四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高三年级上册入学联考数学（文）含解析

2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（上）入学联考

数学试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

1.（5分）若复数z满足z=3+Ei，则团=（）

A.2B.V?C.3D.2V3

2.（5分）设集合U=R,若集合A={x|-ICxVl},B={x\x^Q}u（AUB）=（）

A.{小2-1}B.{x\x^-1}C.{小W1}D.{HxVO或

3.（5分）棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）

A.TCB.2nC.3nD.47r

4.（5分）己知a=0.9,b=y/2^c=2°L则（）

A.a<c<hB.a<h<cC.c<a<hD.c<h<a

5.（5分）养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼做好标记并放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼,

发现有3条鲤鱼被标记（）

A.1000条B.3000条C.3333条D.10000条

6.（5分）若函数/（x）=（x+a）（2、+2一”）是定义域上的奇函数，则实数a的值为（）

A.0B.-1C.1D.2

7.（5分）若直线y=2x的倾斜角为。，则sin29=（）

A.1B.3c.AD.1

255

8.（5分）过点P（0,«）作圆/-2x+）?=2的两条切线，切点分别为A,B,则NAPB=（）

A.2LB.—C.—D,”

6323

9.（5分）若函数/（x）在区间（1,e）上是增函数，则实数k的取值范围为（）

A.（0,+8）B.金，-KO）C.（-8,0]D.（-8,-e]

e

10.（5分）虎殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐虎殿顶与重檐虎殿顶.单檐虎殿

顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形A8C。是矩形，AB

//EF,EA=ED=FB=FC=3,则五面体FE-ABC。的表面积为（）

A.48B.3275C.16+16遥D.32+16遥

TT

11.（5分）若函数f（x）=2sin（x——）»上日加，川的值域为［-1，则z的最小值为（)

3

A.”B.nc.-22LD.

333

12.（5分）已知aABC的顶点在抛物线＞2=2%上,若抛物线的焦点/恰好是aABC的重心，则|E4|+|F周+|FQ

的值为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）若Z=（i,-72），^=（3,祀），则Z，（Z+E）=-------

14.（5分）已知双曲线式一y2=1的一条渐近线方程为yN^x，则，〃=______.

m3

15.（5分）勒洛三角形是分别以等边AABC的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的

曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，如转子发动机，方孔钻机等.如图，现随机地在勒洛

三角形内部取一点，则该点取自△ABC及其内部的概率为.

A

16.（5分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/女吟，则^ABC面积的最大值

为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知等比数列己〃｝的各项满足斯+1＞所,若.=3,且3。2,2a3,04成等差数列.

（1）求｛〃"｝的通项公式；

（2）求数列｛斯+〃｝的前〃项和.

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，%_L底面ABC。，AB1.AD,8c=3我ADR%.

（1）证明：3O_L平面A4C；

（2）求三棱锥C-P8。的体积.

19.(12分)近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨.某学生兴趣小组在8月9日随机抽取了该市100

人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”.

(1)估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数(每组中的数据用组中值代替)：

(2)根据已知条件完成下面的2X2列联表，并据此判断是否有95%的把握认为“运动达人”与性别有

临界值表:

(1)求/(x)过原点的切线方程;

(2)证明：当“W-2时，对任意的正实数x,都有不等式/(x)

21.(12分)已知椭圆C：三三=i(a>b>0)过点(1,—且上顶点与右顶点的距离的点.

a2b22

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点P(3,0)的直线/交椭圆C于A,8两点，若存在，求出点。的坐标，请说明理由.

(-)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(10分)在平面直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为〈G为参数)，以坐标原点。为

_t

极点，曲线C的极坐标方程为p2-p2cos20+3pcos9=3.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若/与C有公共点，求实数〃?的取值范围.

选做题。

23.已知函数/(x)=|x+l|+|x-m\.

(1)当机=2时，求不等式/(x)W5的解集；

(2)若/(x)>-m,求实数，"的取值范围.

2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（上）入学联考数学试卷

（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

1.（5分）若复数Z满足z=3+Fi，则|z|=（）

A.2B.V?C.3D.273

【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.

【解答】解：z=3+V3i-

则团=V22+（V3）4=2V3-

故选：D.

【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题.

2.（5分）设集合U=R,若集合A={H-B={xk》0}u（AUB）=（）

A.{x\x^-1}B.{x[xW-l}C.{4rWl}D.{小<0或xNl}

【分析】根据集合的基本运算即可求AU8,进而求解结论.

【解答】解：♦.,集合U=R,集合A={x|-

."UB={x|x>-3},

ACu（AUB）={MxW-1}.

故选：B.

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

3.（5分）棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）

A.TTB.2nC.3nD.4TT

【分析】由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得R，

再代入球的表面积公式可得球的表面积.

