考研考前预测五套卷数学二

新东方决新东方决胜考1考点精编、专项突破等方面。这套丛书的编撰者都是新东方教学一线的名师，他们学养深目录预测试目录预测试答案解考研数学考前预测试题（一数学二一、选择题：1～8小题，每小题4共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填指定位置上1考研数学考前预测试题（一数学二一、选择题：1～8小题，每小题4共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填指定位置上1exe（1）f(x有1exx（2）f(x)x0的某邻域内有连续导数,g(x)x0的某邻域内连续,且limx0f(x2x g(xt)dt2x0（B）x0（A）(0,f(0))f(xf(x（C）x0f(x（D）x0f(x（3）f(xx0x0f(x0tanxsinx,xF(x) f,x1（A）f(0)1（B）f(0)2（C）f(0)3（D）f(4)(0)f(x)是连续的奇函数gx是连续的偶函数，区 x则以下结论正确（4）（A）f(y)g(x)dxdy0（B）f(x)g(y)dxdy0D（C）f(x)g(y)dxdy0D（D）f(y)g(x)dxdy0DD0fxy在xy（5） xx0yy0（A）连续（B）1（C）可微（D）不确x2x2a2a20a dy 2（6）累次积 4ax 4ax 0x可以写 rr a2adr（C）可微（D）不确x2x2a2a20a dy 2（6）累次积 4ax 4ax 0x可以写 rr a2adrdrππ4a2r4a2r0044rra2a 44dr4drπ4a2 4a 41（7）设矩A2的秩为2ab4a2（A）a0,b0（B）a0,b0（C）a0,b0（D）a0,b0（8）已ABn阶实对称矩阵,现有四个命fx,XTgx,,1n1nEAEB二、填空题：9～14小题，每小题分24请将答案指定位（9）limxa dx，则a ．xafx4x1处取得增量x0.050（10）yf(xy增量为y，其线性主部为0.2，则曲线yf(x)在1,f(1)处的法线斜率 2x2x则反常积分 f(x)dx （11）f(x)x21zx2x则反常积分 f(x)dx （11）f(x)x21zyy其中为可微函数（12）x2z 则 是微分方2p(x)yx2的解，则微分方程的通解 (1,1,1,3)(3,2,1,p2)TTT3,5,1)123(2,6,10,p)线性相关，则p T．4三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将案写指定位置上（1x2f2f(x)1π4（zx2y2xyxyDx0y0xy3上的最大值（计算二重积分|3x4y|ddyD{(x,y)|x2y}D（x设函数f(x)连续，且满足f(x) (tx)f(t)dt，求函数f(x)的表达式x0（yax2ylnxaxDSDx轴旋转一周所得旋转体的体积V3πππ设f(x)在[0,]上可导,且 f(x)cos2xdx0,证明存在(0,)πππ设f(x)在[0,]上可导,且 f(x)cos2xdx0,证明存在(0,),使4220（半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出问需要做多少功.（水的密度为，重力加速度为g（设线性方程ax1(b1)x22x3ax(2b1)x3x1 ax(b1)x(b4)x2b 问a,b取何值时，方程组有解，并求解23（ 2AafXTAXXPY9y4a2342求所作的正交变4考研数学考前预测试题（二数学二一、选择题：1～8小题，每小题4共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．请将所选项前的字考研数学考前预测试题（二数学二一、选择题：1～8小题，每小题4共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填指定位置上sin(xt)dt是比(1 x)x高阶的无穷小而(1 x)2kkx0 是比 高阶的无穷小，则正整数k等 （B）2（C）（D）4（2）b（A）设f(x)在[a,b]上可积，f(x)0但不恒为零， f(x)dx0ab f(x)dxaf在[ab上可积，则f(x)在[ab上可（C）（D）f(x)在[ab上可积，g(x在[ab上不可积，则f(x)g(x)在[ab（3）f(xx(x（A）3x(x（B）2（D）0（4）fx在(xx0f(x（A）xx0f(x（B）存在0xx0x0,均f(x)f(x0（C）x0,fx0f(xx,均有f(xf(0)1(u20u（5）设g(x) f(u)du，其中f(u)xg(x在(0,2)0(u（A）可导且有（B）（C）可导但无（D）5设f(x,y)(x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中必正确f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0f(x设f(x,y)(x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中必正确f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0AAAA中必有某列向量是其余各列向量的线中必有两列元素对应成比例中必有某行向量是其余各行向量的线性组中必有两行元素对应成比例01 2 向量（B）（D）二、填空题：9～14小题，每小题4分，（9）已知Tcosn，arccosx，则 （10）yCCx)e2x（CC为任意常数） yaybye2x对应的齐次方程的通解，则该方程的通解 xyd xy（12）设yy(x,z)是由方程exyzx2y2z2确定的隐函数， xlndx．