2022-2023学年山东省日照市高三年级上册校际期中联考数学试题及答案

2020级高三校际联合考试

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.若复数z=2-,则复数z在复平面内对应点的坐标为（）

1-i

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(1,1)D.(-1,-1)

2.已知集合4=卜,<4},B={x|(x-4)(x-l)<0},则他A)c3=()

A.{邓<x<2}B.{x[2<x<4}C.1%|2<%<4|D.{x|x<2或xN4}

3.不等式七」<2的解集为()

x—5

A.{x|x>ll或x<5}B.{x[5cx<11}C.{x|-l<x<5}D.

人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的窗花（如图1）.已知正方形ABC。的边长

为2,中心为。，四个半圆的圆心均在正方形A8CQ各边的中点（如图2）,若点P在四个半圆的圆弧上运动，

则A80P的取值范围是（）

C.[3"30]D.[-4,4]

6.“数列｛&｝为等比数列”是“数列｛lg|a,J｝为等差数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.正项数列｛。“｝中，。”+|=必”（％为常数），若%）21+。2022+%023=3，贝UGo21+^022+W）23

的取值范围是()

A.[3,9)B.[3,9]C.[3,15)D.[3,15]

8.已知平面向量d",3满足d'Z?，且同=忖=4,卜+8—c|=2,则,一日+21一d的最小值为()

A.4>/5B.2历C.275D.V17

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.已知等差数列｛4｝的前"项和为S"，若“2=3,S2=7,则()

A.an=5-n

B.若+Q〃=,则—l---的最小值为—

mn12

C.5〃取最大值时，鹿=4或〃=5

D.若S〃>0,〃的最大值为8

10.函数/(x)=3sin(5+o)(69>0,0<o<»)的部分图象如图所示，则(

5*

A./(x)=3sin2x+

B./(x)图象的一条对称轴方程是x=-二

8

keZ

D.函数y=/是偶函数

11.若a=,b=ln,。="，则()

1011

A.a>bB.a<cC.b<cD.a>c

12.已知定义在R上的函数满足〃x)=〃8—x)+〃4),又/(x+»)的图象关于点(一兀

试题

,0）对称，且/（1）=2022,则（）

A.函数/（x）的一个周期为16B.7（2023）=-2022

C./（x）的图象关于直线尸12对称D.42x7）+万的图象关于点弓,乃）对称

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若0<6<一,sin6==，则sin20+cos?8=.

25

14.设a,〃为两不相等的实数，若二次函数/（%）=/+狈+方满足/（。）=/3）,则/（2）的值为.

15.已知函数=｛,其中机》一1.若存在实数儿使得关于X的方程/（x）=8

有两个不同的实数根，则实数，”的取值范围是.

16.对任意闭区间/,用也，表示函数y=cosx在/上的最小值.若正数a满足皿0团=修“.2寸则正数a的

取值范围为.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为小h,c,点。满足3BO=6C,且AO-AC=0.

（1）若b=c,求A的值；

（2）求B的最大值.

18.（12分）.

已知等差数列｛4｝,分别从下表第一、二、三行中各取一一个数，依次作为G,42,a4,且m,44中任何

两个数都不在同一列.公比大于1的等比数列｛d｝的前三项恰为数列｛《,｝前5项中的三个项.

第一列第二列第三列

第一行802

第二行743

第三行9124

（1）求数列｛为｝,｛〃｝的通项公式;

（2）设%="也，求数列｛5｝的前”项和

4+4+2

19.（12分）

试题

设函数〃》）=[办2—（3a+2）x+3a+4]e，.

（1）若曲线y=/（x）在点（2,/（2））处的切线斜率为0,求实数a的值；

（2）若y=/（x）在x=l处取得极小值，求实数a的取值范围.

20.（12分）

已知数列｛玉｝是各项均为正数的等比数列，且玉+々=3,X3-X2=2.

（1）求数列｛玉｝的通项公式；.

