2023-2024学年湖北省黄冈市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年湖北省黄冈市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知直线/：(“+l)x-3ay+“+4=0与V轴垂直，则。为()

A.-1B.0C.-4D.-1或0

【正确答案】A

【分析】由直线与V轴垂直得到方程和不等式，求出。的值.

【详解】因为/：(a+l)x-3砂+。+4=0与y轴垂直，

所以直线/的斜率为0,

所以a+1=0,且—3a二0,解得a=—1.

故选：A.

2.已知等比数列｛对｝的前"项和为，，$2=4,且邑=4%+q，则S$=()

A.40B.120C.121D.363

【正确答案】C

【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.

【详解】设公比为夕,由53=402+。1,可得4+%+%=4%+。1，

所以%=3%，所以4=2=3,

a2

由S2=4,可得％+/夕=4,即4%=4,所以4=1,

4(1-01-35

所以§5==121.

1-4

故选：C.

3.2013年华人数学家张益唐证明了李生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式,

挛生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素

数P使得P+2是素数，素数对(p,p+2)称为挛生素数.从10以内的素数中任取两个，其中能

构成挛生素数的概率为()

1112

A.6-B.3-2-D.3-

【正确答案】B

【分析】列举出10以内的素数，以及任取两个不同的素数构成的数对，确定挛生素数的个

数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】10以内的素数有2、3、5、7,

任取两个不同的素数有（2,3）、（2,5）、（2,7）、（3,5）、（3,7）、（5,7）,共6个，

71

其中挛生素数有（3,5）、（5,7）,共2个，故所求概率为尸

故选：B.

4.如图，已知空间四边形O/8C,M,N分别是边OZ,8c的中点，点G满足话=2丽,

设总=不，砺=B，oc^c＜贝|J5S=（）

O

1111

一

1--一--

C力-D4hC

6-66-6-6-

【正确答案】B

【分析】根据向量的线性运算一步步将向量加化为关于万，OB，0C，即可整理得出答

案.

【详解】而=而+砺=上为砺=一方+4砺+方+丽）,

2323、）

=-04+-1-04+0^-04+]-BC\,

23（22）

=那+翡E+丽乐+厚一利,

1—1—1—

=一。4+—。8+—。。，

633

1-1-1-

=—。+—匕+—c.

633

故选：B.

5.已知/（TO）,8（1,0）,若直线＞y=%（x-2）上存在点P,使得乙4P8=90。，则实数上的

取值范围为（）

「"PT

c13可

【正确答案】B

【分析】根据题意分析可得直线丁=%（》-2）与圆O：x2+/=i有公共点（公共点不能是A、

5）,结合直线与圆的位置关系分析运算.

【详解】若乙4尸8=90。，则点P在以4（7,0）,8（1,0）为直径的圆上（点P不能是A、B）,

•.•以/（-1,0）,8（1,0）为直径的圆的圆心为0（0,0）,半径r=l,则圆。的方程为一+/=1,

即直线y=Mx-2）与圆。：》2+/=1有公共点（公共点不能是A、B）,

当直线y=M*-2）与圆O：f+y2=i有公共点时，则4I解得h-y,y；

当直线y=Mx-2）与圆。：/+/=1的公共点为4或8时，则直线y=Mx-2）即为x轴,

即左=0；

综上所述：实数人的取值范围为一与0ujo,中.

_7\.

故选：B.

6.已知P是双曲线捺-£=1（“>0,6>0）右支上一点，记P到双曲线左焦点耳的距离为4,

p到双曲线一条渐近线的距离为W，若4+4的最小值等于双曲线的焦距长，则双曲线的渐

近线方程为（）

4,354

A.y=±—xB.y-±-xC.y=±-xD.y=±—x

3435

【正确答案】A

【分析】由双曲线定义得到4=1尸用+2a,故4+4=1尸闾+4+2。,数形结合得到当点P

为线段入”与双曲线的交点时，此时|PK|+W取得最小值，从而列出方程，求出4“=36,

得到渐近线方程.

