2023-2024学年广东省深圳市名校联考高一（上）期中数学试卷

2023-2024学年广东省深圳市名校联考高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）下列元素的全体可以组成集合的是（）

A.人口密度大的国家B.所有美丽的城市

C.地球上的四大洋D.优秀的高中生

2.（5分）命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（）

A.存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等

B.锐角三角形的三个内角都相等

C.锐角三角形的三个内角都不相等

D.锐角三角形的三个内角不都相等

3.（5分）已知集合A={（尤，y）\y—x）,B={（x,y）|y=5-4x},则AC3=（）

A.（1,1）B.{（1,1）}

C.（-1,-1）D.{（-1,-1）,（1,1）}

4.（5分）设a,b,c为△ABC的三条边长，则“a=b”是“AABC为等腰三角形”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.（5分）已知函数/（x）的定义域为[2,8],则函数y=笔字的定义域为（）

A.[4,10]B.[0,6]

C.[4,5)U(5,10]D.[0,5)U(5,6]

6.(5分)比2+提的最小值为(

A.2V10-1B.2V10C.2V5-1D.10

7.（5分）若/（%）=（2x+3?4%-a）为奇函数,则°=（）

A.2B.4C.6D.8

8.（5分）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所

有礼服均被租出;若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10尤元（1WxW20,xCZ）,

则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万

元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）

A.220元B.240元C.250元D.280元

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）下列命题中，不正确的有（）

A.对角线垂直的四边形是菱形

B.若无>»则/>«

C.若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比

D.若m>2,则方程/-〃a+1=0有实根

（多选）10.（5分）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

IWQI

A.CUBA（AUC）B.CU（（AAB）U（BAO）

C.AU（CnCuB）D.（AnCuB）U（CnCuB）

（多选）11.（5分）若。>0,b>0,则下列判断正确的是（）

A.若a-6=1,则

B.若a>b,则

C.若，F-=L贝历〉历

11

D.若一+—=1,贝I]（a-1）（76-1）=1

a7b

（多选）12.（5分）已知函数/（无）满足对任意无，yeR,f（x+j）+/（尤-y）—If（x）+2/

（y）恒成立，则（）

A.f（0）=0

B.f（3）=9f（1）+1

C.64f（1）=/（-8）

D.函数/（x-3）的图象关于直线尤=3对称

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

1

13.（5分）用符号“6”或“C”填空：0N-,-Q；2.4Z；V3°；

4Z.

14.(5分)比较大小：V3+V72逐；(填不等号)

15.(5分)某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程

共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报

名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门

课程，现有下列四个结论：

①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；

②只报名舞蹈的有36人；

③只报名声乐的有20人；

④报名两门课程的有14人.

其中，所有正确结论的序号是.

2xI1x£/Vy

''已知且

{6—3%,xEN,

f(/Q))eM,则a的取值范围为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知“6R,命题p：-4x+wW0,q：VAGR,X2-(M-3)x+1^0.

(1)判断p,q是全称量词命题，还是存在量词命题；

(2)若0,q均为真命题，求〃的取值范围.

18.(12分)已知集合4={尤|/-2x-8<0},B={x|a-1<尤<。+3}.

(1)当a=-2时，求AUB；

(2)若408=8,求。的取值范围.

19.(12分)已知/+8贬=4.

(1)若a与6均为正数，求ab的最大值；

12

(2)若。与6均为负数，求=+77的最小值.

azbz

20.(12分)已知函数了(无)满足/(无)+2/(-x)=-3x-6.

(1)求/(x)的解析式；

(2)求函数g(x)—xf(x)在［0,3］上的值域.

21.(12分)某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单

价为尤元，冰淇淋月饼的单价为y元，且0<x<y,现有两种购买方案(0<a<b)；

方案一，流心月饼的购买数量为。个，冰淇淋月饼的购买数量为。个；

方案二，流心月饼的购买数量为6个，冰淇淋月饼的购买数量为a个.

(1)试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.

____7

(2)若a,b,x,y满足y=2x—47(x—6(久>6),6=3a+石石(a〉6),求这两种方案

花费的差值S的最小值(注：差值S=较大值-较小值).

1

22.(12分)已知函数人久)=/一a

(1)判断了(x)的奇偶性，并证明.

(2)利用单调性的定义证明：/(%)在(0,+8)上单调递增.

⑶若函数g(x)=|巧专一2%+2］(a>0)在［2,4］上是增函数，求a的取值范围.

2023-2024学年广东省深圳市名校联考高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）下列元素的全体可以组成集合的是（）

A.人口密度大的国家B.所有美丽的城市

C.地球上的四大洋D.优秀的高中生

【解答】解：由题意，选项都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，

可以组成集合.

故选：C.

2.（5分）命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（）

A.存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等

B.锐角三角形的三个内角都相等

C.锐角三角形的三个内角都不相等

D.锐角三角形的三个内角不都相等

【解答】解：根据题意，命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”为存在量词

命题，

其否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”.

故选：D.