（2）如图，在平面直角坐标系X。），中，依次连接1）,8（%,2）,……，P„+i（xn+l,n+l）,得到折线

《鸟，……2+i，求由该折线与直线y=0,X=M，x=x“+i所围成的区域的面积

21.（12分）

如图，某公园拟划出一块平行四边形区域ABCD进行改造，在此区域中，将NDC2和/D4B为圆心角的两个

扇形区域改造为活动区域，其他区域进行绿化，且这两个扇形的圆弧均与8。相切.

（1）若AZ）=40,AB=30,BD=10V37（长度单位：米），求活动区域的面积；

3

（2）若扇形的半径为10米，圆心角为2万，则N8OA多大时，平行四边形区域ABC。面积最小?

4

22.（12分）

己知函数+（a+i）x+alnx,aeR.

（1）求函数/（x）的单调区间；

（2）已知关于X的方程-6a=0有两个解芯,X2（玉＜龙2）,

（I）求实数a的取值范围；

（H）若4为正实数，当$=/1（看+%2）时，都有了'（s）＞0,求丸的取值范围.

试题

高三

2022年高三校际联合考试

数学试题答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1-4BCAC5-8DAAB

1.【答案】B,解析：z=^=^4^^=i(l+i)=—1+i,

1-i(l-i)(l+i)1)

因此，复数z在复平面内对应点的坐标为(-1,1).故选B.

2.【答案】C,解析：

因为A={,2"<4}=1x|x<2},B=4)(x-l)<o|=|x|lvx<4},

所以&A)c8=1x|x>2}c{x|l<%v4}=何2<x<4}.故选C.

3.【答案】A,解析：因为土生<2,--2<0,曰'>(),所以不等式皿<2的解集为

x—5X-5x~5x—5

|x|x>11或尤<5}.故选A.

4.【答案】C,解析：记/(x)=(l-y^}cos[]+x)=|7^・(一sinx)=^|^sinx,

贝iJ/(r)=^^・sin(-x)=-|^,sinx=^|^sinx=/(x)，

因此函数了=1—鼻71cos是偶函数，故排除AB；

1-1_V

当0<x<万时，-----<0,sinx>0,因此〃x)=--------sinx<0,排除D；故选C.

5.【答案】D,解析：AB-OP=\AB^OP\cos^AB,OP),即网与OP在向量AB方向上的投影的积.由图

2知，。点在直线AB上的射影是AB中点，由于48=2,圆弧直径是2,半径为1,所以OP向量A3方向上

的投影的最大值是2,最小值是一2,因此A8-0P的最大值是2X2=4,最小值是2X(-2)=—4,因此其

取值范围为[—4,4],故选D.

6.【答案】A,解析：

解析：数列{%}为等比数列，设其公比为q,则{㈤}也为等比数列，且㈤>0，

试题

高三

所以3|%+||一3|4|=馆皆^

=lg|同，所以，｛1g同｝为等差数列，反之，若数列｛怆⑷｝为等差数列，例如

1,1<H<10,

则㈤=11g㈤=°，

满足数列｛lg|a,J｝为等差数列，但推不出“数列｛《,｝为等比数列”（明正负随取构不成等比数列）.所以，“数

列｛4｝为等比数列”是“数列｛怆何4｝为等差数列”的充分不必要条件.故选A.

7.【答案】A解析：因为a，02i+“20”+2023=3，所以外1+生侬+%氏侬=3，

k

]

=

令/=—F攵（，之2）,化简可得Q；o2i+022+@0239（广T）

k。；百

=91一；|^)(后2),所以/(r)e[3,9).故选A.

令〃吟（~）百

8.【答案】B,解析：设O4=a=（4,0）,。8=匕=（0,4）,则a+b=（4,4）,卜+8一4=2,

即C在以。（4,4）为圆心，2为半径的圆上，如图，取E（4,3）,则CZ）=2OE=2,AO=2CZ）=4,所以有

△ZMC-ADCE,所以AC=2CE,又因为1―C・卜忸q,忖―4=,斗

所以,一d+2｝一,=国卜2的=2回+2忸牛23后=2717.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.ACD10.BD11.AD12.ACD

a=4

9.【答案】ACD【解答】由题意得。1=4,〃2=3,可得《।，

则等差数列｛q｝的通项公式为4=5-〃,则选项A判断正确;

