2023-2024学年湖南省永州市高二年级上册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年湖南省永州市高二上册期中数学模拟试题

一、单选题

1.设集合4={41八41},5={X|X2-2X<0),则()

A.{x|-14x<0}B,{x[0<x41}

C.{x|l<x<2}D.(x|-l<x<2}

【正确答案】B

【分析】先解出集合8,再直接计算交集.

[详解]因为/={x|-l<x<lj,8=卜卜2-2x<。}={乂0<x<2},所以4c8={x[0<x41}.

故选:B.

2.已知不共线向量Z，b,\a\=2,|^|=3>a-(b-a)=\,贝()

A.V3B.2>/2C.不D.26

【正确答案】A

先由已知等式求出〉坂=5,再利用向量模的求法即可求得历-£|.

【详解】|a|=2,即4.族=5，

\h-a\=-\l(b—a)2=yh-2a-h+a=yfi-

故选：A

本题考查向量模的求法，属于基础题.

3.已知sin(a+K)=g,则cos(g-2a)=()

A.-正B,--C.立D.-

3939

【正确答案】D

先用诱导公式化为cosIq-ZalMCOsOa+q),再用二倍角公式计算.

【详解】cos(9-2a)=cos(2a+弓)=l-2sin2(a+^)-l-2x(g)=".

故选：D

4.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡六千七百七十三人，西乡五千

二百二十七人，南乡若干人，凡三乡，发役五百人，而南乡需遣二百人，问南乡人数几何？”

其意思为：今某地北面有6773人，西面有5227人，南面有若干人，这三面要征调500人，

而南面共征调200人（用分层抽样的方法），则南面共有（）人.

A.7200B.8000C.8200D.8800

【正确答案】B

【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出方程，即可求解.

【详解】设南面有x人，则晨找,解得x=8000.

x+6773+5227500

故选：B.

5.已知直线云-y-3&+l=0,当左变化时，所有直线都恒过点（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（2,1）D.（3,1）

【正确答案】D

【分析】将直线方程整理为仪x-3）-（y-l）=0,从而可得直线所过的定点.

【详解】直线6-P-3后+1=0可化为A（x-3）-（y-l）=0,

[x—3=0[x=3

令，c，解得：,,所以直线过定点（3,1）,

3-i=ob=i

故选.D

6.己知直三棱柱/BC-44G中，ZJ5C-120°,AB=2,5C=CC,=1,则异面直线第

与8G所成角的余弦值为（）

A百715「屈n6

A•RD«-----lx•-----U.

2553

【正确答案】C

【分析】由题知函=函-直，BC{=BC+CCy,进而利用向量求解异面直线所成角即可.

【详解】解：由题知，在直三棱柱/8C-48c中，平面/8C,CG，平面"8C，

♦.♦8Cu平面/8C,平面力BC,

:.BBJBC,CC,1AB,

♦.♦函=函-初，sq=sc+cq,

二丽.西=函.就+西.西-0灰-瓦Q=0+1-2X1X,1)-0=2

•.［珂=6匹卜日

.cos/"Bc\-网BQ-2_叵

「1”,片画画一6xb5，

异面直线AB,与BC｛所成角的余弦值为叵

5

故选：C.

Bi

7.若直线y=x+b与曲线y=3_j4x-x2有公共点,则b的取值范围是)

A.[1-72,1+72]B.[1-72,3]C.[1-272,3]D.[-U+V2]

【正确答案】C

曲线y=3_，4x_x2,即(x-2)2+3-3)2=4(14^43,04x44),

表示以4(2,3)为圆心，以2为半径的一个下半圆,

由圆心到直线N=x+b的距离等于半径2,

可得^~~--2,解得6=]+2近或6=]—2近，

结合图象可知1-2近4643，故选C.

8.设/(X)是定义域为R的偶函数，且在(-8,0)单调递增，设"303"=(£|°',。=1吗0.3,

则()

A./(c)>/(a)>/(i)B./(a)>/(c)>/(Z>)

C.f(c)>f(h)>f(a)D./(a)>/(/>)>,/(c)

【正确答案】A

【分析】先将a,6化为同底数的累，利用指数对数函数的性质比较。、b、©三个数的大小

关系，再由函数N=/(x)在区间(0,+8)上的单调性并结合偶函数的性质可得出/(a)、

/("、/(c)的大小关系.

