2023-2024学年上海市高一年级上册期末数学模拟试题

2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题

一、填空题

1.设全集U={-1,0,1,2,3},若集合A={-1,0,2},则久=

【正确答案】{1,3}

直接利用补集定义进行运算即可.

【详解】因为全集U为-1集,1,2,3},若集合A={-1,0,2},

所以,={1，3}.

故答案为.{1,3}

2.已知扇形的弧长是6,圆心角是2弧度，则该扇形的半径是.

【正确答案】3

【分析】结合扇形弧长公式可直接求解.

【详解】由/=a"nr='=g=3.

a2

故3

9

3.函数y=1+—(工>0)的最小值是.

x

【正确答案】6

【分析】利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意可知x>0,故y==

xVx

当且仅当x=3时取等号，

即函数y=x+=(x>0)的最小值是6,

x

故6.

4.化简cos20。8s(夕―20。)+$也200。411(口-20。)，得其结果为.

【正确答案】cosa

【分析】利用诱导公式和余弦的两角和公式化简即可.

【详解】cos20°cos(&-20°)+sin200°sin(a—20°)

=cos20。cos(a-20°)+sin(180°+20°)sin(«-20°)

=cos20°cos(a-20°)-sin20°sin(a-20°)

=cos[20°+(a-20°)]

=cosa

故cosa

5.终边在x轴上角的集合为

【正确答案】{a|a=A肛左eZ}

【分析】根据终边在x轴上角的特点进行求解即可.

【详解】当角a终边在x轴正半轴上时，a=2^eZ),

当角。终边在x轴负半轴上时，oc=2k/r+/r=(2k+\)7r{kGZ),

因此终边在x轴上角的集合为：{a|a=b»£Z},

故=攵GZ}

6.已知sin(兀+a)=q,a£(一],0),贝ijtana=_.

3

【正确答案】-亍##-0.75

4

【分析】根据三角函数诱导公式和同角三角函数关系求解即可.

【详解】sin(7T4-cr)=-sina=|,cr,所以sina=-1,cosa=',

sina3

所以tana=-------=一一.

cosa4

3

故答案为.

4

7.若函数y(x)=j8—以一2丁是偶函数,则该函数的定义域是.

【正确答案】[-2,2]

【详解】因为函数f(x)=，8-奴-2*2是偶函数,则〃=0,函数〃切=仆-2丁的定义域

8-2X2>0解得-24x42,故函数的定义域为[—2,2].

为[-2,2].

8.己知4=卜母=怆1一%-2)},8=.川广(£),那么4B=

【正确答案】(2,+«))

【分析】先化简集合A,B,再利用交集运算求解.

【详解】解：因为4=卜|丫=怆，7-2)}=(-8,-1)(2,+8),B=,y|y=(g)-=(0,+oo),

所以A8=(2,y).

故答案为.(2,+8)

A

9.在AA3c中，若sinBsinC=cos2—，则A/WC是__________三角形.

2

【正确答案】等腰

【详解】由题意得sinBsinC=1+,gpsinBsinC=l-cosCcosB,得cos(C-8)=l,

为三角形的内角，.•.8=C,即AABC是等腰三角形，故答案为等腰.

10.已知苫20,丫20,且*+丫=1,则\2+),2的取值范围是.

【正确答案】七,1]

【详解】试题分析：x2+r=x2+(1-x)2=2x2-2x+l,xe[0,1],所以当x=0或1时，取最大

值1；当x时，取最小值[因此F+产的取值范围为[；/].

【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值

范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即x20,yN0,x+y=l表示线段，那么f+产的

几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.

11.若函数/(力=*.、(*>0),在x<9,«»)上为严格增函数，则实数。的取值范围

是_.

【正确答案】(1g

【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数〃的不等式组，解之即可求得实数〃的

取值范围.

【详解】函数，在上为严格增函数，

可得'解得1<〃4一故实数。的取值范围为1,工，

[3a-3<\3I3_

故心

12.设命题P：函数/（力=恒（/-»、4的值域为心命题9：不等式3,-9,<a对一切正

实数x均成立，若命题。和4不全为真命题，则实数〃的取值范围是.

【正确答案】（-oo,0）l（2,xo）

【分析】根据对数型复合函数值域可知（0,+8）是丫=〃2-》+白。的值域的子集，根据二次

函数图象分析可得不等关系，求得命题P为真时，（）WaW2；利用换元法将3工-9'<a转化

为。>/-厂（/>1）,求解「-产的最值可求得命题q为真时，«>（）；求出当PM全为真时。的

范围，取补集得到结果.