3.（5分）已知集合A={（无，y）\y=x],B={（x,y）|y=5-4x},则AC8=（）

A.（1,1）B.{（1,1）}

C.（-1,-1）D.{（-1,-1）,（1,1）}

【解答】解：由{:＞叱解得：

故ACIB={（1,1）}.

故选：B.

4.（5分）设。，6c为△ABC的三条边长，则“a=b”是“△ABC为等腰三角形”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解：由题意，

充分性：若。=6,则AABC为等腰三角形.

必要性：若AABC为等腰三角形，则a,b不一定相等.

故选：A.

5.(5分)己知函数/(%)的定义域为[2,8],则函数丫=华字的定义域为()

A.[4,10]B.[0,6]

C.[4,5)U(5,10]D.[0,5)U(5,6]

【解答】解：函数/(%)的定义域为[2,8],

则『工：二解得4WxW10且无W5,

故函数y=/写)的定义域为[4,5)U(5,10].

故选：C.

6.(5分)/+瑞的最小值为()

A.2V10-1B.2V10C.2V5-1D.10

【解答】解：因为％24■—=/+1——1>2+1).---1=2“U—1,

XZ+1%Z+17xz+l

当且仅当—+1=,即即％=±JV1U-1时,等号成立，

xz+l

所以/+4智的最小值为2"U-1.

xz+l

故选：A.

7.(5分)若/⑺=(2x+344x-a)为奇函数,则。=()

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：根据题意，函数f⑺=(2x+3?4Aa)为奇函数,其定义域为{RxWO},

贝U/(x)+/(-x)=8/+(12；2加—3a+8(r)”与2a)x—3a=—4a=0,

变形可得：a=6.

故选：C.

8.(5分)某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所

有礼服均被租出;若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10%元(1WXW20,XEZ),

则被租出的礼服会减少10尤套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万

元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）

A.220元B.240元C.250元D.280元

【解答】解：依题意，每天有300-1Ox套礼服被租出，

该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为

（300-10%）-（200+10无）=-100X2+1000X+60000.

因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，

所以-100/+1000氏+60000>62400,

即f-10彳+24<0,解得4Vx<6.因为1WxW20且xeZ,所以尤=5,

即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.

故选：C.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）下列命题中，不正确的有（）

A.对角线垂直的四边形是菱形

B.若龙>y,则/>/

C.若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比

D.若相>2,则方程/-mx+l=0有实根

【解答】解：对于A,等腰梯形的对角线也可能垂直，故A错误；

对于3,当尤=-1,y=-3时，x2<y2,故8错误；

对于C,若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，故C错误；

对于D,方程x2-mx+1=0有实根，

则△—nr-4'0,解得或“zW-2,

故当优>2,则方程/-如+1=0有实根，故。正确.

故选：ABC.

（多选）10.（5分）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A.CUBA(AUC)B.Cu((Ans)u(sno)

C.AU(CnCuB)D.(AACuB)U(CACuB)

【解答】解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：CUBA(AUC)或(AGCuB)U(C

ncuB).

故选：AD.

(多选)11.(5分)若a>0,b>0,则下列判断正确的是()

A.若则

B.若a>b,则/人)〃/

C.若—仿=1,则5〉迎

11

D.若一+—=1,贝!J(〃-1)(7Z?-1)=1

a7b

【解答】解：A：若a-b=l,则〃=b+l>A,Va>VF,故A错误；

B：若a>b,则do一〃层:出？(a-b)>0,故B正确；

c：若VF—6=1,则6=VF—1,6—=6—VF+1=(VF—力2+4>o,故c

正确；

11a+7b

D：若一+—=1.则-----=1,即a+7b=7ab,得(a-1)(7b-1)=lab-a-76+1

a7b7ab

=1,故£>正确.

故选：BCD.

(多选)12.(5分)已知函数/(x)满足对任意x,yeR,f(x+y)-+/(x-y)—If(x)+2f

(y)恒成立，则()

A.f(0)=0

B.f(3)(1)+1

C.64/(1)=/(-8)

D.函数/(x-3)的图象关于直线x=3对称

【解答】解：令x=y=0,得/(0)+f(0)=2f(0)+2f(0),则/(0)=0,A正确；

令x=y=l,则/(2)=4/(1),令x=2,y=l,得/(3)4/(1)=2f(2)+2f(1),即

/(3)=力(1),B错误;

令*=丫=2,得/(4)+f(0)=4/(2)=16f(1),

令x=y=4,得/(8)+f(0)—4f(4)—64-f(1),

令x=0,得/(y)4/(-y)=2f(y),即/(y)=f(-y),

所以7(8)=/(-8),所以/(-8)=64f(1),C正确；

由C的分析可知/（无）的图象关于y轴对称，

所以函数/（尤-3）的图象关于直线尤=3对称，O正确.

故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

1

13.（5分）用符号“e”或"C”填空：0eN；-e0；2.4gZ；W庄。;

4eZ.

【解答】解：因为N是自然数集，。是有理数集，Z是整数集，

1

所以06N,-eQ2.4gz,V3gQ,4ez.

故答案为：G;G;C;g;e.

14.（5分）比较大小：V3+V7<2V5；（填不等号）

【解答】解：（,+77）2-（2V5）2=10+2721-20=2721-10=2（VH-V25）<0,

.1.V3+V7<2V5,

故答案为：<.

