2023-2024学年安徽省黄山市高一年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年安徽省黄山市高一上册期末数学质量检测试题

一、单选题

1.cos(-510)=()

A.BB.C.JD,--

2222

【正确答案】B

【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值求解.

【详解1cos(-510°)=cos510°=cos(360°+150°)=cos150°=cos(90°+60°)=一sin60°=-等,

故选：B

2.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|3x</},则下列说法正确的是()

A.AuB={4,6,8,10}B.Ac3=0

C.A^BD.AcQ3={0,2}

【正确答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合8={x|x>3或x<0},然后根据集合的运算和

基本关系逐项判断即可求解.

【详解】由题意可得：8={x|3x<x2}={x|x>3或x<0},

对A,又因为A={0,2,4,6,8,10},所以A3={x|x40或x=2或x>3},故选项A错误；

对B,厶»={4,6,8,10),故选项B错误；

对C,集合AB不存在包含关系，故选项C错误；

对D,因为«B={x|04x43},所以Ac48={0,2},故选项D正确，

故选.D

3.已知“p:一元二次方程£+笈+°=0有一正根和一负根；q：c<0.”则p是q的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】根据根与系数的关系及充分条件、必要条件

△=6?—4c>0

【详解】因为方程戸+火+1=0有一正根和一负根，则有｛oc<0,

c<0

所以pn%4=>P,故p是4的充分必要条件.

故选：C

4.方程x=3-lgx的根所在的区间为（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【正确答案】B

【分析】构造函数/（x）=lgx+x-3,利用零点存在定理求出函数f（x）的零点所在的区间即

可得方程x=3-lgx的根所在的区间.

【详解】设函数〃x）=lg龙+尤-3,易知在（0,+巧上单调递增，

K/（2）=lg2+2-3=lg2-l<0,/（3）=lg3+3-3=lg3>0,

所以函数/（"=但》+》-3的零点所在的区间为（2,3）,

即方程*=3-怆》的根所在的区间为（2,3）.

故选:B.

5.己知/（x）=2sin（<yx+0）,°e（O,；T）是定义在R上的偶函数，且最小正周期7=4万，贝lj

A.6B.-石C.-1D.1

【正确答案】A

【分析】根据正弦型三角函数最小正周期与偶函数得出。与九即可代入求值.

【详解】函数/（x）=2sinM+f）的周期T=4万，

2乃41

・二冋=4乃，解得①=±5，

函数”x）=2sin（3+f）是定义在R上的偶函数，

.TC,

:.（/）=--\-K7r,

°w（0㈤,

/(x)=2sinf±-x+^=2cosf±1xj,

"图=28S(±35=2COS(±£|3

故选：A.

a

6.己知4cos25—2二］,则tan2a=()

2cosa+sina2

144

A.—B.1C.一D.

253

【正确答案】D

【分析】根据二倍角余弦公式、正切公式，同角三角函数的基本关系求解.

d/>a_9

【详解】由5一—2cosa_2=1,

2cosa+sina2cosa+sina2+tana2

解得tana=2,

c2tana44

tan2a=-------；—=-----=——

l-tan-a1-43

故选：D

7.己知函数/(*)=1叫5(—+以+与的单调递增区间是［2,3)厠〃2)=()

A.-1B.1C.0D.2

【正确答案】C

【分析】利用函数的定义域和复合函数的单调性求解即可.

【详解】设“=-d+or+6,则“为开口向下，对称轴为》=一日小的抛物线,

因为函数y=log°s"在定义域内单调递减，函数/(x)的单调递增区间是［2,3),

------7—c=2［a=4

所以由复合函数单调性的定义可得2x(-1),解得

,\b=-3

-32+3a+h=01

所以f(x)=logo..’(-X2+4X-3),

2

所以/(2)=log05(-2+4x2-3)=log051=0,

故选：C

8.对于函数/(x),若与,当满足〃百)〃々)=/(3+々)，则称士尼为函数/(刈的一对“类

指数”.若正实数。与》为函数/（x）=依仏＞0）的一对“类指数”，。+動的最小值为9,则4

的值为（）

A.1B.1

4

C.-D.2

3

【正确答案】B

【分析】根据正实数。与b为函数W（QO）的一对“类指数”，得到：+：=%,再利

用“1”的代换，由基本不等式求解.

