2023-2024学年山西省怀仁市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山西省怀仁市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.椭圆工+片=i的长轴长为（）

52

A.2.75B.V5C.4D.2

【正确答案】A

【分析】根据椭圆的几何性质即可求出长轴.

【详解】由椭圆二+二~=1,得/=5,a-y/5>2a-2y/5>

52

故选：A.

2.过点（2,1）的等轴双曲线的标准方程为（）

A.4-^=1B.片-片=1C.片-D.片-巨=1

33553355

【正确答案】A

【分析】先设出双曲线的方程为/-必=义（440）,代点进行求解即可.

【详解】设双曲线的方程为x2-F=几（义片。），

代入点（2,1）,得4=3,

故所求双曲线的方程为V-_/=3,

其标准方程为（W=l.

故选：A.

3.已知数列庭,加,4?,3应，夜，…，贝150是这个数列的（）

A.第11项B.第12项C.第13项D.第14项

【正确答案】B

【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.

【详解】数列a7,3后，痉，…，即数列指,加,布,夜…，

由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，

所以通项公式=j6+4（〃-l）=j4"+2,

令%=“+2=入伍解得”=12.

故选：B.

4.在直三棱柱/8C-4AG中，若就=Z，AB=b，AA,=c,则西=()

C

A.a+b-cB.a-j)-cC.a-b+cD.-a+b-c

【正确答案】C

【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.

［详解］由已知得画=石_赤=而_门万_祝)=£_否+2,

故选：c

5.在等差数列｛《,｝中，a2+«6+a10=120,则=()

A.70B.60C.50D.40

【正确答案】D

根据等差数列的性质，得到3&=120,即可求解.

【详解】根据等差数列的性质，可得a2+aw=2a6,

因为"+6+%<>=120,即3%=120,可得％=40.

故选：D.

6.以点月(1,2)为圆心，两平行线x-y+l=0与2x-2y+7=0之间的距离为半径的圆的方程

为()

A.(x+炉+(y+2)2=gB.(x-l)2+(j^-2)2=y

C.(x+l)2+(j+2)2=yD.(x-iy+(y-2)2=3

oZ

【正确答案】B

【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程.

7

【详解】直线2x_2y+7=0方程可化为x_y+/=O,

2-1厂「

则两条平行线之间距离d_丁2_5V2,即圆的半径r=也，

"+（-♦44

••.所求圆的方程为.（1）2+（尸2）2=与

O

故选：B.

7.已知数列血｝满足乎q=3,则数列｛%｝的通项公式是（）

A.an=3z?B.an=n+2

2

C.an=2/?+lD.an-3n

【正确答案】A

【分析】由题意可得数列[子）为首项为3的常数列，从而可得出答案.

【详解】由题意得巴4=%,即也=%=L=幺=幺=3

w+1n77+1n21

所以数列是以;=3首项为的常数列，

则”=3,得。“=3〃.

n

故选：A

8.在平面直角坐标系xQy中，已知圆Q：，+/=l,a：（x-4）2+/=4,动点P在直线

x+JB-b=O上，过P点分别作圆。2的切线，切点分别为A,B,若存在点尸满足

尸8=2尸/,则实数6的取值范围是（）

70

U[12,+oo）C.---,4

D.^-°°,--yj|U[4,+oo）

【正确答案】C

【分析】分别求出两圆圆心和半径，利用PA=JPO；-r；,PB=JPO；-麻,尸8=2尸/可求点P

轨迹方程为圆，又P在直线x+®-6=0上，结合圆心到直线的距离小于等于半径可求6的

取值范围.

【详解】由题意«（0,0）,外=1,02（4,0）,々=2,设P（x,y）,若PB=2PA,

PA=qPO；T：,PB=dPO；T；,则加一盯+/-4=4£+/

（x-4）2+^2=4（x2+.y2）,/.x2+/+|x-y=0,即（x+g）+/=苫，

圆心坐标为（一1,o）,半径为g,

:动点P在直线X+&-6=0上，存在点尸满足=,

・・•直线与圆/+/+|》q=0有交点，

4

・•・圆心到直线的距、离,---3---h/8,.今20W6V4,

Vi+33

即实数b的取值范围是一与,4.

故选：C.

