2023-2024学年北京市大兴区高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年北京市大兴区高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.空间向量。二二。方；()

A.ABB.CBC.OCD.BC

【正确答案】D

【分析】利用向量的加减法则即可求解.

【详解】OA-OB+AC^BA+AC=BC

故选：D

2.圆3=0的半径是()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】将圆的一般式化为标准式即得.

【详解】由x?+/-2y-3=0,可得x?=4,

所以圆x,+/-2y-3=0的半径是2,

故选：B.

3.抛物线V=8y的焦点到准线的距离是(〉

A.1B.2C.4D.8

【正确答案】C

【详解】抛物线x2=8y的焦点为(0,2),准线方程为尸-2,焦点到准线的距离为4.

故选：C.

4.已知数列｛4“｝的前〃项和S“=〃2,则％=()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】C

【分析】根据,再,关系解决即可.

【详解】由题知，数列｛q,｝的前”项和S“=/,

，

所以电=S2-SI=4-1=3,

故选：C

5.若等差数列｛/｝满足/=-1,%=1,则其前〃项和的最小值为()

A.—9B.—8C.-7D.—6

【正确答案】A

【分析】由己知求出生和d的值，得至115,,="2-6〃=(〃-3)2-9,即可求出最小值.

【详解】由题意可得，4=4一%=2,又。3=q+"，所以q=-5.

所以，｛•”｝的前n项和S“=—5〃+""；［x2=-6/j=(n-3)--9>-9,

当〃=3时，S“有最小值-9.

故选：A.

6.设｛%｝是各项不为0的无穷数列,“▼女E㈤,尸?/」是^叫为等比数列叩勺()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】根据等比数列的定义可以判断“▼〃€^,4+尸4%+2”是“｛%｝为等比数歹『，的充分必

要条件，即可选出结果.

【详解】解:由题知｛%｝是各项不为0,

若V〃eN",a3=a“，

则

'a„%'

故｛叫为等比数列；

若｛%｝为等比数列，

则有S±L=4±1

a“a„+1

即=4%；

综上“W〃e/“a"，是”｛《,｝为等比数列”的充分必要条件.

故选:C

7.设/鸟是椭圆C:[+f=l的两个焦点，点尸在椭圆C上，阀|=4,则圈=（）

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】利用椭圆的定义|咫|+-用=2。即可得解.

【详解】因为椭圆C:工+片=1,

94

所以a?=9,则。=3,

因为|P周+|P玛|=2a=6,|P制=4,

所以|尸居|=2.

故选：B.

8.如图，在三棱柱/8C-481G中，egJ■平面=8C==441=2.D,E.

尸分别为44,4G，的中点，则直线EF与平面5co的位置关系是（)

A.平行B.垂直C.直线在平面内D.相交且不垂直

【正确答案】D

【分析】根据图形位置证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面8co的法向量,

直线E尸的方向向量，判断平面8co的法向量是否与直线E尸的法向量垂直，又判断直线E尸

与直线CD是否垂直，可得直线与平面的位置关系.

【详解】解：如图取/C中点M,连接EW,BM

因为==为/C中点，所以"8_LZC

又在三棱柱/8C-48G中，CG，平面N8C,E为4G中点，所以EM//CC；

则E〃_L平面N8C,又/C,M8u平面N8C,所以EM_L/C,EM±MB,

又4c=44=2,则力"=；4c=1,所以MB={AB?+AM?=2，

以点M为坐标原点，朋4ME为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则3(0,2,0),C(-l,0,0),0(1,0,1),£(0,0,2),尸(0,2,1),

设平面58的法向量为"=(x),z),

,令N=-l,贝!jx=2,z=-4,故〃=(2,-L-4),

[n-BD=0[x-2y+z=0

又EFXOZ-l),DC=(-2,0,-1)

因为O=2x0+(-l)x2+(-4)x(-l)=2w。又EFZ>d=O+O+(-l)x(-l)=lwO

所以直线EF与平88交，且不垂直于平面BCD.

故选：D.

9.记S,为等比数列｛《｝的前”项和.已知q=-4,%=g,则数列｛S,,｝()

A.无最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，无最小项D.有最大项，有最小项

【正确答案】D

【分析】求出公比q,求出s.，然后分析｛sj的性质即可.