【详解】因为正实数〃与匕为函数/（力=依仅＞0）的一对“类指数”，

所以/⑷〃b)=/(a+6),

即=即丄+:=么，

所以妬•奶二%(a+b),

ab

所以a+46=：(a+46)；

当且仅当竺即。=力时，等号成立,

ab

又a+助的最小值为9,

所以火的值为1,

故选：B

二、多选题

9.已知正数x,y,z满足等式2,=3,=6，，下列说法正确的是()

A.x>y>zB.3x=2y

111111c

C.—+-------=0nD.-------+-=0

xyzxyz

【正确答案】AC

【分析】令2*=3>=6：=M%>1),可得

x=log,k=—^―,y=log3k=丁二,z=log6k=—^―,根据对数的运算逐项判断即可.

log*2log*3log*6

【详解】设2*=3>=6;=%(%>1),贝(Jx=log2院y=log3Ez=log6h

1]

因为x=k>g2%=,y=log,k=

1嗝2bg*6

且0<log*2<log,3<log*6,

所以^-T>--->--即x>y>z,故A正确;

log*2log*3log,6

.31n%C21n^,3x31n3……

3x=77,2y=-；■/■,则n丁=彳可>1,故B错误；

In2In32y21n2

-+-=logt2+logt3=log,6=丄，故C正确；

z

丄丄+丄

=log.2-log3+logk6=log,4w0,故D错误.

xyzAA

故选:AC.

10.已知函数/(x)=4sin®x+9)(xeR,A>O,0>O,同的部分图像如图所示，则下列

A.“X)的图像关于点(一%。卜寸称B.“X)的图像关于直线x=g对称

C./(x)在上为增函数D.把/(x)的图像向右平移；个单位长度，得

到一个奇函数的图像

【正确答案】ABC

TT

【分析】根据函数图像求出函数解析式:/(x)=2sin(mv+m),然后利用三角函数的性质逐

6

一判断即可.

5]244

【详解】由已知A=2,T=4x(———)=2,co=—-=n,2sin(-4-^7)=2,

6323

?+0=2k7r+gkwZ,又陷<],

(p=—,f(x)=2sin(^x+—),

66

显然/(_3)=25也(一看+看)=0,A正确；

71.7t14

7TXH-----=K7TH------，x=k+-,keZ,攵=1时，x=—,8正确;

6233

侬-总时，”…戸-另］,…n,在玛甲上递增，因此C正确;

把f(x)的图像向右平移|个单位长度，得函数表达式为

7T

-2sin(^x-—)=-2cos^-.r,它是偶函数，。错误.

故选：ABC.

本题考查了三角函数的图像求解析式、三角函数的性质，掌握正弦函数的性质是解题的关键,

属于基础题.

11.已知。>0、b>0,a+2b=ab,则下列说法正确的是()

A.a>2,b>iB.他的最小值为8

C.a+b的最小值为3D.(a-2)2+S-iy的最小值为4

【正确答案】ABD

【分析】对于A,将。+抄=必化为〃=一々与〃=芸；对于B,直接利用基本不等式构

a-2h-\

?1

造一元二次不等式可求出而的最小值；对于C,。+给=必化为一+7=1,利用乘力”法可

ab

求。+力的最小值；对于D,将〃=二代入(a-2)2+S-l)2,利用基本不等式即可求解.

a-2

【详解】因为。+4=姉，所以6=—3—>0且〃>0,可得a>2.