二、多选题

9.已知｛q｝为等差数列，满足2%-%=3,｛"｝为等比数列，满足a=l,d=4,则下列

说法正确的是（）

A.数列｛《,｝的首项为1B.%=3

C.%=16D.数列｛4｝的公比为±2

【正确答案】BCD

【分析】由2a$=3可推得/+6d=3,即可判断A、B；由H=1,，=4,可推得“=他=16,

丁=4,即可判断C、D.

【详解】设｛4｝的公差为d,也｝的公比为“

对于A,由2%_1=3,得2（q+4"）-（q+24）=3,

整理可得，al+6d=3,所以《不确定，故A错误；

对于B,因为q+6d=3,所以有%=3,故B正确；

对于C,因为3=3=4,所以4=44=16,故C正确；

4h2

,bi

对于D,由已知可得，如=,=4,所以令=±2,故D正确.

b2

故选：BCD.

v2v2r22

10.关于双曲线二-匕=1与双曲线上——v匕_=1（_4<,<6）,下列说法不正确的是（）

464+/6T

A.实轴长相等B.离心率相等

C.焦距相等D.焦点到渐近线的距离相等

【正确答案】ABD

【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可

fv2L

【详解】双曲线L-匕=1中，实轴长为的=4,虚轴长为24=2#,焦距长为

46

2c1=2历1=2*7,右焦点为（汨,0）,

所以离心率。=合乎渐近线方程为…争，不妨取二争即向-2y=0,

所以焦点到渐近线的距离为4=屈：弧=痛,

V6+4

双曲线三——匚=l（T<f<6）中实轴长为2a2=2〃77,虚轴长为2A=2^^二7,焦距长为

4+f6-t'-

2c2=2加，右焦点为（加,0）,

bi、l士、/C）J10J40+10Z%r-AK-J-tri,《6—t-r-»J^rf-6~~t

所以离心率/=—/—■,渐近或方程为y=±IX9不妨取N=/Xn即n

a2V4+Z4+/y/4+tV4+Z

J（6-少-y/4+ty=0,

所以焦点到渐近线的距离为出=A/6-7,

Vio

综上，两条双曲线只有焦距相等,

故选：ABD

11.如图，在棱长为2的正方体/8C。-44GA中，£'为8巧的中点，尸为4R的中点,

如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）

A.DB、=3V2

uuui

B.向量荏与NG夹角的余弦值为号

C.平面4EF的一个法向量是(4,-1,2)

D.4。_1_叫

【正确答案】BCD

【分析】A选项，求得函的坐标，进而求出。4；B选项，利用空间向量夹角公式求解;

C选项，记7=(4,-1,2),验证施工=0,箫4=0即可；D选项，验证福・西=0即可.

【详解】对于A,0(0,0,0),S,(2,2,2),西=(2,2,2),=|西|=2石，故A错误;

对于B,4(2,0,0),£(2,2,1),C,(0,2,2),方=(0,2,1),花=(-2,2,2),

AE-AC6姮

则cos(/E,ZC1)=t

|玛祠―岳26-5故B正确;

对于C,产(1,0,2),公=(0,2,1),万=(-1,0,2),记7=(4,-1,2),

则方i=0x4+2x(-l)+l><2=0，亦/=(-l)x4+0x[1>3<2^(,

所以荏_1_7,万_1；?,又力耳/Fu平面“EF,AEcAF=A,则］_L平面4EF,

故(4,-1,2)是平面/EF的一个法向量，故C正确；

对于D,4(2,0,2),£>(0,0,0),以0,0,2),耳2,2,。，

丽=(-2,0,-2),西=(-2,-2,2)丽・西=0,故D正确.

故选：BCD.

12.已知抛物线C:f=2刀的焦点坐标为凡过点尸的直线与抛物线相交于4,8两点，点

在抛物线上.则（）

A.p=\B.当轴时，|/8|=4

C.丁，+焉为定值1D.若万=2而，则直线4B的斜率为士也

【正确答案】BCD

【分析】将点（立,代入可判断A；求出焦点可判断B；设直线48的方程为夕=丘+1,

将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C；由向量的坐标表示以及韦达定理可判

断D.

