2023-2024学年新疆乌鲁木齐高一年级下册开学考试数学试题

2023-2024学年新疆乌鲁木齐高一下册开学考试数学试题

第I卷客观题

一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1,设集合“由―+6>0},8={x∣l<0},则ZCB=()

A.{x∣x<l}B,{%∣-2<x<l}C,{%∣-3<%<-l}D.{x∣x>3}

【正确答案】A

【分析】解不等式得到集合N,B,然后求交集即可.

【详解】根据题意，∕={x∣χ2-5χ+6>θ}={x,>3或x<2},8={x∣x-1<θ}={x∣x<1},则

ZC3={xIX<1}.

故选：A.

2.下列函数中，既是奇函数又在区间(O,+∞)上单调递增的是()

A./(x)=sinxB.f(χ)=χ1

3

C./(x)=—D.f(x)=X3

X

【正确答案】D

【分析】逐个判断各个选项中函数的单调性和奇偶性即可.

【详解】解：对于A项，函数/(x)=SinX为周期函数，在(O,+00)上不是增函数，故A项

错误，

对于B项，函数/(x)=χ2是偶函数，故B项错误，

3

对于C项，函数/(X)=—是奇函数，且在(0,+oo)上单调递减，故C项错误，

X

对于D项，函数/(x)=d是奇函数，且在R上单调递增，故D项正确，

故选：D.

3.下列结论不正确的是()

A.sin2>0B.cos200°<0

C.tan200°>0D.tan(-3)<0

【正确答案】D

【分析】根据正弦、余弦、正切的正负性，结合角所在的象限逐一判断即可.

TT

【详解】•••一<2<兀，.∙.2为第二象限角，.∙.sin2>0,因此A正确：

2

∙.T80°<200°<270°,.∙.200°为第三象限角2.∙.cos200°<0,tan200°>0-

因止匕B、C正确：

TT

∙.∙-π<-3<一一，；.一3为第三象限角，∙∙∙tan(-3)>0,因此D错误.

2

故选：D

4.(2：)+√27×3^2-(l-π)°=()

A.兀B.2C.ID.0

【正确答案】D

【分析】直接根据指数幕的运算性质计算即可.

【详解】(2；1+√27×3^2-(l-Λ-)°=f∣12+3×3^2-l=∣+∣-l=0∙

故选：D.

JT

5.函数N=Sin(—2x+])的单调递减区间是()

A.[女兀一24兀+里]左∈Zπ5兀

B.[2Λπ-ɪ,2Λπ+-]Λ∈Z

12121212

,715兀r,_itSTI

C.r∖kτι—,krτt4----],Λ∈ZD.[2^π-ʌ,2^π+-]Λ∈Z

6666

【正确答案】A

【分析】由三角函数的性质求解

Jl}I]t

【详解】函数y=sin(-2x+y)=-sin(2x一,)，故求函数y=sin(2x-§)的单调递增区间即可,

令一]+2hτ≤2x-y≤ɪ+2kπ,k∈Z,解得x∈[Λπ--^-,Λπ+y^-],A∈Z

故选：A

<1、一°，8

6.设α=3°',b——,c=Iog070.8,则6,c的大小关系为（）

<3√

A.a<b<cB.h<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【正确答案】D

【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出。/,c的大小关系.

【详解】因为α=3°∙7>l,

6=（；「=3。8>3。，=°，

c=Iog070.8<Iog070.7=1,

所以c<l<α<b.

故选：D.

本题考查的是有关指数幕和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数

函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对嘉形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：y=ax,当。〉1时，函数递增；当o<α<ι时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：y=lθgtt%,当。〉1时，函数递增；当o<α<ι时•，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

7.已知函数/（x）13+（ατ）χ\<0（&〉0且。"），则3”是“/（x）在R上单调递增”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】先由/（x）在R上单调递增求得“的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.

【详解】若f(x)在R上单调递增,

a>1

则<4-1>O,

A+l>3

所以α≥2,

由“α≥3”可推出“α≥2”,但由“a22”推不出"a≥3”,

所以“a≥3”是“/(χ)在R上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A.

&函数，(/X)=I/(2ιx)-5,x,x><33,则“1°°)=>

A.1B.-3C.-1D.-5

【正确答案】D

【分析】根据分段函数的解析式即可求解.

