2022-2023学年山东省德州市陵城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省德州市陵城区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.1B.\/~4C.\T-f>D.y/8

2.若代数式再有意义，则x的取值范围是（）

x—2

A.%>1且x*2B.x>1C.无力2D.x>1且xK2

3.海伦一秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的

三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a、氏c,记

p=-+^+—>那么三角形的面积为：S=Jp（p—a）（p—b）（p—c）.在△ABC中，Z.A,乙B,Z.C

所对的边分别是a、b、c,若a=5、b=8、c=7,则A4BC的面积5为（）

A.10/~3B.30C.6y/~6D.45

4.下列命题，其中是真命题的为（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的菱形是正方形

D.对角线相等的四边形是矩形

5.2、5、m是某三角形三边的长，则|血_3|+J（町_7）2等于（）

A.2m-10B.10-2mC.10D.4

6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（一4,1）,以点。为圆心，|y

以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点4则点4的横坐标介于（）P

A.—4■和一3之|司-------»

AOx

B.一5和一4之间

C.3和4之间

D.4和5之间

7.如图，在菱形2BCD中，对角线AC与BD相交于点0,且4c=12,BD=16,则菱形的高AE

为（）

B

A.9.6B.4.8C.10D.5

8.如图，在Rta/BC中，Z.ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的A

中点，则DC和EF的大小关系是（）

A.DC>EF立

B.DC<EF

CpD

C.DC=EF

D.无法比较

9.已知：如图，在平行四边形4BCD中，AB=4,AD：=7,乙4BC的平分线交4D于点E,交

CD的延长线于点尸，则。尸的长为（）

A.6

B.5

C.4

D.3

10.在周长为16的正方形ABCC中，点E是4B边的中点,点P为对角线DC

,0

AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（

A.2

B.y/~3

C.口AEB

D.2底

11.如图，矩形4BCD中，E是4D的中点，将^ABE沿直线BE折叠A_______且？

=3,BC=2门，贝厅。；/V\

后得到△GBE,延长BG交CD于点尸，若AB

的长为（）

BC

A.1B.2C.|D・早

12.如图，点。为正方形4BCD的中心，AD=1,BE平分上DBC交DC于

点E,延长BC到点F,使=BF,连结。尸交BE的延长线于点“，连结0H

交。C于点G,连结HC.则以下四个结论中：

①0H〃BF；

②GH二年；

③连接0C,贝USABOC=3S&CHF；

④乙CHF=2乙EBC;

正确的结论为（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.若y=V%—4+V4—x+2>则y*=

14.如图，四边形4BCD是平行四边形，若SMABCD=12,则S阳影=

15.如图所示的2x4的正方形网格中，AABC的顶点都在小正方形

的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点4到BC的距离等于

16.如图，延长矩形48co的边BC至点E,使CE=B0,连结4E,如果NA0B=30。，则

乙E=度.

BE

17.如图，在平面直角坐标系中.已知点4(3,0),B(-l,0),C(0,2),环

3-

则以4B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标2储

1_

为,B----•---->

年1234x

18.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点当在y轴上，顶点G，E2,C2,E3,E4,

C3…在x轴上，已知正方形48停1。1的边长为1,。，则正方

4BIGO=60BXCJ/B2C2//B3C3,

形4202382023C2023D2023的边长是.

三、解答题(本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题12.0分)

(1)2<12-6«+3<78;

(2)(4+<7)(4-<7)-(C+2产；

(3)(2023-兀)。+(-犷】+若一事.

20.(本小题8.0分)

先化简，再求值：(1+为+笔乜其中—

21.(本小题10.0分)

如图，在平行四边形4BCD中，AE1BD,CF1BD,E,F分别是垂足，求证：四边形AECF是

平行四边形.

D

E

B1

22.(本小题10.0分)

如图，在平行四边形DC4E中，连接AD,点。为DE的中点，延长4。与CD的延长线交于点8.连

接EB,若=4C.求证：四边形4EB0是矩形.