a-2

又”=3>0且b>0,可得匕>1,故A正确；

b-\

ab=a+2bN2Ja.2",即"28,当且仅当人=2,。=4时等号成立，故B正确;

21

因为〃+勖="，所以—+—=1.

ab

所以4+匕=(4+/?)偿+丄］=3+&+0*3+2、陛@=3+20,

\ab)ab\ab

当且仅当。=2+&,b=&+l时等号成立，故C错；

将人=二代入(a-2)2+(6-l)2,可得

a-2

("2『+("-1)2=(“-2『+(六-1)=(“-2丫+(£)=(a-2)2+^jT

>2（a-2）2x―5-=4

V'（"2『，

当且仅当4=2+夜时等号成立，此时匕=0+1，故D正确.

故选：ABD.

•丄

12.已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当xNO时，/（x）=X，,0-X<1,则下列

|x2-6x+8|,x>1

说法正确的是（）

A.函数〃x）在[2,3]u[4,+e）上单调递增

B.函数g（x）=logKx+2）的图象与函数f（x）的图象仅有4个交点

C.不等式的解集为（9,一5][5,物）

D.方程[〃、）]2-如/（力+（2“-4）=0有6个不相等的实数根，则实数“>5

【正确答案】BD

【分析】作出函数的图象，利用数形结合的思想对选项一一判断即可得出答案.

■丄

【详解】由函数/（X）是定义域为R的偶函数，当XNO时，/（A>炉，0"<1,

,2-6x+8|,x>1

函数/（X）在[2,3]34，+8）上单调递增，不满足增函数的定义，说法不正确，

应该为：函数f（x）在[2,3],[4,转）上单调递增，所以A错误；

由图中可知，函数g（x）=k）gKx+2）的图象与函数/（X）的图象仅有4个交点，所以B正确;

1

当04x<l时,y（x）=x^<3不满足；

当X21时，/(X)=|X2-6X+8|>3,解得：或x=l,

因为/*)是定义域为R的偶函数，

所以不等式/(x)N3的解集为(口,-5]35,+功3-11｝，故C不正确；

令f,则方程"(x)了-a.“力+(2a-4)=0等价于

/'—at+(2i7—4)=0,解得：f=2或r=a-2,

当f=2时,即f=2与/(x)的图象有4个交点,

要使方程[“X)7-a.f(x)+(2a-4)=0有6个不相等的实数根，

当f=a—2与f(x)的图象有2个交点，贝ija—2>3,解得：a>5,故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13.已知“命题p:X/a>90,则a是钝角”，则命题。的否定为.

【正确答案】3a>90，使a不是钝角

【分析】根据全称命题否定的形式即可写出答案.

【详解】全称命题的否定为特称命题，依题意，命题〃的否定为：3a>90,使a不是钝角.

故ma>90，使a不是钝角

14.cos346cos419+sin14sinl21=.

【正确答案】—

2

【分析】利用诱导公式化简，再根据和与差的公式计算即可.

【详解】cos346cos419+sin14-sinl21=cos\4°ms59°+sin\4°sin590=cos(59°-14),

=cos45=——.

2

故答案为立

2

本题考查了诱导公式化简能力以及和与差的公式计算，比较基础.

15.写出一个同时满足下列三个性质的函数：/(%)=.①f(x)为偶函数；②/(x+1)

为奇函数；③/(X)在R上的最大值为2.

JT

【正确答案】/(x)=2cos-x(答案不唯一)

【分析】由〃X)为偶函数，可考虑余弦型函数，故可设,f(x)=Acos5,然后通过余弦函

数的性质求得即可.

【详解】从三角函数入手，由于/(x)为偶函数，可考虑余弦型函数，故可设

/(X)=Acoscox^A>0),

由/(X+1)为奇函数，且/(X+1)是/(X)向左平移1个单位长度得到，

所以(1,0)是“X)的对称中心，则0=]+E,keZ,

TT

不妨令&=o,则0=5,

由/(x)在R上的最大值为2可得A=2,所以〃x)=2cos]x.

