L平面ABC。，

:.PAA.BC,

又・PA=AB=2＞且点/是PB的中点，

：.AF±PB,

又Q4_LBC,BC1AB,PAAB=A,

平面ELB，

又AEu平面Q4B,

:.BC1AF,

由AFLPB，AFIBC,PBcBC=B,

.•.AF_L平面PBC,

QPEu平面PBC,

：.AF1PE.

19.某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数y

与年份代号X之间的关系统计表.

年份代号X12345

高考人数y（千人）3533282925

（其中2018年代号为1,2019年代号为2,…2022年代号为5）

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；

（3）试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.

矶司__

（参考公式：b=-----------,a=y-bx）

/=1

【答案】（1）y=-2.4X+37.2

（2）22.8千人（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据题中数据计算得。=一2.4,。=37.2即可解决；（2）根据（1）中回归方程计算即可；（3）

言之有理，客观分析即可.

【小问1详解】

设回归方程为y=+由表中数据知，

x=3，y=30•

-,-2x5+（-l）x3+0x（-2）+lx（-l）+2x（-5）12

所GF以H0=--------------------------------------=----=-2.4,

4+1+4+15

所以a=y—匕x=30—（一24）x3=37.2,

所以V关于x的回归方程y=-2.4x+37.2.

【小问2详解】

由Q）得，关于x的回归方程y=-2.4x+37.2.

令x=6,y=-2.4x6+37.2=22.8（千人），

所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.

【小问3详解】

①该市经济发展速度慢；

②该市人口数量减少；

③到省会城市求学人数增多.

20.如图，在四棱锥P—ABCD中，QD_L平面ABC。，底面ABCD为菱形，E,尸分别为PA8C的中

点.

(1)求证：EF〃平面PCD；

(2)若/ADC=120,P£>=4,AO=2,求直线AF与平面DER所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵迺

35

【解析】

【分析】(1)取PZ)的中点。，连接QC,QE,证明四边形CEEQ为平行四边形，可得CQ//EF,再根据

线面平行的判定定理即可得证；

(2)先证明OF1A。，以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

取PD的中点。，连接QCQE,

因为E为PA的中点，所以QE〃A。且QE=(A。，

因为尸为BC的中点，所以CF7/4D且CE=LA。，

2

所以QE//CV且QE=CF,

所以四边形CFEQ为平行四边形，所以CQ//EF,

又CQu平面PCD,跖6平面PCD,

所以石/〃平面PCD；

【小问2详解】

连接BD，

在菱形ABC。中，NADC=120，则NA5C=60°,

所以△ABO和△C3O都是等边三角形，

因为尸为BC的中点，所以/=G，

因为4D〃BC,所以OF1AO，

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

则A（0,2,0）,0（0,0,0）,E（0,l,2）I（g,0,0）,

所以OE=（0,l,2）,力/=（后,0,0）,4/=（后,一2,0b

设平面DEF的法向量为n=（x,y,z）,

n-DE=y+2z=0

则有《可取〃=(0,2,—1),

n-DF=y/3x=Q

“•AF__4_4735

则cos(〃,AF)

W|AF「6xV7一35

所以直线M与平面DEF所成角的正弦值为拽5.

35

21.数学奥林匹克竞赛是一项传统的智力竞赛项目，旨在通过竞赛选拔优秀人才一，促进青少年智力发展,

很多优秀的大学在强基计划中都设置了对中学生奥林匹克竞赛成绩的要求，因此各中学学校对此十分重

视.某中学通过考试一共选拔出15名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有7名、高二学生有6名、

高三学生有2名.

（1）若学校随机从数学奥赛集训队抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高

一的概率；

（2）现学校欲通过考试对数学奥赛集训队成员进行考核，考试一共3道题，在测试中.3道题中至少答对

2道题记作合格.现已知张同学每道试题答对的概率均为:，王同学每道试题答对的概率均为并且每

23

位同学回答每道试题之间互不影响，记X为两名同学在考试过程中合格的人数，求X的分布列和数学期

望.

24

【答案】（1）—

65

（2）分布列见解析，E（X）=—

54

【解析】

【分析】（1）利用组合数及古典概型求解；

（2）分别计算两位同学合格的概率，再计算合格人数的概率，列出分布列，计算期望即可.

【小问1详解】

设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，

C^C'24

则有（）

PA-

C,565

【小问2详解】

设张同学、王同学答对的题数分别为匕z,

张同学在考试中合格的概率为：

p(yN2)=p(y=2)+p(y=3)=c4Jx^-J+c^-Jx^-J