2023年天津市河北区九年级上学期数学期中考试卷及答案

2023年天津市河北区九年级上学期数学期中考试卷及答案

考试时长：90分钟

一、单选题（每题3分，共30分）

1.下列图案中不是中心对称图形的是（）

©，嚏

△哮

【答案】c

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答.

【详解】解：根据中心对称图形的定义，绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全

重合.

可知A、B、D是中心对称图形；

选项C、绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合，不是中心对称图形.

故选：C.

【点睛】本题考查了中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完

全重合.中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合.

2.在平面直角坐标系中，与点（4,-5）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（-4,-5）B.（-4,5）C.（4,-5）D.（4,5）

【答案】B

【解析】

【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（X,y）关于原点0的

对称点是P'（-x,-y）,进而得出答案.

【详解】解：点（4,-5）关于原点对称的点的坐标为：（-4,5）.

故选B.

【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关

键.

3.二次函数y=—3(x+l)2—7得顶点坐标是()

A.(1,7)B.(1,-7)

C.(—1,7)D.(-1,-7)

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的顶点式进行解答即可.

【详解】解：抛物线的解析式为：y=—3(x+l)2—7,

，其顶点坐标为：(-L-7).

故选：D.

【点睛】本题考查是二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点式.

4.将二次函数y=的图象向右平移2个单位，向上平移5个单位，则平移后的二次函数

解析式为()

A.y——(x+2)~+5B.y——(%+2)~—5

C.y——(x-2)“+5D.y——(x—2)~—5

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可.

【详解】解：将抛物线y=-x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，平移后抛物线的解

析式是y=-(x-2)2+5,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象平移的规律是左加右减，上加下减.

5.己知。。的半径是6,点0到直线1的距离为5,则直线1与。0的位置关系是

A.相离B.相切

C.相交D.无法判断

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线1和。0相交，则d<r；②直

线1和。0相切，贝Ud=r；③直线1和00相离，贝I]d>r(d为直线与圆的距离，r为圆的半

径).因此,

V©0的半径为6,圆心0到直线1的距离为5,

；.6>5,即：d<r.

直线1与。0的位置关系是相交.故选C.

6.一元二次方程炉一4%+5=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①A>0,方程有两个不相等的实数

根；②A=0,方程有两个相等的实数根；③△<(),方程没有实数根，直接计算判别式,

确定符号即可确定答案.

【详解】解：一元二次方程d—4%+5=0，

:.A-b2-4-ac

=(-4)2—4xix5

=16-20

=T<0,

一元二次方程V—4*+5=0没有实数根，

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握①A>0,方程有两个

不相等的实数根；②A=0,方程有两个相等的实数根；③A<0,方程没有实数根是解决

问题的关键.

7.如图，已知AB是00的直径，CD是弦，若/BCD=24°,则/ABD=()

A.54°B.56°C,64°D.66°

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆周角定理得到NADB=90°,ZA=ZBCD=24°,然后利用互余计算/ABD的度

数.

【详解】解：:AB是。。的直径，

.•.ZADB=90°,

VZA=ZBCD=24°,

/.ZABD=90°-ZA=90°-24°=66°.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦

是直径.

8.如图，在，ABC中，ZC=64°,将ABC绕着点A顺时针旋转后，得到且

点C在5c上，则/8C3的度数为（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

【答案】C

【解析】

【分析】根据旋转的性质可以得到AC=AC,然后根据NC=64。，即可得到旋转角的度

数，然后三角形内角和，即可得到二夕的度数.

【详解】解：将一ABC绕着点A顺时针旋转后，得到,ZC=64°,

:.AC=AC,ZCAC=ZBAB',ZB=ZB,

.-.ZC=ZAC'C=64°,

ZCAC=180°-ZC-ZACC=52°,

NBAB^52。,

.-.ZB'AD=52°,

ZB=ZB,ZBDC=ABDA,

:.ZBCD=ZBAD=5T,

即/笈。8的度数为52。，

故选：C.

【点睛】本题考查旋转性质、三角形内角和、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

9.已知（一3,乂），（—2,%），（1,%）是抛物线丁=3%2+12%一1上的点，则%,为，%的

大小关系为（）

A.%<%<%B.当<%</C.%<%<%D.

%<%<X

【答案】A

【解析】

【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向和对称轴，根据(—3,%),(—2,%)，(L%)

与对称轴的距离大小关系求解.