【解答】解：设正方体的棱长为“，正方体外接球的半径为即/?=誓&=零；

所以外接球的表面积为：S球=7TT/?2=3n.

故选：C.

【点评】本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的

数量关系，球的表面积的计算.

4.（5分）己知a=/〃0.9,。=2一°」，贝IJ（）

A.a<c<bB.a<h<cC.c<a<bD.c<b<a

【分析】根据己知条件，以0,I为中间数，进行比较，即可求解.

【解答】解：a=lnO.9<ln5=O,b=近,4<2°-4<2°=5,即OVcVl,

故a<c<b.

故选：A.

【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题.

5.(5分)养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼做好标记并放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼,

发现有3条鲤鱼被标记()

A.1000条B.3000条C.3333条D.10000条

【分析】根据已知条件，列出等式，即可求解.

【解答】解：设池塘里鲤鱼大约有〃条，

则由题意可知，100=3,解得x%3333.

n100

故选：C.

【点评】本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题.

6.(5分)若函数/(x)=(x+a)(2X+2-X)是定义域上的奇函数，则实数a的值为()

A.0B.-1C.1D.2

【分析】由已知结合奇函数的性质即可求解.

【解答】解：若函数f(x)=(x+a)(2V+2-X)是定义域上的奇函数，

则f(0)=6a=0,即a=0,

此时/(x)=x(4*+2一£)为奇函数，符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查了奇函数的性质的应用，属于基础题.

7.(5分)若直线y=2x的倾斜角为0,则sin28=()

A.AB.3C.—D.1

255

【分析】先求出tan0=2,再结合二倍角公式，即可求解.

【解答】解：直线y=2x的倾斜角为。，

则lan8=2,

故sin48=2s.8cos?=2tan?=生

sin26+cos601+tan95

故选：C.

【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题.

8.(5分)过点P(0,«)作圆/-2x+，=2的两条切线，切点分别为A,B,则NAP8=()

A.—B.—C.—D.

6323

【分析】根据已知条件，结合圆的几何性质，以及勾股定理，即可求解.

【解答】解：圆？-2x+y4=2,即(x-1)2+/=3,即圆心0(4,半径为百，

则|0P|=V(l-8)2+(0-V4)2=2)。川=&，

YA,B为切点，

•/71

,•NPAON-^，

==,

sinZAPOII"V~即NAPO=m，

IUrITto

/.ZAPB=2ZPAO=

故选：D.

【点评】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题.

9.(5分)若函数/(x)=心'-/内在区间(1,e)上是增函数，则实数k的取值范围为()

A.(0,+8)B.金，+co)C.(-8,01D.(-8,-e]

e

【分析】根据题意可得(x)=keX」》0在区间(1，e)上恒成立，再参变量分离转化为最值，即

x

可求解

【解答】解：.../(x)=h匚/以在区间(1,e)上是增函数，

•*,fz(x)=k日'在区间(L

・・/2二^在区间(6,

x

xe

设g(x)=——,xG(1,

xex

(X)=二(：+?〈O,

xe

・・・g(x)在(3,e)上单调递减，

:・g(x)<g(1),

e

・,・心工，

e

即实数k的取值范围为［昆，+8).

故选：B.

【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，化归转化思想,

属中档题.

10.（5分）虎殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐虎殿顶与重檐虎殿顶.单檐庞殿

顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形A8C。是矩形，AB

//EF,EA=ED=FB=FC=3,则五面体FE-ABCQ的表面积为()

垂X

A.48B.32V5C.16+16遥D.32+16病

【分析】五面体的表面积为S=S矩形ABCD+2S梯形AEFB+25MCF，由此计算即可.

【解答】解：五面体式E-A8CO中，四边形A8CO是矩形，且A8=CD=2E尸=2BC=4,

所以五面体FE-ABCD的表面积为S=S矩般A8CD+2sAEFB+2S^BCF=4X4+2X-|X(8+7)X^2^2

1X4X^37_22V2.

故选：D.

【点评】本题考查了几何体体积的计算问题，是基础题.

TT

11.（5分）若函数f（x）=2sin（x」），尤的，川的值域为［-1,则〃-〃，的最小值为（）

3

A4兀D_八2兀n5兀

333

【分析】在一个周期内求出2sin（xf）=-1，2时的x的值，即可求出"-加的值.

【解答】解：2sin（=-2,

即sin（x-^~）=

由已知条件可知，T=2n,

4-X--=＞依z,得X』，kwz,

376

TT

再令2sin（X---）=2,

7

B|JsinCx-—2^-—^-+6kn,得kWZ,

3326

故〃-，”的最小值为之.

3

故选：c.

【点评】本题考查正弦函数的图像与性质，属于中档题.

12.（5分）已知AABC的顶点在抛物线尸=2%上,若抛物线的焦点/恰好是AABC的重心，则|阿+|F8|+|FC|

的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据已知条件，结合重心的性质，以及抛物线的定义，即可求解.