【详解】/(IOO)=/(100-4)=/(96-4)=∙∙∙=/(4-4)=/(θ)=-5.

故选：D.

二、多项选择题(每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选

对得2分，有选错得O分)

9.下列四个三角关系式中正确的是()

A.CoS(兀-I)=COSlB.sin2+—=cos2

tan20o÷tan25o

C.---------------------=-l1D.cos73ocos280+sin73osin28o=——

I-tan20otan25o2

【正确答案】BD

【分析】由诱导公式以及两角和的正切以及两角和的余弦公式逐一判断选项即可.

【详解】解：由诱导公式可知：

A：cos(π-l)=-cosl,故A错;

=CoS2,故B正确;

cos73°cos28o+sin73osin28o=cos45o=--，故D正确.

2

故选：BD.

10.下列说法正确的序号为（

A.若a>∣b∣,则a?>⅛2B.若α>b,c>d,则α-c>b-d

C.若α>b,c>d,则αc>bdD.若a>b>0,c<0,则£>£

【正确答案】AD

【分析】根据不等式的性质判断A、D选项，再利用特殊值法，判断B、C选项.

【详解】因为α>∣⅛∣≥0,由不等式的性质可得/>〃，A正确；若取α=2>1=b,c=3>O=d,

则2-3<l-0,不符合α-c>b-d,B错误；若取α=2>1=b,c=-1>-2=d,则

2×（-l）=l×（-2）,不符合ac>6d,C错误；因为a>6〉0,所以又c<0,所

,,CC

以一>一.

αb

故选：AD

11.给出下列结论，其中正确的结论是（）

A.函数y=的最大值为!

B.已知函数y=log,,（2-依）（α>0且α≠l）在（0,1）上是减函数，则实数。的取值范围是（1,2）

C.函数/（X）满足/（x）—2∕（-x）=2x-l,则/（3）=3

D.己知定义在R上的奇函数/（x）在（-。。,0）内有IoIO个零点,则函数/（X）的零点个数为2021

【正确答案】CD

【分析】利用指数函数的性质，结合函数的最值对A进行判断；利用对数函数的性质及复合函数

f(x∖-2f(-x∖=2x-∖..2/、2

的单调性对B进行判断；由<]ɔʌ/CI得，/(x)=—x+l,/(—x)=——x+l,

J(X)=-ZX-I33

对C进行判断；利用函数的零点与方程根的关系，结合奇函数的性质对D进行判断，从而得结论.

【详解】对于A,因为—/+K],所以J.≥L,因此y=J.有最小值},无最大值,

<2/212J

所以A错误，

对于B,因为函数y=log"(2-Or)(4>0且α≠l)在(0,1)上是减函数，

a>1∕ι

所以J2_q>0，解得l<α<2,实数“的取值范围是(1,2],所以B错误，

对于C'由Mf(Xχ}--2f(W-χ}==-22xA-l产“/加、针2+1”(/T)、=丁2+L"(/3)、=3.

所以C正确，

对于D,因为定义在R上的奇函数/(x)在(—8,0)内有IoIo个零点，所以函数/(x)在(0,+8)

内有IolO个零点，而/(0)=0,因此函数/(x)的零点个数为2x1010+1=2021,所以D正

确，

故选：CD

12.已知函数y=∕(χ)是R上的偶函数，对于任意XeR,都有/(x+6)=∕(x)+∕(3)成立，当

(∙x∣)-/Cx2)

fi

x,,x2∈[0,3],且XlNX2时，都有.\\上〉0,给出下列命题，其中所有正确命题为

X1-X2

().

A.〃3)=0

B,直线x=-6是函数y=∕(χ)的图象的一条对称轴

C,函数y=∕(χ)在[-9,一6]上为增函数

D.函数夕=/。)在[—9,9]上有四个零点

【正确答案】ABD

【分析】

函数y=∕(x)是R上的偶函数，对任意XeH，都有/(x+6)=∕(x)+y(3)成立，我们令

x=-3,可得/(-3)=/(3)=0,进而得到∕∙(x+6)=∕(x)恒成立，再由当司，》24°，3］且

f(x↑}-f(x).1

XlRX2时，都有∖'2>0,我们r易得函数在区间［0,3丁单调递增，然后对题目中的四

X\~X2

个结论逐一进行分析，即可得到答案.