030403

【详解】".,|c|=|log40.3|=pog4^=log4y-e^),1),a=3>\,b=3>3>1,

即b>a>1>|c|>0,

由于函数y=/(x)是偶函数，在区间(-纥,0)上单调递增，所以在(0,+8)上单调递减，

由于函数y=/(x)为偶函数，则/(|c|)>/(4)>/伍)，即/(c)>/(a)>/(6),

故选：A.

本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查

推理能力，属于中等题.关键是转化为(0,+8)上的单调性再比较.

二、多选题

9.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件,

其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，8为“是合格

品”，C为"是不合格品“，则下列结果正确的是()

7

A.P(B)一

10

B.P(Zc8)=0

7

C.尸(8cC)=—

100

9

D.P(AuB)=—

10

【正确答案】ABD

【分析】依题意可得A、8、C为互斥事件，即可判断B、C,再根据古典概型的概率公式

得到「(⑷、P⑻、尸(C),即可判断A,最后根据和事件的概率公式判断D；

【详解】解：由题意知A、B、C为互斥事件，.•.尸(，08)=尸(8nC)=0,故B正确、C

错误；

271

•.•从100件中抽取产品符合古典概型的条件，...2•)=历、尸出)=而、尸O=历，

9

则尸(4UB)=尸(4)+尸伊)=正，，A、D正确，

故选：ABD.

10.已知向量G=(L-l,0),6=(-1,0,1),3=(2,-3,1),则()

A.忖一.=6B.卜+2很)•伍+?)=6

C.(a+5^)lcD.a//(6-c)

【正确答案】BCD

【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算一一计算可得.

【详解】解：因为方=(1,一1,0),^=(-1,0,1),

所以万一彼=(2,-1,-1),所以［叫="2+(_1)2+(7)2=屈,故A错误；

因为&+26=(-1,-1,2),ft+c=(l-3,2),所以(2+2孙@+口=6,故B正确；

因为1+5在=(-4,-1,5),所以(3+5在”=—4x2+(-l)x(_3-5x1=0,故C正确；

因为力_、(_3,3,0),5=(1,-1,0),所以U=_*,所以％伍-4故D正确.

故选：BCD

11.已知直线八［的方向向量分别是面=(2,4,x),而=(2,必2),若|瓦|=6且44,则x+y

的值可以是()

A.—3B.-1C.1D.3

【正确答案】AC

根据空间向量模的计算公式以及向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】荏=(2,4,x),而=(2,弘2),

若|力例=6且44，

>/22+42+X2=6"/日卜=4[x=-4

则〈，解得〈。或〈,

2x2+4y+2x=0[夕=-3[y=1

所以x+y=l或-3.

故选：AC

12.已知圆O:x?+_/=4和圆A/:/+_/+4x-2y+l=0相交于A,8两点，下列说法正确

的是()

A.圆。与圆”有两条公切线

B.圆。与圆A/关于直线N8对称

C.线段的长为姮

2

D.E,尸分别是圆。和圆M上的点，则用的最大值为4+石

【正确答案】ABD

【分析】根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心和半径，由此依次分析4个选项，即可得答

案.

【详解】解：根据题意,圆。:/+/=4,其圆心为。(0,0),半径R=2,

HM:X2+/+4X-2^+1=0,即(x+2y+()，-l)2=4,其圆心为M(-2,l),半径r=2,

依次分析选项:

对于A,由于OM\R-r\=0,R+r=4,又0＜逐＜4,所以两圆相交，故有

两条共切线，A正确，

对于B,圆。和圆M的半径相等，则线段。”的垂直平分线为48,则圆。与圆M关于直

线N8对称，B正确，

x2+y2=4

对于C,联立《化简可得4x-2y+5=0即AB的方程为

x2+y2+4x-2y+l=0

4x-2y+5=0,

。到48的距离［=1==逝，则|48|=2XJF丁=2乂、15=而，C错误;

J16+4211V4

对于D,|OM|=J4+1=忑*,则IEF|的最大值为|。徵+R+r=正+4,D正确，

故选：ABD.

三、填空题

13.已知（l+i）z=2i（i为虚数单位），则2=.

【正确答案】l+i##i+l

【分析】根据复数代数的四则运算计算即可.

［详解］•••1+iz=2i,；.z=L=\J与i-i=i+i

故答案为.z=l+i

14.已知两个向量a=（2,-1,3）,b=（4,m,n）,且，力，则加+力的值为.

