山东济南市历下区2023年数学九年级上册期末达标检测试题含解析

山东济南市历下区2023年数学九上期末达标检测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（）

nr+1„m+\m-m

A.y-.....B.y-........c.y=-D.y二一

xxxx

x+1,2x+5

-----------12-ax

2.若整数“使关于x的不等式组26至少有4个整数解，且使关于x的分式方程一h=2有整数解,

ucX+3

那么所有满足条件的"的和是（）

A.-13B.-15C.-17D.-20

3.设3=—，下列变形正确的是（）

h2

b_3ab

B.———C.3a-2bD.2a-3>b

a223

4.如图，在△ABC中，DE〃BC交AB于D,交AC于E,错误的结论是（).

ADAEABACACECADDE

A.---=---B.--------C___=___I）___=___

DBECADAEABDB'DBBC

5.下列事件中，是随机事件的是（）

A.任意画两个圆，这两个圆是等圆B.。。的半径为5,OP=3,点P在。。外

C.直径所对的圆周角为直角D.不在同一条直线上的三个点确定一个圆

2

6.若点A（T,y）,B（2,%）均在反比例函数＞=一的图象上，则X与乃关系正确的是（）

X

A.B.%=%c.必<必D.%%>0

7.设a、b是两个整数，若定义一种运算，aAb=a2+b2+ab,则方程（x+2）Z\x=l的实数根是（)

A.B.xi=O,X2=l

C.D.xi=LX2=-2

8.抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（)

_1_1I

B.-C.一D.

2345

9.下列四个图形中，既是中心对称图形,

1

C.-2020D.2020

20202020

若点4（3,5）,3（w，5）是函数y=/-2x+3上两点,则当》=玉+2时，函数值），为（）

A.2B.3C.5D.10

2

12.已知反比例函数丁=一的图象上有三点A（4,ji）,B（1.yi）,C（—»J3）则Jl>J1-.J3的大小关系为()

x

A.B.J1>J1>J3C.J3>J1>J1D.y3>yi>yi

二、填空题（每题4分，共24分）

13.若王，々分别是一元二次方程d+2x-1=0的两个实数根,贝！jXjX2+X]+*2

14.点（-2,5）关于原点对称的点的坐标是

15.如图，四边形A5CQ中，ZAPC=ZBCD=120°,连接AC,AB=AC,点E为AC中点,连接。石,CD=6,

。£=历，则A8

16.如图，△A5C中，48=6,BC=1,如果动点。以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边氏4向点A运动,

此时直线。E〃8C,交AC于点E.记x秒时OE的长度为y,写出y关于x的函数解析式（不用写自变量取值范

围）.

17.一元二次方程*2=2x的解为.

18.如图，RtAABC绕直角顶点C顺时针旋转90。，得到ADEC,连接AD,若NBAC=25。,贝|NADE=

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，已知抛物线经过4（-2,0）,8（-3,3）及原点。，顶点为C.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点。在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、。、D,E为顶点，A。为边的四边形是平行四边形,

求点。的坐标；

（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作加_Lx轴，垂足为是否存在这样的点尸，使得以P,M,A

为顶点的三角形与ABOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（8分）已知关于x的一元二次方程3-1）*2-2x+l=0有两个不相等的实数根，求。的取值范围.

21.（8分）我县寿源壹号楼盘准备以每平方米5000元均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者

持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格进行两次下调后，决定以每平方米405（）元的均价开盘销售.

（1）求平均每次下调的百分率.

（2）某人准备以开盘均价购买一套120平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案供选择：

①打9.8折销售；

②不打折，一次性送装修费每平方米70元.

试问哪种方案更优惠？

22.（10分）有甲乙两个不透明的布袋，甲布袋装有2个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字1和2;乙布袋装

有3个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字-3,-1和0.先从甲布袋中随机取出一个小球，将小球上标有的

数字记作x；再从乙布袋中随机取出一个小球，再将小球标有的数字记作

(1)用画树状图或列表法写出两次摸球的数字可能出现的所有结果；

⑵若从甲、乙两布袋中取出的小球上面的数记作点的坐标(x,y),求点(x,y)在一次函数y=-2x+l图象上的概率

是多少？

23.(10分)如图，在A48C中，AB=AC,以AB为直径的。。分别交AC,5c于点O,E,过点5作AB的垂线交

AC的延长线于点F.

(1)求证：BE=DE；

(2)过点C作CG_L5尸于G,若AB=5,BC=2小,求CG,FG的长.

24.(10分)问题探究：

3

(1)如图①所示是一个半径为，，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出

2无

发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程.(探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展

开图如图①中的矩形A88'A',则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AT的长)

2

(2)如图②所示是一个底面半径为母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点

出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程.