23.(本小题12.0分)

(1)如图1,在四边形4BC0中，4c=90。，AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求四边形

ABC。的面积.

(2)如图2.在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此

人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳

子是直的，结果保留根号)

如图，在办BCD中，对角线AC与80相交于点。，点E,F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF,

连接AE,CF.

⑴求证：AADE^ACBF；

(2)连接4F,CE.当BD平分乙4BC时，四边形4FCE是什么特殊四边形？请说明理由.

25.（本小题14.0分）

如图1,四边形4BCD是正方形，点E是边BC的中点，^AEF=90°,且EF交正方形外角平分

线CF于点F.

图I图2图3

［观察猜想］（1）填空：4E与EF的数量关系.（提示：取4B的中点M,连接EM）

［类比探究］（2）如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其

余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由.

［拓展应用R3）如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，

其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】【分析】

本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽

方的因数或因式.

判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时

满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【解答】

解：力、被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项错误；

B、<4=2,被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故B选项错误；

C、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故C选项正确；

。、，司=2，讶，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故。选项错误.

故选：C.

2.【答案】D

【解析】解：由分式及二次根式有意义的条件可得：x-1>0,X-2K0,

解得：X>1>x2,

故选：D.

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,就可以求解.

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.

3.【答案】C

【解析】解：•.>=殁上，

a+b+c5+6+7八

"=^-=^=9,

S=y/9x(9-5)X(9-6)X(9-7)=6V-6.

故选：C.

根据公式算出p的值，代入公式即可求出解

本题主要考查代入求值能力，考查了二次根式化简的知识.

4.【答案】C

【解析】解：4、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项

命题是假命题，不符合题意；

8、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意：

C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题，符合题意；

。、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；

故选：C.

根据平行四边形的概念、菱形、正方形、矩形的判定定理判断即可.

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的性质定理.

5.【答案】D

【解析】解：「Z、5、m是某三角形三边的长，

1,15—2<m<5+2,

故3<m<7,

*原式=m—3+7-m

=4.

故选：D.

直接利用三角形三边关系得出血的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案.

此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键.

6.【答案】B

【解析】解：•••点P的坐标为（一4,1）,

OP=V12+（-4）2=<17,

0A=yTT7,A点坐标为（一门7,0）,

v16<17<25,

4<\TT7<5.

—5<717<—4.

故选：B.

先根据勾股定理求出0P的长，进而可得出结论.

本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，先根据题意得出4点坐标是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】【分析】

根据菱形的性质得到B。=^BD=8,OC=^AC=6,ACLBD,根据勾股定理得到BC=

7BO2+OC2=，82+62=10.根据菱形的面积公式即可得到结论.

本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键

【解答】

解：在菱形4BCD中，AC=12,BD=16,

11

/.BO=^BD=8,OC=^AC=6,AC1BD,

••・BC=VBO2^-OC2=V82+62=10,

AE1BC,

"S'菱形ABCD==BC,"E,

故选:A.

8.【答案】C

【解析】解：TE、F分别为AC、BC的中点,

EF=

在RtAABC中，。是AB的中点，

CD=\AB,

ACD=EF,

故选：C.

根据三角形中位线定理证明EF=根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明C。=

\AB,得到答案.

本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于

第三边的一半和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角

形，进而利用等腰三角形的判定解题.

平行四边形的对边相等且平行，利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解.

【解答】

解：•・・平行四边形/BCD,

:'AB"CD,CD=AB=4,BC=AD=7,

:.Z-ABE=Z.CFE,

v乙4BC的平分线交4。于点E

・・・Z,ABE=乙CBF,

:.Z.CBF=乙CFB,

.・.CF=CB=7,

:,DF=CF-CD=7—4=3,

故选：D.