【详解】若命题P为真，即/（"=他（加7+\“值域为/?

当。=0时，-x>0,解得：x<0,满足题意

>0

当。wO时，,1.解得：0<a<2

I4

综上所述：若命题〃为真，则0KaW2

若命题9为真，即不等式3'，-9、<a对x«0,一）恒成立

令f=则-产

Q?>1:.t-t2<1-1=0:.a>0

即若命题。为真，则

,当命题全为真命题时，0Va42

命题p，q不全为真命题二。的取值范围为：（7°,。）（2,+<»）

故答案为（《,0）（2,+8）

本题考查根据命题的真假性求解参数范围，涉及到根据对数型复合函数的值域求解参数范

围、不等式恒成立问题的求解等知识.

二、单选题

13.“x>l”是的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据函数单调性得到x>l时，2、>2>1，解2*>1得到x>0,从而判断出结论.

【详解】因为y=2,在R上单调递增，故当x>l时，2'>2>1，充分性成立，

2V>1，解得：x>0,其中x>O&v>l,故必要性不成立,

所以“x>1”是“2,>1”的充分而不必要条件.

故选：A

14.已知点P(tanaf,cosa)在第三象限，则角a的终边位置在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】B

【分析】由P所在的象限有tana<0,cosa<0,即可判断a所在的象限.

【详解】因为点P(tana,cosa)在第三象限，

所以tanav0,cosa<0,

由tana<0,可得角a的终边在第二、四象限，

由cosc<0,可得角a的终边在第二、三象限或x轴非正半轴上，

所以角a终边位置在第二象限，

故选：B.

15.设。则sin6+cos6的一个可能值是()

A.B.1C.—D.-

273

【正确答案】A

【分析】利用辅助角公式化简sin。+cos”,结合三角函数值域的求法确定正确答案.

【详解】因为夕61g),所以sine+cose=&sin,+2),

JIJi3冗、

由于。+力

所以孝,

sin(6»+：)w1,0sin(e+：Jw(l,&],

所以A选项符合，BCD选项不符合.

故选：A.

16.已知Ax)是定义域为R的偶函数，/(-1)=3,且当xNO时，〃x)=2，+x+c(c是常数),

则不等式/(*-1)<6的解集是

A.(-3,1)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-1,3)

【正确答案】D

【分析】先根据/(T)=3以及奇偶性计算c的值，然后根据奇偶性和单调性解不等式.

【详解】因为〃x)是偶函数，所以/(一1)=〃1)=3,所以/⑴=3+c=3,所以c=()；又

因为工40,+«))时/(同=2，+》是增函数且/(2)=22+2=6,所以X«F,O)时是减函

数且/(—2)=〃2)=6；所以—2<x—l<2,解得：xe(-l,3),

故选D.

本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性、单调性解不等

式的问题，除了可以直接分析外，还可以利用函数图象分析.

三、解答题

17.设集合A={xh-a|<2},B=

(1)求集合A、B

(2)若Au8,求实数。的取值范围

【正确答案】(1)A=(a-2,a+2),8=(—2,3)；(2)[0,1]

【分析】(1)直接解不等式得到集合AB.

fa+2<3

(2)根据AqB得到不等式.计算得到答案.

[a-2>-2

【详解](1)4={小-。|<2}=„-2<xv〃+2},

八卜|"1卜，=卜层<。}3{42<、<3}

a+2<3

(2)AB,则满足c、.解得04a41

£[a-2>-2

本题考查了求集合，根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.

18.已知基函数/(x)=(nr-2m+2)/..

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)求函数/(x)的定义域、值域；

(3)判断，(x)的奇偶性.

【正确答案】(1)/。)=/

⑵定义域为(-s,0)U(0,一),值域为(0,+8)

(3)偶函数

【分析】(1)根据基函数的定义运算求解；

(2)根据幕函数解析式求定义域和值域；

(3)根据偶函数的定义分析证明.

【详解】(1)函数/'*)=(加1-2,〃+2)x为幕函数，则M-2AM+2=1,解得加=1,

则l-3m=l-3=-2,所以函数〃x)=x-2；

2

(2)f(x)=x-=^,令炉#0,解得XHO

XT

故函数/(X)=x-2的定义域为A=(-QO,0)I(0,+oo),

Vx2>0,则，(幻=4>0,

故函数/(x)=X-2的值域为(0,+8);

(3)任取xeA,〃—x)=(-x)-2=x-2=/(x),所以函数，(x)是定义域上的偶函数.

