高等数学第五章定积分试题

第五章定积分

§5—1定积分概念

一、填空题

1.7(%)在［a,b］上可积的充分条件是

n,_

2.lim且厂用定积分表示可表示成

2cony/n

3.由定积分的几何意义知「sin%d%=_____________，［sinxdx=_______________。

J-7TJ-7T

4.定积分J-『dx的几何意义是o

二.判断题。

1.若f(x)在［a,b］上有界，则f(x)在［a,b］上可积。()

2.若f(x)在［a,b］上可积，则f(x)在［a,b］上有界。()

3.若f(x)、g(x)在［a,b］上都不可积，则f(x)+g(x)在［a,b］上必不可积。()

5.若f(x)在［a,b］上可积，则g(x))在［a,b］上不可积，贝Uf(x)+g(x)在［a,b］上一定不可积。()

三.单项选择题。

1.定积分表示和式的极限是。

")、回宁乡。一))⑴）、lim—宜

n->ooHk=lH

©打△乂"为此中任一点)

n->ook=l

⑴)、limN”打△乂(2=max{Ax;},4为此中任一点)

A—>ook=l

2'定积分/△乂表明

>ook=l

(A)、必须n等分，费是［xk-i,Xk］的端点。

(B)、可以任意分，《必是［xk.i,Xk］的端点。

Yk

(c)、力］可以任意分，；i=max{2\xC另可在［xk-i,xk］上任取。

l<k<n

(D)、6］必须等分，2=max{ZkxR}'短可在［xk-i,xk］上任取

l<k<n

四.利用定积分定义计算

a

xdx(Q<b)

§5—2定积分的性质中值定理

、判断题

1.若函数/(x)在［a,。］上连续，且f/0)2公=0则在［。/］上外)三0()

Ja

2.若f(x),g(x)在［a,。］上可积且f(x)<g(x),则|f(x)dx<g(x)dx()

JaJa

3.若函数/(%)在上可积且［c,d］u［a,b］则ff(x)dx<ff(x)dx()

JcJa

4.若函数/(x)在上可积，则至少有一点方£［。］］,使£73)(6-〃)()

5.不等式—<［/xarctanxdx<—成立。()

9咤V3」3

二、单选题

a)积分中值定理£f(x)dx=f©(b—。)中J是［a,b］±._______

(A)任意一点(B)必存在的某一点(C)唯一的某点(D)中点

b)设L=f］ntdtI2=［In/由(x>0)o则

JeJe

(A)仅当x>e时Ii<2(B)对一切xwe有L<l2

(C)仅当x<e时Ii<I2(D)对一切xWe有LNb

rn+a1

c)I=lim［xsin—dx(a为常数)积分中值定理lima-8sin—=_________

>003

(A)limtz-^sin—=a2sin—(B)=0

5an-»co§

(D)lima•5sin工=00

(C)lim«-^sin—=a

n—>00§ns§

三、比较下列积分的大小。

7CTC

1.力:与］)(l+x)dx2.与pcosx6k

JoJo

四、估计积分］：/'-7左的值。

rb

五、证明：若函数/(x)在上连续，非负，且/(X)HO则［f(x)dx>0

Ja

六、设函数/'(x)在［a,。］上连续，证明:

<rp(x)2JxT£(x)2Jx

/(x)g(x)dxg

七、设函数了(%)在［0,1］上连续，(0,1)内可导，且/'(0)=3g/(x)办

3

证明：在(0,1)内至少存在一点c,使y'(c)=o

§5.3微积分基本公式

一、填空题

,dx

7.(x-r)sintdt=-_________________80|—

1+

龙2O<X<1

9.Jof{x}dx=_________________o其中/(%)=<

2-x1<x<2

10.函数/(%)=2X2+3X+3在［1,4］上的平均值为.

二.判断题

1.(x-t)2dt=0()

dxVa.

2.|jcos方力］=cosx3-1()

3.若函数/(%)在［〃8］上连续,则厂(%)=「/⑺力在上可导。()

4.£Jl+cos2"%=£J2cos之xdx=V2£cosx6?x=41sinx|=0

()

5.函数f(x)=，2(x=0)

在R上处处连续()

—f2cos/力(x<0)

%Jo

三.单项选择题

1.设/'(x)为连续函数，且F(x)fi=nxj;于则歹'(x)等于

X

(A)—f(x)+^-/(—)(B)/(Inx)+/(―)

xxxx

(C)—/(In)(D)/(ln%)-/(—)

xxxx

V2

2.设F(x)=-----//⑺力，其中为连续函数,则limb(幻等于.

x-a'ax—>a

(A)a2(B)a2fg)(C)0（D）不存在

1

(0<x<Z?)

