正弦余弦函数的定义

关于正弦余弦函数的定义1.掌握任意角的正弦、余弦函数的定义(重点)2.识记正弦、余弦函数每个象限的取值符号（重点）3.掌握正弦、余弦函数的计算与应用(难点)第2页,共36页，2024年2月25日，星期天在Rt三角形中，锐角正弦、余弦函数是如何定义？对边邻边斜边（一）回顾旧知OMP第3页,共36页，2024年2月25日，星期天XYP（x,y）M（二）、探究1-任意角的正弦、余弦函数定义讨论：sinα与cosαr=1sinɑ=cosɑ=O纵坐标横坐标单位圆==y=x=第4页,共36页，2024年2月25日，星期天xyOP(x,y)αA(1,0)xyOP(x,y)αA(1,0)xyOP(x,y)αA(1,0)思考：终边落在不同象限任意角sinɑ、cosɑ的值还是y,x值吗？sinɑ=

=ycosɑ=

=x第5页,共36页，2024年2月25日，星期天一、任意角的正弦函数、余弦函数定义：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即y=sinα；

（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即x=cosαOP(x,y)αyxM第6页,共36页，2024年2月25日，星期天探究2：正弦、余弦函数的取值符号三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限+++－－－－+你有什么办法记住这些信息？纵坐标横坐标思考：当角ɑ的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角ɑ的正弦、余弦函数的正负号是什么？第7页,共36页，2024年2月25日，星期天练一练判断下列各式的符号：（1）sin105°.cos230°；（2）sina.cosa<0,问a为第几象限角；解：因为105°为第二象限角，230°为第三象限角，所以sin105°>0,cos230°<0

sin105°.cos230°<0

因为sina.cosa<0,所以二者异号，有两种情况：sina>0,cosa<0或者sina<0,cosa>0

所以当sina>0,cosa<0，a为第二象限角当sina<0,cosa>0，a为第四象限角

第8页,共36页，2024年2月25日，星期天探究3：入股已知角终边上一点P（x,y）,而这个点不是终边与单位圆的交点,它的三角函数定义还成立吗?自由探讨MQ(u,v)N解：取终边OP与单位圆交于一点Q（u,v）,过Q点作QN⊥ON;

得到OPMOQN因此有：OQ=QN==yMPOPv=sinα=y1同理可证：y=cosα余弦函数也成立xyOP(x,y)α第9页,共36页，2024年2月25日，星期天新知应用：

已知任意角α终边上有一点P（5,-12），求角α的正弦函数值、余弦函数值.解因为点P（5,-12）

在角α的终边上，所以y=5,x=-12

可知r==13则sinα=cosα=-12第10页,共36页，2024年2月25日，星期天思考：如何利用正弦、余弦定义进行各种计算？1.找出与圆相交的点的坐标值P（x,y）2.算出原点与交点之间的距离r=3.利用正弦余弦定义代值计算：

sinɑ=cosɑ=4.得到正弦、余弦函数yx第11页,共36页，2024年2月25日，星期天变式题1---能力提升已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若点P（4,y）是角θ终边上的一点，且sinθ=则y=()A.-8B.-4C.+8D.+4第12页,共36页，2024年2月25日，星期天这一课你学到了什么？1.正弦函数、余弦函数是如何定义的？2.正弦余弦函数的在象限里的取值符号如何？3.如何通过定义去应用计算？课后作业：课本P17页，练习2.3.4.5

要求：写在课本上第13页,共36页，2024年2月25日，星期天例2：在直角坐标系的单位圆中，(1)画出角

(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；（三）定义应用例24－πa=4－πa=解：（1）如图所示，以原点为角的订单，以x轴的正半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，a=∠MOP=－

，即为所求角。4π4π第14页,共36页，2024年2月25日，星期天（2）设角a的终边与单位圆交于点P(u,v)由于，点P的坐标在第四象限，则4－πa=u=cos()=4－πv=sin()=－4－π22所以点P的坐标为（，-）22第15页,共36页，2024年2月25日，星期天变式题2：已知角a的终边过点P（12,a）且tana=5/12,求sina+cosa的值。解析：根据三角函数定义，tan=a/12=5/12所以ɑ=5,P(12,5),这时r=13所以sina=5/13,cosa=12/13.从而sina+cosa=17/13第16页,共36页，2024年2月25日，星期天探究1-直角坐标系中的任意角呢？x(1,0)OP(u,v)αyx如图,在直角坐标系中，作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆（该圆称为单位圆），设任意角为α，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)。讨论：任意角的sinα与cosα函数值又是什么？M（二）、第17页,共36页，2024年2月25日，星期天探究1-直角坐标系中的任意角呢？x(1,0)OP(u,v)αyx如图,在直角坐标系中，作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆（该圆称为单位圆），设任意角为α，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)。讨论：任意角的sinα与cosα函数值又是什么？M（二）、第18页,共36页，2024年2月25日，星期天x(1,0)OP(u,v)αyMxxyOP(u,v)αA(1,0)对于给定的角α，点P的横、纵坐标都是唯一确定的，所以，正弦、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数。问题3：对于给定的角a,点P的横、纵坐标都是唯一的，那么正、余函数又是一个什么函数呢？如果我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，则得到任意角的正弦函数y=sinx

;余弦函数y=cosx。第19页,共36页，2024年2月25日，星期天问题4：

上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域在分别是什么？因为：x表示任意角的大小，所以定义域为：全体实数R；而在单位圆中显然y∈[1,1]，故值域为：[1,1]y=sinxy=cosx第20页,共36页，2024年2月25日，星期天得出结论：

正弦、余弦函数是以角度为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数的函数。又因为角的集合之间可以建立一一对应关系，故它们也看成以实数为自变量的函数。第21页,共36页，2024年2月25日，星期天

在给定的单位圆中，对于任意角α（正角、负角）的三角函数定义都成立，那么对于零角，它是否还成立？xyOP(u,v)αA(1,0)问题讨论：成立第22页,共36页，2024年2月25日，星期天

设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα的取值符号分别如何？（三）第23页,共36页，2024年2月25日，星期天变式题1：

已知角α终边上一点P求角α的正弦函数值、余弦函数值.解因为点P在角α的终边上，所以可知则sinα=cosα=第24页,共36页，2024年2月25日，星期天以原点O为圆心，以单位长度(r=1)为半径的圆叫作单位圆．x(1,0)OP(u,v)αyMx当点P(u,v)就是α的终边与单位圆的交点时,坐标系内锐角三角函数会有什么结果？由三角形相似知识可知,比值与点P(u,v)在终边上的位置无关,只与角α有关.第25页,共36页，2024年2月25日，星期天

三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.函数定义域角(弧度数)实数一一对应三角函数可以看成是自变量为实数的函数第26页,共36页，2024年2月25日，星期天从象限出发来记忆：（sina,cosa）“一正正，二正负，三负负，四负正“记忆法则：课堂练习--巩固提升1.判断下列各式的符号：（1）sin105°.cos230°（2）cos3.tan(-2/3π)(1)<(2)<第27页,共36页，2024年2月25日，星期天010-1010-101

在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表

观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？（五）拓展延伸第28页,共36页，2024年2月25日，星期天

观察右图，在单位圆中，由任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到:终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x+2kπ)

=sinx,k∈

z

终边相同的角的余弦值相等，即

cos(x+2kπ)

=cosx,k∈z

第29页,共36页，2024年2月25日，星期天

上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数.第30页,共36页，2024年2月25日，星期天

正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈z,k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期.

例如，-4π,-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.第