【详解】设公比为/则八>4,=4>

Qf1\O

当〃为偶数时，^,,=--11--L对应函数为减函数，即$2>'>56>>->

Q/1\O

当〃为奇数时，1+—I,对应函数为增函数，即岳<53<项<

所以｛S“｝有最大项为反，最小项为£.

故选：D.

本题考查等比数列的前〃项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得邑后按奇偶数分类,

QQ

得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比大，所有奇数项比小，即可确定最

值.

10.已知M是圆（x-了+支=1上的动点，则“到直线y=H+l（左eR）距离的最大值为（）

A.2B.五+1C.3D.26+1

【正确答案】B

【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据

y=b+l（keR）恒过的定点C（O』），过圆心ZQ,0）作直线y=b+l/eR）的垂线，垂足为

B,得知点B的轨迹为以/C为直径的圆，则4m=以用皿+1=应+1求解.

【详解】设圆（x-lY+V=1的圆心为/Q,0）,点“到直线y=b+l（keR）的距离为"，过

点A作直线y=b+l（&eR）的垂线，垂足为8,

则点A到直线y=依+l（keR）的距离为,所以=\AB\^+1,

又因为直线y=丘+1（左eR）恒过定点C（0,l）,则垂足B的轨迹为以/C为直径的圆,

则MMmax=MO=g=亚，所以咚"=四L+1=应+1

故选：B

二、填空题

11.3与7的等差中项为.

【正确答案】5

【分析】由等差中项的定义，若4G，8成等差数列，则6=中即可求得.

2

【详解】设3与7的等差中项为x,则由等差中项的定义得x=*=5.

故5

12.直线N=X+1关于y轴对称的直线的方程为.

【正确答案】y=—X+1

【分析】设所求直线上任一点为（X,y）,可得关于V轴的对称点（-XJ）,然后代入y=x+i即

得.

【详解】设所求直线上任一点为（X/）,则关于y轴的对称点为（-x,y）,

将(-X/)代入直线y=x+l得，y=-x+l,

即直线y=x+l关于>轴对称的直线的方程为y=-x+l.

故答案为J=-x+l

13.已知双曲线£-了2=13>0）的一条渐近线方程为》+23，=0,则。=

Q

【正确答案】2

【分析】先由双曲线的渐近线设出双曲线的方程，再利用待定系数法即可求得。的值.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0,

22）

所以双曲线的方程可设为工-/=〃4/0）,即三一二二1,

4.'742A

丫2

因为-7-y2=1（。〉0）,

a

42=a2

所以解得〃=2（负值舍去）,

A=1

所以。=2.

故答案为.2

14.能说明“若等比数列应｝满足％<出，则等比数列｛氏｝是递增数歹IJ”是假命题的一个等比

数列｛勺｝的通项公式可以是.

【正确答案】氏=-(-2)"T,〃eN"(答案不唯一)

【分析】根据等比数列单调性可知，首项6和公比4共同决定了数列｛《,｝的单调性，即可写

出符合题意的数列.

【详解】由题意可知，若"等比数列｛%｝是递增数列”，

需满足当《<0时，公比0<4<1；或％>0时，公比g>i；

又因为命题为假命题，所以公比4<0即可满足题意，

不妨取,首项4=-1时,公比g=-2,则出=2,满足《〈心

此时数列｛《,｝是摆动数列，通项公式为为=(-1)(-2严=-(—2尸,〃eN,

故4,=-(-2)i,〃eN*

15.平面内，动点M与点尸(L0)的距离和M到直线x=-l的距离的乘积等于2,动点加的

轨迹为曲线C.给出下列四个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于x轴对称；

③曲线C与x轴有2个交点；

④点”与点尸(1,0)的距离都不小于百-1.

其中所有正确结论的序号为.

【正确答案】②③④

【分析】将所求点用(x，y)直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，令

x=0y=0可判断A,根据T代入可判断B,令歹=0可解x的值，进而可判断C,利用消元法,

然后利用函数的单调性求最值可判断D.