(1x2（14）已知向量(1,10)T,矩阵AT,nAnA22E 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将6案写指定位置上（sinx案写指定位置上（sinxarctan(1t)dt求极限.xlncos（xdyx2y)dx0yy(xyy(xx0x1xx轴旋转一周所得旋转体的体积（（Ⅰ）证明极值存在的第二充分条件yf(xx0f(x00,f(x00x0（Ⅱ）利用第二充分条件求出函数f(x)x3x的极值（Ix[x2f(x2y2siny]df连续，D是由yx3y1D（2d2yxdyyxy关于t 程的7f使 成立 n（f使 成立 n（位置x与速度v所满足的微分方程，并求出此微分方程的（已知线性方程2x1x2x3x44x2x2xx 2axxxax 2x15x25x33x4（Ⅰ）ab满足什么条件时，方程组有解（Ⅱ）a1，当方程组有解时，求b及方程组的通解（nnini设二次型f 2 xiA（Ⅱ）ab满足什么条件时，二次型f正定8考研数学考前预测试题（三数学二一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选(x31)sin （1）x0f(x，g(x) (x2①对任意考研数学考前预测试题（三数学二一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选(x31)sin （1）x0f(x，g(x) (x2①对任意0，当0时，f(x)有界，但在(0)0,)内无界xf(x)在(00,)③对任意0，当0g(x)无界，但limg(x)xt上述命题中（2）yx2sin11sin （A）（C）（B）（D）xn11)sin（3）f(x的极大值与极小值分别xnx2（A）1，（C）不（B）（D）1xy2sin（4）设k为常数，则极限x 1（C）等于零 （D）存在与否与k取值有关（A）不存在（B）等于2x2y2（5）f(xyf(xyf(x,y)dxdyf(xy1111（A） f(x,y)dy（B） f(x,y)dx210001111（C） f(x,y)dy（D） f(x,y)dx1000（6）y2e2xxexye2x3exy2e2x3exxex123性微分方程的三个特解，则该微分方程（A）y3y2yex（B）y3y2yex9（C）y2yy2ex（D）y2yy2exAmn矩阵Axb为非齐次线性方程组，则必（C）y2yy2ex（D）y2yy2exAmn矩阵Axb为非齐次线性方程组，则必如果r(AmAx0An阶子式不0AxbA有n阶子式不0Ax0 0（8）P1AP 0αA的特征值2αα1 60（A）(α1,α2,α3)（B）(α1,α2α3,α22α3)（D）(α1α2,α1α2,α3)（C）(α1,α3,α2)二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案指定位(x1)(x2)(x3)(xf(x)（9）已．(x1)(x2)(x3)(xt2x 0确定则该曲线在t π对应点tycos(t0的曲率k （11）f(xyz)exyz2zz(xyxyzxyz0 （12）ysinx(0xπ)与x轴所围成的图形绕y轴旋转，则Vy arctanxdx．1B(AOO 列2B三、解答题：15～2394分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案三、解答题：15～2394分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案（x充分小时，不等式tn2xxx4（Ⅰ）证明： n（Ⅱ）xntan，求极限limxnk（（设f(x)在闭区间[ab上连续，在开区间(ab内可导，证明：存在,ab).（yf(xf(1)0f(1)2zf(xy2xyf(xx（1讨论方程arctanxex0f(xyzx2y2z2在条件xy)2z21（设有一长度为l，线密度为的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有（x12x2x3x4xx12x2x3x4xxmx2x13x2x33x4 4与xnx2x 3x5x2x4x （Ⅰ）求线性方程组①的通（Ⅱ）m,n取何值时，方程组①与②有非零公共解（Ⅲ）m,n取何值时，方程组①与②同解（f(xxx2x5x5x2axx2bxx8xx(a0)222 11 2fy2y2cy2c1)abcP 考研数学考前预测试题（四数学二一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选（1）x04个无穷小量中阶数最考研数学考前预测试题（四数学二一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选（1）x04个无穷小量中阶数最高的（A）1x21x2（B）4x25x3x51cossint2dt0f(xf(x)3n为大于1f(n(x（A）(2n1)!!f(x)2n1（C）(2n1)!!f(x)2n（B）(2n1)f(x)2n1（D）(2n1)f(x)2n3 （3）判断广义积分I10(1x)xdx和I2 e1xe3xdx的敛散（C）I1I2收敛（B）I1收敛I2发散xsin(x2y2),(x,y)(0,（4）f(xy)x2则下列说法正确(x,y)(0,（A）fx(0,0存在fy(0,0)（B）fx(0,0存在fy(00)存在（C）fx(0,0)（D）fx(0,0)fy(0,0不存在xf(x)f(xsinxx2（A）1个可去间断点，2个跳跃间断点.（B）2个可去间断点，1（C）1个跳跃间断点，2个无穷间断点.（D）1个可去间断点，2（6）f(xx0的某邻域内有二阶连续导数，且limfx)2tan（A）x0f(x（B）(0,f(0)f(x（C）x0f(x（D）x0f(x（7）下列说法中是向量组α1,α2,,线性无关的必要条件的①如果α1α2,αn中任意两个线性无α1不能被α2,αn0α1,α2,,（A）1④对任意同型的向量β,有α1α2,αn,β线性无③（B）2（C）3（D）4（8）AB3阶可逆矩①如果α1α2,αn中任意两个线性无α1不能被α2,αn0α1,α2,,（A）1④对任意同型的向量β,有α1α2,αn,β线性无③（B）2（C）3（D）4（8）AB3阶可逆矩阵A*B*分别ABA的第一行乘以 2 34 42144（A） 2（B）23342 2124（C） 4（D）4334二、填空题：9～14小题，每小4分24分．请将答案x（9）曲线y (t1)(t2)dt在点(0,0)处的切线方 0tanx （10）设zxsiny z yx2（11）f(x)连续且f(0)0,f(0)1F(tf(x2y2dxdy(t0Ft．