【详解】对于选项A,将点（五,，代入抛物线方程，可得。=2,故选项A错误；

对于选项B,焦点F（O,D,点（2,1）在抛物线上，可得|力8|=4,故选项B正确；

对于选项C,设点/,8的坐标分别为（为,%）,（々，％），

直线Z8的方程为夕=去+1,联立方程f2=外，

^=0+1,

消去y后整理为/-4履-4=0，

可得

x,+x2=4左,七々=-4,必+%=Mx1+z）+2=4k2+2,

22

LAF

7i72=^7T=tl\=必+1,1BF\=y2+l,

10

仃+J=1,1=必+乃+2=必+%+2=1,

可\BF\月+1y2+\、%+丹+乃+1乂+为+2

故选项C正确：

对于选项D,有（-%,1-乂）=2（々,%-1），

X]+x=4k,

2.一二二解得』今

可得2工2=-占，由"x,x2=-4,有故选项D正确.

2X2=-x(,

故选：BCD

三、填空题

13.点（T3）关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为

【正确答案】(-5,7)

【分析】设点为(%,%)，根据条件可得制=1以及胃+江；+2=0,解出即可得至I」.

X。+122

【详解】设点(-1,3)关于直线x+^+2=0对称的点为(%,%).

因为直线x+y+2=0的斜率为一1,

由对称关系，两点连线与直线x+»+2=0垂直，所以二=1，

又因为两点连线段的中点(为”,上联)在直线X+N+2=0上，

代入得笔驾均坦+2=0,

22

两式联立％X。=-5

+1即可解得，所以对称点为(-5,-1).

%=T

Vzl+2Vtl+2=0

22

14.如图是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后,

水面宽米.

【正确答案】2几米

【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my,

将A(2,-2)代入》2=西，

得m=-2,

x2=-2y,代入得为=后,

故水面宽为2遍米，故答案为2指米.

抛物线的应用

15.设两个等差数列｛凡｝和色｝的前〃项和分别为S,和乙，且尹向先，则去=.

【正确答案】|

（q+为＞5

I分析】根据等差数列性质，将2写为/八＜，即兴，代入题中等式即可得出结果.

“他+与＞5T5

2

【详解】解:由题意可得｛4｝和也｝均为等差数列，

(%+a5)x5

所以色=%=____2____=邑_=7义5=亘=1

以&2b3他+々)x5T59x5+4497

2

故答案为彳

已知点48是椭圆G:[+4

16.=1（a＞b＞0）上的两点.且直线AB恰好平分圆

/+/=*（尺＞0）,2椭圆G上与点4,8不重合的一点，且直线M4,"8的斜率之积为,

则椭圆G的离心率为.

【正确答案】正

3

2_2»2

【分析】设“（X"J，〃&，儿），则平乌.由已知可推得），根据

玉一/Q

1L21

儿•脑=），可得出4=L然后即可求出离心率.

3a3

【详解】设以士,必），〃（%,九）.

22

£Z

11

+

--222

2622222

ayV

区y1-

1所以^

=1--

-一222

依题意有22=1,两式相减得上

XZxa

001-o

+

---

262

a

因直线力8恰好平分圆x2+y2=R2,则8（-4-必）,

一必一%>

则kMAAMB=

~Xl_xo

由已知，kMA•kMB=——,

所以，4^4=-^I-即与总

%!-x0a

所以椭圆G的离心率为

故答案为.逅

3

四、解答题

17.已知数列｛an｝满足=1,an+l=3an+2.

（1）证明：数列｛an+l｝是等比数列；

b=____________2____________

⑵设"-啮'向+1＞求数列｛1｝的前n项和Sn.

【正确答案】（1）详见解析；（2）S„=^-.

n+1

【分析】（1）对数列的递推式两边加1,结合等比数列的定义，即可得证;

（2）由对数的运算性质可得

b=____________Z______________2_2r_i

nn+l

"10&「+1+1）b）「+2+1）log33-log33n（n+l）｛nn+D，再由裂项相消

求和，化简可得所求和.

【详解】解：（1）证明：数列｛a0｝满足为=1,an+,=3a„+2,

可得2田+1=3a+1),

即有数列｛an+1｝是首项为2,公比为3的等比数列:

⑵由⑴可得an+l=2-3”,

Kb—_____________2____________—_______2______—____2__

-，0310+，-

即有""10gi^"-§33"n(n+1)

数列｛，｝的前n项和S"2（l_；+C+…+'看］=2（1-马=2n

n+1

本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属

于中档题.

18.已知圆C的方程为/+/-4》+6»-加=0.

(1)求实数〃?的取值范围；

⑵若圆C与直线/：x+y+3=0交于M,N两点，且|加训=2有，求加的值.

