2023-2024学年上海市高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年上海市高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

1.已知原〃表示两个不同的平面，机为平面α内的一条直线，则“a，，”是“相，尸”的

________条件

【正确答案】必要不充分

[分析]根据直线和平面的位置关系以及充分必要条件的定义可判断.

【详解】若口，£,加与面用不一定垂直，

若“，尸，根据面面垂直的判定定理可得a_L力，

故必要不充分∙

2.一个总体分为AB两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知B层

中每个个体被抽到的概率都是W，则总体中的个体数为.

【正确答案】240

【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论

【详解】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.

由B层中每个个体被抽到的概率都为、，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是总，

所以总体中的个体数为20q=240.

故答案为.24()

3.已知数据不、々、⅞'巧、与是互不相等的正整数，且7=3，中位数是3,则这组数据的

方差是.

【正确答案】2

【分析】根据题意可求得五个数据，利用方差公式可求得结果.

【详解】设公<W<*3<Z</，则七=3,

又因为数据是互不相等的正整数，所以％=1,%=2,

X=3,.∙.x4+x5=9,x4=4,X5=5,

22222

S=ɪ[(ʃ,-3)+(x2-3)2+(Λ3-3)+(x4-3)+(X5-3)]=2.

故答案为.2

4.若正四棱柱ABeZ)-AqGA的底面边长为1,A片与底面ABe。成60。角，则AG到底面

ABCD的距离为.

【正确答案】√3

【分析】确定Aa到底面ABCZ)的距离为正四棱柱ABCO-AMGA的高，即可求得结论.

【详解】；正四棱柱ABCD-ABeP,

，平面ABCD//平面AiBlClDt,

AClU平面AiBiClDl,

.•.AC〃平面ABCD,

AG到底面ABCo的距离为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高

：正四棱柱ABC。-ABCQ的底面边长为1,ABl与底面ABa)成60。角，

AAt=G

故答案为:6.

5.某学校有学生1485人，教师132人，职工33人.为有效预防甲型HINI流感，拟采用分

层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取人.

【正确答案】45

【分析】根据分层抽样的性质，先求出抽样比例，进而可求出结果.

【详解】由题意可知：分层抽样的抽样比为

1485+132+3333

所以学生中应抽取1485χf=45,

故答案为.45

6.过正方形ABCD之顶点4作A4_L平面ABa>,若E4=AB,则平面43P与平面Cf)P所

成的锐二面角的度数为.

【正确答案】45°

【分析】将四棱锥补成正方体即可求解.

【详解】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：

连接CE,则平面COP和平面CPE为同一个平面,

由题可知PEj_平面BCE,BE,CEu平面BeE,

：.PELBE,PELCE,又平面ABP和平面CDP=PE,BEU平面ABP,CEU平面CDP,

.∙.NCEB为平面4?尸和平面CDP所成的锐二面角的平面角，大小为45。.

故答案为.45。

7.ABC的三边长分别为3、4、5,P为平面45C外一点，它到三边的距离都等于2,则尸

到平面ABC的距离是.

【正确答案】√3

【分析】作Pol平面ABC于。，由题可得。是「4BC的内切圆圆心，可得半径r=1,进而

即得.

【详解】如图；ΛBC,ΛB=3,BC=4,AC=5,贝ILABC为直角三角形，

作Pol平面ABC于。，PDLAB于D,PELBC于E,PF_LAC于F,连接。。,。旦。尸，

由题可知Pf)=PE=P尸=2,故OD=OE=OF,

由Pol平面ABC,ABU平面ABC,

所以PolA8,又∙,PDPO=P,PDu平面POr),POU平面POr),

.∙.ΛB∕平面POO,Z)OU平面POz),

.∙.ABA.OD,同理BC_LOE,4C_LOF,

故。是RtZVlBC的内切圆圆心，设其半径为r,

贝ιjgx3x4=∕x(3+4+5)r,

所以r=OD=l,

所以PO=J2?-P=6・

故答案为∙G

8.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概

率为0.65,摸出黄球或白球的概率为0.6,那么摸出白球的概率为.

【正确答案】0.25

【详解】设摸出白球、红球、黄球的事件分别为A,RC,根据互斥事件概率加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65,P(A+C)=P(A)+P(C)=0.6,

P(A+3+C)=P(A)+P(3)+P(C)=I,解得P(A)=0.25.

9.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是、

甲乙

829~

91345

254826

785535

667

【正确答案】45,46

【详解】10∙如图，在长方体ABCQ片G。中，AB=BC=2,与8C∣所成的角为

则BG与平面防QQ所成角的正弦值为

【正确答案】1##0.5

【分析】由题可得ABS-ABIGA为正方体，根据正方体的性质结合条件可得NCf。为直

线BG与平面B8QQ所成角，进而即得.