故/(x)=2cos^x(答案不唯一).

16.已知函数〃x)=2，,A>0,若存在不<》2,满足/(%)=/(9),则电Tog2(M+C的

x+l,x<0

取值范围是.

【正确答案】口,一)

【分析】画出“X)的图象，根据题意可得y=6与y=/(x)的图象有两个交点，由此得到占,马

的关系和取值范围即可求解.

【详解】根据题意作f(x)的图象如图所示，

若存在占<々，满足/（不）=/5），则与y=/（x）的图象有两个交点，

由图象可得此时-1<X]4O,占+1=2*2-1,即2*=%+2,

2*2「]、

所以％-1082（%+1）=10822*2-1082（占+1）=1082-^=10821+-~->log,2=1,

兀+1%+I丿

故［1,+co）

四、解答题

2

17.已知函数/（外=/+加-3有两个零点不电，且占，工2的倒数和为

⑴求不等式f（x）40的解集P;

⑵已知集合S={x|x（帆或x>〃?+l}.若低S）P=0,求实数机的取值范围.

【正确答案】（1）{X|TMX43}

（2）（-<»,-2）O（3,+00）

【分析】（1）根据零点的概念得到士，9是方程/+反-3=0的两实根，从而利用韦达定理,

结合题设条件得到关于b的方程，求得6后再解不等式/（x）<0即可得解；

（2）先利用集合的补集运算求得\S,再利用集合交集为空集，结合数轴法得到关于力的

不等式，解之即可.

【详解】（1）因为函数/（x）=x2+Z?x-3有两个零点±,毛，

所以西，三是方程产+m-3=0的两实根，

所以△=从+12>0恒成立，xt+x2=-b,XCX2=-3,

11211%/__b_b

——I----

又因为丁丁一377T=^3=3J

王&-A1人)O

所以t=-g，解得匕=一2,

所以fM=x2-2x-3,

故由得/一21一340,B|J(x-3)(x+l)<0,ft?W-l<x<3,

所以P={x|—1W%W3}.

(2)因为S={x|x<机或x>m+l},

所以0S={x|/n«xWm+l},

因为&S)「P=0,P={x\-i<x<3}9

所以帆+1<-1或相>3,解得mv-2或6>3,

故加的取值范围为(T»,-2)U(3,«»).

18.在平面直角坐标系xOy中，0是坐标原点，角ae，5,。)，其终边与以原点为圆心的

单位圆。交于点北

⑴将射线。尸绕点。按逆时针方向旋转1弧度后交单位圆。于点。，求点Q的坐标；

(2)若角7且cos(y-a)=|,求si”的值.

【正确答案】⑴除制

⑵¥

【分析】(1)先求出点P的坐标，然后利用三角函数的概念及诱导公式求解;

(2)利用同角关系及两角和差的正弦公式求解即可.

【详解】⑴由题意可知，除［+",又冋-别，”喑

cosa=^,sina=--,易知,射线3是角［«+］

的终边,

1010

由三角函数的定义可知:

=如「++=*=速,q=<4a+q=_siu正,

(2丿10。(2丿10

(B［布、

即点。的坐标为它,卡

⑵冋咽，

则7-aw(0,7i),

/.sin(y_a)=J]_cos2(y_a)=',

/.sin/=sin-a)+a]=sin(y-tz)coscr+cos—a)sina=厶連+，也L也

510510)2

19.已知函数/(x)=(〃-4a+4)1是指数函数，函数g(x)=；；；：：.

⑴求函数3=(/(力-2卜(〃耳+1)在［0,1］上的值域；

(2)若函数g(x)是定义域为R的奇函数，试判断函数g(x)的单调性，并用定义证明.

【正确答案】⑴[-2,4]

(2)是R上的增函数，证明见解析

【分析】(1)根据指数函数定义求出“，r=3''换元后利用二次函数求值域即可；

(2)根据奇函数定义求出加，再由单调性的定义证明即可.