试题

高三

若+。〃=g+%0，则加+几=2+10=12

116(116)m+n_11Gin心7+8)*

则nl一+——=—+——x17+—+

mnymn12~12mn

iojo

（当且仅当m=匕，〃=竺时等号成立）

55

又m,〃eZ,则的最小值不是竺.则选项B判断错误;

mn12

等差数列｛〃“｝中，4]=4>生=3>〃3=2>%=1>。5=0>。6=—1>…

则等差数列｛4｝的前〃项和S“取到最大值时，〃=4或〃=5.则选项C正确;

（4+5—n）〃（9一〃）

S=---------^二」——^>0,得0<〃<9则选项D判断正确故选：ACD

H22

10.【答案】BD【解答】解：由函数/（x）=3sin3x+p）的图象知，=,71=；乃，所以7-71\

71/口3万

即二二〃，解得①=2,所以/（x）=3sin（2x+°）,由五点对应法，得2x+(p=—,解得夕=彳

CD

所以/（X）=3sin12x+今

,选项A错误.

当》=—巨［1寸，2x+—=I，所以/（x）的一条对称轴方程是x=-言，选项B正确.

84

37r137r

令2x+2—=k兀，左£Z,解得x=—攵»一2—，kGZ,

428

所以/（X）的对称中心是B版■-三，°

,%GZ,选项C错误.

.f»7万3万3sin(2x+^

y=fX+3Qsin2.xH----1---=3cos2x,

[TI44

是定义域R上的偶函数，所以选项D正确.

1।

11.【答案】AD【解答】a=e°」=e记，令〃x）=/

，令g(x)=l+ln(l+，),

/?=l+ln|1+—c=l+---,令〃(尤)=1+」一

I101+10')1+工

当了>0时，ex>-+l>lnfl+-1+1>1---4+1=--——nl.所以取x=10,a>b>c.

xXJx+1

X

试题

高三

12.【答案】ACD【详解】由〃x）=/.（8-x）+/（4）,令x=4,得〃4）=〃8-4）+〃4）,/（4）=0,

所以〃x）=/（8-x）,“X）关于直线x=4对称.由于"x+不）的图象关于点（一肛0）对称，

所以/（x）的图象关于（0,0）对称，所以〃x）是奇函数.

所以〃%+16）=/（8-（-8-力）=〃-8-力-8）=-/（8-（-力）=-/（-%）=/（力，

所以“X）的周期为16,A选项正确.

/（2023）=/（126xl6+7）=/⑺=*1）=2022,B选项不正确.

结合上述分析可知，/（X）的图象关于直线x=4+8Z（ACZ）对称，故C选项正确；

f（x）关于点（8k,0）（Jtez）对称，

所以/（2x—1）关于点（亭Lo）（kez）对称，

所以“2x-l）+〃关于点（与二万）（k£Z）对称，

令k=0,得f（2x—1）+乃关于点万）对称，D选项正确.故选：ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-14.415.[-1,2）16.＜aa=〃或卜

13.【答案】-【详解】因为0＜。＜上，sin0=3,

525

4

由sirre+cos-8=1,得cos。=一，

5

QQ

sin2^+cos2^=2sin^cos^+cos2故答案为：一.

55

14.【答案】4【详解】由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得"4=一色，即2。+。=0,所以

22

〃2）=4+2a+0=4.

15.【答案】[一1,2）解析：当一2＜启机时，〃x）=log4（x+2）是增函数；

当X〉加时，"%）=2*-3也是增函数，所以当点（〃?,log4（m+2））在点（肛2"'-3）上方时，存在实数6,

使直线尸匕与曲线＞=/（%）有两个交点，即存在实数从使得关于x的方程/。）=匕

试题

w

有两个不同的实数根，所以log4(^+2)>2-3即log4(m+2)>—2"'+3>0，令

g(x)=log4(x+2)-2'+3.x>-l.