(3)如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的

最短路程.

25.(12分)如图，抛物线、=℃2+加+4交x轴于4(一3,0),8(4,0)两点，与>轴交于点C,连接AC,BC.点尸是

第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为，”.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)过点尸作轴，垂足为点M,PM交BC于息Q.试探究点尸在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得

以AC,。为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点。的坐标，若不存在，请说明理由;

(3)过点P作RV_LBC,垂足为点N.请用含〃?的代数式表示线段尸N的长，并求出当，〃为何值时PN有最大值,

最大值是多少？

26.解方程：(x+l)2-2(x+1)=3

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【分析】根据反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k>0,对各选项逐一判断即可.

【详解】解：A、•••m2+l>0,.•.反比例函数图象一定在一、三象限；

B、不确定；

C>不确定；

D、不确定.

故选：A.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键.

2、A

【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出a的取值范围，综合考虑确定a的值，再求和即可.

x+1,2x+5

【详解】解不等式组2<---6---得：于a_<2工42

5x—。>—2

・・,至少有4个整数解

解得。<一3

分式方程去分母得12-以=2（x+3）

解得…小

•.•分式方程有整数解，a为整数

，。+2=±1、±2、±3、±6

:.ci—-1、-3、0、—4、1、—5、4、一8

6

Vx=----w—3

Q+29

：■aw-4

又<u,<—3

:.。=-5或。=一8

满足条件的。的和是“3,

故选A.

【点睛】

本题考查了不等式组与分式方程，解题的关键是解分式方程时需要舍去增根的情况.

3、D

【分析】根据比例的性质逐个判断即可.

【详解】解：由£=二得，2a=3b,

b2

h3_.

A>V—=—,/.2b=3a,故本选项不符合题意;

a2

ah

B>V—=—,A3a=2b,故本选项不符合题意;

23

C、3a=2b,故本选项不符合题意；

D、2a=3b9故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果且=£,那么ad=bc.

ba

4、D

【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.

【详解】由DE〃BC,可得△ADEs/^ABC,并可得:

AD_AEAB_ACAC_EC

故A,B,C正确；D错误;

DB~EC'AD~AE'AB~DB

故选D.

【点睛】

考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质.

5、A

【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断.

【详解】A.任意画两个圆，这两个圆是等圆，属于随机事件，符合题意；

B.OO的半径为5,O%3,点P在。O外，属于不可能事件，不合题意；

C.直径所对的圆周角为直角，属于必然事件，不合题意；

D.不在同一条直线上的三个点确定一个圆，属于必然事件，不合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件

下，可能发生也可能不发生的事件.

6、C

2

【分析】将点A（—1,乂），8（2,%）代入,=［求解，比较大小即可.

2

【详解】解：将点A（—l,y）,8（2,%）代入.丫=、

22

解得：—=-2；y2=-=i

一12

•••x<y2

故选：c

【点睛】

本题考查反比例函数解析式，正确计算是本题的解题关键.

7、C

【解析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，整理成一般形式，左边化为完全平方式，用直接开平方的方法

解方程即可.

【详解】解：,.,必占二砂+加+附，

...(x+2)Ax=(x+2)2+r2+x(x+2)=1,

整理得：d+Zx+lnO,即(x+l)2=0,

解得：X1=X2=-1.

故选：c.

【点睛】

此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1,常数项移到方程右边，

然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个

一元一次方程来求解.

8、B

【解析】抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，

其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，

21

.♦.所得的点数能被3整除的概率为-=

63

故选B.

【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟记概率的计算公式是解题的关键.

9、D

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，并结合图形的特点求解.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；

D、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；

中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180。后与原图重合.

10、C

【分析】根据相反数的定义选择即可.

【详解】2020的相反数是-2020,

故选C.

【点睛】

本题考查相反数的定义，注意区别倒数，绝对值，负倒数等知识，掌握概念是关键.

11、B

【分析】根据点A(xi,5),8(X2,5)是函数产好-2》+1上两对称点，可求得X』+X2=2,把x=2代入函数关系式即可求

解.

【详解】,点催(X1,5),8(X2,5)是函数y=*2-2x+l上两对称点，对称轴为直线x=L

.*.XI+X2=2X1=2,

.,.x=2,

.,.把x=2代入函数关系式得j=2I2-2X2+1=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及二次函数的性质.求出M+X2的值是解答本题的关键.

12、C

2

【分析】把A、8、C的坐标分别代入》=一，分别求出V、外、也的值，从而得到它们的大小关系.

X

I2212—=4

【详解】解：把A(4,ji),B(1.yi),c(一，j2)分别代入^=一，得山=-=一，ji==-=Lyi==1

2x422—

所以yiVyi＜，2.