【详解】由双曲线定义可知：归用-|产目=2"，

故4=1*+2。,故4+4=附|+&+2。,

当点P为线段与双曲线的交点时，此时|尸乙|+出取得最小值,

最小值即为EM，

两边平方得：b2+4ab+4a2=4c2,

又/+/=。2,

所以4a=36,

b4

渐近线方程为》=±-x=士；x.

a3

故选：A

jr

7.已知在大小为§的二面角a一/-4中，Aea,/Cl/于点C,BD人I于点、D,

且。=O8=2/C=2,则直线48与CO所成角的余弦为（）

A亚B.mc.叵D.；

11772

【正确答案】B

【分析】以C。、80为邻边作平行四边形C08E,连接/E,计算出/E、5E的长，证明

出8E_L4E,利用勾股定理可求得力8的长，即可求解

【详解】如下图所示，以CD、5。为邻边作平行四边形C05E,连接4E,

因为8DJ.CD,CE//BD,则CE_LCZ),

又因为4CLC。，/Cua,CEu。,故二面角a-/-£的平面角为44CE=；,

因为四边形CD8E为平行四边形，则CE=8O=2,BE=CD=2,

所以在/VICE中，AE2=AC2+CE2-2ACCEcosy,则/E=5

BE//CD,则8EJ_CE,BEA.AC,-：AC^CE=C,ZC,CEu平面/CE,

故8E_L平面/CE,

因为/Eu平面/CE,则BE_LRE,故=《AE?+BE。=".

vBEHCD,所以直线ZB与CD所成角相当于直线48与5E所成角，即/Z8E,

所以cos/Z8E=4==空，

V77

故选：B

r2v2

8.已知椭圆0:]+方=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳，F2,过马的直线交椭圆于/,

_________科

8两点，AF2=AF2B,且4耳/5=0,椭圆。的离心率为手，则实数4=()

A.|B.2C.-D.3

【正确答案】D

【分析】设|丽|叫所卜P>0),根据椭圆的定义求出|阳=2"f,阿|=2"/利用

AF,，/5即可求解.

【详解】因为羽=彳瓦瓦设R同叫冗耳=9>0),由椭圆的定义可得：|泪+|/周=2°,

则|"K|=2"f,因为斯.存=0,所以阳_L4^,

所以6「+|/周2=|打工『，即(2°—)2+/=4°2,又因为椭圆C的离心率为自，

所以〃=缶，则有(2a-r)2+*=4/=2/,

所以/=&,则4所卜叫贝川郎=:，

由忸周+忸周=2%所以忸用=2”・，因为西.正=0,所以“百上/巴，

A

所以M与「+网2=忸耳|2,即〃2+2+；)2

a(1=(2a--)2,解得：4=3,

A

故选.D

二、多选题

9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件4="第一次出现3点”，

8="第二次的点数小于5点”，C="两次点数之和为奇数“，力="两次点数之和为10”,则

下列说法正确的有()

A.4与8不互斥且相互独立B.4与。互斥且不相互独立

C.8与C不互斥且相互独立D.8与。互斥且不相互独立

【正确答案】ABC

【分析】根据给定条件，求出事件4,B,C,。的概率，再利用互斥事件、相互独立事件

的定义判断作答.

【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：(1,果(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个不同结果，

事件4所含的结果有:(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共6个，

事件8所含的结果有24个，事件C所含的结果有18个，事件。所含的结果有：

(4,6),(5,5),(6,4),共3个，

因此P⑷=袅如⑻=普=|•，尸(C)=詈=白尸(0=Z,

3oOJo3362Jo12

对于A,事件4与8都含有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共4个结果，即事件/与8可以同时发

生，

41

而打/㈤二0二彳二口⑷尸出)，/与8不互斥且相互独立，A正确；

369

对于B,事件4与。不能同时发生，P(AD)=0^P(A)P(D),/与。互斥且不相互独立，B

正确；

对于C,事件8与C都含有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3),

共12个结果，

121

即事件8与C可以同时发生，P(BC)=-=-=P(B)P(C),8与C不互斥且相互独立，C

363

正确;

121

对于D,事件8与。都含有(6,4),即8与。可以同时发生，P(BD)=-^-x—=P(B)P(D),

36312

因此8与。不互斥且不相互独立，D错误.

故选：ABC

10.已知等差数列｛q｝的前”项和为S,,且56<几<<，4,=---,数列也｝的前〃项

anan+\an+2

和为兀则下列说法正确的有()

A.%<0，%>0B.当且仅当"=9时，5“取得最小值

C.当S“<0时，〃的最大值为17D.当且仅当"=8时，7；取得最大值

【正确答案】ABD

【分析】由S6<，3<S5结合等差数列的角标性质判断ABC；由裂项相消求和法判断D.