COS2X71

3./(%)=<且尸/。）公=2则6=

17T.

(ZhI<x<­)

^sm2x

71717171

(A)—(B)j(C)(D)-

276

四.设y=/(x)由方程X-"产dt=O确定，求曲线y=/（尤）在X=O处的切线。

五.计算下列定积分

「21rV3dx

（不）?

1.Jx+—dx1°1+x2

.设/⑶ex(x>0))求_^rl?

3.ptan4xdx4={da"

Jo

71

5.f2max{sinx,cosx}dx6.f2vl-sin2x^Zx

JOJo

四、设/(x)=x2-x£f(x)dx+2£f(x)dx,求/(x)

lim—1—=1

五.求。,b的值，使

xfobx-sinxjy/a+t

1.

SmXQ<X<7F

六.设y(%)=2求F(x)=1/⑺〃在(—00,+8)内的表达式.

x<0或x>n*0

1

七.设“X）为连续函数，证明:二=力

§5.4定积分的换元法

一、填空题

pa

1.若函数/(x)在［—a,a］上连续，则［［/(%)-f(-x)］dx=。

J-a

2.设/"(x)连续，则ff'Qx)dx=_________________。

Ja

d/

3.一Icos(f-x)at=___________________________________________o

dxo

32

4.j(x+4)79-xdx-o

fT1-1+2002r

5.设/'(x)是以T为周期的连续函数，且上/(x)dx=l,则/f(x)dx=

二、判断题

1.若/(X)为(一8,+00)上的连续函数，且「/«)族=21/«)力则f(x)必为偶函数。(

J-xJ0

2.由于人工金令“二：一工3=一/­-7=°

3布卜%+，布公=0+/X1dx

三、单项选择题

1.定积分1-上最公的值是

£

(A)/(B)-e(C)1(D)不存在

2.x3f(x2)dx(«>0)，则1=

ra2pa1ra21

(A)J。xf(x)dx(B)xf(x)dx(C)—xf{x}dx(D)-J。xf(x)dx

四、计算下列定积分

兀

Mdx5

1.i------------2.psin2xcosxdx

1xvl+lnxJo

「odx4.J(x—，2-，)2dx

'-2X2+2X+2

1+x2(x<0)

5.药(x)=<求，/'(x-T)dx.

e~\x>0)

后sin即，吃说喝，并利用结果计算E就股之值。

五、证明:卜sin。+cos。

六、设函数/(x)为［-a,上连续的偶函数。求证:工仅小』：…

并利用结果计算J%—Jsin,xdx

-万1+e

X

七.设函数/(%)在(一8,+8)内连续、可导，且b(X)=卜%-2%)/⑺力，证明:

0

(1)若“X)是偶函数，则尸(x)也是偶函数;

(2)若尸(x)<0,则歹(x)在(—oo,+oo)内单调增加。

§5.5定积分的分部积分法

一、判断题

1.若/''(X)连续，贝！1/犷'(2工)公=(工步(2工)=V(2X)R()

2.jvlln—xllnR：—Tx,-；~?dx—c-----c.H—=—(l-lne)()

e~ee|^|?«

二、填空题

71

7

1.Hsinxdx=o

Jo

10

2.fsmxdx=o

Jo

3.F(x)=「加一产力有极值，则当x=时，取极小值

Jo

三、单项选择题

(tb

1.7"(%)在［。,力］上连续，则，xf\x)dx=L

(B)⑻'3)73)]+[矿⑷-/⑷]

(D)[af'(a)-f(a)]+[bfXb)-f(b)

「2

2.xlog2xdx=

(2\2&A

x_2A222

(A)—fog2I；_|r

(B)—log2x1T「1

\237-TI2)

屋2A2Y

(C)—logxJ；巴22

2tail,(D)—log2x1

I')I2)141n2

四、计算下列定积分

兀

1.fxarcsinxdx2.Pe2xcosxdx

JoJo

3.ffarctanxdx

4.山刃公

Jox2+1

2

xr-x+sinx.

5.-dx2-----------dx

[sin2x，01+cosx

五.设/(%)=(6一,力，求

六.若/'"(x)在[0,乃]上连续，且/(0)=2,/■⑺=1证明：[[/(x)+/"(x)]sinxdx=3

七.计算/m=[xsinmxdx(m为自然数)

JO

§5.6定积分的近似计算

一、用三种积分近似计算方法，计算以求的近似值。（取被积函数值取四

J1Xln2n=10

位小数）

§5.7广义积分

一、判断题

>+oo.

