2023-2024学年上海市高二年级上册期末数学模拟试题5（含答案）

2023-2024学年上海市高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

1.若C=c3+c"(,IEN*).则〃=.

【正确答案】5

【分析】结合组合数的性质即可求解.

【详解】由C；=C管+C,,所以c：=c；,

又因为CT=GL,所以C；=C；2,所以〃_2=3,BP«=5,

故5.

2.总体是由编号为3,02,,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选

取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出

来的第5个个体的编号为.

78161572080263150216431997140198

32049234493682003623486969387181

【正确答案】19

【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.

【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15,则选取的5个个体依次为：15,

08,02,16,19,故选出来的第5个个体的编号为19.

故答案为:19.

3.已知"C所在平面外一点P,且尸4PB,PC两两垂直，则点尸在平面ABC内的射影应

为ABC的心.

【正确答案】垂

【分析】设点尸在平面ABC内的射影为A，由已知可证明PA∙LBC,PAlBC,根据线面

垂直的判定以及性质可得BCLAq.同理可得AC_LB[,ABlC^,即可得出答案.

【详解】设点P在平面ABC内的射影为R,则尸I-L平面A8C.

又BCu平面ABC,所以Pq,BC.

因为PAVPC,PBCPC=P,P3u平面PBC,PCU平面PBC,

所以PAL平面PBC.又BCU平面PBC,所以。4L8C.

因为PAlP6=p,B4u平面P4<,PAU平面PAe,所以BC/平面RWt

又AqU平面FA《，所以BCJ.AA.

同理可证，AClBf↑,ABLCPt,所以＜是_ABC的垂心.

所以，点尸在平面ABC内的射影应为，45C的垂心.

故垂.

4.某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽

样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽

取50名，则每名学生入选的可能性.

【正确答案】ɪ

【分析】应用随机抽样定义,每各个体被抽到的概率相等求解即可.

【详解】先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，每各个体被抽到的概率相等,

再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性为

50

2023

5.在1-2)的二项展开式中，V项的系数是.

【正确答案】-672

【分析】由二项式的通项公式即可求解.

(详解】二项式(X-的通项为=qχ9-r(-∣)r=(-2XG产2"

令9-2r=3,得r=3,

所以√项的系数是(-2)«=-672.

故答案为.-672

6.已知圆锥的侧面积为2兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是

【正确答案】I

【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.

【详解】设圆锥的底面半径为r,圆锥的母线长为/,则:π∕=2π,解得：1=2,又

2

2πr=Til-Iit,解得.r-1

故1

7.如图所示：在直三棱柱ABC-A耳G中，AB上BC,AB=BC=BB1,则平面ABC与平

面ABC所成的二面角的大小为.

【正确答案】ɪ

【分析】通过题意易得直三棱柱ABC-A/B/G即为正方体的一半，直接得出答案.

【详解】根据题意，易得直三棱柱ABC-AfGI即为正方体的一半,

所求即为平面ABC与平面A8C所成的二面角，即为NCfC,

TT

又△4CC为等腰直角三角形，∙∙∙/CMC=1,

故答案为

4

本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC-A/B/C/即为正方体的一半”是解决本题的

关键，属于中档题.

8.有--道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、£＞点到达B点的最短路径有

___________利,.

【正确答案】24

【分析】根据已知，要想避开C、力点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数

原理乘起来即可得出答案.

【详解】

如图，由已知可得，应从A点，先到E点，再到尸点，最后经点G到3点即可.

第一步：由A点到E点，最短路径为4步，最短路径方法种类为C；.C；=4；

第二步：由E点到F点，最短路径为3步，最短路径方法种类为C；・C；=3；

第三步：由F点经点G到B点，最短路径为3步，最短路径方法种类为C[∙C∙C=2.

根据分步计数原理可得，最短路径有4x3x2=24种.

故24.

9.从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，

并以[50,60),[6Q70),[70,80),[80,90),[90,100]为分组作出频率分布直方图，后来茎

叶图受到了污损，可见部分信息如图，则α的值为.

频率

【正确答案】0.02

【分析】根据频率分布图可得［90,100］组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样

本容量n=20,即可得出［80,90）组内的数据有4个，进而求出”的值.