【解答】解：设A（xi，ji）＞B（x2＞y2），C（X3，＞6），

抛物线）2=2X,

则F（A,0））

焦点尸恰好是△ABC的重心，

则X7+X2+X3=7X£]，

故由I+IFBI+I尸C|=（X]4）+鼠2得）+（x3号）=X]+X5+X3普=3-

故选：C.

【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）若；=（1,-V2）.b=（3,V2）（则。C+E）=」_・

【分析】结合平面向量数量积的坐标运算求解即可.

【解答】解:已知；=（],-^2）»b=（2,V2）,

则；+E=（4,7），

则（Z+E）=lX4+（-V^）X0=4.

故答案为：2.

【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题.

14.（5分）已知双曲线/-y2=i的一条渐近线方程为yNlx，则，L3.

m3

【分析】由双曲线的方程求得渐近线方程，结合已知得答案.

丫29L

【解答】解：由双曲线，一-y=5,得。=

m

...双曲线的一条渐近线方程为y=3xX^x=亘x，

Vmm4

可得m=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础题.

15.（5分）勒洛三角形是分别以等边aABC的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的

曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，如转子发动机，方孔钻机等.如图，现随机地在勒洛

三角形内部取一点，则该点取自△A8C及其内部的概率为_立：+3一

2兀2-6

【分析】设等边AABC的边长为“，求出勒洛三角形的面积和三角形ABC的面积，再利用几何概型的

概率公式求解.

【解答】解：设等边AABC的边长为小

2Ka

则SmABC=^-Xa=-

275

又因为SAABC=1a2，

4

所以勒洛三角形的面积M=3S^ABC-2s-8。=三式-退"a2，

24

V32_

所以所求概率为P=SAABC=——T-p—=立炉.

M兀a"V353K2-6

7~2a

故答案为：返毕..

2HJ-6

【点评】本题主要考查扇形的面积公式，考查了几何概型的概率公式，属于基础题.

16.（5分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/A-，贝面积的最大值为

3

V3_.

【分析】结合余弦定理与基本不等式，推出机W4,再由S=L%csinA,得解.

【解答】解：由余弦定理知,»=庐陷-2bccosA,

所以4—kr+c1-2bc*——tP'+c1-bc^lbc-be—be,

2

所以bcW4,当且仅当b=c=2时，

所以△ABC面积S=—bcsinA^——=\[s，

223

即△ABC面积的最大值为我.

故答案为：V3.

【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形面积公式与基本不等式是解题的关键，考查逻

辑推理能力和运算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知等比数列｛*｝的各项满足斯+1>“”若及=3,且3及，2a3,“4成等差数列.

（1）求｛“”｝的通项公式;

（2）求数列｛〃〃+〃｝的前〃项和.

aiq=3a]q=3

【分析】（1）设等比数列｛斯｝的公比为9,由题意得1,即4求解q,结合

4a3=3&2+@412q=9+3q2

题意，利用等比数列的通项公式，即可得出答案;

（2）由（1）得斯=3"一1,则斯+〃=3"F,利用分组求和法,即可得出答案.

【解答】解：（1）设等比数列｛斯｝的公比为q,

«2=3,且8a2,2a2，。4成等差数列,

=

a<q=7fa9Q3

，即|,解得q=l或夕=4,

2

4a3=6a2+a412q=9+2q

•Cln+\>a〃，

・・q=3,44=1，

J｛斯｝的通项公式为斯=3'12；

(2)由(1)得。〃=3"一1,则斯+"=3""+〃,

・,•数歹!J｛%+〃｝的前及项和(m+7)+(02+2)+...+(即+〃)

=(7+3+...+3〃-4)+(1+2+...+/?)

_2-3“n(n+1)_8n-l_,_n(n+8)

—，十—十

1-7222

故数列｛”“+〃｝的前〃项和为g2+笔旦2.

【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中

档题.

18.(12分)如图，在四棱锥P-4BCZ)中，底面ABC。，AB1.AD,BC=343AD=V3.

(1)证明：8E>_L平面B4C；

(2)求三棱锥C-P8。的体积.

【分析】(1)由南，底面ABCO,得以J_BO,再求解三角形证明可得BOL平面布C；

(2)求出直角梯形ABCD与三角形ABO的面积，再由四棱锥P-ABC。的体积减去三棱锥P-的

体积得答案.

【解答】(1)证明：：%底面ABC。，8Du平面A8C£),

在直角梯形ABC。中，由AO〃BC,BC=3JEAD=JM，

解得BD=2,AC=276-

'：AD//BC,:.AAEDs/XCEB,

贝陛

BCBECE3_

可得£>E=2BD=工，AC=-)

4DU$4刈2

在△AE£>中，有AEZ+OLMA》，得AE_LB。，

又附ClAE=A,.,.BO_L平面以C；

⑵解：：S梯形ABCD《乂aX(1+8)，SAABDVX«X8岑，

...三棱锥C-PBD的体积V=Vp-ABCD-VP.ABD^^-XV3X

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面

体的体积，是中档题.