【详解】对于A：设等差数列｛4｝的公差为d,因为S6<S”<Ss，所以S$-$5=4<。，

因为SI3-&=%+%+a9+aio+aU+《2+ai3=>0，所以《0>0.

因为S|3_Ss=43+42+41+40+%+〃8改7乜=4(«0也)<°，所以％<)+为<0.

由Ko〉。，al0+a9<0'nJ^a9<0,(/>0,因为g=。9-〃<0，所以仇=------>。，故A正

。8a9%o

确；

对于B：因为的<0,d>0,a,0>0,所以当且仅当”=9时•，S,,取得最小值，故B正确；

对于C：臬<0,即当号<0时，〃的最大值不是17,故C错误;

乐见+口“+22d(a“q向a,l+la„+2J

因为d>0,所以当一--最小时，最大.

当〃=8时，出<0,«,0>0,止匕时一--最小，即当"=8时，。取得最大值，故D正确；

an+\an+2

故选：ABD

11.如图，直四棱柱N8CD-43CQ的底面是边长为2的正方形，CC1=f,点。是棱CG的

中点，点P在底面/5CO内运动(包括边界)，则下列说法正确的有()

A.存在点P使得4P〃平面8CGA

B.当f=2时，存在点P使得直线4尸与平面/8CZ）所成的角为自JT

6

c.当，=2时，满足4尸，尸。的点P有且仅有两个

D.当/=毡时，满足4尸，P。的点P的轨迹长度为迈

39

【正确答案】AD

【分析】根据直棱柱的性质及面面平行的性质判断A,建立空间直角坐标系，利用空间向量

判断B、C、D.

【详解】解：如图建立空间直角坐标系。-肛z,则4（2,0/）,gl0,2,-I,£＞（0,0,0）,8（2,2,0）,

对于A：由直棱柱的性质可知平面4。。/〃平面当时4P〃平面BCG%

故A正确;

对于B：当f=2时，设尸(x,y,0),x,y&[0,2],则福=(x-2,%-2),

显然平面/8CZ）的法向量可以为〃=（0,0,1）,

\A,P-n\

设直线4P与平面/8C。所成的角为0,则sin。=标谓［=1==2

广+/+4

21

若直线4P与平面N8C。所成的角为聿，则s'°=了不号::=5,即

^(x-2)-+y2+4=4,

所以(X-2)“2=12,因为x,yw[0,2],所以(x-Z7.0,4],/e[0,4],

所以(x-2)2+Ve[o,8],故不存在x/e[0,2]使得(X-2)2+J?=12,

JT

即不存在点P使得直线4P与平面力88所成的角为£,故B错误;

6

对于C：由芾=(x-2,y,-2),PQ=(-x,2-y,1),

因为4P_LP。，所以羽♦而=T(X-2)+M2-9-2=0,

，工一1

所以（x-iy+（y-i）2=o,所以f二]，即「a1,。），所以满足4P，尸。的点尸有且仅有1个,

故C错误；

对于D：当时，42,0,2^,4P=PQ=f2-乃孚），

因为4尸J-PQ,所以4户.PQ=-x（x-2）+y（2-j）-28x^-=0，即（》-1）~+（3一1）2=：,

333

由

又x/e[0,2],则圆心E（l,l）,半径为2叵的圆与x轴、y轴分别交于点、

3I，，

过点E作E产工ZZ）交/。于点尸，则心=@,所以sin/ME尸=如=,，则/旌/=二,

3ME26

7T

又4DEF=一，

4

7T71

所以N.MED=NDEF—NMEF=—,所以NMEN=2NMED=-,

126

圆弧MN的长度/=巴、2叵=叵，所以点尸的轨迹长度为迫，故D正确；

6399

12.已知抛物线/=4x的焦点为尸，过尸的直线/与抛物线交于48两点，点7（2,0）,直

线17,87与抛物线的另一个交点分别为C,。，则下列说法正确的有（）

A.直线C。过定点（3,0）

B.与△C7。的面积之比为1:4

C.若直线CD斜率都存在，且分别为尢，k2,则

KI乙

D.7尸与△C77）的面积之和的最小值为4后

【正确答案】BCD

【分析】可通过特殊情况，直线/斜率不存在时求得直线不过定点（3,0）,排除A,也可

以通过设出/C,8。,工3的方程与抛物线方程联立，求得4凤C,。纵坐标关系，两点式写出

CO方程，化简整理可得方程过定点（4,0）,用4B,C,O纵坐标表示两个三角形面积之比，

直线CO斜率化简可判断B,C正确，△4TF与△C7D的面积之和用48,C,。纵坐标

表示，化简后利用基本不等式可求得最小值.