1.因为sinx为奇函数，所以smxdx=0)

[—00

2x

2rdx-

l11i1m11I「ocdZxA一—0()

J-81+Xaf+ooJ-a]_|_%，

,1|4_4

「dx=_

.J。(x-3)2X-3I03()

二、填空题

「8Adx_

2=1,贝UA=________________________________________________0

Li+x

f+°°dx

2.-----------,当P____________________时收敛，当_____时发散。

j2(无一p_____

cf2dx

3.1,当P__________时收敛，当P_________时发散。

Ji(x-i)p

r+8dx

4,,------------'当P_________—时收敛，当P__________时发散。

j2xQnx)p

三、单项选择题

1.以下各积分不属于广义积分的是

p—00risinx.

(A)、J。ln(l+x)dx(B)、----dx

b%

pdxrdx

(C)、Lp-(D)、*-3l+x

2.已知广义积分「°/同公=1,则1<=_________

J—00

(A)、%(B)、-%(C)、2(D)、-2

（其中a〈b）是.

（A）、发散（B）、收敛于《（小―“I

（C）、收敛于2（b—a）：（D）、收敛于（b—1）2

四、判断下列广义积分的收敛性，若收敛，计算其值。

1,「00-------------2«ekte^prdx（p>k.）

J-00%2+2x+2Jo

dx

4.

-ex(x<0)

2

，求：于(

五、设函数（）F(x)=ft)dx

yx=<-(0<x<2)J-00

4

0(x>2)

第五章自测题一

一、填空题

2

/7psinx

1.设函数/(x)在(-8,+8)上连续，则一［=__________________O

dx)3x

2.设函数/(x)在［0,4］上连续，且I、?=x—6，则f(2)=

产dx

Ji71+lnx

*dx

4.-dx二

11x(x2+1)

5.fsin10xdx=

Jo

42

,「兀2sinx-(x+3x+1)」

6.-----------------------bcosxdx-

1+X2

8.——fsin/d/=o

dx2J。

d档2

9.一Isin(x-t)at=__________________。

dxo

pi

x

10.函数/(%)=xe+x\f(x)dt则J(l)二__________________________o

JO

二、单项选择题

(121>

1.rlim-----1------1---1-----二_________________

〃+i〃+2n-\-n)

(A)0(B)2(C)ln2(D)e1

2.若函数/(%)=©■「sin(，一则/(x)等于___________

dxo

(A)、—sinx(B)、—1+cosx(C)、sinx(D)、0.

3.定积分j(N+dx的值是o

6

(A)、0(B)、2(C)、2/9+2(D)、—

e

4.设了(〃)连续，且/对1(x)dxwO,若女(犷(2x)力:•=/_j/(x)dx,贝”=,

(A)、1/4(B)、1(C)、2(D)、4

5.若连续函数;'(x)满足关系/(x)=『/(口力+ln2,则/(x)=o

(A)、e2ki2(B)、x2xln2(C)、e2+ln2-l(D)、+ln2-l

三、计算下列积分。

I.02.jx

i•兀

r-xarcsmx.3

3.23.R(x+cosx)dx

'4i-,-----------dx

2

71__________________

5.j|x|t/x6.p71-sin2x(ix

Jo

四、已知函数/(x)在X=12的邻域内可导，且lim/(x)=0,lim/'(%)=997,求:

x-^12x-^12

「Jtf(u)du]dt

lim

x―>12(127)3

At

五、设函数/(x)在［a,b］上连续，且/(x)>0,/(左)(%£[〃,句),证明:

7(0

(1).F(x)>2.(2).方程方0)=0在区间(。))内有且只有一个根。

xt冗I------------

六、证明方程lnx=——Jl-cos2%dr,在区间(0,+oo)内有且仅有两个不同的根。

eJ。

七、求函数/0)=「卜-2/的极值和它的图形的拐点。

7171

八、证明：Rsin^xcos^xdx=2~mf^cosmxJxo

JoJo

第五章自测题二

、填空题

1.l「im(/---1---+1+…+1)、;

nf8yin2+1yin2+2yin2+n

2.如果函数/（%）在［a,句上的最大值与最小值分别为M与m,则pb［/（x）dx有如下估计式:

Ja

<fpb/(x)dx<____________

Ja

3.设m为奇数，贝ij/sin?xd%二o

「2[%2(0

4.\f(x)dx=_______。其中/(%)二|

Jo[2-x(b

7171

5.比较积分大小psin-dv[2sin2xdx

JoJo

6.Psint2dt=

dx2J。

二、判断题

44.

xsinxdx=0)

-71

2.|ln='(-Inx)dx+j(Inx)dx()

ee

(

3.rbff(x)dx*b=ff(t)dte=b[f(u)du

JaJaJa()

(tbpa

4.