t(tantsinxf0 5f(t)2dtf(xe5x（12）已知f(x连续,且满0（13）曲线yex曲率的最大 （14）A 0，矩阵B满足 BA2E，*B 2三、解答题：15～2394分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案（xf(x)ln(1x2，F(x0tf(xt)dtx0设f(x为连续xf(x)ln(1x2，F(x0tf(xt)dtx0设f(x为连续函数，且F(x1x2与bxk为等价无穷小，其中常数b0k2（Ⅰ）f(0)f(0)（设uf(xyz有连续偏导数zz(xy由方xexyeyzez所确定，求du（x设f(x)可导，且满足方程f(x)(xx) f(t)dta（a0）.又若yf(x)2ax0,x1,y0x7πf(x6bb设f(x)在[a,b]上连续且严格单调增加，证明：(a f(x)dx xf(x)dxaa（zx22y2y5D:x2y1（xacos3tyasin3t立方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引（ππ设函数f(x)在闭区间 ]上连续，证明：存在(0,)，使得22π f(x)dxsinf(x)dxf()(sin)20（已知线性方程x1x2x3x42x3xx2x x1x2x3x42x3xx2x 3xx6x4x 2x12x23x33x4（Ⅰ）当a,b满足什么条件时，方程组有解，并求出其导出组的基础解系11111 0 3, 1, 4, 试将向量β141223 3示成向量组α1α2,α3α4的线性组合（232AkkPP1APΛ4考研数学考前预测试题（五数学二一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选sinx 451考研数学考前预测试题（五数学二一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选sinx 451tanx1sinxx0时，按照前一个是后一个的高阶无穷小量的排列次序（A）（B）（C）（D）xln(1t2，且limF(xlimF(x0，则0x（A）13（C）23（D）1f(x)x2fx)在区间()内有定义,若对于任意的x()，恒（3）函x0fx（A）间断（C）可导且导数值为零的（B）（D）可导且导数值不为零x21exx（B）2（C）3πxsinsinππ（5）I1I2dx,I cosxdx2201cos01cos3220（A）I1I2I3（B）I2I1I3（C）I3I2I1（D）I3I1I2（6）设f(t为连续函数a是常数，则下列结论中正确的xy（A）若f(t)为奇函数， f(t)dt是x的奇函数a0xy（B）若f(t)为偶函数， f(t)dt是x的奇函数0axx f(t)dtx0yxx（D）若f(t)为偶函数， f(t)dt是x的奇函数00（7）AB均为5ABO，))))（8）An阶矩阵A*A的伴随矩阵，齐次))))（8）An阶矩阵A*A的伴随矩阵，齐次线性方程组Ax=0解，（A）A*x0的解都是Ax=0的解 （B）Ax=0的解都是A*x0的解（C）Ax=0A*x0二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案指定位1（9）f(xx0处二阶可导，且lim1xx2f(x)e3f(0)x0．xπarcsin 2πarcsin1fx,ydx （10）交换积分次序I fx,ydx 0arcsin πarcsin 0 ．1x2102 （12）设esinxyz0，则π(1,421（13）设f(x)x f(x)dx f(x)dx，求f(x) 200 0 1 0，Q010010 B 3 0三、解答题：15～2394分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案（15（10分试确定常数abc的值，使得：ln(1x)cxx2o(x3，其中o(x3是1x0x3（16（10分f(xg(x在区间(ab可导，并设在(abf(x)g(xf(x)0在(ab内至多存在一点，使得f(0（17（10分xrf(xg(x在区间(ab可导，并设在(abf(x)g(xf(x)0在(ab内至多存在一点，使得f(0（17（10分xrfffyrsinsin yxz zru ，并说明u仅为r的函数，(其中rxyz （18（10分 yx2D（19（10分fn 1(1cosxn设1 n，f(x) (0,)n2π1π（Ⅱ）设有xn )，满足fn(x) ，则limxn 222（20（11分yy(x在(y0,xxyyy(xd2（Ⅰ）试将xx(y)所满足的方 (ysin )30变换为yy(x)所满的方程（Ⅱ）y(0)0,y(0)32（21（11分L:xf(0tπ，其中函f(t具有连续导数fπ)0ysin22f(t0(0tπLx轴的交点到切点的距离恒为2（Ⅰ）求函数f(t的表达式（Ⅱ）Lxy轴为边界的区域x轴旋转一周所得旋转体的体积（22（11分线性方程a11x1a12x（Ⅰ）求函数f(t的表达式（Ⅱ）Lxy轴为边界的区域x轴旋转一周所得旋转体的体积（22（11分线性方程a11x1a12x2a1nxnxaxax21 222n① xxxn1,1 n1,2n1,n的系数矩阵aaaA2aan1,nMi是矩阵A中划去第i列剩下的(n1)(n1)矩阵的行列式 Mn是方程组的一个解（Ⅱ）如果A的秩为n1,那么方程组的解全是M1M2的倍数Mn（23（11分 4设矩阵A 2，若方程组(2EAx0 3（Ⅰ）a（Ⅱ）正交矩阵Q，使得QTA2Q为对角矩阵考研数学考前预测试题（一数学二参考一、选择题：1～8小题，每小题4共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填指定位置上（1【答案】f(xx0x考研数学考前预测试题（一数学二参考一、选择题：1～8小题，每小题4共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填指定位置上（1【答案】f(xx0x1x1（1）考查间断1exe1exx1exe111xex1exex1limf(x1exx1exex1limf(x1exx（2）考查渐近①铅直渐近线：由（1）知仅有x1,x1是铅直渐近1exelimf(x(1)001exx1exelimf(x)1001exx因此，函数f(x)x0处为第一类可去间断点；两条铅直渐近x1x1，一条水（2【答案】xxxg(xt)dt ,对f(x)2x g(xt)dt两侧同时2【解答】通过换000xxfx4xgx)xxxg(xt)dt ,对f(x)2x g(xt)dt两侧同时2【解答】通过换000xxfx4xgx)0g(xx高阶的无穷小 