【正确答案】4

【分析】依题意可得存在实数%使得加=2£,即可得到方程组，解得即可；

【详解】解：因为2=（2,—1,3）,否=（4,心,〃），且温,所以存在实数2使得否=/，即

4=2A2=2

（4,九〃）=4（2,-1,3）,即“团=一/1,解得＜租=一2,所以〃2+〃=4

n=3An=6

故4

15.如图所示，若正方形48C。的边长为1,「。_1_平面力8。。，且PO=1,E、/分别为

AB、BC的中点，则直线ZC到平面PE尸的距离为

AEB

【正确答案】叵Q后

1717

【分析】以点。为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线到平面的距离.

【详解】依题意，以点。为原点，射线。4。0。/＞分别为巷必2轴非负半轴，建立空间直角

坐标系，如图,

则4(1,0,0),C(0,l,0),P(0,0,l),£(l,1,0),F(1,l,0),则

—•一11—I

AC=(-l,l,0),£F=(--,-,0),PE=.

n,EF=—xH—y=0

22

设平面PEF的一个法向量为7=(xj,z),贝小，令＞=2,得］=(2,2,3),

n-PE=x+-y-z=0

显然＞花=0，即］_L祝，而直线4C＜Z平面尸以7，则4C//平面在户，

因此直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，而方=(0,；,0),

\AE-n\J历

则点A到平面PEF的距离d==不=*,

网V1717

所以直线AC到平面PEF的距离为姮.

17

故姮

17

16.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点4B是4M0N

的ON边上的两个定点，C是。河边上的一个动点，当C在何处时，//C8最大？问题的

答案是：当且仅当48C的外接圆与OM边相切于点C时，N4c8最大.人们称这一命题

为米勒定理，已知点。，E的坐标分别是(0,1),(0,3),尸是x轴正半轴上的一动点,

当NOFE最大时，点尸的横坐标为.

【正确答案】也

【分析】根据米勒定理可知，当。田的外接圆与x轴相切时，NDFE最大,利用垂径定理

和三角形外接圆的性质即可得出答案.

【详解】因为点。，E是y轴正半轴上的两个定点，点F是x轴正半轴上的一个动点，

根据米勒定理可知，当。砂的外接圆与x轴相切时，NDFE最大,

易知，弦。E的垂直平分线必过OE5的外接圆圆心，

所以弦中点G的纵坐标，即为。即外接圆半径的大小，即/^=2.

设DM的外接圆的圆心为(a,2),其中a>0,则/+(竿)~=/，

即02+F=22,解得〃=百，所以△DEE的外接圆的方程为(x-6)’+(y-2)2=4,令y=0,

可得x=g，即点F的横坐标为石.

故答案为.百

四、解答题

17.(1)求过点(4,3)且与直线工+2^+1=0垂直的直线/的方程；

(2)求过点/(2,-1)且在x轴和夕轴上的截距相等的直线/的方程.

【正确答案】⑴2x-y-5=0；(2)x+2y=0或x+y-l=O.

(1)根据两直线垂直的关系设/的方程为2x-y+c=0,代入点，可得所求直线的方程：

(2)分直线/过原点和直线/不过原点两种情况求得所求直线/的方程.

【详解】解：(1)设/的方程为2x-y+c=0,代入(4,3)得c=-5.

.•.直线/的方程为2x-y-5=0,

(2)当直线/过原点时，直线/的方程是y=-；x,即x+2夕=0；

当直线/不过原点时，设直线/的方程是2+上=1,将点力坐标代入，得2-工=1,解得。=1,

aaaa

此时直线/的方程是x+y-l=0.

综上所述，所求直线/的方程是x+2y=0或x+y-l=0.

18.在△/2C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(。-。)$吊。="5出/-加m8.

(1)求的大小；

(2)若a=5,c=2,。为8c的中点，求cos4Z)C的值.

【正确答案】⑴3=9；

（2）一警.

【分析】（1）应用正弦定理边角关系得ac=T+c2一/，再由余弦定理求cos8,即可得

的大小

21

（2）应用余弦定理求得4c2=19、AD2=--在△/QC中求cos/4DC.

49

【详解】（1）由正弦定理边角关系，可得（"＜。=由一从,则℃=

22121

而COS5="+L-=L且Be®*故8=三

2ac23

⑵

由(1)知：b2=a2+c2-2accosB=29-10=19，即4c2=19,

▽f2a2c41«21

又AD'=Pc2-accosB=---5=—，

444

2521

7J9in二而

八vCD2+AD2-AC2

在△NDC中，cosZ4£)C=2CDAD

\5V21-7-

2x—x---

22

19.如图，四棱锥尸-/8C。的底面是矩形，ABCD,PD=DC=\,BC=y/2>

M]为8c的中点.