10.【答案】D

【解析】解：如图所示，连接PC,

•••四边形2BCD是正方形，

•1■/.DAP=乙BAP,AD=AB,

XvAP=AP,

■■■^ADP=^ABP(SAS),

•••PD=PB,

：.BP+EP=DP+EP,

当。，P,E在同一直线上时，BP+EP的最小值等于线段DE的长，

•••正方形力BCD的周长为16,点E是AB边的中点，

:.AD=4,AE——2,

•••Rt△ADE中，DE=VAD2+AE2=V42+22=2门，

PE+PB的最小值为2门，

故选：D.

连接PD，根据AADP三AABP,即可得出PD=PB,进而得到当。，P,E在同一直线上时，BP+EP

的最小值等于线段DE的长，再根据勾股定理求得DE的长，即可得出PE+PB的最小值为2，石.

本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段

的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

I1.【答案】C

【解析】解：「E是ZD的中点,

:.AE=DE,

•・・△4BE沿BE折叠后得到△GBE,

・•・AE—EG,AB=BG,

.・.ED=EG,

•・,在矩形4BCD中，

:.Z.A=Z-D=90°,

・・・Z,EGF=90°,

在Rt△ED尸和Rt△EGF中，

(ED=EG

IFF=EF'

・•・RtAEDFwRtAEGF(HL),

DF=FG,

设。F=%,贝！JB/7=3+x,CF=3—x,

在RtABC尸中,BC2+CF2=BF2,即(2，3产+(3—%产=(3+%)2,

解得：x=l，

BPDF=|:

故选：C.

根据点E是40的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG,然后利用证明△ED尸和△

EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=X,表示出FC、BF,然后在Rt△

BC尸中，利用勾股定理列式进行计算即可得解.

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟记矩

形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键.

12.【答案】C

【解析】解：①•.•点。为正方形ABC。的中心，

.••点。为8。的中点，

vBD=BF,BH平分4DBC,

•••HD=HF,

.•.点H为DF的中点，

•••。”为ACB尸的中位线，

故结论①正确：

②•.•四边形ZBC。为正方形，AD=1,

:.AB=AD=CD=1,乙4=90°,

由勾股定理得：BD=VAD2+AB2=A/-2,

•••BF=BD=\T-2I

CF=BF-BC=y/~2-1，

•••OH〃BF,点,H为DF的中点、,

GH为△DCF的中位线，

GH=^CF=

故结论②正确；

③•.•四边形4BCC为正方形，BD=V-2-

OB=OC=^BD=好，乙BOC=90°,

S^BOC~qOB-OC=

•••GH为4DCF的中位线，

11

:.GC=-CD=

••SACHF=2•GC=0，

SABOC丰3S&CHF，

故结论③不正确；

④•.•四边形ABCD为正方形，

乙DBC=45°,

又BD=BF,

・•・ZF=1(180°-乙DBC)=67.5°,

在RtZkDCF中，H为斜边DF的中点,

:.HC=HF,

・•・乙HCF=Z.HFC=67.5°,

・・・Z.CHF=180°-(乙HCF+乙HFC)=45°,

vZ.DBC=45°,BE平分4DBC,

Z.EBC=22.5°,

乙CHF=2/.EBC,

故结论④正确.

综上所述：正确的结论是①②④.

故选：C.

①根据正方形的性质得点。为8。的中点，根据等腰三角形的性质得点H为CF的中点，然后根据三

角形的中位线定理可对结论①进行判断：

②先求出8F=BD=，2，再证GH为△OCF的中位线，进而可对结论②进行判断；

③先求出0C的长，继而求出ABOC的面积，然后求出GC的长，继而求出尸的面积，据此可

对结论③进行判断；

④先求出4>BC=45°,则"=67.5°,再证HC=HF得/HCF=乙HFC=67.5°,从而可得乙CHF=

45°,然后根据4DBC=45。，BE平分ZOBC得NEBC=22.5。，据此可对结论④进行判断.