15.（5分）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程

共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报

名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门

课程，现有下列四个结论：

①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；

②只报名舞蹈的有36人；

③只报名声乐的有20人；

④报名两门课程的有14人.

其中，所有正确结论的序号是②③④.

【解答】解：如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人，

贝I]45+26+33-90=5+8+无，解得x=l,

所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人，

只报名舞蹈的有45-8-1=36人，只报名声乐的有33-8-5=20人，

报名两门课程的有8+5+1=14人.

故答案为：②③④.

2xI1x£/VZ

''已知且

{6—3%,xEN,

11

f(/(cz))GM,则a的取值范围为(：,不.

【解答】解：因为。所以/(。)=2〃+1£[1,3),

则/(/(〃))=6-3(2。+1)=3-6a,

由/(/(a))EM,可得OW3-6“V1,

「11

解得二V。m二.

32

11

故答案为：(3-].

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知命题p：3xGR,x2-4x+〃W0,q：VxER,x2-(〃-3)x+l20.

(1)判断p,9是全称量词命题，还是存在量词命题；

(2)若p,q均为真命题，求〃的取值范围.

【解答】解：(1)根据题意，命题p：冗2-4X+〃W0,

符号"于'表示"存在一个”，“存在一个”是存在量词，

所以p是存在量词命题，

q：VxGR,x2-(〃-3)x+120,

因为符号”V表示“所有”，“所有”是全称量词，

所以9是全称量词命题；

(2)对于命题p,若三尤R,x2-4x+n^0,则Ai=16-4〃N0,解得〃W4,

对于q：VxGR,x2-(〃-3)x+l20,贝I4=(九一3尸一440,

解得

因为夕，q均为真命题，所以〃的取值范围为[1,4].

18.(12分)已知集合4=口*-2x-8<0},B={x\a-\<x<a+3}.

(1)当o=-2时，求AU&

(2)若4^8=8,求°的取值范围.

【解答】解：⑴集合A={x|/-2x-8V0}={x|-2<x<4},

a=-2时，B—［x\-3<x<l},

所以AU8={x|-3<x<4}.

(2)因为AAB=8,所以8UA,

则{叫建『，解得

所以a的取值范围是{a|-iWaWl}.

19.(12分)已知/+8序=4.

(1)若a与6均为正数，求ab的最大值；

(2)若a与6均为负数，求+5的最小值.

azbz

【解答】解：(1)因为。与b均为正数，

所以由基本不等式可得：a2+8b2=4>2Va2-8b2=442ab,

当且仅当/=8d，即a==应时，等号成立，

所以ab<孚，

V2

所以油的最大值为二.

2

(2)因为。与b均为负数，

所以02>o,b2>0,

“，121?1218b22a21/—25

所以忘+/=7(Y+7)(—+G)=7(17+―+TT)>；(17+2V16)=―，

az匕24azbz4azbz

O2202/匚

当且仅当言=笆，即a=&6=-等时，等号成立，

a2b25

所以二十总的最小值为序.

az匕24

20.(12分)已知函数/(%)满足/(%)+2/(-x)=-3%-6.

(1)求/(%)的解析式；

(2)求函数g(x)=xf(x)在［0,3］上的值域.

【解答】解：(1)由7(%)+4(7)=-3%-6,

可得/(-％)+2f(龙)=3%-6,

通过消元可得/(%)=3x-2；

(2)由题意可得g(%)=xf(x)=3f-2x,

因为g(X)的图象的对称轴为x=全

所以9(久)7nin=g(3=3x卷一2x/=-/，g(x)max—g(3)=3X9-2X3=21,

所以g(x)在［0,3］上的值域为［—/，21］.

21.(12分)某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单

价为尤元，冰淇淋月饼的单价为y元，且0<x<y,现有两种购买方案(0<a<b)；

方案」流心月饼的购买数量为。个，冰淇淋月饼的购买数量为万个；

方案二，流心月饼的购买数量为6个，冰淇淋月饼的购买数量为。个.

(1)试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.

(2)若a,b,x,y满足y=2%—4、x—6(%>6),b=3a+用石(a>6),求这两种方案

花费的差值S的最小值(注：差值S=较大值-较小值).

【解答】解：(1)方案一的总费用为Si=ox+by(元)，方案二的总费用为我="+法(元)，

则S2-Si=〃y+fcv-(Qx+by)=a(y-x)+b(x-y)=(y-x)(a-b)f

因为a<bf所以(y-x)(〃-/?)<0,即S2Vs1,

所以采用方案二花费更少.

(2)由(1)可知，S=S］—S?=(y—x)(b—ct)—(%—4-——6)(2a+,

令力=7x-6,X=2+6,%-4、％-6=2+6-4/=(L2)2+2^2,

因为〃>6,所以2aH-----—2(a—6)H--------+12Z/2((z—6),—-7+12=16,

a—6、'a—o7a—6

所以差值S的最小值为2X16=32,

7

当且仅当f=2,%=10,y=12,2(口—6)=5石，即〃=7,8=23时，等号成立，

故两种方