【详解】因为在长方体ABC。-AqG。中，AB=BC=2,

，上下底面为正方形，

连接AR,则8CJ/AR,AQ与BG所成的角为

.∙.A。与4。所形成的角为即

.∙.MRO为正方形，ABeQ-ABlG。为正方体，

因为用8J.平面AlBtClDl,GOU平面AlBiCiD,,

所以B18_LG。，又B]B∖B∣2=B],B∣BU平面BBQQ,BaU平面BBaD,

所以GOJ•平面BBQ。，连接80,

则NGBO为直线BC1与平面54DQ所成角，

由题可知RtCIB。中，BC1=2√2,CQ=M,

：.sinNGB。=；,即BG与平面BBa。所成角的正弦值为g.

故答案为]

o

11.如图，在三棱柱ABC-ABlG中，ZAC8=90。，ZΛCCl=60,ZBCC1=45°,侧棱CG

的长为1，则该三棱柱的高等于

B1

G

【正确答案】T##0.5

【分析】过CI作平面AC8、直线BCAC的垂线，交点分别为O,D,E,可得四边形OECD

B1

为矩形，结合条件可得CQ=芋，OD=；,进而即得.

【详解】过G作平面AC5、直线8C、AC的垂线，交点分别为O,D,E,连接O。、OC.

0E,则G。即为三棱柱的高,

由Goj.平面ACB,ACU平面ACB,可得Go_LAC,

又AC∙LGE,GOGE=G,CQu平面C0E,GEU平面GOE,

所以ACL平面C0E,又OEU平面GOE,

所以ACLOE,同理可得OZ)J.8C,又NACB=90。，

所以四边形OEC。为矩形，

o

在直角三角形ECa和。Ccl中，ZACC1=60,ZBCC1=45°,侧棱CG的长为1,

则CE=gcC∣=g,CD=GD=

所以OD=CE=L,

2

所以Oe=JOCjU=M

即三棱柱的高等于

故答案为T

12.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20〜

80mg∕IOOml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处

200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg∕100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，

处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚

款.据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车

共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则

属于醉酒驾车的人数约为

【正确答案】4320

【分析】根据频率分布直方图结合醉酒驾车的含义即得.

【详解】由题意结合频率分布直方图可得，醉酒驾车，即血液酒精浓度在80mg∕100ml（含

80）以上的人数约为：

288∞×（0.01+0.005）×10=4320.

故4320.

二、单选题

13.已知/是直线，α,α是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）

A.若IHa,lHβ,则α〃6B.若a1β,l"a,则/

C.若/，4〃/£,则D.若〃∕α,ɑ〃尸，则〃/£

【正确答案】C

【分析】利用空间中线、面的平行和垂直的性质和判定定理即可判断.

【详解】若CC/?=,",〃/见∕αα,∕o尸，则有〃/%〃//?,故可判断A错误.

若ac/3=m,Wm,lHa,则〃/夕或/u#,故B错误.

若lLa,lHβ,则夕存在直线与/平行，所以故C正确.

若IHa,aH0,则〃啰或/u尸，故D错误.

故选：C.

14.设直线/u平面α,过平面心外一点A与/,α都成30。角的直线有且只有:

A.1条B.2条C.3条D.4条

【正确答案】B

【分析】过A与平面。成30。角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成30。角）,

然后考虑这些母线中与直线/成30。角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得.

【详解】如图，AOla,以Ao为轴，A为顶点作一个圆锥，圆锥轴截面顶角大小为120。,

则圆锥的母线与平面ɑ所成角为30。，因此过A的所有与平面α成30。角的直线都是这个圆

锥母线所在直线，

过圆锥底面圆心。作直线/〃/,交底面圆于B,C两点，圆锥的母线中与直线/'夹角为30。的

直线是母线AB,AC,也只有这两条直线，

故选：B.

®AB±EF；

②4B与CM成60。的角；

③EF与MN是异面直线；

④MN〃CD其中正确的是（）

A.①②B.③④C.②③D.φ(3)

【正确答案】D

【详解】将展开图还原为正方体，由于EF〃ND,KffND±AB,ΛEF±AB;显然AB与CM

平行；EF与MN

是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误.

/>

16.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感

染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四

地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

A.甲地：总体均值为3,中位数为4B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3D.丁地：总体均值为2,总体方差为3

【正确答案】D

【详解】试题分析：由于甲地总体均值为3,中位数为4，即中间两个数（第,6天）人数

的平均数为，因此后面的人数可以大于“，故甲地不符合.乙地中总体均值为1,因此这10

天的感染人数总数为10,又由于方差大于0,故这10天中不可能每天都是1,可以有一天

大于・，故乙地不符合，丙地中中位数为二，众数为3,3出现的最多，并且可以出现£,

故丙地不符合，故丁地符合.