【详解】由频率分布直方图可得，［90,100］组内数据的频率等于［50,60）组内数据的频率，所

以［90,100］组内有2个数据.

2

设样本容量为〃，则—=0.01x10,所以〃=20.

n

所以［80,90）组内的数据有20-2-5-7-2=4,所以［80,90）组内数据的频率等于4=0.2,

所以a=米=0.02.

故答案为.0.02

10.如图，四边形ABC。为梯形，AD/∕BC,ZABC=90°,图中阴影部分绕AB旋转一周所

形成的几何体的体积为

【正确答案】—.

【分析】由题意知：旋转所得儿何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的

体积公式求几何体体积.

【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积

Si=4π,下底面面积下=16%,

.∙.圆台的体积为乂=3><（4万+54万><16万+16万）*3=28万,

又半球的体积为匕=JXgWX2?=殍，

故旋转体的体积为K-匕=2肪-等=等.

√68;T

故4丁

11.斐波那契数列是由13世纪意大利斐波那契提出的，它的通项公式为:

""=不］［—］'〃€“，若S,,=αC+∕C"+”,C,则数列｛S,,｝通项公

式为.

【正确答案】白［［生泸］-［三叵］,〃eN*

√5Ll2）I2人

【分析】根据已知数列的通项公式,结合二项式定理,计算可得S”.

又因为

12.在棱长为1的正方体ABS-A片Ge中，F,P分别为线段4G和平面AAGR上的动点,

点G为线段BC的中点，则,PGF周长的最小值为.

41

【正确答案】-##1-

【分析】若IP尸I取得最小值，则P在线段AG上，将平面AAG绕AG旋转到与ABG共面的

情况，可知过G作GP'J.AG于点p',结合三角形三边关系可知∣PF∣+∣pq的最小值为尸G,

可知所求三角形周长最小值为2|。6；利用二倍角公式可求得sin∕AG8,在RtGP'£可求

得尸q,由此可得结果.

若IPFl取得最小值，则P尸，平面A4CQ,又4G在平面4蜴CQ上的投影为ACI,

.∙.p在线段AG上,

将平面AAG绕AG旋转到与ABG共面的情况，如图所示,

过G作GP'IAG于点P,交AG于点F,

.∙.∣PF∣+∣FGl≥∣PG∣>∣P,G∣（当且仅当F,F'重合，RP重合时取等号），

AB=I,BC,=√2,AC1=√3,GC1=~,

在RtABC1φ,SinNAGB=今,COSNAGB=当，

.∙.sinZAiCtB=sin2AACiB=2sinZAC1BcosZAC1B=ʒɪ；

则在RlGP'G中，p'G=GC1sinZA1C1B=,

.二PGF的周长IPGl+1PF∣+1FG∣≥21PGl=*

故答案为54

关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是

能够通过旋转平面将立体几何中距离之和的问题，转化为平面几何中的距离之和的问题，进

而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.

二、单选题

13.设M,N为两个随机事件，如果M,N为互斥事件,那么（）

A.而UN是必然事件B.MUN是必然事件

C.A7与可一定为互斥事件D.而与后一定不为互斥事件

【正确答案】A

【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解.

【详解】因为M,N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示

（第一种情况）

（第二种情况）

无论哪种情况，麻口可均是必然事件.故A正确.如果是第一种情况，MUN不是必然事

件，故B不正确，如果是第一种情况，A7与"不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第

二种情况，而与何一定为互斥事件，故D不正确.

故选：A.

14.已知平面a、β∖7两两垂直，直线a、b、C满足：aca,bcβ.ccγ,则直线a、b、C不

可能满足以下哪种关系

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

【正确答案】B

【分析】通过假设a〃6,可得方平行于a,夕的交线，由此可得C与交线相交或异面，由此

不可能存在a〃力〃c,可得正确结果.

【详解】设aQ=/,且/与。,匕均不重合

假设：alibi/c,由a∕∕b可得：a//β,b//a

又aβ=l,可知a〃/,bill

又a∕∕∕√∕c,可得：dll

因为a,两两互相垂直，可知/与7相交，即/与C相交或异面

若/与a或6重合，同理可得/与C相交或异面

可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行

本题正确选项：B

本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线

与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.