【详解】解：•••丁=3必+12%—1,

抛物线开口向上，对称轴为直线x=-N-=-2,

2x3

1—(—2)>—2—(—3)>—2—(—2),

二%<%<%，

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关

系，掌握二次函数的性质.

10.已知抛物线y=af+6x+c(a,b,c是常数，0<a<c)经过点(1,0),有下列结论：

®2a+b<0；

②当x〉l时，y随x的增大而增大；

③关于x的方程以2+法+s+C)=0有两个不相等的实数根.

其中，正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【详解】由题意可知：a+b+c=0»b=-(«+c),b+c=-a,

0<a<c,

:.a+c>2a,即〃=-(a+c)<—2a,得出Z?+2a<0,故①正确；

b+2a<0,

b

「•对称轴XQ=---->1,

2a

〃>0,

「.1〈%<不时，y随工的增大而减小，％〉不时，)随兄的增大而增大，故②不正确；

b2-4〃(Z?+c)=/_4〃x(-a)=b2+4a2>0,

关于x的方程ax2+区+(b+c)=0有两个不相等的实数根，故③正确.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌

握二次函数的性质并能应用求解.

二、填空题(每题3分，共24分)

11.二次函数y=（7%+l）x"-2+2x—l的图象开口向下，则机=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据二次函数的定义和二次函数的性质即可求解.

【详解】二次函数y=（〃+1丘/-2+2x—1的图象开口向下，

m+1<0,

•••加2-2二2

/.m=zt2

：.m=2（舍去），m=-2

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，解题关键是明确加2—2=2.

12.二次函数y=f—2%-1的对称轴是直线.

【答案】x=l

【解析】

h

【分析】二次函数y=+对称轴为直线％=——,代数计算即可.

2a

【详解】解：已知二次函数y=f—2%—1,a=l,b=-2,

b-2

所以对称轴为直线x=———=———=1,

2a2

故答案为：x=l

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记其性质是解题的关键.

13.若直角三角形的两条直角边长分别是3和4,则它的内切圆半径为.

【答案】1

【解析】

【分析】根据三角形的两种面积计算方法可以得到解答.

【详解】解：设三角形内切圆的半径为r,则由题意得：

g（3+4+5）r=gx3x4,解得：r=l.

故答案为L

【点睛】本题考查三角形的内切圆，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键.

14.如图，四边形ABCD内接于O,若41=62。，则NBCE等于

E

A

【答案】62

【解析】

【分析】根据圆内接四边形对角互补，即可求解.

【详解】解：：四边形ABCD内接于匚0,44=62。，

ZBCD+ZA=180°,

又ZBCD+ZBCE=180°,

：.ZECB=ZA=62°,

故答案为：62.

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键.

15.和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB=16m,半径0A=10m,高度CD

为m.

【答案】4.

【解析】

【分析】由CDLAB,根据垂径定理得到AD=DB=8,再在Rt^OAD中，利用勾股定理计算出

0D,则通过CD=OCKD求出CD.

【详解】M：VCD±AB,AB=16,

；.AD=DB=8,

在RtZXOAD中，AB=16m,半径0A=-10m,

0D=VOA2-AD2=A/102-82=6，

；.CD=OC-0D=10-6=4(m).

故答案为4.

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了切

线的性质定理以及勾股定理.

16.如图，PA,PB分别与。0相切于A,B两点，P0与AB相交于点C,PA=6,ZAPB=60°,

则0C的长为

【答案】73

【解析】

【分析】根据切线的性质和切线长定理可得OALPA,ZAP0=30°,PA=PB,根据直角三角形

的性质可得OA=2CO,根据勾股定理可求A0的长，即可求0C的长.

【详解】解：如图，连接0A,

VPA,PB分别与。。相切于A,B两点,PA=6,ZAPB=60°,

.\OA±PA,ZAP0=30°,PA=PB,

Z.ZA0C=60°,AB±PO

.•.ZCA0=30°

.\A0=2C0,

在HfAAPO中，NAPO=30。，ZPAO^90°

：.PO=2AO

,/AP2+AO2=PO2

•*.62+AO2=4AC)2

•••AO=2G

，co=6

故答案为：6

【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理等知识，熟练运用切线的性质是本

题的关键.

17.如图，点E在正方形A3CD的边CD上，将AADE绕点A顺时针旋转90°到AAB尸的

位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,

则C石的长为.