19.(12分)近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨.某学生兴趣小组在8月9日随机抽取了该市100

人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”.

(1)估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数(每组中的数据用组中值代替);

(2)根据已知条件完成下面的2X2列联表，并据此判断是否有95%的把握认为“运动达人”与性别有

关.

非“运动“运动达合计

达人”人”

男性1545

女性

合计

附.n(ad-bc)2

n=a+b+c+d,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

【分析】(1)根据众数和平均数的定义求解;

(2)根据频率分布直方图求出“运动达人”的人数和非“运动达人”的人数，完成2X2列联表，计算

K的值，再与临界值比较即可.

【解答】解：(1)众数为竺幽=35,

2

平均数为5X5.1+15X0.18+25X3.22+35X0.25+45X0.5+55X0.05=29.2；

(2)由频率分布直方图可知，“运动达人”的人数为(3.2+0.05)X100=25,

完成5X2列联表如下：

非“运动“运动达合计

达人”人”

男性301545

女性451055

合计7525100

2

则(30x10-45x15)一七3.030<3.84I,

八75X25X45X55

所以没有95%的把握认为“运动达人”与性别有关.

【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了独立性检验的应用，属于基础题.

20.(12分)已知函数/(X)

(1)求/(x)过原点的切线方程：

(2)证明：当aW-2时，对任意的正实数x,都有不等式f(x)

【分析】(1)利用导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解；

(2)根据题意易得/(x)-ar+l>2x,再构造函数g(x)=x-sinx,x>0,证明g(x)>0,从而可

得2x>2sinx,最后利用不等式的传递性，即可得证.

【解答】解：(1)V/(x)=xex+l,

：.f(x)=e'+1(x+4),

设/(x)过原点的切线切/(x)于点P(t,

则P处的切线方程为y=产(什1)(x-f),又该切线过原点(0,

/.-te,+4^e,+l(r+1)(-r),

**•t=t(f+5),•**z=0,

・,./(x)过原点的切线方程y=ex；

(2)证明：・・•当aW-2时，对任意的正实数x,

又一(x)+6=x/+i+l>2,

.*./(x)-ax+\>2x,①，

设g(x)=尤-sinx,x>2,

则gr(x)=1-cosx^O,

：.g(x)在(5,+8)上单调递增,

：.g(x)>g(0)=0,

即x-siarX)在(5,+°°)上恒成立，

.".2x>2sinx,②,

由①②可得/(x)-or+6>2siiir,

故原命题得证.

【点评】本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，不等式的性质的应用，化归转化思想，属中

档题.

22

21.(12分)已知椭圆C：与三=l(a>b>0)过点(1,—且上顶点与右顶点的距离的«.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点尸(3,0)的直线/交椭圆C于A,B两点，若存在，求出点。的坐标，请说明理由.

【分析】(1)由题意，根据椭圆C的上顶点与右顶点的距离为JE，得到/+廿=3,再将点(1,券)

代入椭圆C中，进而可得椭圆C的方程；

(2)对直线/的斜率是否存在进行讨论，当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为x=/y+3,将直线/

的方程与椭圆方程联立，结合根的判别式求出r的取值范围，若存在点。使得此时

存在点Q使得鼠M+旬8=0,不妨设Q(⑶0),代入斜率公式中即可得证.

【解答】解：(1)因为椭圆C的上顶点与右顶点的距离为我，

所以CP+〃3=3,①

因为点(1,近)在椭圆C上，

所以-^-+-^-Z-=1>②

a32b5

联立①②，解得，p=7,y=1或■(不合题意,

22

8

所以椭圆C的方程为号Y-+y29=3；

(2)当直线/与x轴重合时，x轴上存在点。使得NPQA+/PQB=n,

当直线/与x轴不重合时，

不妨设直线/的方程为x=ty+3,

\=ty+3

联立|丫6，消去x并整理得(尸+2)/+6/7=6,

^-+y=4

此时△=(6f)2-28(2+2)20,

解得t或,

不妨设A(XI,”)，B(X2，＞2)，

-6t7

由韦达定理得

if3F

若存在点。使得/PQA+/PQB=n,

即存在点Q使得kQA+kQB=O,

不妨设Q(m,0),

因为-+-、/-0，

Xj-mxY-m

即yi(耶-相)+y2(xi-tn)=3,

E|Jy\(fy2+3-/n)+”Cty\+5-tn)=0,

整理得2y3y2+(3-M(”+y2)=0，

代入得m