【正确答案】(1)机>-13

(2)m=-8

【分析】(1)将圆。的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到13+〃?>0,解之即可；

(2)利用弦长公式|MN|=2jj-—求得进而得到向百=百，易得加的值.

【详解】(1)方程f+j?一4x+6y-〃?=0可化为(x-2)2+(y+3)2=13+〃？,

・・•此方程表示圆，

/.13+w>0,即〃？〉一13,即用£(-13,+8).

(2)由(1)可得圆心C(2,—3),半径.=』加+13，

则圆心C(2,—3)到直线/:x+y+3=0的距离为"=生耳=6，

Vl2+12

由弦长公式|肋V|=2护二T7及|AW|=2G,得26=2卜闾,解得“石，

**•r—y/m+13=y/5,得加二-8.

22

19.已知双曲线C：>%_=i(b>0),直线/与双曲线C交于P,。两点.

(1)若点(4,0)是双曲线C的一个焦点，求双曲线C的渐近线方程；

(2)若点尸的坐标为卜灰,0),直线/的斜率等于1,且归。|=：,求双曲线C的离心率.

【正确答案】(l)y=±4x

⑵当

【分析】(1)利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中。，瓦c三者的关系及双曲线

的渐近线方程即可求解.

(2)根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及

点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解.

【详解】(1);点(4,0)是双曲线C的一个焦点，二。=4,

又•••，=/+/且/=2,解得〃=14,

v.22

...双曲线C的方程为匕v=1,

214

，双曲线C的渐近线方程为j=土近x；

(2)设直线/的方程为y=x+后且。

y=x+0

222

联立x2y25R]-^(ft-2)x-4V2x-4-2Z)=0,

则-望,"器咨即f舞

二|尸。|=；b28

4e+xJ+y=4

从一23

414

解得/=1,即由/=/+〃可得。2=］，

V14

故双曲线C的离心率为c五后.

e=—=广=------

aV25

兀

20.如图，在三棱锥产一Z8C中，4,底面力8C,4=卡，AB=2NABC=-,BC=\,

3

D,E分别是PC上的三等分点，尸是P8的中点.

(1)证明：/EJL平面「8C；

(2)求平面力。尸与平面BDF的夹角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵半

【分析】（1）用余弦定理求出NC=百，从而得至IJ//=HC2+8C2,CALCB,建立空间直

角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；

（2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.

【详解】(1)证明：•••45=2,BC=\,ZABC=^,

根据余弦定理得AC=片+BC?-2/8•BCcos]=^4+1-2x2xg=6,

所以=/IC?+SC?,

所以C/J.C5,

以C点为坐标原点，CB,C4所在直线为x,夕轴，经过C点垂直于C4,C8的直线为z轴,

建立空间直角坐标系，

则[0,6()),5(1,0,0),P(0,百，瓜)

.•.小(0,一¥，乎)，而=(0,6,旬，丽=(1,0,0),

•.■AE-CP=-^-xV3+—x^=0,AECB=0>

33

CPcCB=C,

4E_L平面P8C；

设平面厂的一个法向量为万=（X，y，z）,

—^-y+—y[bz—0,

AD-n=033

由，所以

DFn=0'1V3V6.

—x----y-----z=0,

〔266

令Z=y/l，贝UX=4V3，y=4,

可得万=(28,4,五),

设平面8〃厂的一个法向量加=(a，b,c),

1瓦痣「

—a———b---c=0,

DFm=O,,

由，一266令。=],得。=0，6=一④,

BDm=O—a+-2+—2^^6c=0,

33

可得而=(0,-应J,

所以平面/。尸与平面8。尸夹角的余弦值为将.

21.在数列｛q｝中，％=1,且。向=2%+力+2向-1.

(1)证明：｛智斗是等差数列；

(2)求｛““｝的前”项和S,.

【正确答案】(1)证明见解析

(2电=2+(〃-1)-2用_七工

【分析】(1)利用构造法证明该数列为等差数列；

(2)利用错位相减法与分组求和法可得

【详解】(1)由。向=2q+〃+2同-1,得见+|+〃+1=2%+2〃+2向,

等式左右同除2向，得%二=巴亨+1，

故数列｛与智｝是以竽=1为首项，1为公差的等差数列；

(2)由(1)得"Y〃=]+(〃_1)=“,

故%=〃-2"-〃，

设"=62”,其前〃项和为

则7；=1X2+2X22+3X23+-・.+(〃.1)・2"7+〃.2",

27；=1x2?+2x2,