故选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是根据反比例函数解析式自变量的值求函数值，比较基础.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、-3

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系的公式，代入所求式即可得解.

【详解】由题意，得

bc

+电=—=-29X]X)=-=-1

a-a

+Xj+/=-2—1=—3

故答案为：-3.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握，即可解题

14、(2,-5)

【解析】点(-2,5)关于原点的对称点的点的坐标是(2,-5).

故答案为(2,-5).

点睛：在平面直角坐标系中，点P(X,y)关于原点的对称点的坐标是(-X,-y).

15、2779

【分析吩别过点E,C作EF±AD于F,CG±AD于G,先得出EF为4ACG的中位线,从而有EF=，CG.在RtADEF

2

中，根据勾股定理求出DF的长，进而可得出AF的长，再在Rt^AEF中，根据勾股定理求出AE的长，从而可得出

结果.

【详解】解：分别过点E,C作EFJ_AD于F,CG_LAD于G,

.•.EF/7CG,/.△AEF^AACG,

又E为AC的中点，.'F为AG的中点，

1

.*.EF=-CG.

2

又NADC=120°,.\ZCDG=60°,

又CD=6,，DG=3,：.CG=3y/j,

.,.EF=-CG=^^,

22

在RtaDEF中，由勾股定理可得，DF=,EZ)2-E尸=」37-卫=〃,

V42

1117

AAF=FG=FD+DG=—+3=—,

22

.---------/oRQ97

...在RtaAEF中，AE=y/AF2+EF2=J——+—=历，

V44

，AB=AC=2AE=29.

故答案为：2M.

A-

E

J)

/G

B1C

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，正确作出辅助线

是解题的关键.

16>y=~3x+l

【分析】由OE〃万C可得出△ADEsZvibC,再利用相似三角形的性质，可得出y关于x的函数解析式.

【详解】9：DE//BC,/.△ADE^AABC,

DEADy6-2x

——=——,即an上二------•*.j=-3x+l.

BCAB96

故答案为：y--3x+l.

【点睛】

nrAn

本题考查根据实际问题列函数关系式，利用相似三角形的性质得出是关键.

BCAB

17、JTi=0,Jfi=1

【解析】试题分析：移项得x」x=0,即x(x-1)=0,解得x=0或x=l.

考点：解一元二次方程

18、20°

【分析】由题意根据旋转的性质可得AC=CD,ZCDE=ZBAC,再判断出aACD是等腰直角三角形，然后根据等腰

直角三角形的性质求出NCAD=45°,根据NADE二NCED・NCAD.

【详解】解：YRtaABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到

.*.AC=CD,ZCDE=ZBAC=25°,

/.△ACD是等腰直角三角形，

.••ZCAD=45°,

AZADE=ZCED-ZCAD=45°-25°=20°.

故答案为：20°.

【点睛】

本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟

记各性质并准确掌握理解图示是解题的关键.

三、解答题(共78分)

2

19、(1)y=x+2xt(2)点。的坐标为：(1,3)；(3)存在.符合条件的点P有两个，分别是叫，鼻或(3,15).

【分析】(1)由于抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；

(3)分两种情况讨论，①△AMPs/^BOC,②PMAs^BOC,根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标.

【详解】解：⑴设抛物线的解析式为y=/+fer+c(aHO),将点4(-2,0),8(-3,3),0(0,0)代入，可得：

4。一2Z?+c=0

<9。-3〃+c=3,

c=0

a=1

解得：卜=2.

c=0

故函数解析式为：y=x2+2x；

(2)当AO为平行四边形的边时，DE〃AO,DE=AO,

由A(-2,0)知：DE=AO=2,

由四边形AODE可知D在对称轴直线x=-l右侧，

则D横坐标为1,代入抛物线解析式得D(1,3).

综上可得点D的坐标为：(1,3)；

(3)存在.理由如下：

如图：,8(-3,3),C(-l,-l),

根据勾股定理得：BO1=(-3)2+32=18>

CO2=(-l)2+(-l)2=2»

BC=(-1+3)+(3+1)=20»

BO2+CO2=BC2，

.•YBOC是直角三角形，ZBOC=90°,

假设存在点P,使以P,M,A为顶点的三角形与ABOC相似，

设P(x,y),由题意知%>0,y>0,且y=f+2x,

①若AAMPABOC,则A"=,即x+2=3仔+2、，

Hl)if)'/

②若APM4MiOC,则罂

即：/+2x=3（x+2），

得：%=3,X2=-2（舍去）,

・•・当x=3时，y=15,即p(3,15).

故符合条件的点P有两个，分别是哈金或(3,15).