AB

（1）求证：PB工AM；

（2）求平面Q4M与平面PDC所成的角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）恒.

7

【分析】（1）以点。为原点，依次以D4,DC,。尸所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，求出而.而=0,利用数量积即可证明.

（2）求出两平面与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦.

【详解】解：（1）依题意，棱DA,DC,0P两两互相垂直.

以点。为原点，依次以D4,DC,DP所在直线为x,y,z轴,

1,0

可得而=(0,1,-1),而=(叵八

I2)

所以丽•五万=收

所以「8J./M

(2)由(1)得到4(0,0,0),M—,1,0,

因此可得--旌,1,0,AP-(-A/2,0,1).

设平面P力"的一个法向量为4=（x,%z）,则由

~^x+y=Q,

3•竺=0,得

〃「AP-0,

-y[2,X+Z=0,

令z=20，解得］=（2,2五）.

同理，可求平面POC的一个法向量0=（1,0,0）.

所以，平面以M与平面POC所成的锐二面角。满足:

即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为巫.

20.心绞痛是冠状动脉供血不足，心肌急剧地暂时缺血与缺氧所引起的以发作性胸痛或胸部

不适为主要表现的临床综合征.在某地随机调查10位心绞痛患者第一次出现症状的年龄，

得到如图所示的样本数据频率分布直方图.

本频率/组距

0.020

0.015

0.010

0.005

O2030405060708090年龄/岁

（1）求直方图中。的值；

（2）估计这组数据的平均数；（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）

【正确答案】（1）0.030；

（2）53.5.

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可得出“的值；

（2）根据频率分布直方图中的数据，列出式子，计算即可得出答案.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，

0.005xl0+0.015xl0+0.020xl0+axl0+0.015xl0+0.010xl0+0.005xl0-l,

所以。=0.030.

(2)由频率分布直方图可知，这组数据的平均数为

25x0.05+35x0.15+45x0.2+55x0.3+65x0.15+75x0.1+85x0.05=53.5.

21.(1)求过点43,T),5(-1,5),。(1,3)点的圆的方程，并写出圆心坐标和半径;

(2)求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5,2)和(3,-2)的圆的方程，并写出圆心坐标和

半径.

【正确答案】(1)圆的方程为(x+8)2+(y+4『=130,圆心坐标为(-8,-4),半径为闹；

(2)圆的方程为(x-2『+(y-I)2=10,圆心C(2,l),半径风.

【分析】(1)求出N8和NC的中垂线方程即得圆心的坐标和半径，即得解；

(2)设圆心坐标为C(a,2.-3),解方程..一5)2+(23-3—2)2=15—3)2+(2.-3+2)2求

出。，即得解.

【详解】解：⑴"的中点坐标为(1,2),3=字；=一。，

—1—32

2

则的中垂线方程为尸2=和一1),即2x-3y+4=0,

4c的中点坐标为(2,1),勉=空=_2,

则“C的中垂线方程为y-l=；(x-2),即x-2y=0.

2x-3v+4=0x=-8

联立x4=0,解得

y=-4，

则圆心坐标为(-8,-4),半径为［(-8-3)2+(-4+1)2=呵.

所求圆的方程为(x+8y+3+4)2=130,圆心坐标为(-8,-4),半径为同;

(2)二•圆心在直线2x—歹―3=0上，设圆心坐标为C(a,2。—3),

因为4(5,2),5(3,-2),^\CA\=\CB\9

得J(a-5)2+(2a-3-2『=J(a-3y+(2a-3+2)2，

解得“=2,则圆心C(2,l),半径r=|G4|=J(5-2)2+(3_l)2=阿

所求圆的方程为(x-2)，(y-lf=10.

22.已知动点朋•与两个定点0(0,0),4(3,0)的距离的比为动点"的轨迹为曲线C.

(1)求C的轨迹方程，并说明其形状；

(2)过直线x=3上的动点P(3,p)(p翔)分别作C的两条切线P。、PR(Q、R为切点)，N为弦

2H的中点，直线/：3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E、F,求的面积S的取值范

围.

【正确答案】(l)(x+l)2+V=4,曲线C是以(一1,0)为圆心，2为半径的圆

【分析】(1)设出点收的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解；

(2)写出以CP为直径的圆的方程，然后利用。，R是两个圆的交点得到0R所在直线方程,

联立直线。R与圆C的方程，利用韦达定理求出点N