【详解】4:令x=-3,则由/(x+6)=∕(x)+/⑶，

得/⑶=〃-3)+〃3)=2〃3),

故/(3)=0,/正确；

8:由/(3)=0得：/(6+x)=∕(x),故/(x)以6为周期.

又/(x)为偶函数即关于直线x=0对称，

故直线x=—6是函数y=∕(x)的图象的一条对称轴，8正确；

r,/(xl)-∕'(x2)

C:因为当$，x2∈0,3,x∣≠z时，有八"、,》0成立,

王一Z

故/(x)在［0,3］上为增函数，

又/(x)为偶函数，

故在［-3,0］上为减函数，

又周期为6.

故在上为减函数，

C错误；

该抽象函数图象草图如下：

函数/(x)周期为6,故/(—9)=/(-3)

=X3)=∕(9)=0,

故y=∕(x)在［—9,9］上有四个零点，

。正确.

故ABD.

本题考查函数奇偶性、单调性、周期性、对称性及函数的零点与方程根的关系，属于基础题.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.函数/(x)=-7=^=+ln(4-x)的定义域是

√2x-6

【正确答案】(3,4)

【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域

2x-6>0,

【详解】由题意可得《，C解得3<x<4,即/(X)的定义域是(3,4).

4-x>0,

故(3,4)

14.已知Sina=2cos1,则sin?α+2sinacosα=.

Q

【正确答案】-##1.6

5

【分析】根据题意，由同角三角函数关系可得tana的值，而

sin?a+2sinacosasinta+2sinacosa旦UTdrn+加τ∙∕∣,τ∙*工*v.八—H∏-ΓM

-------------------=------；-------；-----,最后利用齐次式化成关于tana的I分式即可解.

1Sin-a+COS-a

cina

【详解】解：由SinQ=2cosa,得tana=------=2,

CoSa

2

RIlSin2a+2sinacosasin2a+2sinacosatana+2tana

1sin2a+cos2atan2a+1

22+2×28

22+l^5,

O

故答案为.-

5

15.若Ξre1,2,使2/一；^+1<0成立是假命题，则实数4的取值范围是.

【正确答案】2≤2√2

【分析】转化为"Vx∈|,2,使得2/一2χ+i≥o成立''是真命题，利用不等式的基本性质分

离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.

【详解】若出G1,2,使2/—2χ+i<0成立是假命题，

_2_

PirVxe；,2,使得2x2—>lχ+l≥0成立”是真命题，

即∀xeɪ2,/l≤直±l=2x+L恒成立，

-2」XX

因为2x+L22J2χχL=2√Σ,X=也时等号成立，

XNX2

所以上x+上］=2∙∖∕Σ,

V"min

所以4≤2Λ∕5,

故答案为.Λ≤2√2

3-∖x≤O,

16,若/(x)={bg∕,x>0,若g(x)=∕(x)f+'有两个零点，则实数，的取值范围为

【正确答案】

【分析】把g(x)有两个零点转化为两个函数有两个交点，结合图像可得实数t的取值范围.

【详解】因为g(χ)=∕(χ)τ+f有两个零点,

所以y=∕(x)与V=X-1有两个不同的交点，如图所示,

所以有T≥l,即Y-L

zOl1∖X

故答案为.(-8,-1]

三、解答题(本题包含6个小题，共70分)

COSO—a)sin(一α-))

tan(τr-a)

(1)化简/(α);

(2)若角α为第二象限角，且Sina=；,求/(α)的值.

【正确答案】(1)一——

(2)f[^ct)=2Λ∕2

【分析】(1)由诱导公式化简；

(2)由平方关系求得COSa,再由商数关系得tana,从而得结论.

【小问1详解】

cos(^∙-a)sin(-a-π)

/(«)=-COSaSma

tan(7r-a)-CoSaSina(—tana)tana

【小问2详解】

Vsin«=ɪ,sin2a+cos2a-∖>角a为第二象限角,

2Λ∕Σ1

cosa-------，∙'∙tana=------广.

32√2

Λ∕(tz)=2√2.

Y-I-I

18.设函数/(X)=——-.

(1)用定义证明函数/(χ)在区间(1,+8)上是单调减函数;

(2)求函数/(x)在区间［2,6］得最大值和最小值.

7

【正确答案】(1)见解析；(2)最大值为3,最小值为一.