【详解】设动点的坐标为”(x,y),

曲线C是平面内与定点尸(1,0)和定直线x=-l的距离的积等于2的点的轨迹，

••J(x-1)-+y，+11=2>

当x=0时，y=o,J(o_i)2+()21+11#2曲线C不过坐标原点,故①错误；

将将x-l)2+W+l|=2中的y用-1代入该等式不变,•••曲线C关于X轴对称，故②正确；

令y=0时，肘+l|=2n|x-l||x+l|=2nx=±6,故曲线C与x轴有2个交点，故③正

确；

J(X_1)2+/F+1|=2,

y2=J,4-(x-If>0,解得-G<x<^,

V(x+1)

__________22

・•・若点〃在曲线C上，则阿尸|=J(xT>+/=51P下后=6一1,故④正确.

故②③④.

三、解答题

16.已知点40,1)和点8(2,3)是圆C直径的两个端点.

(1)求线段N8的中点坐标和圆C的方程；

(2)过点/作圆C的切线/,求切线/的方程.

【正确答案】(1)48中点(1,2),C:(X-1)2+(^-2)2=2

(2)1-x+y-\=0

【分析】(1)根据中点坐标公式即可求得48的中点，即圆心坐标，利用两点间距离公式可

求得直径48,即可写出圆C的方程；

(2)根据直线和圆的位置关系可得切线/的斜率，再利用点斜式方程即可求得切线/的方程.

【详解】(1)由点40,1)和点8(2,3)是圆C直径的两个端点，

可得NB的中点即为圆心C,根据中点坐标公式可得CQ,2),

即线段45的中点坐标为C(l,2),根据两点间距离公式得直径N8=J(2-0)2+(3-l)2=2&，

所以圆C的半径为厂=&,

则圆的方程为C：(x-l)2+(y-2)2=2

3-1

(2)根据题意可知直线N8与切线/垂直，直线的斜率为3"=二五=1,

设切线/的斜率为左，满足力.仍=-1,得无=一1;

又切线/过点力,利用直线的点斜式方程得/：y-i=-ix(x-o)；

即切线/的方程为/：x+y-l=O.

17.已知等差数列｛《,｝满足《=1,%+%=5.

(1)求｛《,｝的通项公式；

(2)设他,｝是等比数列，(=2也=2b-求数列｛%+等｝的前〃项和看.

【正确答案】(1)4=〃;

⑵7；=与*2向—2.

【分析】(1)结合题意利用等差数列的通项公式求出公差d,即可求出通项公式；

(2)根据也｝是等比数列及4=2也=24，即可求出等比数列也｝的通项公式，再利用分

组求和即可求出7；.

【详解】(1)｛4｝是等差数列且4=1,々+%=5

q+d+q+"=5

d=\

an=l+〃—1=〃

(2)｛"｝是等比数列，4=2也=24

:.q=2

••也=2"

•,•%+»=〃+2"

采用分组求和即得7—(>2")=上工2””-2.

"21-22

18.已知抛物线C:/=4x的焦点为F.

(1)求产的坐标和抛物线C的准线方程；

(2)过点尸的直线/与抛物线C交于两个不同点4B,再从条件①、条件②这两个条件中选

择一个作为已知，求的长.

条件①：直线/的斜率为1;

条件②：线段48的中点为M（3,2）.

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.

【正确答案】（1）焦点尸（1,0）,准线方程为x=-l

（2）8

【分析】（1）直接根据开口的方向以及P的值即可得结果；

（2）选择条件①：直接联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得须+乙=6,由弦长公

式即可得结果；选择条件②：可得%+%=6,由弦长公式即可得结果.

【详解】（1）抛物线C:/=4x开口向右，其中p=2,

所以焦点尸（1,0）,准线方程为尸-1.

（2）选择条件①：直线/的斜率为1

所以直线/的方程为y=x-l,

设力（项,必），8（乙，%），

[y=x-\

联立｛2.得X2-6X+1=0,显然△＞（）,

=4x

所以X|+工2=6,

g|J\AB\=+/+p=6+2=8.

选择条件②：线段45的中点为2（3,2）

设，（国,必）,B（x2,y2）,则匹+W=6,

即同=芭+々+°=6+2=8.

19.如图，在长方体中，AB=AD=\,AAt=2,E是棱。。的中点.

(2)求平面AB、E与平面AMQi夹角的余弦值:

(3)求点G到平面48姿的距离.

【正确答案】(1)答案见解析.

6

⑶半

6

【分析】对于(1),证明8/即可.