19.已知打)，且sinq+cost=冬8.

(1)求cosa的值；

3TC

(2)若sin(a+夕)=-<46(0,万)，求sin夕的值.

【正确答案】(1)-逑；(2)逑土土

315

【详解】试题分析：⑴将sin4+cos4=2叵两边平方可求得sina=!，根据ae(g㈤判

22332

断出cosa的符号，再根据同角三角函数的平方关系可得cosa的值；(2)由ae(5,;r),

■7T34

ySG(O,-),sin(a+〃)=—不可得得cos(a+/7)=-g,利用两角和的正弦公式可得

sinp=sin[(a+p)-a\的值.

试题解析：(I),**sin—+cos—=,

223

aa41

・・l+2sin—cos—=—,sina=—.

2233

因为

所以cosa=-Jl-sin?a--

(2)•ex.e(—,/?£(0,彳)，—

2222

3,4

又sin(cr4-(})=--,得cos(a+4)=,

sin/?=sin[(a+/?)-«]=sin(a+f3)cosa-cos(a+(3)sina

60+4

15

1、正弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系；2、两角和的正弦公式.

20.已知函数/(》)=。-21+27(〃为常数，xeR)为偶函数.

(1)求〃的值；并用定义证明.f(x)在［0,+A)上是严格增函数；

(2)解不等式：/(21og„x-l)>/(log„x+l).

【正确答案】(l)a=2,证明见解析

(2)(0,1)54,+8)

【分析】(1)根据/(X)为偶函数，由/⑴=/(-1),求得4=2,再利用单调性的定义证明其

单调性；

(2)根据/(X)为偶函数，得到/(1210g2x-l|)>/(|log2x+l|),再根据f(x)=2*+2T在［0,+oo)

上严格增，得到所I21og2x-l|>|log,x+l|求解.

【详解】(1)解：因为/(X)为偶函数，所以"1)=/(T),^a+-=-a+2,解得a=2,

24

故〃x)=2'+2T,则〃-》)=2-*+2*=/(》)且定义域为口，满足题设;

任取士,七e[0,+oo),且王<当，

则/U,)-/(兑)=2"+2』-2*-2f=⑵-2-)(1-—),

212

因为占<七，所以2*-2*2<0,

因为玉,e[0,«»),所以所以/(X1)-/(x,)<0,

所以/U,)</(%,),所以/(X)=2,+2T在。”)上是严格增函数.

(2)因为/(x)为偶函数，。=2,

所以不等式/(21og„x-l)>/(k>g0x+1),即为/(|210g2x-11)>/(|log2x+i|),

因为/(x)=2*+2-c在10,+8)上严格增，

所以1210g2》-1|>|唯2X+1|,

两边平方，得log；x-21og2X>0,

解得log,x<0或log2x>2,

所以0<x<1或x>4,

故解集为(0,1)=(4,+8).

21.若函数f(x)满足:对于任意正数s/,都有/(s)>0J(f)>0,且〃s)+/(f)</(s+/),

则称函数/(x)为乜函数

(1)试判断函数工(x)=f与=)是否是乜函数”;

(2)若函数g(x)=3*-1+。(3-、-1)为乜函数”，求实数0的取值范围;

(3)若函数〃x)为乜函数“，且"1)=1,求证：对任意x«2i,2")(/eN*),都有

x2

小)一个>----

2x

【正确答案】(1)工")=/是乜函数”.力。)=五不是“Z,函数(2)H，l](3)见解析

【详解】试题分析：利用“L函数”的定义判断函数<(x)=Y符合要求，而力0)=五不符合

要求(只需举一个反例说明)；函数g(x)=3、-1+4(3一*-1)为“L函数”，则g(x)满足“Z,函数”

的定义，当，>0,s>0时，g(s)>O,g(f)>O,g(s)+g(f)vg(s+f)成立;根据要求可以求出。的

范围；令s=f得/(2s)>2/(s),即乎?>2,故对于正整数％与正数s,都有

/(s)

需=需[•夕鬻,・甯>文x«2i，2,)(丘N*),则卜(2力2力，利用

"1)=1,借助〃x)>/(x-2i)+/(2"T)及借助不等关系证

明.

试题解析：(1)对于函数/(x)=x2,当f>0,S>0时，/⑺=/>0J(s)=s2>0,又

工⑺+工⑹-工(£+5)="+$2_«+6)2=一如<0,所以工(s)+/；(f