此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积，三角

形的内角和定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，理解三角形的中位线定理.

13.【答案】16

【解析】解：根据题意得x-420且4-x20,

解得x-4,

所以y=2,

所以y工=24=16.

故答案为：16.

先根据二次根式有意义的条件得到x-420且4—x20,则x=4,再计算出y=2,然后根据乘

方的意义计算.

本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数.

14.【答案】3

月_D

【解析】解：4c于B。的交点记作点0,

•••四边形4BCC是平行四边形，

AO=CO,BO=OD,AB“CD,

BC

・••Z.AEO=乙CFO,

vZ-AOE=Z.COF,

•••△AEO^^CFO(AAS),

S阴影=SAE0B+S&CFO=^^ABO=4S团48C。’

S团48co=12，

」S阴影=：x12=3，

故答案为：3.

通过证明4AE0=^CF0Q4AS），知［道S阴影=S&EOB+S^CFO=^H,ABO=4s国人孔。，求解即可.

本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的对角线互相平分.

15.［答案］

【解析】解：设点4到边BC的距离等于儿

△ABC的面积=2x3-1x3xl-|x2x2-|xlxl=2,

BC=V32+I2=V10，

的面积，

•••九=普"1中•

故答案为：|<To.

先用割补法求出三角形的面积、BC边的长，再利用三角形面积公式列方程求解.

本题以网格背景考查勾股定理、三角形面积计算公式，网格中图形面积的计算.熟练利用面积法

是解题的关键.

16.【答案】15

【解析】解：连接AC,

••・四边形4BCC是矩形,

AD//BE,AC=BD,S.^ADB=/.CAD=30°,

•••Z-E=Z.DAE,

又：BD=CE,

CE-CA,

・•・ZE*=Z-CAE,

vZ-CAD=Z.CAE+乙DAE，

/.zE+z£,=30°,即4E=15。,

故答案为：15.

连接AC,由矩形性质可得NE=NZME、BD=AC=CE,知NE=^.CAE,而NADB=Z.CAD=30。,

可得ZE度数.

本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键.

17.【答案】(4,2)或(—4,2)或(2,—2)

【解析】解：①如图1,以AB为边

时,4(3,0)、B(—1,0)两点之间的D'

距离为：3-(—1)=4,

••・第四个顶点的纵坐标为2,横坐标

为0+4=4,或0—4=-4,即图1

£)(4,2)或6(-4,2)；

②如图2,以力B为对角线时，•・,从C(0,2)到8(-1,0),是横坐标减以纵坐标减2,

・•・第四个顶点。的横坐标为：3-1=2,纵坐标为0-2=-2,即。(2,-2)

综上所述，第四个顶点。的坐标为(4,2)或(-4,2)或(2,-2).

故答案为：(4,2)或(-4,2)或(2,-2).

当平行四边形的一组对边平行于4轴时，可得可能的2个点；当平行于x轴的一边为平行四边形的

对角线时，利用平移的性质可得另一点.

本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形性质.平行于％轴的直线上的点的横坐标相等；一条直

线上到一个定点为定长的点有2个；平行四边形的对边平行且相等，可利用平移的性质得到平行于

x轴的一边为平行四边形的对角线时第三个点.

18.【答案】(?)2。22

【解析】解：NB1G。=60。,4B1QD1=9O。,

••・Z-D1C1E1=30°,

11

D1E1=-C1D1=-9

•**B2E2=2,

B]Ci/[B2c2,

:.乙B[C\O=NB2c2c2=60°,

••.B2c2=篝乂2咛，

••.正方形4282c2。2的边长为?，

同理可求正方形4383c3。3的边长为(1)2=g，

.••正方形SnBnCnDn的边长为(?)nT,

，正方形4202332023。2023。2023的边长是Ci。)？。？？,

故答案为：(?)2。22.

利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出

变化规律即可得出答案.

本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化

规律是解题关键.