对于(2),(3),利用向量法可得答案.

【详解】(1)证明：由题，四边形AGC5为矩形，四边形是正方形，

则8c=BC=AD,8cBCAD,故四边形49cs是平行四边形，得G。B}A,

又CQZ平面8/u平面N8E，则CQ〃平面

(2)如图，建立以力为原点的空间直角坐标系.

则4(0,0,0),B(1,0,0),。仙1,0),玛(,0,2),0QJ2)，E[11),

得=(1,0,2),AE=(0,1,1),设平面法向量为"=(x,y,z),

X••"、

n-AB.=x+2z=0/、

则x"，取〃=(2,1,-1).

nAE=y-^z=0')

又平面44CQ]法向量:二(0,0,1),且由图可知，

m__-_n____近

平面/8E与平面44GA夹角。为锐角，贝Ijcosj=

\m「\-M而6

(3)由图可得，C,(1,1,2),则/£=(1,1,2),又由(2)解析可知

平面法向量为〃=(2,1,-1),

AC-n1

则点G到平面的距离"=X

H忑

20.已知椭圆C:K记=1(.>0,6>0)过点P(2,l),且a=26.

(1)求椭圆C的方程和离心率;

(2)设。为原点，直线。尸与直线/平行，直线/与椭圆C交于不同的两点/，N,直线尸M,

PN分别与x轴交于点E,F.当E,尸都在y轴右侧时，求证：|。回+|。F|为定值.

【正确答案】(l)E+《=i,巫

822

(2)证明过程见详解

【分析】(1)将点P(2,D代入椭圆C:£+《=l中，再结合。=26,即可求出a和6,进而

ab

求得椭圆C的方程，再根据02=/-〃，代入e=£中，即可得到椭圆c的离心率；

a

(2)根据题意设直线/的方程为y=gx+m,设"(2乂-2〃?,》),N(2%-2%%),从而得

到直线PM的方程，进而得到目一-50和尸--50,联立直线/与椭圆C的方程，再

根据韦达定理得乂+外,乂“，即可求得|。同+|。日的值为4,即结论得证.

22

2Ib=y/2x22

【详解】（1）解：依题意有/+记=1得・L，所以椭圆C的方程为土+匕=1,

2

a=2ba=2V28

又c=J7=F=76.则椭圆C的离心率为e=?=^=曰;

（2）证明：依题意可得直线OP的方程为y=

则可设直线/的方程为卜=3^+机，不妨设〃（2乂-2见乂），N（2y2-2m,y2）,

\

则直线加的方程为二资+（尸2）+1,得E2m2m

,0,同理得尸,0,

必T

/

1

y=—x+m

22,消X整理得2炉-2,号+/-2=0,

联立

土+J

82

ni2-2

则必+%="?，乂•力=

2

2m2m

又E,尸都在y轴右侧,即—7>0,>0,

弘-1%-1

2m2m2加（必+以一2）2〃z（加一2）

所以|困+|叫=------卜—=4

必一1为一1必.为一（必+必）+1m2-21-（定值）,

---m+1

2

故结论|。目+|。尸|为定值成立.

解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤:

①设出直线方程，设交点为小士,必），5（x2，%）；

②联立直线与曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程;

③写出韦达定理;

④将所求问题转化为玉+多，（或必+%,y｝-y2,）的形式;

⑤代入韦达定理求解.

21.已知｛%｝为无穷递增数列，且对于给定的正整数鼠总存在i,j,使得生4〃,%2%,其

中""令"为满足qW上的所有i中的最大值，q为满足勺的所有J中的最小值.

（1）若无穷递增数列｛4｝的前四项是1,2,3,5,求“和1的值；

（2）若｛凡｝是无穷等比数列，q=l,公比g是大于1的整数，&<%=々勺=，4,求4的值;

(3)若｛%｝是无穷等差数列，4=1,公差为上，其中加为常数，且加>l,〃?eN",求证:

m

b也,也，和C/2，都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式.

【正确答案】(1)4=3,1=4,

(2)q=2或q=4

(3)证明见解析，bn=nm-m+\,cn=nm-m+\

【分析】(1)根据题意求解即可；

(2)由等比数列的通项公式写出｛对｝的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果；

(3)由等差数列的通项公式写出｛4