15.某种疾病可分为两种类型：第一类占70%,可由药物A治疗，其每一次疗程的成功率

为70%,且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物A治疗方式完全无效.在

不知道患者所患此疾病的类型，且用药物A第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功

的概率最接近下列哪一个选项()

A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4

【正确答案】B

【分析】分别写出两次疗程概率,再应用独立事件概率是概率的积，计算即可.

【详解】用药物4第一次疗程失败的概率为0.7*O.3+O.3=O.51

用药物A第一次疗程失败第二次疗程成功的概率为0.衿0∙3χ0.7M).3?

所以药物A第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率为

0.3x0.49

=0.3×——≈0.29

0.5151

故选:B.

16.已知随机变量4B(2n,p),"∈N",n≥2,O<P<l,记/⑺=Pq=/),其中feN,

t≤2n,现有如下命题：①£/(〃)<：<£/(2-1)；②若叩=6,则/(f)≤/(12),下列

r=o2z=∣

判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【正确答案】D

【分析】根据已知得出"r)=CrP'∙(>p广'.取°=；,根据二项式定理求出奇数项和偶

/(r+l)(2nl)p-(∕+l)

数项和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出iι+

/(0。+1)(I-P)

判断了⑺的增减性.讨论(2〃+1)"是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②

真假.

【详解】由已知可得，/(r)=P(J=f)=C>∕Λ(l-p)“ι.

2n-t2n

对于命题①，当p=5时，f(t)=p^=t)=c2n-∖^∖-li-ʌI=IjI-C,,.

因为

(cθ,,+cL+L+c>)+(c-+c>τ)y+c-+cτ+¢:=(1+1)2"

(cθn+⅛÷L+GA(G,,+C,,+L+C≡Γ')

0,22n2,,2,,

=(-ι)×cθπ+(-ι)×cL,+(-ι)×⅛+L+(-ι)-'χC^'+(-ι)×⅛=(ι-ι)=o,所以

CM+Ct+L+优=G“+Ct+L+CT=221.

所以0⑵)=(—+闾∙(f=2iQ『哈所以

⅛∕(2r-l)=∑∕(2∕)=∣,所以①为假命题：

/=1t=o2

对于命题②，若J~8(2",")∙

/(+1)_C；；∙p~'∙(>p)2"TT_(2〃_f)0_(2π+l)p-(∕+l)+(z+1)(1-/7)

∕ω=CrPJ(ITT=(/+DO-p)=(/+/P)

(2n+l)p-(t+l)

^(f+1)(I-P).

当f+l<(2"+I)P时，/(z+l)>∕(r),/(f)随着f的增加而增加；当r+l>(2/+l)p时，

f(t+l)<f(t),/⑺随着r的增加而减小.

当(2"+l).为整数时，f=(2〃+I)P或r=(2"+I)P—1时，有最大值；当(2〃+I)P不为

整数时，，为(2〃+I)P的整数部分时，/(r)有最大值.因为⑵7+l)p=12+p,O<p<ι,所

以当/=12时，/(f)最大，所以有/(f)≤∕(12),所以②为真命题.

故选：D.

三、解答题

17.如图，在直三棱柱ABC-A8∣G中，AB=AC=2,AA)=4,ABlAC,BELA及交AA

于点E,。为CG的中点∙

(2)求直线与。与平面ABtC所成角的大小.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)arcsin-

15

【分析】(1)先证明AAJ∙AC,从而可得AC_L平面进而可得AC_LBE,再由线

面垂直的判定定理即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，利用向量法求解即可

【详解】(1)因为三棱柱ABC-ABC为直三棱柱，

所以AA1，平面ABC,

又ACU平面ABC,

所以AAJ.AC.

因为AeJ_AB,AAtlAC,ABryAAt=A,ABu平面A4∣gB,A4∣u平面Λ41B∣B,

所以Ae，平面AAM8.

因为BEu平面AABI8,

所以ACL5E.

因为BEjL48∣,ACLBE,ACCABl=A,ACU平面ABC,AAU平面AB∣C,

所以BE，平面ABQ.