19.【答案】解：(1)原式=4/?一2，耳+12/耳

=140：

(2)原式=16-7-(7+4AT3)

=9-7-4y/~3

=2-4「；

(3)原式=1-2+<3-(2+V-3)

=1-2+<3-2-<3

=—3.

【解析】(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式；

(2)利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式即可；

(3)先化简各项，再进行合并同类二次根式.

本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的

关键.

20.【答案】解：(i+2)+立竿

'x—rx-1

_x_1+3x—1

一x-1(X+2)2

x+2

一(x+2)?

1

—x+2f

当x=「—2时，原式=春川=?.

【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将X的值代入化简后的式子即可解答

本题.

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则.

21.【答案】证明：•.•四边形力BCD是平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD,

:.乙ABE=4CDF,

-AE1BD,CF1BD,

・・・AE//CF,Z.AEB=Z.CFD=90°,

在和△CFD中，

Z.ABE=Z-CDF

•・,Z.AEB=Z.CFD,

AB=CD

nAEB"CFD^AAS)f

AE-CF,

，四边形4ECF是平行四边形.

【解析】由四边形4BCD是平行四边形，可得4B=CD,AB//CD,又由AELBD,CF上BD,即

可得4E〃CF,Z.AEB=Z.CFD=90°,然后利用44s证得△/E8三△CTO,即可得4E=C凡由有

一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形4ECF是平行四边形.

此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意证得4

AEBWACFD,得至IJ4E//CF且AE=。尸是解此题的关键.

22.【答案】证明：・・・四边形DCAE是平行四边形，

・・・AE//CD.AE=CD,

・•・Z-OAE=乙OBD,Z.OEA=Z-ODB,

•・・点。为DE的中点，

v0E=0D,

•••△4E。*8D0(44S),

・•・AE—BD,

-AE//BD,

・•・四边形AEBD是平行四边形,

•:AE=CD,AE=BD,

・•・BD=CD,

,:AB=AC,

AAD1BC,

・•・Z.ADB=90°,

•••平行四边形力EBD是矩形.

【解析】根据平行四边形的性质证明A4E。三ABOOGIAS）,得4E=B。，则四边形AEB。是平行

四边形，再由等腰三角形的性质得出4ADB=90。，根据“有一个角是90。的平行四边形是矩形”

即可得出结论.

此题重点考查矩形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键.

23.【答案】证明：（1）4C=90。，BC=4,CD=3,

BD=VBC2+CD2—742+32—5,

vAB=13,AD=12,BD=5,

•••AB2=AD2+BD2,

•••△408是直角三角形，Z.ADB=90°,

AD1BD；

111"I

.••四边形力BCD的面积=ShABD+S^BCD=^AD-BD+^CD-C5=1xl2x5+1x3x4=36；

（2）在Rt△力BC中：

v/.CAB=90°,BC=13米，AC=5米，

•••AB=7132-52=12（米），

♦.•此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点。的位置，

•••CD=13-0.5x6=10（米），

AB=VCD2-AC2=7102-52=5，3（米），

•••BD=AB-AD=12-（米），

答：船向岸边移动了（12—5V"?）米.

【解析】（1）根据勾股定理，可以得到BD的长，再根据勾股定理的逆定理，可以判断AADB是直

角三角形由此解答即可；

（2）在RtAHBC中，利用勾股定理计算出4B长，再根据题意可得CO长，然后再次利用勾股定理计

算出长，再利用BC可得B0长.

本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

24.【答案】证明：(1)•.•四边形48CC是平行四边形，

•••AD=BC,AD//BC,

Z-ADB=乙CBD,

:.Z.ADE=乙CBF,

在△4DE和中，

AD=CB

乙ADE=(CBF,

DE=BF

•••△ADE"CBF(SAS)；

(2)四边形AFCE是菱形，理由如下：

v8。平分4A8C,

:.Z.ABD=乙CBD,

vZ-ADB=Z.CBD