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形

的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大.

20、aV2且aWl

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-1邦且△=(-2)2-4(a-1)>0,然后解两个不等式得

到它们的公共部分即可.

【详解】1•关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，

Aa-1邦且4=(-2)2-4(a-1)>0,

解得：aV2且arL

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#)),判别式△=b2-4ac,当△>()

时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程没有实数根；注意a对这一

隐含条件，避免漏解.

21、(1)10%；(2)选择方案①更优惠.

【分析】(1)此题可以通过设出平均每次下调的百分率为x,根据等量关系“起初每平米的均价x(l-下调百分率)x(l-

下调百分率)=两次下调后的均价”，列出一元二次方程求出.

(2)对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价xlOOxO.98+两年物业管理费②方

案：下调后的均价xlOO,比较确定出更优惠的方案.

【详解】解：(1)设平均每次降价的百分率是X,依题意得

5000(1-%)2=4050,

19

解得：玉=10%,x2=—(不合题意，舍去).

答：平均每次降价的百分率为10%.

(2)方案①购房优惠：4050x120x(1-0.98)=9720(元)

方案②购房优惠：70x120=8400(元)

9720(元)>8400(元)

答：选择方案①更优惠.

【点睛】

本题结合实际问题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系从而列出函数关系式是解题的关键.

22、(1)(1,-1),(1,0),(1,-3),(2,-1),(2,0),(2,-3)；(2)

3

【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

(2)由(1)可求得点(x,y)在一次函数y=-2x+l图象上的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】解：(1)画树状图得：

开始

木zk

-I0-3-10-3

则点可能出现的所有坐标：

(1,-1),(1,0),(1,-3),(2,-1),(2,0),(2,-3)；

(2):•在所有的6种等可能结果中，落在y=-2x+l图象上的有

(1,-1)、(2,-3)两种结果，

21

工点(X,y)在一次函数y=-2x+l图象上的概率是工=；.

63

【点睛】

本题考查了列表法和树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确的画出树状图是解题的关键.

ino

23、(1)见解析；(2)CF=y,FG=-,

【分析】(1)连接4E,利用等腰三角形的三线合一的性质证明NE4B=NEAC即可解决问题.

(2)证明△BCGs/ViBE,可得不三二*,由此求出CG,再利用平行线分线段成比例定理求出。尸，利用勾股定

BEAB

理即可求出FG.

【详解】(1)证明：连接

・・・45是直径，

:.NAE3=90。，

:.AE±BC9

9：AB=AC,

；・NEAB=NEAC,

：•BE=DE•

(2)解：VBF±AB,CG±BF,AELBC

：.NCG3=NAEB=NA5尸=90。，

VZCBG+ZABC=90°,ZABC+ZBAE=90°,

工/CBG=NBAE,

:.ABCGsMBE,

.CGBC

••=9

BEAB

.CG_275

••-r=~=---,

行5

CG=2,

■:CG//AB,

.CFCG

»•=f

AFAB

•CF2

"~CF+5~~5

K)

3

D

【点睛】

此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质.

24、(1)蚂蚁爬行的最短路程为1;(2)最短路程为A4=PA=4；(3)蚂蚁爬行的最短距离为2月

【分析】(1)蚂蚁爬行的最短路程为圆柱侧面展开图即矩形的对角线的长度，由勾股定理可求得；

(2)蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中的AA，的连线，可求得APAA，是等边三角形，则AA』PA=4；

(3)蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中点A到PA的距离.

【详解】(1)由题意可知：

3

BBf=2nx—=3

2K

在Rt二ABB'中，AB'=\lAB2+BB'2=A/42+32=5

即蚂蚁爬行的最短路程为1.

(2)连结A4',则的长为蚂蚁爬行的最短路程，设心为圆锥底面半径，弓为侧面展开图(扇形)的半径，

则4=2,右=4,由题意得：2兀耳=把之

3■180

-2n“

即2x兀x—=x兀x4

3180

〃=60

：.^PAA'是等边三角形

•••最短路程为A4'=Q4=4.

(3)如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A作AC_LPA'于点C,则线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程.

在RtAACP中，

VZP=60°,

,ZPAC=30"

11

PC=-PA=-x4=2

22

2

.*.AC=742_2=2V3

蚂蚁爬行的最短距离为2上.

本题考查了勾股定理，矩形的性质，圆周长公式，弧长公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相

关公式和性质定理是本题的解题关键.

25、(1)y=-《x2+!x+4；⑵存在，。(1,3)或［空,8一：夜］；；(3)当勿=2时，PN的最大值为：—.

33I22J3

【解析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；

(2)分AC=AQ、AC=CQ,CQ=AQ三种情况，