(2)由(1)知AB,AC,AAl两两垂直，如图建立空间直角坐标系A-孙z.

则A(0,0,0),4(2,0,4),C(0,2,0),β(2,0,0),D(0,2,2),

设E(0,0,o),ΛB,=(2,0,4),BE=(-2,0,a),AC=(0,2,0),

因为所以44-4=(),即a=l,则BE=(-2,0,l),

由(1)平面AgC的一个法向量为8E=(-2,0,1).

又4。=(-2,2,-2)

设直线BQ与平面ABC所成角的大小为。(o≤e≤,则

BEBPL

Sine=COS(∙∣-9拒

BE∣∣BlD15

因此，直线BQ与平面AqC所成角的大小为arcsin巫.

15

18.兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大

宽等.现将体积为IOOOCm3的面团经过第一次拉伸成长为IOOcm的圆柱型面条，再经过第二

次对折拉伸成长为2xl(X)Cm的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm,

求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？(单位：cm.每次对折拉伸相

等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计)

【正确答案】至少经过7次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求

【分析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合

等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得解.

【详解】经过"次对折拉伸之后面条的数量成等比数列，

因而可知经过”次对折拉伸之后面条的长度为2"TXK)0,

设拉伸n次后面条的截面半径为r,由面团体积为IOOoCm,可得

IooX2"TχπχJ=1000，

又因为直径d=2r≤g,

即得户=-ɪ-≤-⅛,-≤2呀5,2'-5是单调递增的

2'iχπ412π•

且当〃=6时，3>2,当〃=7时，—≤4,

π兀

所以至少经过7次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求

(XX.、

19.一个随机变量4的概率分布为：[cos2As1iι√8+C)J,其中4，'C为锐角三角形ABC

的三个内角.

(1)求A的值；

(2)若%=CoS8,々=SinC,求数学期望E7的取值范围.

【正确答案】(1)夕

0

f√33^

⑵7]

\/

【分析】(1)根据概率分布的概率性质计算即可；

(2)把E7转化为三角函数,根据角的范围确定三角函数的值域可解.

【详解】(1)由已知可知:cos2A+sinA=l

1-2sin2A+si∏A=1,sinA(l-2sinA)=0,

又因为A为锐角，sinΛ>0jWsinΛ=∕懵A=g

26

(2)因为M=cosB,x2=sinC

所以

Eζ=COSBCOS2A+SinCsinA

1八1•「

=—cosB+-SinC

22

11.πA

=—cosBd+-sinB+-

22I6)

=—cosB+-SinB×+COSB×—

=—SinBX-^-+cosBχ一

√3

sinβ×-+cosβ×

TrirTr

又因为ABC是锐角三角形,且A=E所以=<B<W

632

2ππ5π∙(nj](I

336(3J(22J

,√3.(兀1

所rcu以下叫8r+§JeKq

20.《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又

逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他

没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几

何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，

后称“埃舍尔多面体”（图2）

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2,定义正方形

AllBnCnDllf"=1,2,3的顶点为“框架点”,定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记

为匕，Q“，将极点匕。，分别与正方形AB2GA的顶点连线，取其中点记为E,“，Fm,

/n=1,2,3,4,如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均

为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点'’构成，为了便于理解，图4我们构造了

其中两个四棱锥A-汨崛与4一P2EtP3Fl

⅛

ɪ

图3图4

(1)求异面直线64与QB?成角余弦值；

(2)求平面4AE与平面AEzA的夹角正弦值；

(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案).

【正确答案】(l)g;

⑵立；

2

⑶表面积为12a，体积为2.

UUUUUlUUUU

【分析】(1)以点。为坐标原点，分别以0,002,。［的方向为％)'，Z轴的正方向，建立空

LILIlOUUUU

间直角坐标系.写出点的坐标，求出44=(1,T,T),Q1B2=(1,1,1),根据向量即可结果；

(2)根据坐标，求出平面EAg与平面AE?匕的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角

的余弦值，进而得出结果；

(3)由已知可得，四边形6片鸟当为菱形.根据向量法求出四棱锥A一q££灯的体积以及表

面积即可得出结果.