【详解】当/与x垂直时，1（1,2）,8（1,-2）,又•.•7（2,0）,

AT:y=-2x+4,BT：y=2x-4,

[y=-2x+4

/T与抛物线方程联立2,，得C（4,-4）,

[y=4x

fy=2x-4

87与抛物线方程联立1,，得。（4,4）,

[y=4x

:.CD,x=4,不过定点（3,0）,所以A错误.

如图:

设4（国,乂）,3（程巧网工3，%）。（工4，%），CD交X轴于E,

|x=/y+2、

设4C：x=ty+2,zJ2_4X，得歹—4卬_8=0,

则JM=一8,乂=—,

%

[x=my+2,,

设8。：x=w+2,「.jy2―彳工，得y—4次y-8=0,

c-8

则歹2居=-8,歹2=一

x=肛+16

设：

IBx=ny+1,.,.y2=4x'得y-4^-4=0,

则乂力=-4,必=」，

%

-8-864

•*-y]y2=(—)(—)=—=—4,%居=-16,

必居为筋

x-x4=(%-%)(x-X4)=4(X-X4)

直线—一；(义_用)一%+居

4（4-4）।y=4卜-乙）+居优+儿）_4kf%一力+筋2

%+乂4%+几为+乂

4(X-X4)-16+4X4_4x-16_4(x-4)

%+乂8+居%+乂

所以直线CD过定点（4,0）

88

m上2•口(Z-!)，!-8(%一%).]

S_--为------M-------=%乂=-----4--=---4-«zz—1

飞DTCg(y4-%>TE仇-九>2-----d-%>294-164

所以B正确.

g八一

xx

h=匕_*3=y4-y32-i=%-%4、--

k\%X4-X3y2fy2-yt

x,一再4

—8—8

---1---

%+X乂%=8=，,

乂+%”+%%.%2

所以C正确.

+S

SATFCTD=gxlx必+^-x2x(y4-%)

,1-8-16-20

=；+居一%=]X—+----8=-----%,

22%乃乃

-20)(-%)=4石,

乃<0,..SATF+SDD=%22

必

所以D正确.

故选：BCD

三、填空题

13.｛。,&c｝是空间向量的一组基底，OA^2a+mb+c>OB=a+2b>OC=a+b+c>已知

点。在平面/8C内，则机=.

【正确答案】3

【分析】根据空间向量共面定理可得存在4与〃使得无=工而+〃砺,从而可求解.

【详解】因为点O在平面N8C内，所以HLOB,反共面，

所以存在2与〃使得反=2万+〃砺，

即a+b+c=A^2a+mb+cj+〃(a+20=(2A+JLI)Am+2/^b+A),

22+〃=12=1

所以，力%+2〃=1,解得，〃=T.

2=1加=3

故加=3.

故答案为:3.

14.已知圆。被直线/所截得的两段圆弧的弧长之比为1:2,且圆。上恰有三个不同的点到

直线/的距离为1,则直线/被圆。所截得的弦长为

【正确答案】2石

【分析】设圆c的半径为「，作出图形，计算出圆心c到直线/的距离为为;，根据题意可

得出关于，•的等式，解出，•的值，利用勾股定理可求得直线/被圆C所截得的弦长.

【详解】设圆。的半径为「，因为圆C被直线/所截得的两段圆弧的弧长之比为1:2,

则劣弧所对的圆心角为120',所以，圆心C到直线/的距离为d=rcos也=2,

22

将直线/平移，使得平移后的直线与直线/之间的距离为1,如下图所示:

假设平移后的直线为4、i2,则这两条直线一条与圆c相切，一条与圆c相交，

不妨设直线4与圆c相切，则直线/与4之间的距离为一1=1,可得厂=2,

所以，直线/截圆C所得弦长为2卜©=28

故答案为.26

15.已知£,匕分别为椭圆［+4=1（。>6>0）的左、右焦点，焦距为8,过耳的直线与

ab~

1Q

该椭圆交于阳，N两点,若|MN|的最小值为］,则居"N周长为.

【正确答案】20

1Q

【分析】根据焦距为8,|MN|的最小值为了可得：。=4,a=5,结合椭圆的定义进而求解.