所以，3=^^一2/2'

因为当xN-l,函数~寸:单调递减，函数y=2'单调递增，

(x+2)ln4

所以当xN—1时，g'(x)=7—\-----21n2单调递减，

(x+2)ln4

,.1in21―(ln2)~，/、1

又=-----------_L>o,g12=-----------41n2<0,

1721n2221n2\'8In2

所以存在而e(-1,2),使得g'(xo)=0，

所以当xe(-l,x())，g'(x)>。，g(x)单调递增：当xe(Xo，+8),g'(x)<0,g(x)单调递减,

因为g(-l)=log41-g+3>0,g(2)=log44-4+3=0,所以当xe［-l,2)时，g(x)>0,

故机的取值范围是［一1,2),故答案为：［一1,2)

37r

16.【答案】<aa=7T^a>^-

【解析】①当0<a《W•时，0<2aW%,y=cosx为在[0,2a]上为减函数，所以%)句=cosa,

Mya2<7J=cos2a,得cosa=l或cosa=-；，不合题意;

当万<a<)时，有冗<2a32兀，妁()㈤=8§。，M^a=-1,得。=4；

3万

当乃<a<多时，有2万<2a<3万，叫00=-1,M[a2a]>—1，不合题意;

3»

当%时，有3万<20〈4万，妁0句=—L修幺2句=一1，适合题意;

当a22乃时，[a,2al的区间长度不小于2〃，故加口句二

-1,M[a2a]=-lf适合题意•综上正数a的取值

*3〃

范围为4aa=7t或a>——

2

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

试题

高三

17.解：(1)因为4£).AC=0,所以(A8+gBC〉AC=0,即(gAB+gAC〉AC=O,

(21、21?1

所以-AB+-AC\-AC=-ABAC+-ACAC^-bccosA+-b2=0,

U3J3333

因为b=c,所以cosA=-,，

2

27r

因为0<A<»,所以A=—.

3

(21A21?1

(2)因为AO-AC=-AB+-AC\-AC=-AB-AC+-AC-AC=-bccosA+-b2=0

(3313333

：+9=0

由余弦定理得，一bccosA+一82=—Z?c————-

3332bc

EP2b2+c2-a2=0,

222之

22a-Ca3c

a2+c2-h2a+C厂

cosBD=---------=-------------万+1G

laclac2ac2

2Q2

当且仅当幺=上时，即Q=A时，取等号.

22

IT

因为0<B<»,所以B的最大值为土.

6

18.解：⑴由题意可知，｛4｝满足q=0,4=3，4=9,

则公差4=出一q=3,所以数歹iJ｛a“｝的通项公式为q=3（〃-1）=3〃-3；

｛4｝的前5项为0,3,6,9,12,所以数列｛2｝的前三项为3,6,12,

h

所以公比彳=也=2,hn=3-2'-'.

4

ab_(3n-3)x3-2n-1_2"

⑵c.nn

an^\an+23〃(3〃+3)〃+1n

2°)22212322}2〃2〃T、

++++

II132(43)〃+1n)〃+1

7\

2"

所以数列｛%｝的前"项和7；=UJ-1.

19.解：⑴

试题

因为/(6=[加-(3a+2)x+3a+4]e*,所以广(x)=[加一(a+2)x+2]e”,

因为曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为0,所以/'(2)=(4a-加一4+2"=0,

解得。=1；

(2)/1X)=[#—(a+2)x+2jeJt=(x—l)(ar—2)ex»

①若a=0,则Kl时，r(x)>o,〃X)单调递增：x>l时,r(x)<o,/(X)单调递减，故在x=l处/(X)

取得极大值，不符合题意；

②若.=2,贝ur(x)=2(x—Ipe'NO,/(x)单调递增，无极值，不符合题意；

2

③右〃>2,则一<1,

a

o9

当或工>1时，/(x)>0；当一VX<1时，/(x)<0,

aQ

故/(X)在E，l)单调递减；在(1,+8),,oo[)单调递增，

可得/(X)在X=1处取得极小值，符合题意；

2

④若032,则一>1,

a

72

当X<1或尤〉士时，/,(x)>0；当1<X<£时，_f(x)<0,

故/(x)在卜,力单调递减；在(-00,1)单调递增，

可得/(x)在x=l处取得极大值，不符合题意；

2

⑤若〃<0,则一<1,

a

79

当或X>1时,f(x)<0；当一VX<1时，/(力>0,

aa

故/(X)在(j,1)单调递增；在(1,+8),(一00,单调递减，

可得/(X)在X=1处取得极大值，不符合题意；

综上可得，〃的范围是(2,+8)

20.解：⑴设数列｛1｝的公比为q,由己知q>0.