【详解】(1)/(x)=(〃—4a+4)•优是指数函数，贝IJ/—夂/+4=1,。＞0且awl,解得a=3,

.•./(x)=3\令f=3*,则y=(r-2)«+l),

••■ye[-2,4],即函数)=(〃0-2〉(/(*)+1)在[05上的值域为[-2,4]；

(2)g(x)=王二丄是定义域为R的奇函数，则g(r)=-g(x),

3+m

由g(T)=±%上空*)=3

\7yx+ml+/n3v\丿m+y

解得m=\f

g(x)="=i2—是增函数，下面用定义加以证明：

v'3、+13'+1

设任意的X|，X2€R且X＜占，则

2（3"-3-）

g（xj-g（x2）=

（3V1+1）（3'3+1）

（）（

苔<三,则3"-3-<0,又3"+13*+1）>0,.-.g（x,）-g（x2）=（3为+1）（3位+1）＜0

即ga)＜g(电)，,g⑺=一二是R上的增函数•

20.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11

月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟

十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、

刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的

理想状态下，可用公式v=%ln”计算火箭的最大速度v(m/s),其中%(m/s)是喷流相对速

度，，〃(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，丝称为“总质

比”，已知A型火箭的喷流相对速度为500(m/s).

（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为

原来的子，若要使火箭的最大速度至少增加500（m/s）,求在材料更新和技术改进前总质比

的最小整数值.

（参考数据:In2yo.7,ln5«1.6,2.718<e<2,719）

【正确答案】（1）2650m/s

⑵11

【分析】（1）由%=500,匕=200代入己知公式即可求解；

m

（2）设材料更新和技术改进前总质量比为x,列出不等式10001n1-5001nx2500,解不等

式即可.

【详解】（1）由已知可得v=500ln200=500（ln2+lnl00）=500[ln2+2（ln2+ln5）]

=500（3ln2+21n5卜2650m/s.

（2）设在材料更新和技术改进前总质比为x,且匕=%lnx=5001nx,v2=10001np

若要使火箭的最大速度至少增加500m/s,所以3-匕=10001n1-5001nx2500,

即2ln2—InxNl,Inf——lnx=In—>1,

2（2丿4

所以;2e,解得xN4e,

4

因为2.718<e<2.719,所以10.872<4e<10.876,

所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11.

21.已知函数/（X）的定义域为R,其图象关于原点成中心对称，且对任意的a,6eR,当

。+荘0时，都有/（“）+/（"）<（）成立.

a+b

⑴试讨论与/（。）的大小；

（2）若关于X的不等式/d+2x）+/（-7）40在xw（利”）上恒成立，求实数m的最小值.

【正确答案】（1）答案见解析

尾

【分析】(1)根据奇偶性和单调性的定义可得函数为单调递减的奇函数，然后根据函数单调

性即得；

(2)利用/(%)的奇偶性和单调性将原不等式转化为己+2x27在x上恒成立，

利用均值不等式求解即可.

【详解】(1)显然当a=b时，=

当标〃时，因为函数/(x)的定义域为R,且图象关于原点成中心对称,

则f(x)为奇函数，即f0)=—f(询,"0)=0,

先考虑当任意的〃力e[(),y),由题可得<0,

〃+(-/?)a-b

由函数单调性的定义可知/(x)在[0,+8)上单调递减,

又f(X)是定义在R上的奇函数，所以“X)在定义域R上单调递减，

所以当时，/(a)>/("当时，〃“)</(b)；当〃=力时，〃“)=〃b)；

(2)由(1)知函数〃x)为R上的减函数且为奇函数，

则六+2X”(-7)40,即/(匕+2小一/(一7)=八7),

2

即----+2犬27在x£(〃?,+oo)上恒成立，

x-m

因为,则一--4-2(x-A7?)+2/n>2/|—-—\x2(x-m)+2m=4+2m,