【详解】(1)解：由题意可知，。鸟,。0，。4两两垂直，且。鸟=。。2=。［=1.以点。为坐

UUUUULBlUUUl

标原点，分别以OR,OQ?,Oq的方向为x，y，Z轴的正方向，如图5,建立空间直角坐标系.

则由题意可得，0(0,0,0),2(1,0,0),。2(0」，。)，^(0,0,1),B2(1,1,0),A(1,0,1)，4(1,-1,0),

Q(0,0,-1).

又耳也分别是勺4,股的中点，所以EJmfʃɪɪɪi

IlLllUUUUU

所以44=(1,T,T),QB2=(1,1,1),

UUlBUUUJ

IiuurUUUiiP,A,∙Q.B.-11

则CoSV耳4，0出2>=∣⅛n⅛ττt!⅛trτ=—7=--j==—

行MQ闻√3×√33

所以异面直线[A。与。旦成角余弦值为;.

UUUUUir/1IIλUUtiuuuaɪ(∖\\

,,

(2)解：由(1)可得，14=0,0,0),UA=(OOl),P^=[~222

设马=(Xl,y∣,zj是平面《4芯1的一个法向量,

A=O

则＜

nλ∙P1E1=0

x1=0

即"11

-x——y——z=0

12i12121

令y=1,可得/=(OJ-1)是平面6AG的一个法向量.

设巧=(入2，%，22)是平面的一个法向量,

%∙AA=0

则，

M2∙P2E2=0

z2=0

即一111一，取々=1，可得％=(1,1,0)是平面AGg的一个法向量.

,-X∙y1y<,+~~Z,U

ULU

IU11

则CoSy2>=

所以平面《4月与平面A1E2P2的夹角正弦值为Jl-

UUUUUUllUUir111

(3)解：由(1)(2)可得，EE=(0,1,0),PE=

12il2,2,2

UUUinUUUuumɪɪɪ

PE=,Aq=(TO,0),PE=

22^^2,2,2122,2,^2

IluLunUUU

所以鸟马=-々月,

所以鸟与〃旦PiE2=PA,所以四边形PAP2E2为平行四边形.

UUUUUUU

又6£与心=(1，。，-1)(。，1，。)=。，

UUUUULUl

所以勺名，EE,即《巴,巴马,

所以四边形片片£七为菱形.

又1,

1IUUirI

所以s的e^=∕χ∣n∣χ

%."=O

设％=(0%Z3)是平面［E道当的一个法向量，则,

n3∙P↑E}=O

⅞-⅞=°

即,L,J%」。，取口，

[2■2323

则4=(1,0,1)是平面抽崛的一个法向量.

UUirιr

UUU√2

又Aq=(T,0,0),所以点A到平面AEf七的距离4=「『

所以四棱锥4-片£因外的体积χ=gχs仲国fijχd=;X,X等=

因为IlU福Ll=(-1,0,0),片UU与im=5；司,^UUi,r=lp4ɪ

22

UUiruum1

UUUUllUIi

所以Al在哈方向上的投影为

33

4

uuιruum2

所以点A倒直线根的距离片=陶2_=也.

V"Δ⅛同⅞⅛3

同理可得点A到直线PE的距离Λ2=^.

所以四棱锥4-勺g2七的侧面积’=；乂〔联卜4*4=3乂**/*4=&.

所以埃舍尔体的表面积为12工=120,体积为12%=2.

21.随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品

品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重

要指标一询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客

服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A,B两个等级(见表)，且视

A,8等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值.

等级AB

询单转化率[70%,90%)[50%,70%)

人数64

(1)求该网店询单转化率的平均值；

(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%

的概率；

(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不

超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服

接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位4

等级客服接待的概率为4,被任一位B等级客服接待的概率为从若希望改革后经咨询日均

成交人数至少比改革前增加300人，则”应该控制在什么范围？

【正确答案】(1)72%；

【分析】(1)由己知分别求出A、B等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可；

(2)设4等级客服的人数为X,则X的可能取值为OJ2,3,4,对应的询单转化率中位数分

别为60%,60%,70%,80%,80%,进而利用超凡何分布求出对应的概率，求出答案；

(3)根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7