试题

由题意得］玉:,所以3/_5q_2=0,

%q—x^q=2

因为q>0,所以q=2,制=1,

因此数列｛%,,｝的通项公式为4=2'"'.

(2)过Pi，P2,……，尸”+I分别向x轴作垂线,垂足分别为。，。2,……，4+1，

由(I)得当=2"T

记梯形6?+QMQ”的面积为即

由题意b„=（"+,）x2"-'=（2n+l）x2"2,

所以7；=4+仇+%++b„

=3x2-l+5x2°+7x21++（2n-1）x2"-3+（2n-1）x2"-2®

又27；=3x2°+5x2i+7x22++（2n-1）xT-2+（2n-1）x2Z"1@

①一②得—7；=3x2-i+Qi+2?++-（2〃+1）x2n-1

3

=—+-（2〃+1）X2"T

21-2

,（2n-l）x2n+l

所以——g-----

4力2_i_AH/）2402+302-100x37_1

21.解：（1）在△ABO中，由余弦定理，cosA=—~

2ADAB2x40x30~~2

故A=2万，

3

BDAD故sinNA8O=42sin2；r=婆，所以扇形的半径

又由正弦定理有

sin120°sinZABDBD3y/37

r=ABsinZABD=3Q-^=^^-,故活动区域的面积

V37V37

2

I7200乃

S'=2VTX37

31

(2)设NBZM=。，则NA8D="一巳万一。=—万一。.

44

试题

故AD=-^-,AB10

sin。sin《—e

故平行四边形ABC。面积

c11010.3万100V2100

2•—•----.----------.sin—=---------------------•---=-----------------

2sin。.(万力4.八夜/八.八、2sin-cossin20

sinl--6»Isin(cos6?-sin61)

200_200

，

■sin2^+cos2^-rV2s.n^+^_1

(jr\(7r\TT7TTTJT

因为。e0,-,当sin2。+—=1,即26+—=—,6=上时，即NBD4=一时，平行四边形区域48C£>

(I4)4288

面积最小.

22.解：(1)因为=+(a+i)x+a]nx(x>0),所以

r(x)=x+(a+l)+?=立空2=上乎的，

当a20时，/'(x"1一△——i>0,故“X)在(0,+8)上单调递增；

当a<0时，令/"(x)<0得0<x<-a；令/''(x)>0得尤>-a；

所以/(X)在(0,-a)上单调递减，在(-。,+0。)上单调递增，

综上：当aNO时，/(X)的单调递增区间(0,+00)；

当a<0时，/(x)的单调递减区间为(0,-a),单调递增区间为(-a,+8).

1y

(I)法一：由/(x)——x2-ax=0,得x+〃lnx=(),即〃=-----，

v72Inx

此时方程/(X)-f—奴=0的根的个数

X

等价于直线y=a与函数y=--图像交点个数，

Inx

令g(x)=--L,犬=1是函数g(x)渐近线,g7x)=-~mg

Inx(Inx)

当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增,且g(x)>0,

试题

当x>1时，g(x)<0,

l<xve时，gr(x)>0»g(x)单调递增，x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

故时，g(x)取得极大值，且g(e)=-e,x—>+1,^(x)—>-oo,x->-t-oo,g(x)—>-00,

故当a<-e时，直线y=a与函数y=g(x)图像有两个交点，

此时方程/(x)-g/一如=0有两个解，

综上，实数”的取值范围为(-8,-e).

法二：由/(x)-gx2-ox=0得x+alnx=0,即x+alnx=0有两个解石,马(王(马)，

令g(x)=x+alnx(x>0),则g'(x)=]+、=,且g(%)在(0,十8)上两个零点,

当“20时，g<x)=H@>0,故g(x)在(0,+8)上单调递增，则g(x