【答案】3

4

【解析】

【分析】连接EG,由旋转确定，ADE且,ABF,得到/1E=AF,DE=BF,确定AG垂

直平分所，即可得出EG=/G,设CE=x,则QE=5—x=3尸，FG=EG=8—x,

再根据RtACEG中，CE?+CG2=EG?,即可得到CE的长.

【详解】解：如图所示，连接EG,

由旋转可得，ADE^,ABF,

：.AE=AF,DE=BF,

又•.AG±EF,

.•.H为E尸的中点，

垂直平分所，

:.EG=FG,

且AB=AD=C£>=5c=3G+CG=3+2=5,

设CE=x,则DE=5—x=BF,FG=8—%>

EG=8-x,

NC=90。，

.〔RtACEG中，CE~+CG2=EG~>即X2+2?=(8—x)2,解得x=',

.•.C£的长为”，

4

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离

相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

18.如图，在HrVOAB中，ZAOB=90°,OA=8,AB=10,。的半径为4,点P是A3

上的一动点，过点P作一。的一条切线尸。，Q为切点，则尸。的最小值为.

【答案】生叵

5

【解析】

【分析】连接OP,0Q,由PQ为圆。的切线，利用切线的性质得到0Q与PQ垂直，利用勾股

定理列出关系式，由0P最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到0P垂直于AB时最短，利用

面积法求出此时0P的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最小值.

【详解】解：连接OP,0Q,

：PQ与圆。相切，

AZPQ0=90°,

V0Q不变,

.•.当0P最小时,PQ最小,

此时0P与AB垂直，

V0A=8,AB=10,

•■-0B=7AB2-O42=6-

OAxOB24

【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键,

注意：圆的切线垂直于过切点的半径.

三、解答题(共46分)

19.解方程：x2+6x=-5

【答案】石=一1,々=一5

【解析】

【分析】先整理为一般式，再用因式分解法进行计算即可.

2

【详解】解：X+6X=-5,

整理得：x2+6%+5=0>

因式分解可得：(x+l)(x+5)=0,

则x+l=O或x+5=0,

解得：为=-1,——5

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟记各种解法是解题的关键.

20.如图，已知抛物线y=—必+法+。经过A(—1,0),3(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)当1<%<3时，直接写出y的取值范围.

【答案】(1)y=-x2+2x+3,(1,4)

(2)0<y<4

【解析】

【分析】(1)将4-1,0),3(3,0)两点坐标代入解析式，待定系数法就可求出。力的值,

再由解析式求出顶点坐标即可；

(2)当1<%<3时，由图象可直接得出y的取值范围

【小问1详解】

解：将A(-l,0),3(3,0)两点坐标代入y=-f+6x+c,

0=-1-b+c

可得：〈,

[0=—9+3"c

••y=-x~+2x+3,

化为顶点式：y=-(x-1>+4,则顶点坐标为(1,4)

小问2详解】

解：由图得当l<x<3时，在对称轴右侧，此时y随x的增大而减小，

x=l时，y=4,%=3时，y=。，

所以y的取值范围为：0<y<4

【点睛】本题考查了求二次函数解析式，以及图象与性质，牢固掌握待定系数法及其性质是

解题的关键.

21.某商品现在的售价为每件35元.每天可卖出50件.市场调查反映：如果调整价格.每

降价1元，每天可多卖出2件.请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售

额最大，最大销售额是多少？

设每件商品降价x元.每天销售额为y元.

(I)分析：根据问题中的数量关系.用含x的式子填表：

原价每件降价1元每件降价2元.・・每件降价X元

每件售价(元)353433・・・

每天售量(件)505254・・・

(11)(由以上分析，用含x的式子表示y,并求出问题的解)

【答案】(1)35-x,50+2x；(2)y=-2(x-5)2+1800,每件商品降价5元时，可使每天的销

售额最大，最大销售额为1800元.

【解析】

【详解】试题分析：(1)现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为(35-x)

元；多买2x件，即每天售量为(50+2x)件；

(2)每天的销售额=每件售价X每天售量，即y=(35-x)(50+2x),配方后得到y=-2(x-5)

2+1800,根据二次函数的性质得到当x=5时，y取得最大值1800.

试题解析：(1)35-x,50+2x；

(2)根据题意，每天的销售额y=(35-x)(50+2x),(0<x<35)

配方得y=-2(x-5)2+1800,

Va<0,

当x=5时，y取得最大值1800.