【分析】(1)根据函数单调性的定义法即可证明，(2)根据(1)的结果即可得出最值.

【详解】(1)任取l<x∣<%,因为/(王)一/(马)=土工^一强I=厂当丁义不

王T¾-ι(X1-I)(X2-I)

∙.∙1<x1<X2

/.x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0

/(ɪɪ)-/(x2)>0=>/(xi)>/(X2)

∙∙J(X)在(1,+8)上是单调减函数

(2)由(1)得函数/(X)在(1,+8)上是单调减函数，所以函数/(X)在［2,6］上为单调减函数，所

7

以/(X)皿=X2)=3J(XLI=/⑹=］

本题主要考查了用定义域判断函数单调性的问题以及根据单调性求最值,属于基础题.

19.已知函数/(x)=Sin2x-四］

(1)请用“五点法''画出函数/(χ)在一个周期上的图像(先在所给的表格中填上所需的数字，再

(2)求/(x)在区间ɪ,ɪ上的最大值和最小值及相应的X值

【正确答案】(1)答案见解析

(2)X=E,最小值0；X=T，最大值L

123

【分析】(1)将0卷,兀,费,2兀代入函数，求出对应的/(x),即可画出函数∕∙(x)在一个周期上

的图像；

兀兀

(2)由(1)中所画图像即可求出/(X)在区间上的最大值和最小值及相应的X值.

【小问1详解】

由题意，

TTTl3TT

分别令2x-：=0,7,兀,一,2兀，可得：

622

ππ7兀5π13π

X

123^6~~↑2

Cππ3π

2x——0π2π

62T

/(x)010-10

画出在一个周期的图像如图所示:

1

1

ɪ1【小问2详解】

Hɪ於

13π二

3一

工5

1/2I⅛τ~Vλ

由题意及（1）得，

在/（x）=sin（2x\）中，当Xeɪ,ɪ时，

7ΓTr

函数在X=石处取最小值0,在X=1处取最大值1.

20.某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿

项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金X（单位：百万元）的函数必（单位：百万元）：

27X

乂=——,处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金χ（单位：百万元）的函数已

10+x

（单位：百万元）∙8=0∙3x设分配给植绿护绿项目的资金为X（单位：百万元），两个生态项目

五年内带来的生态收益总和为》（单位：百万元）.

（1）将y表示成关于X的函数；

（2）为使生态收益总和y最大，对两个生态项目的投资分别为多少？

27x3χ

【正确答案】（1）y=/匚一二+30（0≤x≤100）

10+x10

（2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元

【分析】（1）由题意列式化简即可；

（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.

【小问1详解】

若分配给植绿护绿项目的资金为X百万元，则分配给处理污染项目的资金为（IOO-X）百万元,

27x27x3x

・・・y=-ɪ+0.3(100-x)=-ɪ---+30(0≤x≤100).

10+X10+X10

【小问2详解】

,27(10+x)-2703(x+10-10)幡,八2703(x+10)

由(1)得y=-1---------------------------------+30=60----------+----------

-10+X10110+x10J

≤60-2区[羽亘®=42(当且仅当型-=3(x+10),即X=20时取等号),

VlO+X1010+X10

分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和V最大.

21.已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=l-3∖

(1)求函数/(x)的解析式：

(2)当x∈[2,8]时，方程/[log%)+∕(4-Hog?%)=。有解，求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)/(x)=F-3=≥°.

—1÷3,x<0

(2)[4,5].

【分析】⑴当x<0时，则—x>0,∕(-X)=I-3一"再利用/(X)为奇函数，/(x)=-∕∙(T)

和/(0)=0,即可求出答案.

(2)利用函数是奇函数把方程/(log%)+∕(4-Hog2*)=0化为/(log")=∕(alog2X-4),

再利用/(x)是R上的单调减函数得log^x-alog2x+4=0,在xe[2,8]上有解.再令f=log2x,

则/一袱+4=0在/∈[1,3]有解.分离参数有解问题，即可求出答案.

【小问1详解】

当x<0时，则一x>0,.∙.∕.(T)=I-3一、,

∙∙∙∕(x)是奇函数，∙∙.∕(x)=-∕(-x)=T+3τ.

又当X=On寸，/.(0)=0

l-3v,x>0

二/(X)="

-1÷3Λ,X<0

【小问2详解】

由/(log2%)+∕(4-αlog2x)=