是02x2高阶的无穷小,因此f(x的正负性取决于2x2,f(x)的正负性取决于4x,所（3【答案】tanxsin1f2而tanxsinx,所以f(x) o(x)23~cosf(xf(0)3,因此（4【答案】【解答】fx是连续的奇函数gx是连续的偶函数，所以fygxy的函数Dx轴对称，故fygxdxdy0，故选择答D（5【答案】【解答】表达式的含义是函数在该点处存在偏导数，而偏导数存在与函数连续没有必然联系更不能推出全微分存在，选（6【答案】【解答】由题设知，累次积分在直角坐标系下积分区域Dx,yaxa,x所以积分区域在极坐xrcosyrsin中转变a2x2Dπ3π,0r2a44（7【答案】 02ab410【解A20 a2a 0a0，A0rA1，所0a（8【答案】【解答】实对称矩阵,与其特征值构成的对角矩阵相似和合同,所以Adiag1, 0a0，A0rA1，所0a（8【答案】【解答】实对称矩阵,与其特征值构成的对角矩阵相似和合同,所以Adiag1,2,3,Bdiag4,5,6fx,x, x3x,gx,x, 4x5x6x222222 23 3123有相同的规范EA123,E45.由此可得对④：引用上AB的秩均为3,正惯性指数均为3AB合同,但这并不要AB不相似,从而二、填空题：9～14小题，每小题分24请将答案指定位（9【答案】32xaxxlimxalim1lim12ae2axxaxax11a1 dx a 2,2e 4ea3 2（10【答案】yf(x44x3yy1f(1)1 0切线斜率的关系可知答案为 4πxx1,,f(x2x x212x1故 f(x)dx dx x2ln2π4x(ln(x21)arctanx)xx1,,f(x2x x212x1故 f(x)dx dx x2ln2π4x(ln(x21)arctanx)10yzz（12【答案】 2yzy'zy y2z【解答】原式两边对yyyy y yy（13 C211【解答】将特解y 代入微分方程得p(x) .此时微分方程变yx22x p(x)p(x)dx yedxC xxp(xCx22（142【解答】判断44维向量的线性相关性,可以通过计算行列式1p132p 14(p2，,,,线性相关,可 4 1314(p2)0p2三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将案写指定位置上（15（10分1x2f2f(xf(xf(x)f(1三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将案写指定位置上（15（10分1x2f2f(xf(xf(x)f(11x2f21x2f(x；又因111dtππxxxf(x)f(1) f(t)dtdtdtt2f2t2t2 11π 4（16（10分2xy1,x1,y1,f(1,1)解2yx1y2y,y[3,0],f(0,3)6为最大,f(0,11为最小)x0时z24y0时zx2xx[3,0],f(3,0)6f1,0)1为最小24xy3时z3x29x6x[3,0]331134当x 时,z有最小值z .即f )24 x0zz6.f(0,3)6x3zz6.f(3,0)6综上所述:f(0,3)=f(3,0)6为最大值,f(1,1)1为最小值（17（10分解：本题可利用三角函数的周期性求xrcosyrsinD02π0r11原式 |3cos | r420033cos4sind3055034其中sin0，cos 555532ππ30sintdt 原式|sint|1原式 |3cos | r420033cos4sind3055034其中sin0，cos 555532ππ30sintdt 原式|sint|dt|sint|dt3300（18（10分xx解：因为f(x) tf(t)dt f(t)dt，所x00xf(x) f(t)dt,f(x) f(x)xx0yyexf(0)1,f(0)1该微分方程对应的特征方程为210，两个虚根为i，则对应的齐次方程的通解f(x)C1cosxC2sinxy*aexa1y*1ex22f(xCcosxCsinx1exf(0)1,f(0)1122C1,C1f(x1cosxsinxex12222（19（10分解：由二曲线相切得ax2lnx,2ax1，解得a 1x312231S2(ey2ey)dy(ey y2)2e1300152351V22πy(ey2ey)dy2π(yeyey e2)2e)500（20）(本题满11分)2πππ由 f(x)cos2xdx0及积分中值定理可知,存在c[0,]使得f(c)cos2c 04440f(c0,F(c0ππ根据罗尔中值定理,存在(c,0,),F(022πππ由 f(x)cos2xdx0及积分中值定理可知,存在c[0,]使得f(c)cos2c 04440f(c0,F(c0ππ根据罗尔中值定理,存在(c,0,),F(022（21（11分解：设水的密度为，设厚度为 部分的球所做的功为dw，由于球的比重与水相同因此这部分球将向上提起x，克服重力做功，从而dWπy2dxgxπgx[r2(rx)2]dx4gx(2rxx)dx gr故W 2430（22（11分解：将增广矩阵化为行阶梯形矩 bbb023b121b1) 2b(10 2b2bb 1002121)00 01 00 110)3430a0b40100 01 1方程组的解为xk0 ,k为任意常数343b00a(b2)a0b0且b2()0101bba(b2)x2b 01 1方程组的解为xk0 ,k为任意常数343b00a(b2)a0b0且b2()0101bba(b2)x2b b（23（11分ff9yA的特征值为0,923 3 124所以|A24 02对于0,有0EA0 40 221133 121 2 11 对于9，可得A的特征向量2 3332 211P12X12Y123322考研数学考前预测试题（二数学二参考一、选择题：1～8小题，每小题4共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填指定位置上（1【答案】x2考研数学考前预测试题（二数学二参考一、选择题：1～8小题，每小题4共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填指定位置上（1【答案】x2tx2sinudu~1；x0时，设(xsin(x2200~1xk12x0时，设(x(1x)1 当x0时，设(x) ~ （2【答案】0,0x2Af(x f(x)dx0 