'2c=8

L2io

【详解】由题意可知：一=?,解得：c=4,。=5,

a5

a2^b2+c2

由椭圆的定义可得：巴仰周长为4“=20,

故答案为.20

16.已知｛%｝的前〃项和为S“，勺,+(T)竽氏=",S'。：600,则可+出=.

【正确答案】-12

【分析】根据题意令〃=4R+3,%eN和"=4%+4,%eN,代入整理可得

。软+6+%*+5+4x+%川=81+7.利用并项求和结合等差数列求和运算求解.

【详解】当〃=4%+3,%eN时，则当辿=(4无+3乂2左+2)为偶数，

1————^=(24+2)(4左+5)为偶数，

—pze〃5+1)(〃+1)(〃+2)

2

可倚4+2+(-1)。〃=%h5+4〃+3=4%+3,an+3+(-1)2an+]=a4M+a4M=4k+4^

两式相加可得：。4人6+。必+5+。必+4+。4扑3=84+7,

故

S50=a\+°2+…+。50=(q+。2)+(〃3+4+〃5+6)+(%+〃8+〃9+〃10)+…+(%7+。48+。49+为0)

/\/\12(7+95)/、

=(67,+a2)+74-15+...+95=(a,+%)+~----=+a2)+612=600,

a

解得\+〃2=-12.

故答案为・-12

方法点睛：本题中出现(—1)竽，故应讨论当由的奇偶性，根据题意把相邻的四项合并

为一项，组成一个新的数列，再进行求和运算，同时注意对％+%的处理.

四、解答题

17.某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分

成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为二4，彳2，;3，在

534

1?3

面试部分合格的概率分别为pP所有考试是否合格相互之间没有影响.

(1)假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录取的可能性最大？

(2)当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其它因素，求三人中至少有一人被

录取的概率.

【正确答案】(1)丙

【分析】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件/,B,C,且4,B,C相互独立，甲、

乙、丙三人被录取即三人即通过笔试部分又通过面试部分，由独立事件概率的乘法公式计算

得出P（/）,P⑻,P（C）,比较概率的大小即可得出答案；

（2）记三人中至少有一人被录取为事件。，则。与7n豆ne互为对立事件，从而根据对立

事件的计算公式与独立事件概率的乘法公式计算得出答案.

【详解】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件B,C,则4B,C相互独立，

•.•P(J)<P(5)<P(C),

，丙被录取的可能性最大.

（2）记三人中至少有一人被录取为事件。,

则。与7n5n6互为对立事件,

49

P(D)=i-p(^nBnc)==i-

60,

18.已知直线4：（2"2）x-y-2a=0,l2Ax-ay+a-\=Q,且乙〃以

⑴求4与4之间的距离；

（2）一束光线从62,3）出发经人反射后平行于x轴射出，求入射光线所在的直线方程.

【正确答案】（1）祗

(2)4x+3y-17=0

【分析】（1）由平行条件得出。的值，再由距离公式求解；

（2）由尸（2,3）关于4的对称点P1x。,外）得出反射光线的方程，并与直线4联立得出入射点,

进而由两点式写出方程.

【详解】（1）由］〃，2可得:（2«-2）（-«）-（-1）-4=0,解得：。=2或-1

—

当Q=-1时，—y+2=0,/2:4x+y—2=0,此时乙与4重合，舍去

当a=2时，4：2x-y-4=0,/2:4x-2j^+1=0,此时/[〃如符合题意

_卜8-1|975

故4与4之间的距离为"

心+(-2『1F-

（2）设＞（2,3）关于4的对称点为尸'（如”）,则

29

2x-y-4=0x=一

10

联立9，解得：,，，入射点为

9

7=?

故入射光线所在的直线方程为匕1=^—

即4x+3y-17=0.

x-2丝_2

10

19.已知数列｛““｝的前〃项和为S“，且q=l,a2=|,数列｛4〃S,,+（2"+3”“｝是等差数列.

（1）求证数列为等比数列：

（2）求E,.

【正确答案】（1）证明见解析

八、96〃+9n丫

【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式整理可得5,=-与±%+g,由。,与s”的

4n4

关系整理得%=2•七■（"NZ）,根据等比数列的定义分析理解；

n3n-\

（2）根据等比数列通项公式可得见=言，法一：根据题意直接代入运算；法二：利用错

位相减法求和：法三：整理可得%=岁+0[]〃+1川（『，利用裂项相消法

求和.