众数、中位数、平均数、方差

三、解答题

17.如图，正四棱锥S-ABS的底面边长为4,侧棱长为2a,点P、Q分别在BQ和SC上,

并且BP:PZ）=I:2,PQ//平面SAD,求线段PQ的长.

【正确答案】显a

3

【分析】过户作PM〃BC,交CD于M,根据线面平行即面面平行的判定定理可得平面

PQW〃平面SAQ,进而MQ//S。，然后利用余弦定理结合条件即得.

【详解】如图，过户作PM〃3C,交Co于M,连结QM,

因为PM〃BC,ADHBC,

所以PM//AO,又PMa平面SAD,Af)U平面S4),

所以PM〃平面SAQ,又尸。〃平面SAD,

又PMPQ=P,PM,PQu平面P0M,

所以平面PQM〃平面SAD,又平面PQM平面SDC=MQ,平面SoCl平面SAD=SE>,

.∙.MQHSD,

22

由8P:P£)=1:2,可得PM=严=铲，

:.QM=gso=∙∣α,

SD//QM,ADHMP,

."PMQ=ZADS,

AD

COSNADS=-2-=1'

SD4

f)↑l^PQ2=PM2+QM2-2PMQMcos^PMQ=-a2+-a2-2×-a×-a×-=-,

993349

所以线段也的长为如a∙

3

18.如图所示是一多面体的表面展开图，M,Q,P分别为展开图中线段BC,CRDE的中点,

则在原多面体中，求直线ME与平面APQ所成角的正弦值.

b*-4—

M2

2

h*2*1

【正确答案】巫

42

【分析】先还原几何体，建立空间直角坐标系，计算线面角正弦值.

【详解】还原多面体为长方体，以。为原点，D4,nc,r>E分别为χ,y,z轴，建立如图空间直

角坐标系,

由题意得50,0,0),A(2,0,0),β(0,l,0),P(0,0,2),E(0,0,4),Λ∕(l,2,0),

:.PA=(2,0,-2),PQ=(0,1,-2),Λ∕E=(-1,-2,4),

设面APQ的法向量"=(x,y,z),

nPA=O2x-2z=0

则＜,即令X=I得〃=（1,2,1）

n-PQ=Oy-2z=0

设直线ME与平面AP。所成角为。，

n`ME_√M

则sina=

∣∕7∣∙∣ME∣一石

19.设在直三棱柱45C-ABc中，AB=AC=44=2,々4：=90。,£尸依次为弓匕8(7的

中点.

(1)求异面直线AB,EF所成角。的大小(用反三角函数值表示)；

(2)求点Bt到平面AEF的距离.

【正确答案】(Darccos逅

3

⑵«

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成的角.

(2)先求出平面A防的法向量，利用空间向量求点到面的距离.

【详解】(1)以A为原点建立如图空间坐标系，

则A(0,0,2),B(2,0,0),B1(2,0,2),E(0,2,l),F(l,l,0),

X

/I1B=(2,0,-2),EF=(1,-1,-1),

'K'器氤=Mr手

.∙.0=arccos老

3

(2)设平面AE尸的一个法向量为〃=(X,y,z),

.AE=(0,2,1),AF=(1,1,0),

小AE=OJ2γ+z=0

小"=o[χ+y=o解得:n=(x,-x,2x)

令X=I可得〃=(12),

;A4=(2,0,2)

，点Bl到平面AEF的距离为".

20.为预防甲型HINI病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的

有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分

成三组，测试结果如下表:

A组8组C组

疫苗有效673Xy

疫苗无效7790Z

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33.

⑴求X的值；

(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个?

(3)已知y2465,z≥25,求不能通过测试的概率.

【正确答案】(I)X=66()

(2)90

【分析】(1)根据概率与频率的关系求解；(2)根据分层抽样的抽取方法求解；(3)利用古典概

率模型求解.

【详解】(1)因为在全体样本中随机抽取1个，

Y

抽到B组疫苗有效的概率是丽=0.33,所以x=660.

(2)C组的样本个数为y+z=2000-(673+77+660+90)=500,

所以应在C组抽取360X=90.

(3)由(2)可知，y+z=500,且y,zeN,

所以样本空间包含的基本事件有：(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),

(471,29),(472,28),(473,27),(474,26),(475,25),共有11个，

若测试不能通过，则77+90+z>2000χ0.1,解得z>33,

所以包含的样本点由(465,35),(466,34)共2个，

所以不能通过测试的概率为A.

21.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2,

EF√AB,EF±FB,ZBFC=90o,BF=FC,H为BC的中点，

(I)求证：FH〃平面EDB;

(II)求证