答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为1800元.

考点：二次函数的应用.

22.在。0中，弦CD与直径AB相交于点P,ZABC=58°.

图①图②

(1)如图①，若NAPC=100°,求NBAD和NCDB的大小;

(2)如图②，若CDLAB,过点D作。0的切线，与AB的延长线相交于点E,求/E的大小.

【答案】(1)ZBAD=42°,ZCDB=32°；(2)ZE=26°.

【解析】

【分析】(1)由三角形的外角性质得出/C=42°,由圆周角定理得/BAD=/C=42°,

ZADC=ZABC=58°,ZADB=90°,即可得出答案；

(2)连接0D,求出NPCB=32°,由切线的性质得出N0DE=90°,由圆周角定理得出

ZB0D=2ZPCB=64°,即可得出答案.

【详解】解：(1)：/APC是APBC的一个外角，

图①

.•.ZC=ZAPC-ZABC=100°-58°=42°，

由圆周角定理得：ZBAD=ZC=42°,ZADC=ZABC=58

：AB是。0的直径,

/.ZADB=90°，

ZCDB=ZADB-ZADC=90°-58°=32°

(2)连接0D,如图②所示

图②

VCDXAB,

AZCPB=90°,

：.ZPCB=90°-ZABC=90°-58°=32°,

：DE是。。的切线，

.,.DE±OD,

/.Z0DE=90°,

VZB0D=2ZPCB=64°,

AZE=90°-ZB0D=90°-64°=26°.

【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知

识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键.

23.在平面直角坐标系中，0为原点，点A(3,0),点B(0,4),把AABO绕点B逆时针旋

(2)如图②.若a=45°,求点O'的坐标；

(3)若M为AB边上的一动点，在0B上取一点N(0,1),将AABO绕点B逆时针旋转一周，

求MN的取值范围(直接写出结果即可).

【答案】(1)50；(2)。'(2后,4—20)；(3)0<MN<8

【解析】

【分析】(1)由勾股定理求出AB的长，由旋转的性质得出NABA'=90°,AB=A'B=5,由

勾股定理可得出答案；

(2)过点0'作O'CJ_OB于点C,由旋转的性质及直角三角形的性质可求出0C,O'C的长，

则可得出答案；

(3)根据旋转时，点M的位置即可得出MN的最大值和最小值.

【详解】解：(1)•点A(3,0),点B(0,4),

；.A0=3,0B=4,

•'-AB=V6L4*2+3*OB2="+42=5,

:把AABO绕点B逆时针旋转90°,得△A'BO',

/.ZABA'=90°,AB=A'B=5,

AN=y/AB2+A'B2=A/52+52=5后；

(2)如图②，若a=45°,则/0B0'=45°,过点O'作O'CLOB于点C,

图②

贝|JNO'CB=9O°,

.•.BC=CO*,

:把AABO绕点B逆时针旋转45°,得△A'BO',

.•.OB=OB'=4,

.•.BC=CO'=4X

.\OC=OB-BC=4-2五,

••.0'（2亚4-272）；

（3）AAO3在旋转过程中，点M与点N可能重合，重合时MN值最小为0；

AB在N点上方与y轴重合，且M点在点A时，MN最大，最大值：4-1+5=8,

AMN的取值范围是OWMNW8.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练

掌握旋转的性质是解题的关键.

24.如图，抛物线丁=以2+法+0与*轴交于4（—2,0）,8（6,0）两点，与y轴交于点C.直

线1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为（4,3）.

(1)求抛物线的解析式与直线1的解析式；

(2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当4^4。面积最大时点P

的坐标及该面积的最大值；

(3)若点Q是y轴上的点，且NADQ=45。，求点Q的坐标.

【答案】(1)y=—尤2+尤+3,y=—X+1；

42

2715

(2)ZkPAD的面积最大值为—，P(1,—)；

44

13

(3)(0,—)或(0,-9)

3

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求解函数解析式；

1,1

(2)过点P作PE〃y轴交AD于E,设P(n,-―n2+«+3),则E(n,-n+1),根据

42

SPAD=~(XD-XA)-PE=3PE,得到PE的值最大时，Z^PAD的面积最大，求出PE的最

大值即可；

(3)如图2,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AT,则T(-5,6),设DT交y轴于

Q,