x01111,1，[0,1] f(x)dx f(x)dx0[201,xf(x)在[ab上不可积，但f可积（3【答案】【解答】逐阶构造导数定义即可得出答案（4【答案】【解答】本题考查极值的定义,可直接根据定义选出C与极值无必然联系,D选是最大值的定义而非极值的定义（5【答案】11【解答】limf(u) 21)1，limf(u) (u1)0u1u1limf(ulimf(u，可知limf(uf(u在u10111xxg(x) (u1)du x 232620当x21x g(x)02(u1)du13(u1)du 3626limg(x) x3当x21x g(x)02(u1)du13(u1)du 3626limg(x) x3x)1 x52limg(x) ) 可知limg(x2g(1)g(xx1g(x在(0,1与(1,2)3为连续函数，可知g(x)在(0,2)内为连续函数11当0x1时，g(x) x ，limg(x)1g(1)222 1x2时，g(x) x ，limg(x)0g(1) （6【答案】【解答】连续与可偏导没有必然关系，而可微能推出可偏导和连续， （7【答案】有某列向量是其余各列向量的线性组合,选A.（8【答案】【解答】记BTR(B)1,又T=5B的特征值为5,0,0；那么A的特值为3,7,7B关于5的特征向量就是矩阵A关于3的特征向二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案指定位（9【答案】n2dsinnn,limdTlimsinnnn2【解答 1x2e2x2x)e2x ab4.而非齐次项ex,2为二重特征根，因而非齐次方程有如下形dsinnn,limdTlimsinnnn2【解答 1x2e2x2x)e2x ab4.而非齐次项ex,2为二重特征根，因而非齐次方程有如下形式的特解Yx2ae2xa1yC1x2e2x2x)e2x 2（11【答案】43的偶函数，故yd4yyxD又D1关于两个变量具有轮换对称性，故ydxdy431则原式 xdxdy dy1D0012zexy（12.exy22zexy【解答】方程两边对z求偏导,得 ) 2z，从 x.exyz2（13【答案】1ln2411lnx【解答】原式 lnxd1 121x(1x22 2 211112x1ln24dx 1 x221（142n2022AnA2(2n2)222n2因三、解答题：15～23小题，分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将案写指定位置上（sinxsinxarctan(1t)dtarctan(1t)dt解：原式xln[1(cosxx(cosxsinxarctan(1t)dt三、解答题：15～23小题，分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将案写指定位置上（sinxsinxarctan(1t)dtarctan(1t)dt解：原式xln[1(cosxx(cosxsinxarctan(1t)dt2cosx arctan(10022lim 2limarctan(1sin2x)2sinxcos2ππ3 （222解：方程化 y1，通解为y C dxCx2xxx 1 12旋转体体积V(C) πCx dx C C ，22320V(Cπ2C1，令V(C0，得C5 24由于V(C2π0，故C5是极小值点也是最小值点，因此所求微分方程的解5y5x2x44（f(x00的情形由导数的定义f(x)f(x0)limff(x)00xxxx00f(x)0UxxUx时由极限的局部保号性，存x的去心领000x0xx0f(x0,f(xxx0f(x0f(xx0是极小值点.同理可证，当f(x00x0是极大值点.证毕.1令f(x)0得唯一驻点xxx0f(x0f(xx0是极小值点.同理可证，当f(x00x0是极大值点.证毕.1令f(x)0得唯一驻点x 0ln1由f(x)3xln32xln3知f )0ln1由极值存在的第二充分条件知x0ln3是极小值点（ 2有Ix[x2f(x2y2)siny]dx[x2f(x2y2)sinD1关于y轴对称，而被积函数x是奇函数，所以第一项为0，第二项又可分为项，后一项的积D2x轴对称，而被积函数关y为奇函数，也为0，273 0dxxx3dyIx 33 （dy 解 ， costddydxd2y d2 d2sintdysint )， costdt cos2tdtcos cos2tdt cos3t代入原微分方程 d2ysindy)sin1dyysintcos2cos2t cos3tcost化简得到d2yysintdt1 tcost2原方程的解为yCx 1x21arcsinx1x2 2证明：构造G(x)1xnf(xn由拉格朗日中值定理知，存在(a,b),使得G()，b11 tcost2原方程的解为yCx 1x21arcsinx1x2 2证明：构造G(x)1xnf(xn由拉格朗日中值定理知，存在(a,b),使得G()，b1bnf(b)1anf1bn1an ，即n1f(1nf'(nnn.bnnbF(x1xnn1bn1F(b)F由拉格朗日中值定理知，存在(ab),使得F()，即n1 .bbf即. n（dv又a sin2 dx 此方程可分离变量，再结合初始条件，解得v22(cosx1)（a2412151131101412102 b1 1a b2 111a1014110010b11000141a1ab0111b1001140 (1a)(5b)0时4(1a)(5b)0004rA,b111b1001140 (1a)(5b)0时4(1a)(5b)0004rA,brA3，方程组有解a1或b5（Ⅱ）a1，而方程组有解，由（Ⅰ）可得b5.02412151131110010011010000001002 1 10b.1 0 5 0 02 x1对应齐次方程组的等价方程组为x2x3基础解系取为ξ0,1,1,0Tx1非齐次方程组的等价方程组为x2x3x ；T0，得特解xkξηk0,1,1,0T0,1,00T（k为任意常数（Abaa0b00a00b0abbaabbaDnDn(1)A记00a0b00a00b0abbaabbaDnDn(1)A记00a0ab0na2 b2 (a2b2 （Ⅱ）fAba它的各阶顺序a,amam1a2b2am2a2b22,,(a2b2mm2a0a2b2f考研数学考前预测试题（三数学二一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选（1【答案】fx在开区间(abfx在(ab内是否连续，(x31)sinx3考研数学考前预测试题（三数学二一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选（1【答案】fx在开区间(abfx在(ab内是否连续，(x31)sinx3(x2x0x2(x1)sin3limsinf((x2因此f(x)在(00,)（2）g(x)x0x2nπlimg(x)lim1sin1lim(2nπ)200nx②取x2nπ+π，limg(x) sin1lim(2n )21=1πn22xx2因此，对任意0，当0g(x)无界，但limg(x)xf(x)limf(x)limf(x)f(x0)00①当t0lim[hxthxthxhx0，则h(xh(x000000t②当t0lim[hxthxthxhx0，则h(xh(x000000tx,xh(xx0h(x0,x0（2【答案】limx2sin11sinx2 x2sin11sinlimx2sin11sinx20 1k x111lim(yx)limx ) sinx200byx （3【答案】1f(x，根据极值的求法（3【答案】1f(x，根据极值的求法可知x（4【答案】xy2sinkxx2kx20(x0,y0)【解答【答案】【解答】被积函数关于变量y是偶函数，积分区域关x轴对称，所以原积分可以写为上半圆区域内二重积分的二倍，写成累次积分，答案为B.【答案】【解答】由e2x3exyayby0y3y2ycexyxex带入得c1（7【答案】选项（B）Ax0r(An，由r(Amr(Amn故B不对．选项（D）由An阶子式不为0r(A)n，所Ax0只有零解（8【答案】【解答】由α1A的特征值2的特征向量，α2α3是=6的特征向量，即α2α3而矩P是由矩阵A的3个线性无关的特征向量(α1α3α2)是其的特征向量之一，要求这三个特征向量要与其特征值对应.由此可知选项A,B,C符合要求，而D选α1α2α1α2既不是2的特征向量也不是=6二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案指定位1（9【答案】 x1x2x3x10limx1x2xα1α2α1α2既不是2的特征向量也不是=6二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案指定位1（9【答案】 x1x2x3x10limx1x2x3x f(x)f(1)x1x129.2πe234（10【答案.(4e2π)utt【解答】由已知条件，且y cos(ts)22cosudu00cost2d2t(cost2sint2 costd2 2.2 e2d2π当t π时 ，所以 2π|y42k .3(1y2t3e2π3(4e2π14（11【答案】【解答】f(x,y,z)y(exz22ze )，xyzxyz0两边对x求偏导xxx1xy(zxx0x0,y1,z1代入得 1（122π2π【解答】ysinxxarcsiny，x 2 π sinxsinπxπxarcsinyxπarcsiny，x ,π 2211V ππarcsinydy πarcsinydy2π2y00πln（13【答案】 arctan【解答】原π【解答】ysinxxarcsiny，x 2 π sinxsinπxπxarcsinyxπarcsiny，x ,π 2211V ππarcsinydy πarcsinydy2π2y00πln（13【答案】 arctan【解答】原式 x(1x2 xx11π4π1 4dx 1 1224πln2 （14【答案 3【解答】由A,B相似，则它们的特征值相等，行列式相等.由此可知矩AB1221值为121,32AE2,2,3AE)的特征值为 (AOO2B1122B4322 4322 B22由223三、解答题：15～2394分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案（tan2xx2lim(tanxx)(tanx（Ⅰ）证明：因为4x3xlimtanxxlimtanxx2limsec2x12limtan2x.33x所以，由极限的保号性tan2xx2tan2x x2tan2xx2x充分小时，不等式0tan2xx2x4x又（Ⅱ）解：由（Ⅰ）x2tan2xx2x41111xn充分大时.nnn (nn n因为k(nk (n (n(n1 111tan2xx2tan2x x2tan2xx2x充分小时，不等式0tan2xx2x4x又（Ⅱ）解：由（Ⅰ）x2tan2xx2x41111xn充分大时.nnn (nn n因为k(nk (n (n(n1 111 n(n (n1)(n(2n n11nn1n1而lim1ln2innn1nnn0i1（解：区域在极坐标下可表示2故区D的面πS DD2D121a21cos2a2rπ2a2π0coscos2222 22π22（1证明：设辅助函数g(x)= ，则由已知条件f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内x导.由柯西中值定理知，存在ab)，使f(b)f ff(b)f f(b)f.b11g(b) 因为f(x)在[a导.由柯西中值定理知，存在ab)，使f(b)f ff(b)f f(b)f.b11g(b) 因为f(x)在[ab上连续，在(ab)内可导，所以由拉格朗日定理知，存在(ab)，f(b)f ff(b)ff(.再得.bb（(xy)2f(xy)xz2yxy2(xy)(xyy， xyf(xy)f(xy)1xyt，有tf(tf(tp(t)f(t，则tp(tp(t1，即[tp(t)]tp(ttCp(t1Cf(1)2，得C1tf(t)11tf(ttln|t|C1f(1)0，得C11，故，f(x)xln|x|（1F(xarctanxexx01e11F(x0，所F(x)为其定义域内的单调递1π又因为limF(x) 0，limF(x)0，所以F(x)在(,0)内无零点2π而limF(x) 0，limF(x)0，所以根据零点定理可知2F(x（0，）内有零点.再由函数的单调性可知F(x（0，）内有唯一零点，1方程arctanxex02x2(xy)F(x（0，）内有零点.