【详解】（1）对于等差数列｛4〃邑+（2〃+3）对｝可得：

当〃=1时，贝ij4百+5q=9；当〃=2时，贝ij8s2+7。2=8。]+15%=18；

{4〃S.+（2〃+3”,}是以9为首项，9为公差的等差数列,

贝ij4〃S〃+(2〃+3”〃=9+9(〃-1)=9〃，即S〃=一^^4+】①,

4〃4

2〃+19G

当〃22时，加-----十:②，

4〃一44

2〃+32〃+1

①-②得：a“=—F%+n%

整理得：合;•若（〃沟，且卜山

是以;=1为首项，（为公比的等比数歹I.

（2）方法一：由（1）可知，?=卜（；），则4=击

.02〃+392"+3〃992"+311Y-'

方法二：由（1）可知，%=1（1],则4=总

n⑶3

氐=11£|+2.1)+3也+…/一呜)+〃gj②,

①一②得:

3

方法三：由（1）可知，^=i-f-T1,则。“=磊，

n⑶3

设%=（'+呢）一凶〃+1）+喘）=臣〃+|•吟嗯）=叫

」

-A=34

a2

比较系数得:，解得:

-B--A=O

.334

调2俣+

96n+9pY

4--4~[3}

20.在如图所示的多面体/8CDEF中，四边形4BC。为菱形，在梯形N8EF中，AF//BE,

AFVAB,AB=BE=2AF=2,平面N5EFJ_平面Z8CD.

（1）证明：8。_1_平面/3；

（2）若直线DA与平面ACF所成的角为60°,求平面ACF与平面CEF所成角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）当

4

【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而得到结合得到线面垂

直；

（2）在第一问的基础上，得到直线D4与平面ZCF所成的角为ND40,故ND4O=60。，

建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.

【详解】（1）证明：•.•平面NBEF_L平面/8CZ）,AF1AB,4Fu平面43EF,平面/BEFc

平面ABCD=AB,

/尸平面ABCD,又8。u平面ABCD,

二AFA.BD,

•.•四边形N8CD为菱形,

BDLAC,

又n尸n/c=/,//,/。＜=平面力。9，

二8。_1平面/。下；

（2）设4Cn8O=O,由（1）可知，OOL平面/C尸，则直线在面/C尸内的射影为。4,

故直线DA与平面ACF所成的角为ND/O,

二ZDAO=6Q0,

/C。和△4CB均为边长为2的等边三角形，

以。为原点，OC,OB为x,N轴建立空间直角坐标系，如下图：

由平面ZCF,可得平面/CF的法向量为1=（0,1,0）,而“1,0,0）,F（-l,0,l）,

£（0,73,2）,

ACF=（-2,0,1）,酝=（-1,百,2）,

uin^-CF=-2x+z=0

设平面CE尸的法向量〃2=（3,z）,贝叫二一厂，

一'n2-CE=-x+y/3y+^=0

取x=l,可得z=2,y=-VJ,故“2=（1'-6’2）,

平面ACF与平面CEF夹角的余弦值为卜os/，.一闽,=£.

1

、/I|«l|-|n2|1J1+3+44

21.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一

个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个

正方形的面积为q=l,往里第二个正方形4JGA的面积为《，…，往里第〃个

正方形48,C2的面积为明.

⑴求｛“,｝的通项公式；

（2）已知他,｝满足4+殳+…+%=2/-M〃eN*）,问他,｝是否存在最大项?若存在，求出最

a\a2an

大项；若不存在，请说明理由.

【正确答案】⑴（weN,）

25

（2）存在，b2=b3=—

由图形可得（向;丫=（；向，+（|阮）即％」=京”，则｛叫为等比数列,

【分析】（1）

结合等比数列的通项公式求解即可；

（2）当〃22时，豆+—+…+上=2（"-1）2结合题设条件可得%=4〃-3,从

%a2a„-i%

而得出"，然后利用数列的单调性求出结果.

【详解】（1）由图形可得：（苑二）2=（；®:+^向］,即。向=£。“

•••｛%｝是以1为首项，焉为公比的等比数列

5

9

Ab%=2"2_〃①

(2)—+—2+•••+

a】a2

b

当〃=1时，­L=1,/.4=1

4

当“22时，—+-^-+---+—=2(〃-1)2-(«T)②

一qa2%

b