再由函数的单调性可知F(x（0，）内有唯一零点，1方程arctanxex02x2(xy)11x x 222y2(xy)11，解之可得y ,或者y 则22Fz2z2zz (xy)2z21f(xyzx2y2z212（r2解：在细棒上任取长度为dy的一段，则该段细棒对质M的引力为dF引力系数dy（kmydFdFcosadFdFsinaxyl1yl0(a2y2)3/Fdy=x0a2aa2ld(a2y2y1ll 23/Fy (ay(ay 23/20011=km[ ]0 la2ya2lMFFxiFyj（解：（）所对应的系数矩1 2351A 310 4 基础解系ξ111,10)Tξ2(3,10,1)T，则方程组①的通解xk1ξ1k2ξ2（k1k2为任意常数x3kkkk 代入方程组 2mk23nkk xk1ξ1k2ξ2（k1k2为任意常数x3kkkk 代入方程组 2mk23nkk m2n3（f 4A5根据已知条件，矩阵A有二重特征值1，则齐次线性方程组1EAX0有两个线性bbEA 40 4 a a故ab0，即ab， a0a2,b2 A的特征4241210EAA的特征值为1,1,10，因此c10对1，解齐次线性方TTEX0得基础解系α2,1,,α12,，12TT 5 ,0, 5；对10,解齐次线性55535X0得到一个线性无关的解α31,210E，T2 单位化得到β , . 33125150232 单位化得到β , . 33125150233423352335考研数学考前预测试题（四数学二参考一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选（1【答案】【解答】1x21x2□x2；4x25x3□4x21x211ln(1x3)考研数学考前预测试题（四数学二参考一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选（1【答案】【解答】1x21x2□x2；4x25x3□4x21x211ln(1x3)ln(1x3)2x3)11 1sint2dtsinxsin(1cosx)2x(1cosx) x11cos1cos3sint2dt200的无穷小量，故答案选（2【答案】f(xf(x)3f(x3f(x)2f(x3f(x5f(x)35f（3【答案】f(x)35f(x7，以此类推A为正确选【解答】I dx33 2π，收敛33x0x2(11x001I2dx2e2arctane，收敛；故答案选12(e2(11（4【答案】sin|xf(x,0)f(0,x|xf(0,0)，极限不存在xxxf(0,yf(0,0)lim00f(0,0)yyy（5【答案】【解答】函数可能的间断点x0,1,xlimf(xsinxlimxxx2ln(1xxln又limf(xsin1sin1x2xsin12xsin1,2xxxsin1ln(1xxln又limf(xsin1sin1x2xsin12xsin1,2xxxsin1sin1limf(xsin1x2x2xsin1,2 x1 (x1)(x1)sin1 2因此x0是可去间断x1,1是跳跃间段点.因此，选（6【答案】f(x)f(x)limf(x2f(xx0【解答】tanxf(连续导数，则limfxf(0)2.又因为存在，tan可知答案选（7【答案】中任意两个也线性无关,可知①是α1,α2,,αn线性无关的必要条件如果向量组α1α2,αn中任一向量能被其余向量线性表出，则α1α2,αn线性相关.可②也是α1α2,αn线性无关的必要条件由于向量α1α2,αn的维数未知,所α1,α2,,未必能构成行列式，故③不是α1α2,αn线性无关的必要条件.但需要注意的是,当α1α2,αnn维列向量0是α1α2,αn线性无关的充要条件α1,α2,,时“部分无关”可知：当α1α2,αnβα1α2,αn无关；但当α1α2,αn线性无α1α2,αn,β有可能线性相关.故④是α1α2,αn(x1)(xx2(x1)(x(x1)(xx2x2性无关的充分非必要条件.由此可知命题①和②满足要求,故 （8【答案】 B所以EA 1B而 *E1*E，1 E1，所1EA*E1 1*E 1性无关的充分非必要条件.由此可知命题①和②满足要求,故 （8【答案】 B所以EA 1B而 *E1*E，1 E1，所1EA*E1 1*E 1A*11111 即A*的第一二两行互换同时第一列乘以1得到矩 ，所以答案为二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案指定位tantan112（10【答案】 sin2ylnx x sinxxtantan11y2ysin2ylnx xsec2x【解答yx（11【答案πttrf【解答】F(t) )dr rf(r)dr22000t因为t(tantsint)ttant(1cost)，所2trf(r2f(t2)f F t(tantsinπf(0)4πtπtt0tt（12【答案】65【解答】由原式得f(0)1，由f(x)的连续性知f(x)x5f(x2f(x5e5x,故f(08继续求导，得5f(x)f(x25e5xf(0)652（13【答案 3|y24e1，构造f(x) e3，因此33324x1e2x (1y)2)32424122f(x e3(x0得唯一极值点x03ln2此时K有最大值 333（14【答案2A2，故A*AAE2EABA1BA*两边A得，ABA1ABA*A2AAB2B2A，因此A2EB2A24202424122f(x e3(x0得唯一极值点x03ln2此时K有最大值 333（14【答案2A2，故A*AAE2EABA1BA*两边A得，ABA1ABA*A2AAB2B2A，因此A2EB2A24200A2A23A16A2EB两边同时取行列式，可3A168第3列展开可求B三、解答题：15～2394分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案（xf(x)ln(1xf(x)[x o(x2xf(x)x o(x2lim lim f(x)11x2f(x)13f(0)1所以x2f(x)f(0)f(x)13f(0)xx2令xtxxxx（Ⅱ）F(x) tf(x (xu)f(u)du f(u)du uf(u)du0000F(x)11xx f(u)du uf(u)du 2lim lim200xxf(u)duxf(x)xf(x)f(u)du00bkbkf(x)x0bk(kk2kf(x)x3 ，所以有由（Ⅰ）知：解得1312（F(xyzxexyeyzezF(x1)ex,F(y1)eyF(z1)ezxyxzFyy故 xexz z zf（F(xyzxexyeyzezF(x1)ex,F(y1)eyF(z1)ezxyxzFyy故 xexz z zfffy eyfufff fxz zyz zduudxudyffxfy)dx(fxyz . z（x解：方程f(x)(xx) f(t)dta两边同时求导得2af'(x)(x2x)(2x1)f(x)f(x)(x1)f'(x)2f(x分离变量df(x) .xf同时积分可ln(x1)2C1f因此通解Cf(x).(xa1xaf(aCa1f(x.a(x1π(a1(a71 π(a1)20dx由旋转体体积公式知，V πf2(x)dx(x1)3(x0再 π(a1)27π，得a176xx证明：构造F(x)(a f(t)dt tf(t)dt.由f(x)连续知F(x)可导，aaxxF(x) f(t)dt(ax)f(x) [f(t)f(x)]dt，t(a,x)aaf(x严格单调增加知，任意t(ax),f(tFx)0，F(x单调f(xbbF(b)F(a)0，即(a f(x)dx xf(x)dxaa（1(0,)4Dxy1 2x0 4y1f(x严格单调增加知，任意t(ax),f(tFx)0，F(x单调f(xbbF(b)F(a)0，即(a f(x)dx xf(x)dxaa（1(0,)4Dxy1 2x0 4y10令在区域D的边界上，由x2y21， xzy6，(1y1)y133 2y10，得y ，此时x ，得两点 ,)222y1x0，得两点13z(0,) ， ,) ，z(0,1)8，z(0,1)6 2 398因此 8，（xy3 解：由已知得线密在星形线上取长度为的一段弧，则这段曲线2对在原点O处的单位质点dFkk(x2y2)3/2k(x2y21/2ds，其k为引力系数x2rxdFdFcosax2y2dskxdsxx2ydFdFsinax2y2dskydsyx2ππ35 acosx(t)y(t)dt3a costsintdt22324ka22200ππ3F tx(t)y(t)dt3aksintcostdtka22224322y500325ka,5ka（ππx f(t)dtcosf(t)dtF(0)F()022x0ππ因为f(x)在闭区间 ]上连续，故F(x)在在闭区间 ]上可导，222xf(t)dtf(x)sin325ka,5ka（ππx f(t)dtcosf(t)dtF(0)F()022x0ππ因为f(x)在闭区间 ]上连续，故F(x)在在闭区间 ]上可导，222xf(t)dtf(x)sinxsinxf(t)dtf(x)cosF(x)cosx0,)2π f(x)dxf()sinf(x)dxf()cos20ππ)(sin f(x)dxsinf(x)dx, )f2证毕20（解：（）的增广矩阵施行行变13121100116310124310101111110111110011101110 baa7bb2b2 1aba5ab满足ba111001001000010 ，故导出组的等价方程组为系数矩阵化为A01110x1x4x x x41，得导出组的基础解系.T（Ⅱ）观察易知α1α2α3α4分别为方程Axb的系数矩A的四个列向量Ax2列分块，方程组可变形为α1α2α3α4x41，得导出组的基础解系.T（Ⅱ）观察易知α1α2α3α4分别为方程Axb的系数矩A的四个列向量Ax2列分块，方程组可变形为α1α2α3α4xbx1α1x2α2x3α3x4α4b3x4（Ⅰ，a4,b1101131211631243110010101010100001090 bA.4 00其等价方程组 x1x4x x x9k,5k,3kk（k为任意常数T（k2解E1)2(1)0，知特征121,31A相似于对角阵，需A有三个线性无关的特征向量，即 12又因EAk 200 01且当1时，对应的特征向量为α21 12 10 01且当1时，对应的特征向量为α21 12 10 21010 ，得对应的特征向量为α0当1时，由EA 03301101110，Λ.10考研数学考前预测试题（五数学二参考一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选（1【答案】（1）(x)x4x5~x4x x3o(x3)1(x)sinx1=sinxx 1x2考研数学考前预测试题（五数学二参考一、选择题：1～8题，每4分32题给出的四个选项中，只有一个选（1【答案】（1）(x)x4x5~x4x x3o(x3)1(x)sinx1=sinxx 1x2o(x2)xxx61(x)0(e tdt~3t26.0tanxsin11（4）(x)1tanx1sin 3.1tanx+1sin24则按照前一个是后一个的高阶无穷小量的排列次序是：,,,，故应选（2【答案】xln(1x2（1）limF(x)0=0xx12xln(1t2x21（2）limF(x)0==x(211lim2(1x2)=lim2=010.因此，13（D=x+（3【答案】f(x)f(0)f(x)x0f(0)f(x)x2f(0)【解答x（4【答案】【解答】因为limylimyx0,x12x21ey又因为 1xx111(x21)exx2xx2(ex1)exx2yx2lim(yx)xxxx斜渐近线3渐近（5【答案】x21ey又因为 1xx111(x21)exx2xx2(ex1)exx2yx2lim(yx)xxxx斜渐近线3渐近（5【答案】πd(cosπππI2 I cosxdx I2I32201cos32240πxsinπ2πππ 4xf(sinx)dx2f(sinx)dxI11cos22000（6【答案】f(t的一个原函数，则f(t是奇函数时F(t)为偶函xxxx f(t)dt F(t)F(y)dyxF(t) F(0y00x而，xF(x) F(y)dy均是x的奇函数，故选择答案0（7【答案】ABOrAr(B)5.又1rA),1r(B，所以rAr(B)1r(B)（8【答案】Ax0有两个线性无关的解，所以r(A)n2A*0n二、填空题：9～14小题，每小题（9【答案4f分，分．请将答案指定位xx2【解答】由题得lim lim{1xf(x)}3，即limf(x)f(x)2xxf(0)limf(x)f(0)limf(x)4f(0)f(0)0xx（10 fx,ydy00πarcsin2πarcsin10fx,y【解答】I fx,ydx 0arcsinπarcsinπ0 fx,ydy fx,00π fx,ydy fx,π00π0 fx,ydy00π（11【答案】.411【解答】令x ，则dx dttπarcsin2πarcsin10fx,y【解答】I fx,ydx 0arcsinπarcsinπ0 fx,ydy fx,00π f